Traitement de l’information Codes correcteurs et détecteurs d’erreurs Codes utilisant des bits de parité

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Traitement de l’information

Codes correcteurs et détecteurs d’erreurs Codes utilisant des bits de parité

Michel Salomon

IUT de Belfort-Montbéliard Département d’informatique

Michel Salomon Traitement de l’information 1 / 21

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Plan du cours

1 Codes utilisant des bits de parité

Contrôle de parité ; Double parité ; Code de Hamming

2 Somme de contrôle

Utilisé dans les protocoles TCP, UDP et IP

3 Code de Redondance Cyclique Utilisé dans le protocole Ethernet

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Qu’est-ce qu’un code ?

Un code définit une façon de représenter l’information On utilise des codes pour résoudre différents problèmes

1 Assurer l’intégrité de l’information

→ détection et correction d’erreurs

2 Minimiser la taille de l’information

→ compression

3 Garantir la sécurité de l’information

→ chiffrement (cryptage)

Remarques

Codes de détection et de correction d’erreurs sont des codes de base → utilisés dans de nombreux protocoles / normes Compression et chiffrement répondent à des besoins plus spécifiques →plutôt utilisation à la demande

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Pourquoi a-t-on besoin de ces codes ?

Codes détecteurs / correcteurs⇒gérer de “petites” erreurs (quelques bits)

Les données numériques stockées peuvent être corrompues

→ erreurs dues à des rayures, des impuretés du support, etc.

Les données transmises sont susceptibles d’être altérées

→ canal de transmission pas entièrement fiable Compression⇒réduire la taille occupée par l’information

Réduire l’espace occupé pour la stocker Réduire le temps mis pour la transmettre

Chiffrement (cryptage)⇒ un des mécanismes de la sécurité informatique

La sécurité informatique a principalement pour objectifs

→ d’empêcher la divulgation non-autorisée de données ;

→ d’empêcher la modification non-autorisée de données ;

→ d’empêcher l’utilisation non-autorisée de ressources

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Codes détecteurs / correcteurs

Schéma de la théorie de l’information

source n symboles codeur t symboles canal t symboles decodeur n symboles c

u y u

bruit

Classes de codes correcteurs d’erreurs Codes blocs

Traitent les blocs d’information indépendamment Les mots de code sont indépendants les uns des autres Codes convolutifs

Dépendance entre les informations

Sortie dépendant de l’info. précédente et de l’état du codeur

Remarques

Choix d’un code → dépend de l’application

Meilleurs codes → codes blocs(irréguliers à faible densité de parité)

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Caractéristiques attendues d’un bon code

Bon rendement (taux)

→ un nombre élevé de bits d’info. par rapport aux bits codés

→ un rapport ⁿ_t élevé

Bonne capacité de détection et correction

Procédés de codage et décodage simples et rapides

Objectif de la théorie des codes correcteurs d’erreurs Concevoir des codes qui :

détectent et corrigent le plus d’erreurs ; sans trop allonger les messages transmis ; en étant faciles et rapides à utiliser

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Codes blocs détecteurs et correcteurs

Unmessage;bloc,mot ouvecteur d’information; un code sourceest une suite de symboles d’un alphabet Cas binaire (alphabet ={0,1}) : unmotest une suite de bits Pour traiter / prévenir des erreurs

→ des informations supplémentaires seront ajoutées un message est découpé en blocs denbits de données ; auxnbits de données, on ajoutek bits de contrôle ; ce seront lesn+k =t bits qui seront stockés ou transmis

→ on ajoute de la redondance à l’information

Terminologie

Code autovérificateur → détecte des erreurs

Code autocorrecteur→ détecte et corrige des erreurs

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Codes autovérificateurs - Contrôle de parité

Le code autovérificateur classique est le contrôle de parité Aux n bits est ajouté 1 bit supplémentaire dit de parité Le bit de parité est tel que le nombre de bits à 1 parmi les n+ 1 bits est :

pair dans le cas d’une parité paire ; impair pour une parité impaire Exemple

Le caractère ’0’ a pour code ASCII 48, soit sur 1 octet 001100002

Si on ajoute 1 bit de parité impaire lors de la transmission, la séquence binaire transmise est alors

