Unicité dans <span class="mathjax-formula">$L^d$</span> des solutions du système de Navier-Stokes  : cas des domaines lipschitziens

BLAISE PASCAL

Sylvie Monniaux

Unicité dans L

des solutions du système de Navier-Stokes : cas des domaines lipschitziens

Volume 10, n^o1 (2003), p. 107-116.

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Annales Mathematiques Blaise Pascal10, 107-116 (2003)

Unicité dans L

des solutions du système de Navier-Stokes : cas des domaines lipschitziens

Sylvie Monniaux

Résumé

On prouve l’unicité des solutions du système de Navier-Stokes in- compressible dansC([0, T);L^d(Ω)^d), oùΩest un domaine lipschitzien borné deR^d(d≥3).

1 Introduction

On s’intéresse dans cet article au système de Navier-Stokes incompressible dans des domaines fortement lipschitziens bornés deR^d, avec donnée au bord de Dirichlet et donnée initialeu₀à divergence nulle :

∂u

∂t −∆u+∇ ·(u⊗u) +∇π = 0 dans (0, T)×Ω divu = 0 dans (0, T)×Ω u = 0 sur (0, T)×∂Ω

u(0,·) = u₀ dans Ω,

(1.1)

Plus particulièrement, on étudie le problème de l’unicité des solutions u du système (1.1) ayant la régularitéC([0, T);L^d(Ω)^d), si elles existent. Dans le cas de l’espace tout entier (Ω =R^d), la preuve de l’unicité de telles solutions est due à G. Furioli, P.-G. Lemarié-Rieusset et E. Terraneo dans [5]. D’autres preuves mettant en oeuvre des méthodes originales ont suivi ; on citera en particulier Y. Meyer [9], P.-L. Lions et N. Masmoudi [8] et S. Monniaux [10].

Tous ces résultats sont présentés dans le livre de P.-G. Lemarié-Rieusset [7].

Dans les articles [8] et [10], la méthode utilisée s’adapte au cas des domaines réguliers bornés deR^d ; on pourra aussi citer l’article de H. Amann [1]. Le cas des domaines extérieurs à frontière régulière a été étudié par N. Depauw

1Ce travail a été effectué lors d’une visite de l’auteur au Center of Mathematics and its Applications, Australian National University, Canberra - Australie.

[3] ; notons que la preuve de [10] s’adapte aussi dans ce cas. On pourra se reporter à la très complète présentation de cet historique par M. Cannone dans [2].

Le cas des domaines lipschitziens est plus délicat. Le semi-groupe de Stokes permettant de donner une expression des solutions du système (1.1) dans les cas précédents n’est pas analytique dansL^ppour toutp; P. Deuring dans [4] en a donné des contre-exemples. M. Taylor, dans [14], établit la conjecture que le semi-groupe de Stokes est analytique dans L^p pour tout p ∈ [³₂,3], s’appuyant sur le caractère borné du projecteur de Leray dans cet intervalle (voir [6]). Mais à ce jour, aucune preuve de ce résultat n’est disponible. Une version faible de l’analyticité en dimension3peut être trou- vée dans [11]. L’auteur dans [12] a contourné ce problème de non analy- ticité en utilisant un résultat de Z. Shen [13] pour montrer, en dimension 3, l’unicité des solutions de (1.1) dans la classe des fonctions continues en temps, à valeursL³en variable d’espace. Nous proposons ici une adaptation de cette méthode aux domaines lipschtziens bornésΩde dimension quelconqued≥3 afin de montrer l’unicité des solutions du système de Navier-Stokes (1.1) dans C([0, T);L^d(Ω)^d).

Cet article se compose de trois parties. Dans un premier temps, nous rappelons le théorème de Shen ([13], Theorem 5.1.2) qui est la clé de la démonstration proposée ici. Ensuite, nous nous intéressons au problème de Stokes linéaire non autonome : nous donnons les estimations qui seront utiles dans la dernière partie. Enfin, nous établissons le résultat d’unicité annoncé plus haut.

