I 2 :correctiondudevoirsurfeuillen 3

2

: correction du devoir sur feuille n

3

« Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connu est un insensé ! Il mériterait l’épreuve des plus grands supplices. », d’après le Comte de Lautréamont (1846 -1870))

I

Soit l’expressionf(x)=(−1+2x)²−(3−6x)(1−x) Partie A : Écrire et transformer:

1. f(x)=(−1+2x)²−(3−6x)(1−x)=(−1)²+2×(−1)×2x+(2x)²−¡

3−3x−6x+6x²¢

=1−4x+4x²−3+3x+6x−6x²= −2x²+5x−2.

2. f(x)=(−1+2x)²−(3−6x)(1−x)=[−(1)(1−2x)]²−3(1−2x)(1−x)

=(1−2x)²−3(1−2x)(1−x)=(1−2x) [(1−2x)−3(1−x)]=(1−2x)(1−2x−3+3x)= (1−2x)(x−2) 3. Pour toutx,−2

µ x−5

4

¶2

+9 8= −2

·

x²−2×x×5 4+

µ5 4

¶2¸ +9

8= −2 µ

x²−5 2x+25

16

¶ +9

8= −2x²+5x−25 8 +9

8=

−2x²+5x−16

8 = −2x²+5x−2=f(x) donc f(x)= −2 µ

x−5 4

¶2

+9 8

Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes : 1. • Avec la forme factorisée, f

µ1 2

¶

= µ

1−2×1 2

¶ µ1 2−2

¶

=0× µ1

2−2

¶

=0 donc f µ1

2

¶

=0

• Avec la forme trouvée à la question 3., on a : f µ5

4

¶

= −2 µ5

4−5 4

¶ +9

8=9

8donc f µ5

4

¶

=9 8 2. Avec la forme développée : f(p

2)= −2×p

2²+5p

2−2= −2×2+5p

2−2= −4−5p

2−2=5p

2−6 donc f(p

2)=5p 2−6

3. Résoudre dansRles équations :

(a) f(x)=0⇔(1−2x)(x−2)=0 en utilisant la forme factorisée.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul.

• Premier cas : 1−2x=0⇔x=1 2

• Deuxième cas :x−2=0⇔x=2 L’ensemble des solutions est S ₌

½1 2; 2

¾ . (b) f(x)=9

8⇔ −2 µ

x−5 4

¶2

+9 8=9

8⇔ −2 µ

x−5 4

¶2

=0⇔(x−5

4)²=0⇔x−5

4=0⇔x=5 4. L’ensemble des solutions est S ₌

½5 4

¾ .

(c) f(x)=(x−2)⇔(1−2x)(x−2)=(x−2)⇔(1−2x)(x−2)−(x−2)=0⇔(x−2)[(1−2x)−1]=0⇔ (x−2)×(−2x)=0⇔ −2x(x−2)=0.

L’ensemble des solutions est : S _{={0 ; 2}}

4. Pour toutxréel, µ

x−5 4

¶

Ê0 (carré d’un nombre réel ), donc :

−2 µ

x−5 4

¶2

É0 (car on multiplie par un nombre négatif) Page 1/4

d’où, en ajoutant 9

8ux deux membres de l’inégalité :−2(x−5 4)²+9

8É9 8. Pour toutx, f(x)É9

8, donc le maximum def(x) est 9

8et cette valeur atteinte pourx=5 4.

II

Soit f la fonction définie surRpar

f(x)=4x²−25−(2x−5)(3+2x).

1. f µ

−3 2

¶

=4× µ

−3 2

¶2

−25− µ

2× µ

−3 2

¶

−5

¶ µ 3+2×

µ

−3 2

¶¶

=4×9

4−25−(−8)×0=9−25= −16. 2. Factorisonsf(x) :

f(x)=4x²−25−(2x−5)(3+2x)=(2x)²−5²−(2x−5)(3+2x)=(2x−5)(2x+5)−(2x−5)(3+2x)=(2x− 5) [(2x+5)−(3+2x)]=(2x−5)(2x+5−3−2x)= 2(2x−5)

3. f(x)=0⇔2(2x−5)=0⇔x=5 2. S ₌

½5 2

¾

III

Le plan est muni du repère orthonormé (O , I , J). On considère les points A(2 ; 1), B(1 ; -3) et C (-6 ; 3).