0011000012

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Codes autovérificateurs - Contrôle de parité

Limites du contrôle de parité

Permet de détecter qu’un nombre impair d’erreurs

Ne permet pas de savoir quel(s) est / sont le(s) bit(s) erroné(s) Le contrôle de parité n’a d’intérêt que pour des systèmes de stockage ou de transmission présentant un faible taux d’erreur

Pas de correction→retransmission des données en cas d’erreur Exemple - Contrôle de parité paire

Séquence reçue Séquence

initiale

Séquence reçue Séquence

reçue

Recalcul du bit de parité

Séquence transmise 0 10111 0 0

1 1 1 1

0

0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0

1

1 0

0 0 0

bit de parité reçu bit de parité calculé

0 0 bit de parité reçu bit de parité calculé

0 1 bit de parité reçu bit de parité calculé 0

0 00

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Codes autocorrecteurs - Double parité

Code consistant à faire un double contrôle de parité sur un bloc de données

Le bloc de données est un tableau à deux dimensions de bits sur lequel on effectue :

un contrôle de parité transversal→sur chaque colonne

⇒VerticalRedundancyCheck (VRC)

un contrôle de parité longitudinal→sur chaque ligne

⇒LongitudinalRedundancyCheck (LRC) Chaque caractère est protégé par un code VRC et l’ensemble des bits par un code LRC

Détection possible d’une erreur sur une ligne et une colonne La position d’une erreur peut être trouvée et corrigée Les codes VRC et LRC utilisent la même parité

De manière générale la double parité permet de corriger une erreur et dans certains cas un nombre impair d’erreurs

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Codes autocorrecteurs - Double parité

Exemple - Double parité paire

Bit de parité

7 6 5 4 3 2 1 0 Bit

1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 1 0 Caractères

1 2 3 4

LRC LRC LRC LRC LRC LRC LRC LRC

VRC VRC

Recu 0

1

L’erreur sur le caractère 2 peut être détectée et corrigée

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Basé sur des tests de parité

Aux n bits de données, on ajoutek bits de contrôle

→ au total on an+k =t bits

Les k bits de contrôle doivent permettre de contrôler t+ 1 possibilités d’erreurs

→ 1 erreur sur chaque position ;

→ plus l’absence d’erreurs

On doit donc avoir 2^k ≥t+ 1

On privilégie les codes les plus courts, d’où le fait que k est la plus petite valeur entière vérifiant :

2^k ≥t+ 1⇔2^k−k ≥n+ 1

Chaque code binaire défini par les k bits de contrôle permet ainsi de détecter et corriger une erreur sur une position

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Principe

En notant les positions des bits de la séquence binaire à partir de 1, en commençant à droite, on a :

les bits de contrôle qui occupent des positions correspondant à des puissances de 2→1, 2, 4, 8, 16, etc.

les bits de données qui occupent les positions restantes Chaque bit de contrôle effectue un contrôle de parité sur un certain nombre de bits parmi les n+k =t bits Exemple - Transmission de 4 bits de données

Pour n= 4, k = 3 bits de contrôle sont suffisants, car : 2^k −k ≥n+ 1⇔2^k−k ≥5

est vérifiée pour k ≥3, d’où un code de Hamming sur 7 bits

Position 7 6 5 4 3 2 1

n n n

4 3 2

k

3

n

1

k k

2 1

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Exemple - Transmission de 4 bits de données On parle aussi de code de Hamming (7,4)

Par quel bit de contrôle un bit d’information est-il vérifié ?

1 On calcule pour chaque positionLdans la séquence son code binaire

2 Si un bit est à 1 en positionl dans le code binaire deL, alors le bit de contrôle occupant la position 2^l−1 dans la séquence vérifie le bit en positionL

→ Positions contrôlées

•L= 7 = 1112→contrôlé park3,k2,k1

•L= 6 = 1102→contrôlé park3,k2

•L= 4 = 1002→contrôlé park3

•L= 2 = 0102→contrôlé park2

•L= 1 = 001₂→contrôlé park₁

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Pour vérifier l’information on contrôle la parité

