Cohomologies bivariantes de type cyclique

BLAISE PASCAL

Nikolay V. Solodov

Cohomologies bivariantes de type cyclique

Volume 12, n^o1 (2005), p. 41-78.

<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2005__12_1_41_0>

©Annales mathématiques Blaise Pascal, 2005, tous droits réservés.

L’accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pascal » (http://ambp.cedram.org/), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copy- right.

Publication éditée par le laboratoire de mathématiques de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS

Clermont-Ferrand — France

cedram

Article mis en ligne dans le cadre du

Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques

Cohomologies bivariantes de type cyclique

Nikolay V. Solodov

Résumé

In the article we propose a construction of bivariant cohomology of a couple of chain complexes with periodicities. In this way we obtain definitions of bivariant dihedral and bivariant reflective cohomology of an algebraA. Bivariant cyclic and quaternionic cohomologies appear as particular cases of this construction. The case of2invertible in the ground ring is studied particulary.

Dans cet article nous proposons une définition de la cohomologie bivariante pour une paire de complexes de chaînes avec périodicités.

De cette manière nous obtenons la notion de cohomologie bivariante diédrale et celle de cohomologie bivariante réflexive d’une algèbre.

Les cohomologies bivariantes cyclique et quaternionique apparaissent comme des cas particuliers de cette construction. Le cas où 2 est inversible dans l’anneau de base est détaillé.

Introduction

Soient Aet A⁰ deux algèbres unitaires, B(A) etB(A⁰) leurs bicomplexes cycliques standards (voir [15]). Dans [8] J. D. Jones et Chr. Kassel définis- sent la cohomologie cyclique bivariante HC^∗(A, A⁰) comme l’homologie du complexe des morphismes gradués Hom_S(B(A),B(A⁰)) qui commutent avec l’opérateur de périodicitéS (voir [15] ou §3.1).

Rappelons que l’on dit que les morphismes des complexes f : (M∗, d)→(M_∗⁰, d⁰), ∇: (M_∗⁰, d⁰)→(M∗, d),

et l’homotopiehdeM∗ forment une rétraction par déformation du complexe (M_∗, d)vers le complexe(M_∗⁰, d⁰), si

f◦ ∇=id_M⁰, ∇ ◦f =id_M+dh+hd

(voir ci-dessous ou, par exemple, [10]). Nous l’écrivons symboliquement (M_∗⁰, d⁰)←−−−−−−→^f

∇ (M_∗, d;h) (0.1)

Supposons que(M_∗, d) et(M_∗⁰, d⁰) soient des S-complexes, c’est-à-dire qu’ils possèdent des opérateurs de périodicité de typeS (voir [8] pour les détails).

On dit que la rétraction (0.1) estS-compatible sif,∇ ethcommutent avec les opérateurs de périodicité. Dans [9] il est montré que dans ce cas, pour toutS-complexeL, on a des isomorphismes

H∗(Hom_S(M∗, L∗))∼=H∗(Hom_S(M_∗⁰, L∗)), H_∗(Hom_S(L_∗, M_∗))∼=H_∗(Hom_S(L_∗, M_∗⁰)).

Dans le même article, Chr. Kassel construit des rétractions par déformation S-compatibles entre les complexes cycliques B, B et CC (les notations sont ici celles de [15]). Ceci montre que la cohomologie bivariante cyclique peut être définie indifféremment par

HCⁿ(A, A⁰) =H−n(Hom_S(B(A),B(A⁰)))∼= (0.2) H_−n(Hom_S(B(A),B(A⁰)))∼=H_−n(Hom_S(CC(A),CC(A⁰))).

Signalons que dans [6] et [7], P. Gurrola développe une théorie analogue pour l’homologie quaternionique.

Notre article s’inscrit en filiation des articles [8], [10] et [7]. Nous pro- posons une définition générale de la cohomologie bivariante d’un complexe avec périodicités. Les cohomologies bivariante cyclique de [8] ou quaterni- onique de [6] apparaissent comme des cas particuliers de notre construction.

Nous détaillons le cas diédral et réflexif.

Dans le cas où 2 est inversible dans l’anneau de base, ces constructions se simplifient. En particulier, il existe une rétraction par déformation du tri- compexe diédral (voir §2.3) vers le bicomplexe cyclique, mais cette rétraction n’est pasS-compatible. Nous ne pouvons donc pas en déduire de définitions analogues à (0.2) pour la cohomologie bivariante diédrale. En effet,

HD^∗(A, B)∼=HC^∗(A, B)⊕HC^∗(A, B)

(voir le théorème 3.24 et le corollaire 3.25) ce qui est, grossièrement dit, deux fois plus grand que prévu.

L’étude des morphismes de complexes de type cyclique (diédraux, quater- nioniques et réflexifs) nous permet de construire des suites exactes reliant ces homologies bivariantes (voir le théorème 3.26 et le corollaire 3.28).

Décrivons brièvement le contenu du texte.

Dans une première partie, nous fixons les notations, formulons le lemme de perturbation et étudions quelques cas particuliers.

Dans une deuxième partie, nous écrivons d’une manière uniforme les ré- tractions entre les complexes correspondants pour les homologies de type cyclique: cyclique, quaterniomique, diédrale et réflexive.