2 Le problème de Stokes avec donnée au bord

Nous allons commencer cette partie en rappelant la propriété de régularité maximale du laplacien dans R^d (d ≥3) qui nous sera utile dans différentes démonstrations. On note(e^t∆)t≥0 le semi-groupe de la chaleur dansR^d; son action est donnée par la convolution par le noyau de la chaleur(p_t)_t>0 défini surR^d parp_t(x) = (4πt)^−d2e^−|x|

2

4t , t >0,x∈R^d.

Proposition 2.1: Soit T >0 (on autorise aussi le casT = +∞). SoitM_T l’opérateur défini sur les fonctions régulières de(0, T)×R^d par

M_Tf(t) = d

dt −∆ −1

(−∆f)(t) = Z t

0

e^(t−s)∆(−∆f)(s)ds, t∈(0, T).

Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens

Alors pour tous p, q ∈(1,∞), l’opérateur M_T est borné de L^p(0, T;L^q(R^d)) dans L^p(0, T;L^q(R^d)) etkM_Tk_L(L^p_(0,T;L^q_(R^d₎₎₎ est indépendante deT. Preuve: Ce résultat est classique. On pourra en trouver une démonstration dans [7], Theorem 7.3, page 64.

Soit maintenant, et dans toute la suite de cet article, Ω un domaine fortement lipschtzien de dimension d ≥ 3, soit τ > 0. On considère le problème au bord suivant :

∂v

∂t −∆v+∇q = 0 dans (0, τ)×Ω divv = 0 dans (0, τ)×Ω v = g sur (0, τ)×∂Ω,

(2.1)

où g est une fonction définie sur (0, τ)×∂Ω. Soit K est la matrice d×d donnée par l’expression

K_i,j(t, x) =δ_i,jp_t(x) + Z ∞

t

∂²p_s

∂x_i∂x_j(x)ds, t >0, x∈R^d,

oùp_t,t >0, est le noyau de la chaleur dansR^ddéfini plus haut. Le théorème de Shen ([13], Theorem 5.1.2) établissant l’existence et l’unicité de solution du système (2.1) pour certaines données au bord g s’énonce de la manière suivante :

Théorème 2.2: On noteL²_N(∂Ω)^d l’espace des fonctionsγ ∈L²(∂Ω)^d)telles queR

∂Ωγ·N dσ= 0, oùN désigne la normale extérieure en un point de ∂Ω.

Il existe un opérateur borné T : L²(0, τ;L²_N(∂Ω)^d) → L²(0, τ;L²(∂Ω)^d) tel que pour toute fonction g∈L²(0, τ;L²_N(∂Ω)^d), il existe une unique solution v ∈ L²(0, τ;L^d−12d (Ω)^d) de (2.1) donnée par la formule de potentiel double couche suivante

v(t, x) = Z t

0

Z

∂Ω

∂K

∂N(y)(t−s, y−x)(Tg)(s, y)dσ(y)ds

− Z

∂Ω

y−x

|y−x|³(Tg)(t, y)·N(y)dσ(y),

(2.2)

pourx∈Ω ett∈(0, τ). De plus, il existe une constanteκ >0indépendante de gtelle que

kvkL²(0,τ;L 2d

d−1(Ω)^d) ≤κkgk_L²_(0,τ;L²_(∂Ω)^d₎. (2.3)

Preuve: L’existence et le caractère borné de l’opérateurT ainsi que l’expres- sion (2.2) ont été montrés par Shen dans [13], Theorem 5.1.2. Il reste à prouver la propriété d’intégrabilité de la solution v donnée par (2.2) et l’inégalité (2.3). Soit une fonctionϕ ∈ D((0, τ)×Ω)^d ; il nous faut estimer la quantité

Z τ

0

Z

Ω

v(t, x)·ϕ(t, x)dxdt

par la norme deg dansL²(0, τ;L²(∂Ω)^d)multipliée par la norme deϕ dans l’espace dual de L²(0, τ;L^d−12d (Ω)^d), c’est-à-dire L²(0, τ;L^d+12d (Ω)^d). D’après (2.2) et l’expression deK en fonction du noyau de la chaleur dansR^d, on a

Z τ

0

Z

Ω

v(t, x)·ϕ(t, x)dxdt

= Z τ

0

Z

Ω

dxdt

d

X

i=1

( ϕ_i(t, x)