1 Chaque bit de contrôle ki reçu / lu est comparé à la valeur recalculée k⁰i →on fixe Ci tel que :

siki=k⁰i

→Ci = 0 ; sik_i6=k⁰_i

→C_i = 1

2 La séquence binaire des Ci,1≤i ≤k indique si il y a une erreur ou non, et sa position :

siCk. . .C1= 0

→pas d’erreur ; siC_k. . .C₁6= 0

→l’équivalent décimal deC_k. . .C₁donne la position erronée

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Exemple - Réception de 7 bits d’informations Message reçu = 1011100₂

Utilisation d’un contrôle de parité paire

1 Détermination du nombre de bits de contrôle

Message comportantt = 7 bits→k= 3 bits de contrôle car : 2^k −1≥t(= 7)⇔2^k ≥8⇒k = 3

2 Vérification de l’information

Position

7 6 5 4 3 2 1 n n n

₄ ₃ ₂

n

₁ Message

1 0 1 1 1 0 0

k

3

k

₂

k

₁

→ k₁= 0→contrôle des bits 1,3,5,7⇒erroné→C₁= 1

→ k₂= 0→contrôle des bits 2,3,6,7⇒juste→C₂= 0

→ k3= 1→contrôle des bits 4,5,6,7⇒erroné→C3= 1

Si détection et correction d’une seule erreur

Simplification du calcul des bits de contrôle

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Exemple - Réception de 7 bits d’informations Message reçu = 1011100₂

Message comportantt = 7 bits→k= 3 bits de contrôle car : 2^k −1≥t(= 7)⇔2^k ≥8⇒k = 3

2 Vérification de l’information

Erreur au niveau de la position 5 qui devrait valoir 0 et non 1 Message corrigé = 10011002

3 Suppression des bits de contrôle →données initiales = 10012

Si détection et correction d’une seule erreur

Simplification du calcul des bits de contrôle

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Calcul simplifié du code de Hamming - Transmission Message de 11 bits de données →110100110102

Pourn= 11,k = 4 bits de contrôle sont suffisants car : 2^k −k ≥n+ 1⇔2^k −k≥12

est vérifiée pourk≥4, d’où un code de Hamming sur 15 bits

2 Calcul des bits de contrôle

Les bits en positions 15,14,12,9,7 et 5 sont à 1 On converti en binaire ces positions, puis on les additionne modulo 2 :

•on obtient 1 pour un nombre impair de 1 ;

•on obtient 0 pour un nombre pair de 1

Le résultat obtenu donne la valeur des bits de contrôle Remarque : si parité impaire, addition modulo 2 inversée

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Détermination du message à transmettre avec le calcul simplifié

k₃ k₂ k₁ Message 1 1 0 1 0 0 1 ? 1 0 1 ? 0 ? ?

Message 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 k₄k₃k₂k₁

k₄

Position 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n n n₄ ₃ ₂ n₁ n

n n n n n

n ₁₀ ₉ ₈ ₇ ₆ ₅

15 14 12 9 7 5

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1

=

0 1 1 0

11

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Calcul simplifié du code de Hamming - Transmission

Message de 15 bits d’informations →101000101001100₂ Utilisation d’un contrôle de parité impaire

1 Détermination du nombre de bits de contrôle Pourt = 15 bits, on ak= 4 bits de contrôle car :

2^k−1≥t(= 15)⇔2^k ≥16⇒k = 4

2 Vérification des bits de contrôle

Les bits en positions 15,13,9,7,4 et 3 sont à 1 On converti en binaire ces positions, puis on les additionne modulo 2 en inversant :

•on obtient 1 pour un nombre pair de 1 ;

•on obtient 0 pour un nombre impair de 1

Le résultat obtenu correspond à la séquence desCi,1≤i≤k

•égal à 0 →pas d’erreur

•différent de 0 →l’équivalent décimal de la séquence donne la position erronée

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Codes autocorrecteurs - Code de Hamming

Détermination des données reçues avec le calcul simplifié

k4 k

3

Message 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Message 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

0 0 0

Données reçues

k1

k2

Position 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

n n n n

2 3

4 1

n n n n n n

n11 10 9 8 6 5

15 = 1 1 1 1

=

1 1 0 1 13

9 7 4 3

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

C C C C4 1 2 3 7