Dans une troisième partie nous introduisons la notion de complexes avec périodicités et la notion de cohomologie bivariante d’une paire de tels com- plexes. Comme cas particuliers nous obtenons les définitions des cohomolo- gies bivariantes diédrale et réflexive. Nous considérons le cas où 2 est in- versible dans l’anneau de base et nous construisons les suites exactes longues pour les cohomologies bivariantes de type cyclique.

Ce texte constitue une partie d’un travail effectué à l’Université Lomono- sov de Moscou sous la direction du Professeur Yurii Petrovich Soloviev. En septembre 2003 Yu. P. Soloviev est mort subitement et je dédie cette article à sa mémoire.

L’article a été rédigé durant mon séjour à l’Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand). Ce séjour a été financé par le CNRS dans le cadre d’un jumelage franco-russe. Je tiens à remercier le CNRS ainsi que les membres du Département de Mathématiques de l’Université Blaise Pascal particulière- ment le Professeur Thierry Lambre pour ce séjour fructueux.

Plan du texte.

1. Lemme de perturbation.

2. Homologies de type cyclique.

3. Théorie bivariante.

1 Lemme de perturbation

Commençons par préciser le langage des “rétractions” que nous utilisons dans la suite.

Définition 1.1: Soit M = (M_∗, d^M) et L = (L_∗, d^L) deux complexes de chaînes. On dit que les morphismes des complexesf, ∇et l’homotopie h

f : (M_∗, d^M)→(L_∗, d^L), ∇: (L_∗, d^L)→(M_∗, d^M), h: M_∗→M_∗+1

définissent une rétraction par déformation si les conditions suivantes sont satisfaites:

f◦ ∇=id_L, ∇ ◦f =id_M+dh+hd.

On l’écrit symboliquement sous la forme suivante (L∗, d^L)←−−−−−−→_∇^f (M∗, d^M;h).

Dans cette situation on dit que le complexe(L_∗, d^L) est une contraction du complexe(M∗, d^M).

Nous disons que le complexe (M_∗, d^M) est contractible, s’il existe une homotopieh: M_∗→M_∗+1, telle que hd+dh=id.

Une rétraction par déformation est dite spéciale si elle satisfait les condi- tions supplémentaires suivantes

h∇= 0, f h= 0, hh= 0. (1.1)

Toute rétraction par déformation peut être modifiée en une rétraction par déformation spéciale. En effet, il suffit de remplacer hpar h(dh+hd)pour satisfaire la première condition, par(dh+hd)hpour satisfaire la deuxième et parhdhpour la troisième. Rappelons sans démonstration l’énoncé dulemme de perturbation([5], [10]).

Lemme 1.2: Soit

(L_∗, d^L)←−−−−−−→^f

∇ (M_∗, d^M;h)

une rétraction par déformation spéciale et soitδ un endomorphisme de degré

−1du module gradué M∗ tel que 1. (d^M+δ)²= 0;

2. pour tout x ∈ M il existe un entier m ∈ N tel que (δh)^m(x) = 0 (condition de nilpotence locale).

On pose

σ=X

i≥0

(−δh)ⁱ

dˆ^L=d^L+f σδ∇, ˆh=hσ, fˆ=f σ, ∇ˆ =∇ −hσδ∇.

Alors le diagramme

(L,dˆ^L)←−−−−−−→^f_ˆ^ˆ

∇ (M, d^M +δ; ˆh)

est une rétraction par déformation spéciale.

Remarque 1.3: La condition 2 montre que l’expression σ a toujours un sens.

Soit(X∗, d)un complexe de chaînes, tel que le module graduéX∗admette une décomposition en somme directeX_∗=X_∗⁰⊕X_∗⁰⁰. Alors la différentielled peut être représentée par une matrice

d= α β

γ δ

.

Citons, toujours sans démonstration, deux énoncés voisins de l’énoncé du lemme de perturbation. Le lemme ci-dessous est analogue au lemme 2.1.6 de [15].

Lemme 1.4: Avec les notations qui précèdent, on suppose que (X_∗⁰⁰, δ) est un complexe contractible, c’est-à-dire δ satisfait queδ²= 0et que

h: X_∗⁰⁰→X_∗+1⁰⁰ satisfaithδ+δh=id.

Alors les morphismes de complexes ∇ etf définis respectivement par les matrices

1

−h⁰γ

et (1, −βh⁰)

et l’homotopieh⁰=hδh forment une rétraction par déformation spéciale (X_∗⁰, α−βh⁰γ)←−−−−−−→_∇^f (X∗, d;h⁰).

Supposons que le moduleX_∗soit muni d’une filtration croissante, bornée inférieurementF∗X, ce qui signifie que

0 =F₀X ⊂F₁X ⊂. . . et [

n

F_nX =X.

Supposons de plus, que la différentielle du complexe (X∗, d) = (X_∗⁰ ⊕X_∗⁰⁰, d) soit représentée sous la forme matricielle suivante

d=

d₁+α 0 γ d₂+δ

=

d₁ 0 0 d₂

+

α 0 γ δ

.

On suppose que le premier facteur préserve la filtration, c’est-à-dire d₁ 0

0 d₂

: F_nX →F_nX

et que le second diminue la filtration, c’est-à-dire α 0

γ δ

: F_nX→F_n−1X. (1.2)

Le lemme ci-dessous est analogue au lemme 1.3 de [13].