Z t

0

Z

∂Ω d

X

j=1

∂K_i,j

∂N(y)(t−s, y−x)(Tg)_j(s, y)dσ(y)ds

− Z

∂Ω

y_i−x_i

|y−x|^d[(Tg)(t, y)·N(y)]dσ(y)

= Z τ

0

Z

Ω

dxdt

d

X

i=1

ϕ_i(t, x)

Z t

0

Z

∂Ω

∂p_t−s

∂N(y)(y−x)(Tg)_i(s, y)dσ(y)ds +

Z t

0

Z

∂Ω d

X

j=1

∂

∂N(y) Z ∞

t−s

∂²p_r

∂x_i∂x_j(y−x)dr

(Tg)_j(s, y)dσ(y)ds

− Z

∂Ω

y_i−x_i

|y−x|^d[(Tg)(t, y)·N(y)]dσ(y)

.

Si on note encoreϕ la fonction de(0, τ)×R³qui vaut ϕ sur(0, τ)×Ω et 0

Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens

ailleurs, en échangeant l’ordre d’intégration, cette dernière égalité devient Z τ

0

Z

Ω

v(t, x)·ϕ(t, x)dxdt

= Z τ

0

Z

∂Ω

dσ(y)ds

d

X

i=1

(Tg)_i(s, y) ∂

∂N(y) Z τ

s

e^(t−s)∆ϕ_i(t,·)dt

(y)

+ ∂

∂N(y) Z τ

s d

X

j=1

∂²

∂x_j∂x_i Z ∞

t−s

e^r∆ϕ_j(t,·)dr

(y)

! dt

#

− Z τ

0

Z

∂Ω

(div(−∆I_d)⁻¹ϕ(t,·))(y)(Tg)(t, y)·N(y)dσ(y)dt

= Z τ

0

Z

∂Ω

(Tg)(s, y)·(N(y)· ∇)[(−∆I_d)⁻¹PM^∗ϕ](s, y)dσ(y)dt

− Z τ

0

Z

∂Ω

(div(−∆I_d)⁻¹ϕ(t,·))(y)[(Tg)(t, y)·N(y)]dσ(y)dt, oùI_dest l’identité surR^d,Pest le projecteur de Leray (P=I_d+∇(−∆)⁻¹div ; c’est la projection sur les fonctions à divergence nulle) etM^∗est l’opérateur dual de M = M+∞I_d (M+∞ est l’opérateur de régularité maximale défini dans la Proposition 2.1). Des propriétés du laplacien dansR^dnous déduisons les estimations suivantes

kdiv(−∆I_d)⁻¹ϕk

L²(0,τ;W^1, 2d

d+1(R^d)^d) ≤C₁kϕk

L²(0,τ;L 2d d+1(Ω)^d)

et

k∇[(−∆I_d)⁻¹PM^∗ϕ]k

L²(0,τ;W^1, 2d

d+1(R^d)^d) ≤C₂kϕk

L²(0,τ;L 2d d+1(Ω)^d). D’après les propriétés de l’opérateur de trace sur ∂Ω et les injections de Sobolev appropriées, on obtient alors

kT r_∂Ω[div(−∆I_d)⁻¹ϕ]k_L²_(0,τ;L²_(∂Ω)) ≤C₁⁰kϕk

L²(0,τ;L 2d d+1(Ω)^d)

et

kT r_∂Ω(N(·)· ∇)[(−∆I_d)⁻¹PM^∗ϕ]k_L2(0,τ;L²(∂Ω)^d) ≤C₂⁰kϕk

L²(0,τ;L 2d d+1(Ω)^d). Ces deux dernières estimations ainsi que l’expression du produit scalaire de vparϕ nous permettent alors de conclure.

3 Estimations des solutions du problème linéaire non autonome

Nous nous intéressons maintenant au problème de Stokes non autonome sui-

vant ∂u

∂t −∆u+∇π = f dans (0, τ)×Ω divu = 0 dans (0, τ)×Ω u = 0 sur (0, τ)×∂Ω u(0,·) = 0 dans Ω.