1. Figure :

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

bA

b B

bC

b

D

0

2. • AB= q

(x_B−x_A)²+¡

y_B−y_A¢2

=p

(1−2)²+(−3−1)²=p

1+16=p 17

• BC = q

(xC−xB)²+¡

yC−yB¢2

=p

(−6−1)²+(3−(−3))²=p

49+36=p 85

• AC= q

(x_C−x_A)²+¡

y_C−y_A¢2

=p

(−6−2)²+(3−1)²=p

64+4=p 68

3. [BC] est le plus grand côté ;BC²=85 ;AB²+AC²=17+68=85 doncBC²=AB²+AC². Après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleABC est rectangle en A.

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4. L’aire du triangleABC estA_(ABC)= ^AB×AC

2 =

p17×p 68

2 =

p17×2p 17

2 =17 ; A_(ABC)=17

5. Puisque ABC est rectangle en A, pour que AB DC soit un rectangle, il suffit que ce soit un parallélo- gramme.

Les diagonales doivent avoir le même milieu.

NotonsM le milieu de [BC] ;x_M=x_B+x_C 2 = −5

2 :y_M = y_B+y_C

2 =−3+3 2 =0.

Mest le milieu de [AD] ;x_M =xA+xD

2 donc 2x_M =x_A+x_D d’oùx_D =2x_M−x_A= −5−2= −7.

De même :y_D=2y_M−y_A= −1.

Da pour coordonnées : D(−7 ;−1)

IV

1. Soit l’inéquation 1

5x−1É 1 x+2.

Les dénominateurs doivent être non nuls, donc l’ensemble de définition est D_=R\

½

−2 ; 1 5

¾ . 2. On suppose quex∈D_.

1

5x−1É 1

x+2⇔ 1

5x−1− 1

x+2É0⇔(x+2)−(5x−1)

(5x−1)(x+2) É0⇔ −4x+3

(5x−1)(x+2)É0 3. • −4x+3=0⇔x=3

4et−4x+3É0⇔xÊ3

4(fonction affine décroissante, ça le coefficient directeur est -3 négatif)

• 5x−1>0⇔xÊ1 5

• x+2>0⇔x> −2

• On renseigne alors un tableau de signes :

x −∞ −2 1

5 3

4 +∞

−4x+3 + + + −

5x−1 − − +0+

x+2 − + + +

−4x+3

(5x−1)(x+2) + − +0−

V Utilisation d’un diagramme

Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l’éclairage de 400 véhicules :

— 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.

— 140 des 400 véhicules présentent un défaut d’éclairage.

— 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d’éclairage.

1. Recopier puis compléter le diagramme de Venn ci-dessous avec des nombres pour représenter la situa- tion.

F E

15 45 95 245

Page 3/4

2. On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que : (a) La probabilité que le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage est :

15 400= 3

80.

(b) La probabilité que le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage est 95

400=19 80

(c) La probabilité que le véhicule ne présente aucun des deux défauts est 245 400=49

80. (d) La probabilité que le véhicule présente au moins un des deux défauts est 1−49

80=31 80

VI

Voici les résultats d’un sondage effectué en 1999 auprès de 2 000 personnes, à propos d’Internet :

— 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet,

— 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet,

— 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.

1. Complétons le tableau suivant :

Les renseignements se traduisent par :

• 40 %×2 000=800

• 35 %×2 000=700

• 700×4 5=560

• 30 %×2 000=600

• 600× 85 100=510 intéressées par Internet non intéressées par

Internet

total

moins de 30 ans 560 140 700

de 30 à 60 ans 150 550 700

plus de 60 ans 90 510 600

total 800 1200 2 000

2. On choisit au hasard une personne parmi les 2 000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. On considère les événements :

A : «la personne interrogée a moins de 30 ans »,

B : «la personne interrogée est intéressée par Internet ».

(a) p(A)= 700 2000= 7

20 ;p(B)= 800 2000= 2

5

(b) Aest l’événement contraire deA, c’est-à-dire « La personne a plus de 30 ans ».

P³ A´

=1−P(A)=1− 7 20= 13

20 .

(c) A∩B est l’événement « La personne interrogée est intéressée par Internet et a moins de 30 ans ».

P(A∩B)=360 800= 9

20 .

3. On sait maintenantque la personne interrogée est intéressée par Internet.

La probabilité qu’elle ait plus de 30 ans est150+90 800 =240

800= 3 10 . Page 4/4