Lemme 1.5: Avec les notations qui précèdent, on suppose qued₁ etd₂ sont telles qued²₁=d²₂= 0, c’est-à-dire que(X_∗⁰, d₁)et(X_∗⁰⁰, d₂)sont des complexes de chaînes. Supposons que(X_∗⁰⁰, d₂)est contractible d’homotopie contractante h. Alors on a la rétraction par déformation spéciale

(X_∗⁰, d₁+α)←−−−−−−→^f

∇ (X∗, d; ˆh), où, en ayant posé

σ=X

i≥0

(−δh)ⁱ,

les morphismes f, ∇ et l’homotopieˆh sont donnés par les matrices

(1, 0),

1

−hσγ

,

0 0 0 −hσ

(1.3) respectivement.

Remarque 1.6: On peut remplacer la condition (1.2) par la condition plus faible suivante: δ diminue la filtration, c’est-à-dire

0 0 0 δ

: F_nX →F_n−1X.

2 Homologies de type cyclique

2.1 Homologie de Hochschild

SoitAune algèbre unitaire sur l’anneau commutatifk. Dans la suite on note parA^⊗nla n-ième puissance tensorielle de Aet par

(a₀, a₁, ..., a_n) =a₀⊗a₁⊗ · · · ⊗a_n∈A^⊗n+1 un monôme deA^⊗n+1.

L’homologie de Hochschild HH_∗(A) de l’algèbre A est définie comme l’homologie du complexe(C_∗(A), b)avec C_n(A) =A^⊗n et

b(a₀, a₁,· · ·, a_n) =

n−1

X

i=0

(−1)ⁱ(a₀,· · · , a_i−1, a_i·a_i+1,· · ·, a_n) (2.1) +(−1)ⁿ(a_n·a₀, a₁,· · ·, a_n−1).

Un monôme(a₀, a₁, ..., a_n)est dit dégénéré s’il existei >0tel quea_i= 1.

Les monômes dégénerés forment un sous-complexe contractible D_∗(A) de C∗(A), c’est-à-dire qu’il existe un opérateur d’homotopie

h: C∗(A)→ C∗+1(A),

tel quehb+bhest égal à l’identité sur les monômes dégénérés, ethb+bhest nul sur les monômes non-dégénérés (voir [2]).

L’homologie de Hochschild est donc également l’homologie du complexe normalisé(C∗(A), b)avec C_n(A) =C_n(A)/D_n(A)∼=A⊗(A/k)^⊗n.

Soit (Bar_∗(A), b⁰) la bar-résolution deA, où Bar_n(A) =A^⊗(n+2) et b⁰(a₁, a₂,· · ·, a_n) =

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹(a₁,· · ·, ai−1, a_i·a_i+1,· · ·, a_n),

alors

(C_∗(A), b) = (A⊗_A⊗A^opBar_∗(A), id⊗b⁰) et doncHH_∗(A) =Tor^A⊗A_n ^op(A, A).

De même,

(C_∗(A), b) = (A⊗_A⊗A^opBar_∗(A), id⊗b⁰), où Bar_n(A) =A⊗A^⊗n⊗A.

2.2 Homologie cyclique

Dans la suite, homologie de bi(tri)complexe, signifie homologie du complexe total correspondant.

Définition 2.1: L’homologie cycliqueHC∗(A)de l’algèbreAest l’homologie du bicomplexeCC(A)ci-dessous:

CC(A) :

... ... ... ...

b

 y

−b⁰

 y

b

 y

−b⁰

 y

A^⊗3←−−−^1−t A^⊗3 ←−−−^N A^⊗3←−−−^1−t A^⊗3 ←−−−^N · · ·

b

 y

−b⁰

 y

b

 y

−b⁰

 y

A^⊗2←−−−^1−t A^⊗2 ←−−−^N A^⊗2←−−−^1−t A^⊗2 ←−−−^N · · ·

b

 y

−b⁰

 y

b

 y

−b⁰

 y

A ←−−−^1−t A ←−−−^N A ←−−−^1−t A ←−−− · · ·^N . Dans ce bicomplexe les applicationstet N sont respectivement définies par

t(a₀, a₁,· · ·, a_n) = (−1)ⁿ(a_n, a₀, a₁,· · ·, an−1) et N = 1 +t+t²+...+tⁿ.

Les colonnes paires de CC(A) sont formées à partir des bar-résolutions augmentées (augmentation A⊗A → A est multiplication de A), qui sont contractibles. L’opérateur

s(a₀, a₁,· · · , a_n) = (1, a₀, a₁,· · ·, a_n)

définit leur homotopie contractante. Afin d’éliminer les parties contractibles évidentes du complexe CC(A)utilisons le lemme 1.4 pour le complexe X∗= CC(A) pour lequel les complexes X_∗⁰ et X_∗⁰⁰ sont respectivement constitués des colonnes impaires et paires de CC(A). On obtient la déformation par rétraction spéciale

( ˆBC(A), b,B)ˆ ←−−−−−−→^J

I (CC(A);S),

oùBC(A)ˆ est formé à partir des colonnes paires deCC(A)et

Bˆ=−(1−t)sb⁰sN =−sN+tsN−(1−t)s²b⁰N. (2.2)

Les opérateursI, J et S sont définis à partir de formules du lemme 1.4.