(3.1)

Nous allons déterminer dans le théorème suivant pour quelles fonctionsf ce système (3.1) admet une solutionuavec de “bonnes" propriétés.

Théorème 3.1: Pour tout r∈[_d+1^2d ,2[, pour tout f ∈L²(0, τ;W^−1,r(Ω)^d), il existe une solution u∈L²(0, τ;L^d−12d (Ω)^d) unique de (3.1) vérifiant

kuk

L²(0,τ;L 2d

d−1(Ω)^d) ≤ω_r(τ)kfk_L2(0,τ;W^−1,r(Ω)^d), (3.2) oùω_r(τ) =O(τ^{d+14 −2rd}).

Preuve: L’idée est ici d’étendre le problème à R^d tout entier, puis de se ramener à un problème au bord du type (2.1). Soit r ∈ [ ^2d

d+1,2[ et f ∈ L²(0, τ;W^−1,r(Ω)^d). On étendfàR^dtout entier de telle façon que l’extension notéef˜vérifie

kfk˜ _L²_(0,τ;W−1,r(R^d)^d) ≤ckfk_L²_(0,τ;W−1,r(Ω)^d), oùcest une constante indépendante def. On note alors

U = P(−∆I_d)⁻¹²(M_τI_d)(−∆I_d)⁻¹²f˜

= P d

dt −1

(−∆I_d)¹²(I_d− M_τI_d)(−∆I_d)⁻¹²f˜

où l’opérateur de régularité maximaleM_τ a été défini dans la Proposition 2.1.

On a donc U ∈L²(0, τ;W^1,r(R^d)^d)∩W^1,2(0, τ;W^−1,r(R^d)^d) et il existe une constante γ_r >0indépendante de f et deτ telle que

kUkL²(0,τ;W^{dr−d−12 ,r}(R^d)^d) ≤γ_rτ^{d+14 −2rd}kfk_L²_(0,τ;W−1,r(Ω)^d).

Les propriétés de l’opérateur de trace ainsi que les injections de Sobolev nous montrent alors que T_∂ΩU ∈L²(0, τ;L²(∂Ω)^d), de norme contrôlée indépen- damment deτpar la norme defdansL²(0, τ;W^−1,r(Ω)^d). On considère alors

Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens

l’uniquevdonné par (2.2) du Théorème 2.2 avecg=T_∂ΩU. Ainsi, en notant R_Ωla restriction àΩdes fonctions définies surR^d, la fonctionu=R_ΩU−vest l’unique solution de (3.1) cherchée. Finalement, (3.2) découle de l’injection de Sobolev suivante

W^{dr−d−12 ,r}(Ω)^d,→L^d−12d (Ω)^d

en dimensiond. Ce qui termine la démonstration du Théorème 3.1.

4 Unicité des solutions continues en temps, à valeurs dans L

Tous les outils sont maintenant en place pour démontrer l’unicité des solu- tions du système de Navier-Stokes (1.1).

Théorème 4.1: Supposons que u₁ et u₂ sont deux solutions de (1.1) dans l’espaceC([0, T);L^d(Ω)^d). Alors u₁=u₂ sur[0, T).

Remarque: En dimensiond= 3, ce théorème a déjà été démontré dans [12].

Preuve: Pour montrer que u₁=u₂, nous appliquons la méthode classique qui consiste à montrer que leur différence u=u₁−u₂ est nulle sur un petit intervalle partant de0. La continuité des solutions implique que l’ensemble destpour lesquelsu(t) = 0est fermé dans[0, T). D’autre part, la preuve qui suit montre que cet ensemble est non vide et ouvert. On en déduit alors que u= 0sur[0, T). Comme le domaineΩest borné etu₁, u₂∈ C([0, T);L^d(Ω)^d), on a aussi u₁, u₂ ∈L²(0, T;L^d−12d (Ω)^d) ; en effet, pour d ≥3, on a _d−1^2d ≤ d.

Le but de la démonstration suivante est de montrer que la norme deu dans L²(0, τ;L^d−12d (Ω)^d)est nulle pour unτ >0.