Remarquons que les éléments dégénérés forment dans BC(A)ˆ un sous- complexeDC(A). Vérifions pour cela que Bˆ envoie éléments dégénérés sur éléments dégénérés. Soit a = (a₀, a₁,· · ·, a_n) un élément dégénéré, alors chaque monôme desN(a)a au moins deux composantes unitaires. Par con- séquent il en est de même poursb⁰sN(a). Chaque monôme de(1−t)sb⁰sN(a) contient donc au moins un coefficienta_i égal à1, oùi≥2, ce qui montre que chaque monôme de(1−t)sb⁰sN(a) est dégénéré.

Les colonnes du complexeDC(A)sont contractibles (voir §2.1). Par con- séquent il en est de même pourDC(A).

En appliquant le lemme 1.5 avecX_∗= ˆBC(A),X_∗⁰⁰ =DC(A)etd₁=d₂= b, on voit que le complexe normalisé (BC(A), b, B) est une contraction du complexeBC(A).ˆ

BC(A) :

... ... ... ...

b

 y

b

 y

b

 y

b

 y A⊗A^⊗3←−−^B A⊗A^⊗2←−−^B A⊗A ←−−^B A

b

 y

b

 y

b

 y A⊗A^⊗2←−−^B A⊗A ←−−^B A

b

 y

b

 y A⊗A ←−−^B A

b

 y A

Ce complexeBC(A)est constitué d’éléments non-dégénérés. La différentielle Best la restriction de Bˆ aux éléments non-dégénérés. Les images des opéra- teursts ets²sont toujours dégénérées, doncB =−sN (voir (2.2)) s’écrit B(a₀⊗a₁⊗ · · · ⊗a_n) =−

n

X

i=0

(−1)ⁱ1⊗a_i⊗a_i+1· · · ⊗a_n⊗a₀⊗a₁⊗ · · · ⊗ai−1.

Nous avons démontré

Théorème 2.2: Le complexeBC(A)est une contraction du complexeCC(A).

2.3 L’homologie diédrale, quaternionique et réflexive

Notons que la n-ième ligne de CC(A) apparaît comme une résolution du groupe cyclique Z/nZ à coefficients dans leZ/nZ-moduleA^⊗n (l’action est donnée par des permutations cycliques des facteurs). Cette construction ad- met une généralisation: la suite des groupes(Z/nZ)_n∈N peut être remplacée par d’autres suites de groupes qui agissent naturellement sur(A^⊗n)n∈N (voir [11] ou [3]). Dans la suite nous allons considérer les suites de groupes cy- cliques(Z/nZ)n∈N, diédraux(D_n)n∈N, où

D_n=< p, q|pⁿ=q²= 1, qpq⁻¹=p⁻¹>, quaternioniques(Q_n)n∈N, où

Q_n=< p, q|pⁿ=q², qpq⁻¹=p⁻¹>

et la suite “réflexive”(Z/2Z)_n∈N.

Pour bien définir l’action deZ/2ZsurA^⊗n, présente dans les trois derniers cas, nous exigeons que l’algèbre A soit munie d’un involution, c’est-à-dire d’un antihomomorphisme : A→ Asatisfaisant a =a et a·b= b·a pour toutadeA. Remarquons que toute algèbre commutative admet l’involution trivialea=a. L’action du groupeZ/2Zsur A^⊗n+1 est donnée par

y_n(a₀, a₁, . . . , a_n) = (−1)^12n(n+1)(a₀, a_n, a_n−1, . . . , a₁),

où on note y_n le générateur dun-ième groupeZ/2Z de la suite(Z/2Z)n∈N, (D_n)_n∈N ou(Q_n)_n∈N.

Introduisons à présent les définitions précises des homologies diédrale et quaternionique.

Définition 2.3:[12] L’homologie diédrale positive de l’algèbreAest l’homologie du tricomplexeCD⁺(A):

... ... ... ...

1−y

 y

−1−yt

 y

1+y

 y

−1+yt

 y

(A^∗, b) ←−−^1−t (A^∗,−b⁰) ←−−^N (A^∗, b) ←−−^1−t (A^∗,−b⁰) ←−−^N · · ·

1+y

 y

−1+yt

 y

1−y

 y

−1−yt

 y

(A^∗,−b) ←−−^1−t (A^∗, b⁰) ←−−^N (A^∗,−b) ←−−^1−t (A^∗, b⁰) ←−−^N · · ·

1−y

 y

−1−yt

 y

1+y

 y

−1+yt

 y

(A^∗, b) ←−−^1−t (A^∗,−b⁰) ←−−^N (A^∗, b) ←−−^1−t (A^∗,−b⁰) ←−− · · ·^N ,

où (A^∗, b) et (A^∗, b⁰) désignent respectivement le complexe de Hochschild C∗(A)et la bar-résolution augmentée. On noteHD⁺_∗(A) =H_∗(T otCD⁺).

Les plans horizontaux de CD⁺(A)sont tous (au signe près) le bicomplexe cycliqueCC(A). Les morphismes “verticaux”yetytsont les “réflexions” des éléments deA^⊗n, ce qui correspond à la présentation deD_n comme produit semi-directD_n=Z/nZ×^|Z/2Z.

Le plan deCD⁺(A)formé à partir deA^⊗nconstitue une résolution de D_n à coefficients dansA^⊗n. Remarquons que les groupes diédraux n’ont pas en général de résolution périodique et il convient de représenter leurs résolutions en forme de bicomplexes.

Si on remplace partout dans CD⁺(A) l’opérateur y par −y, on obtient un tricomplexe notéCD⁻(A). L’homologie deCD⁻(A) s’appelle l’homologie diédrale négative deA. On réunitCD⁺(A)et CD⁻(A)dans un tricomplexe

CD(A) =CD⁺(A)⊕ CD⁻(A) appelé le tricomplexe diédral.

Introduisons le bicomplexe suivant, notéCQ(A)

... ... ... ... ...

b

 y

−b⁰⊕−b

 y

b⊕b⁰

 y

−b⁰

 y

b

 y

A^⊗2←−−^θ A^⊗2⊕A^⊗2 ←−−^σ A^⊗2⊕A^⊗2 ←−−^φ A^⊗2 ←−−^NQ A^⊗2←−−^θ · · ·

b

 y

−b⁰⊕−b

 y

b⊕b⁰

 y

−b⁰

 y

b

 y

A ←−−^θ A⊕A ←−−^σ A⊕A ←−−^φ A ←−−^NQ A ←−− · · ·^θ . Les colonnes deCQ(A)se répètent de4en4. Les premières et les quatrièmes colonnes sont formées respectivement à partir du complexe de Hochschild C∗(A)et à partir de la bar-résolution augmentée Bar⁺_∗(A). Les deuxièmes et les troisièmes colonnes sont (au signe de la différentielle près) les sommes di- rectesC∗(A)⊕Bar⁺_∗(A). Les différentielles horizontales deCQ(A)se représen- tent matriciellement par

θ = (1−t,1−y), σ=

N 1 +yt

−(1 +y) t−1

, φ=

1−t yt−1

. Enfin poura∈A^⊗n

N_Q(a) =

3

X

i=0 n

X

j=0

yⁱt^j(a) = X

g∈Qn

g(a).

Les lignes deCQ(A)sont formées à partir des résolutions de groupes quater- nioniquesQ_n (voir [1], XXII.7) à coefficients dans leQ_n-module A^⊗n.

Définition 2.4:[14] L’homologie quaternionique de l’algèbreAest l’homologie du bicomplexe quaternioniqueCQ(A). On noteHQ_∗(A) =H_∗(CQ(A)).

Définition 2.5:[12] L’homologie réflexive positive de l’algèbreAest l’homologie du bicomplexe

CR⁺(A) :

... ... ... ...

b

 y

b

 y

b

 y

b

 y

A^{⊗2 1}←−−−^−y A^{⊗2 1+y}←−−− A^{⊗2 1}←−−−^−y A^{⊗2 1+y}←−−− · · ·

b

 y

b

 y

b

 y

b

 y

A ←−−−^1−y A ←−−−^1+y A ←−−−^1−y A ←−−− · · ·^1+y . On la noteHR⁺_∗(A).

L’homologie du complexe CR⁻(A) obtenu en inversant le signe de y s’appelle l’homologie réflective négative. Souvent, on réunit CR⁺(A) et CR⁻(A)dans un bicomplexe

CR(A) =CR⁺(A)⊕ CR⁻(A), appelé le complexe réflexif.

2.4 Le complexe diédral BD

Les complexesCD(A)etCQ(A), définissant les homologies diédrale et quater- nionique contiennent des colonnes contractibles Bar⁺_∗(A). Nous allons les éliminer à l’aide d’une procédure analogue à celle du paragraphe 2.2. Nous commençons par le complexe diédral.

Dans le §2.2 nous avons détaillé la rétraction par déformation spéciale ( ˆBC(A), b,B)ˆ ←−−−−−−→^J

I CC(A);S. (2.3) Notonss˜=sb⁰s. Les opérateurs

I_n: ˆBC_n→ CC_n J_n: CC_n→BCˆ _n et S_n: CC_n→ CC_n+1

sont définis par les matrices suivantes. Désignons par[m]la partie entiere de m.

J_n est la matrice à _n+1

2

+ 1lignes etn+ 1colonnes ci-dessous

















1 (t−1)˜s 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 1 (t−1)˜s 0 · · · 0 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0

· · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 0 0 · · · 0 u v

















avecu= 1,v= (t−1)˜s sin est impair etu= 0, v= 1sinon.

I_n est la matrice àn+ 1lignes et _n+1

2

+ 1colonnes





















1 0 0 · · · 0 0 0 −˜sN 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0 0 0 −˜sN · · · 0 0

· · · · 0 0 0 · · · u v 0 0 0 · · · w x





















avec u = 0, w = 0, v = −˜sN, x= 1 si n est pair etu = 1, v = 0, w = 0, x=−˜sN sinon.

S_n est la matrice à n+ 2lignes etn+ 1colonnes

S_n=





















 0 0 ˜s

0 0 0 ˜s

0 . ..

. .. u 0























S₀= 0

0

,

avec u= 0si n est paire et u= ˜s sinon. Détaillons les raisonnements pour le complexeCD⁺(A).

Le tricomplexeCD⁺(A)est constitué à partir de bicomplexes plansCC(A).