Dans un premier temps, soit p∈]_d−1^2d ,_d−2^2d [ etu_0,ε ∈L^p(Ω)^d à choisir plus tard. Le système (1.1) vérifié paru₁ etu₂ devient pouru

∂u

∂t −∆u+∇π = −∇ ·(u⊗u₁+u₂⊗u) dans (0, T)×Ω

divu = 0 dans (0, T)×Ω

u = 0 sur (0, T)×∂Ω

u(0,·) = 0 dans Ω.

(4.1)

On pose f =−∇ ·(u⊗u₁+u₂⊗u) et on décompose cette distribution en trois parties : f =f₁+f₂+f₃ avecf₁=−∇ ·(u⊗(u₁−u₀) + (u₂−u₀)⊗u),

f₂=−∇ ·(u⊗(u₀−u_0,ε) + (u₀−u_0,ε)⊗u)etf₃=−∇ ·(u⊗u_0,ε+u_0,ε⊗u).

On a les propriétés suivantes pour tout τ ∈(0, T]:

f₁, f₂∈L²(0, τ;W^−1,d+12d (Ω)^d) et f₃∈L²(0, τ;W^−1,r(Ω)^d)

où r est défini par la relation ¹_r = ¹_d + ¹_p : r ∈]_d+1^2d ,2[. On a de plus les estimations

kf₁k

L²(0,τ;W^−1, 2d

d+1(Ω)^d) ≤ kuk

L²(0,τ;L 2d d−1(Ω)^d)·

ku₁−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)+ku₂−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)

,

kf₂k

L²(0,τ;W^−1,d+12d (Ω)^d)≤2kuk

L²(0,τ;L^d−12d (Ω)^d)ku₀−u_0,εk_Ld(Ω)^d

et

kf₃k_L2(0,τ;W^−1,r(Ω)^d) ≤2kuk

L²(0,τ;L 2d

d−1(Ω)^d)ku_0,εk_Lp(Ω)^d.

D’après le Théorème 3.1 de la partie précédente (appliqué à chacune des f_i, i = 1,2,3) et l’estimation (3.2), il existe alors une unique solution u ∈ L²(0, T;L^d−12d (Ω)^d)vérifiant pour toutτ ∈(0, T]

kuk

L²(0,τ;L 2d

d−1(Ω)^d) ≤ ω2d d+1

(τ)

kf₁k

L²(0,τ;W^−1, 2d

d+1)+kf₂k

L²(0,τ;W^−1, 2d d+1)

+ ω_r(τ)kf₃k_L²_(0,τ;W−1,r).

Ainsi, on a une estimation de ude la forme : kuk

L²(0,τ;L 2d d−1(Ω)^d)

≤ ω^2d

d+1(τ)

ku₁−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)+ku₂−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)

+2ω 2d

d+1(τ)ku₀−u_0,εk_Ld(Ω)^d+ 2ω_r(τ)ku_0,εk_Lp(Ω)^d

· kuk

L²(0,τ;L 2d d−1(Ω)^d).

On choisit maintenantu_0,ε ∈L^p(Ω)^d de telle façon que 2ω ^2d

d+1(τ)ku₀−u_0,εk_L^d_(Ω)^d < 1 4.

D’autre part, commeu₁ et u₂ sont continues en temps et valentu₀ en0, on a

τ→0limku₁−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)= lim

τ→0ku₂−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)= 0.

Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens

De plus, commer ∈]_d+1^2d ,2[, on a

limτ→0ω_r(τ) = 0.

Il existe doncτ >0tel que ω^2d

d+1(τ)

ku₁−u₀k_L∞(0,τ;L^d(Ω)^d)+ku₂−u₀k_L^d_(Ω)^d

+ 2ω_r(τ)ku_0,εk_L^p_(Ω)^d < 1 4. Ainsi pour leτ choisi, on a

kuk

L²(0,τ;L 2d

d−1(Ω)^d) ≤ 1 2kuk

L²(0,τ;L 2d d−1(Ω)^d).

Ce qui implique queu= 0sur[0, τ), et ceci termine la démonstration.

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Sylvie Monniaux

Université Aix-Marseille 3 LATP - UMR 6632 - Case cour A Av. Escadrille Normandie-Niemen 13397 Marseille Cédex

France

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