NotonsCD⁺(A)_[i] le plan de cote i du tricomplexe CD⁺(A). Le bicomplexe CD⁺(A)_[i]est égal au bicomplexe CC(A). Les différentielles deCD⁺(A)entre

les plansCD⁺(A)_[i] etCD⁺(A)_[i−1] sont construites à partir des applications 1±yet 1±yt. Notons d⁺ la différentielle totale du tricomplexeCD⁺(A).

Introduisons un tricomplexe CD^◦(A) dont le planCD^◦(A)_[i] de cotei est égal au bicomplexeCC(A)et dont les différentielles entre les plans de cote i eti−1sont toutes nulles. Introduisons un tricomplexeBD^◦(A)dont le plan BD^◦(A)_[i] de cote i est égal au bicomplexe BC(A)ˆ et dont les différentielles entre les plansBC sont également nulles. Par juxtaposition sur chaque plan de cote i de la rétraction (2.3), on obtient une rétraction par déformation spéciale

BD^◦(A) ^J

←−−−◦

−−−→I^◦ CD^◦(A);S^◦. Les opérateurs

I_n^◦:T ot_nBD^◦(A)→T ot_nCD^◦(A), J_n^◦:T ot_nCD^◦(A)→T ot_nBD^◦(A) et S_n^◦ : T ot_nCD^◦(A) → T ot_n+1CD^◦(A) sont représentés par les matrices composées des blocs









 I_n 0

I_n−1 0 . .. ...

I₀ 0









 ,













 J_n

0 J_n−1 0 . ..

. .. J₀ 0













 ,













 S_n

0 S_n−1 0 . ..

. .. S₀ 0















respectivement. Les matrices ne sont pas carrées par blocs. Tous les blocs hors de la diagonale principale sont nuls.

La différentielle de CD⁺(A) entre les plans de cote i et i −1 peuvent être vues comme une perturbation∆de la différentielle totaled^◦deCD^◦(A), c’est-à-dire qu’on a

T otCD⁺(A), d⁺

= T otCD^◦(A), d^◦+ ∆ . La perturbation ∆_n: CD^◦_n+1(A)→ CD^◦_n(A)correspond à la matrice

∆_n=









 0 δ_n

0 δn−1

. .. ...

0 δ₀









 ,

où δ_2n et δ2n−1 sont des matrices diagonales carrées d’ordre 2n + 1 et 2n respectivement, dont les éléments se répètent avec la période 4,

δ_2n=diag{1−y, yt−1, 1 +y, −(yt+ 1), 1−y, . . .}, δ2n−1=diag{1 +y,−(yt+ 1), 1−y, yt−1, 1 +y, . . .}.

La rétraction (2.3) est spéciale, il en est de même pour la rétraction ainsi obtenue.

La matriceS_n^◦∆_n, carrée et triangulaire supérieure stricte, est nilpotente.

La condition de nilpotence locale est donc satisfaite et nous pouvons appli- quer le lemme de perturbation (lemme 1.2). Nous obtenons la rétraction par déformation spéciale

(BD^◦(A), b+ ˆB,∆)ˆ ←−−−−−−→^J_ˆ^ˆ

I (CD(A)⁺, d⁺; ˆS) La perturbation

∆ˆ_n: BD^◦_n → BD^◦_n−1

de la différentielle deBD^◦(A)est donnée par la matrice triangulaire par blocs















0_n+1 J_nδ_nI_n J_nδ_nS_n−1δ_n−1I_n−1 · · ·

0_n Jn−1δn−1In−1 Jn−1δn−1Sn−2δn−2In−2 · · · 0_n−1 J_n−2δ_n−2I_n−2 · · ·

0_n−2 . ..

0₁ J₀δ₀I₀













 ,

(2.4) où0_n+1 désigne une matrice nulle de type

n+ 2

2

, n+ 1

2

.

La diagonale de la matrice∆ˆ_nqui commence par0_n+1est composée des blocs nuls. Nous appellons la diagonale suivante qui commence par le blocJ_nδ_nI_n

“la première sur-diagonale”.

Notons par DD^◦(A) le module des éléments dégénérés (voir §2.2) de BD^◦(A). Dans le §2.2 nous avons vu queDD^◦(A)est stable parbetB. Pourˆ prouver queDD^◦(A)est un sous-complexe deBD^◦(A)il nous reste à montrer que∆ˆ envoie éléments dégénérés sur éléments dégénérés. Chaque composante de chaque bloc de la matrice (2.4) est une composition d’opérateurs de permu- tations N, t, y et de dégénérescences. Donc˜ ∆ˆ envoie élément dégénéré sur

une composition des monômes contenants au minimum une unité. Chaque bloc de (2.4) est une composition qui commence parJ_nδ_n. Il en résulte que les composantes de chaque bloc non nul de la matrice (2.4) sont des sommes de compositions de la forme

j◦q◦r, (2.5)

où j désigne une composante de la matrice J_m, q désigne une composante de la matriceδ_m et r désigne le reste. Il est facile de voir quer(x), où x est un élément dégénéré contient déjà une unité. Les seuls cas possibles pour les compositions élémentaires (2.5) sont les suivants.

• Soitjune composante d’une colonne paire de la matriceJ_m(la numéro- tation des colonnes commence par 1), alors la composition commence par (1−t)˜s et par conséquent le résultat contient deux unités au mi- nimum, donc il est dégénéré.

• Soitjune composante d’une colonne impaire de la matriceJ_m; consid- érons un bloc de la première sur-diagonale. Alors ce bloc s’écrit comme J_nδ_nI_n. Par conséquent, toute la composition (2.5) est égale à(1±y), qui envoie des éléments dégénérés dans des éléments dégénérés.

• Soit j une composante d’une colonne impaire de la matrice J_m; con- sidérons un bloc d’une sur-diagonale plus haute que la première sur- diagonale. Alors l’opérateurS_n(qui a des composantes impaires nulles) suitδ dans la composition (2.5). Donc le résultat est zéro.

En appliquant le lemme 1.4 nous obtenons la rétraction par déformation (BD⁺(A), b+ ˆB,∆)ˆ ←−−−−−−→(BD^◦(A), b+ ˆB,∆; ˆˆ h),

oùBD⁺(A) désigne le quotient deBD^◦(A)parDD^◦(A).

Revenons à la structure explicite de ∆. Après la normalisation, toutesˆ les composantes de la matrice (2.4) sauf celles de la première sur-diagonale deviennent nulles. En effet, on a

J_nδ_nSn−1=







0 −(1−t)˜s(1±y)˜s 0

0 −(1−t)˜s(1∓y)˜s . ..





= 0.

Dans ce calcul et avec les notation du lemme 1.4, on a utilisé la relation h⁰ =h−hd² et les relations ys= syt et s² = 0. En dehors de la première sur-diagonale, la compositionJ_nδ_nS_n−1 apparaît dans chaque bloc.

La première sur-diagonale est constituée à partir des blocs J_nδ_nI_n. La matriceJ_nδ_nI_nest carrée d’ordre _n+1

2

+ 1avec les composantes diagonales (1±y). Les autres composantes ont la forme

(1−t)˜s(±y−1)˜sN = 0.

Dans cette dernière égalité nous avons utilisé le fait ques˜=set qu’une com- position det,N,yetsqui contient deux foissest nulle, après normalisation.

En conclusionJ_nδ_nI_n est une matrice diagonale

J_nδ_nI_n=diag{(1±y),(1∓y),(1±y), . . .}.

Puisque la composition de deux rétractions par déformation est une rétrac- tion par déformation, le complexe

BD⁺(A) : (BC, b, B)←−−(BC,^ω˜+ −b,−B)←−−(BC, b, B)^ω˜− ←−− · · ·^˜ω+ est une contraction du complexe CD⁺(A). Les multicomplexes qui ne dif- fèrent que par des signes des différentielles sont isomorphes (voir [4]); nous pouvons donc changer les signes des différentielles dans les plans(BC∗,∗,−b,−B).

Pour que le carré de la différentielle du complexe total reste nul, il faut changer aussi les signes des différentielles horizontales. Nous avons prouvé le théorème suivant.

Théorème 2.6: Le complexe

BD⁺(A) : (BC, b, B)←−−(BC, b, B)^ω+ ←−−(BC, b, B)^ω− ←−− · · ·^ω+ ,

est une contraction du complexeCD⁺(A). D’une manière analogue, le com- plexe

BD⁻(A) : (BC, b, B)←−−(BC, b, B)^ω− ←−−(BC, b, B)^ω+ ←−− · · ·^ω− . est une contraction du complexeCD⁻(A).

Les différentielles ω_i,j⁺, ω⁻_i,j : BC_i,j(A)→ BC_i,j(A), i≥, j ≥0 sont don- nées par

ω⁺_i,j= (−1)^i+j(1−(−1)ⁱy) et ω_i,j⁻ = (−1)^i+j(1 + (−1)ⁱy) respectivement.

2.5 Le complexe quaternionique BQ

Avec les notations du paragraphe 2.3 considérons le complexe Q∗,∗(A) (A^⊗∗, b)←−−(A^{θ ⊗∗},−b⁰)⊕(A^⊗∗,−b)←−−(A^{σ ⊗∗}, b)⊕(A^⊗∗, b⁰)←−−(A^{φ ⊗∗},−b⁰) qui constitue “la période” du complexeCQ(A). Reécrivons-le sous la forme suivante

C∗(A)⊕ −C∗(A)[1]⊕ −Bar∗(A)[1]⊕Bar∗(A)[2]⊕ C∗(A)[2]⊕ −Bar∗(A)[3], oùX[n]_∗ désigne lan-ième suspension du complexeX_∗, c’est-à-direX[n]_k= Xk−n. Le signe “−” avant un complexe signifie le changement de signe de différentielle. Ainsi la différentielle de Q(A) peut être représenté par la ma- trice

dQ:

















b 1−y 1−t 0 0 0

0 −b 0 t−1 −1−y 0

0 0 −b⁰ 1 +yt N 0

0 0 0 b⁰ 0 yt−1

0 0 0 0 b 1−t

0 0 0 0 0 b⁰

















(voir les notations dans les §§2.2 et 2.3). Soitdla partie diagonale de d_Q d=diag{b,−b,−b⁰, b⁰, b, b⁰}

etδ=d_Q−d. Appliquons le lemme de perturbation 1.2 pour la perturbation δ et la rétraction par déformation spéciale

(Q⁰(A), b)←−−−−−−→^f

∇ (Q(A), d;S), où

Q⁰=C_∗(A)⊕ −C_∗(A)[1]⊕ C_∗(A)[2]

et les opérateursS,f, ∇sont donnés par les matrices















 0

0

−˜s

−˜s 0

−˜s















 ,





1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0



,

















1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0















 ,

respectivement. Comme précédemment, on pose˜s=sb⁰s.

La matrice Sδ est triangulaire supérieure stricte, donc la condition de nilpotence locale est satisfaite. Nous obtenons la rétraction par déformation spéciale

(Q⁰(A), b+ ˆδ)←−−−−−−→^f_ˆ^ˆ

∇ (Q(A), dQ; ˆS) (2.6) avec

Sˆ=

















0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 −˜s s(1 +˜ yt)˜s 0 −˜s(1 +yt)˜s(yt−1)˜s

0 0 0 −˜s 0 s(yt−1)˜s

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 −˜s















 , ∇ˆ =

















1 0 0

0 1 0

0 0 ˜sN

0 0 0

0 0 1

0 0 0















 .

Les opérateursfˆetδˆs’écrivent matriciellement fˆ=





1 (1−t)˜s (t−1)˜s(1 +yt)˜s 0 0 (t−1)˜s(1 +yt)˜s(yt−1)˜s 0 1 (t+ 1)˜s 0 0 (t−1)˜s(yt−1)˜s

0 0 0 0 1 (t−1)˜s



,

δˆ=





0 1−y B

0 0 −(1 +y)

0 0 0



. Considérons le bicomplexe

CQ(A) : (Q(A), d_Q)←−−(Q(A), d^NQ _Q)←−− · · ·^NQ ,

(voir le §2.3). Notons CQ(A)_[i] le i-ième exemplaire de Q(A) dans CQ(A).

Les différentielles deCQ(A)entreCQ(A)_[i] etCQ(A)_[i−1] sont égales àN_Q. Introduisons un bicomplexeCQ^◦(A)qui est la réunion desCQ(A)_[i], avec les différentielles nulles entre eux et un bicomplexe BQ^◦(A) avec BQ^◦(A)_[i]

égal àQ⁰(A) et les différentielles nulles entre BQ^◦(A)_[i] et BQ^◦(A)[i−1]. Par juxtaposition sur chaque CQ^◦(A)_[i] de la rétraction (2.6) on obtient une ré- traction par déformation spéciale

(BQ^◦(A), b+ ˆδ)←−−−−−−→^f_ˆ^ˆ◦

∇^◦ (Q^◦(A), d_Q; ˆS^◦),

La différentielleN_Q deCQ(A)peut être considérée comme une perturbation de CQ^◦(A). En appliquant le lemme de perturbation nous obtenons que le

complexe(BQ^◦(A), b+ ˆδ+ ˆNQ), où Nˆ_Q =





0 0 (1−t)˜s(1 +y)˜s(yt−1)˜sNQ

0 0 (t−1)˜s(yt−1)˜sN_Q 0 0 (t−1)˜sNQ





est une contraction du complexeCQ(A).

Des raisonnements analogue à ceux du paragraphe 2.4 montrent que les différentiellesb,δˆetNˆQ stabilisent les éléments dégénéré deCQ(A). Donc le lemme 1.5 nous permet de faire le quotient par le sous-complexe dégénérés sans avoir changer les différentielles.

SoitBQ(A) le complexe suivant

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

+

+

+

+

+

+

BQ0(A) BQ1(A) BQ2(A) BQ3(A) BQ₄(A) BQ5(A)

période période

A A⊗2 A⊗3 A⊗4 A⊗5 A⊗6

A A⊗2 A⊗3 A⊗4 A⊗5

A A⊗2 A⊗3 A⊗4

A

A⊗2 A

b b b b b b

−b

−b

−b

−b

−b

b b b b

b

b −b

1−y 1−y 1−y 1−y 1−y 1−y

1−y 1−y

−1−y

−1−y

−1−y

−1−y

−1−y

B B B B

B B

2B(1+y) 2B(1+y)

2B(1+y) −1−y

...

Dans ce diagramme la ligne de rang nreprésente le module BQ_n(A) = M

i+j=n

BQ_i,j(A);

les colonnes se repètent de 3 en 3 et les différentielles des colonnes sont la différentielle de Hochschild affectée d’un signe “+” ou “−”. Les opérateurs B ety sont ceux définis dans les §§2.2 et 2.3.

Nous avons donc montré

Théorème 2.7: Le bicomplexe BQ(A) est une contraction du bicomplexe CQ(A).

3 Théorie bivariante

3.1 Complexes avec des périodicités

Définition 3.1: On dit que le complexe(X∗, d)a une périodicitéP de degré ms’il existe une application surjectiveP :X_∗→X_∗+m qui commute avec la différentielled.

Soient(X_∗⁰, d⁰)et(X_∗⁰⁰, d⁰⁰)deux complexes munis des périodicitésP₁⁰, ..., P_k⁰ et P₁⁰⁰, ..., P_k⁰⁰ respectivement avec P_i⁰ et P_i⁰⁰ de m ˆme degré m_i. Notons P⁰ l’ensemble des périodicitésP_i⁰

P⁰={P₁⁰, ..., P_k⁰} etP⁰⁰ l’ensemble des périodicités P_i⁰⁰

P⁰⁰={P₁⁰⁰, ..., P_k⁰⁰}.

Définition 3.2: La rétraction par déformation (X_∗⁰⁰, d⁰⁰)←−−−−−−→_∇^f (X_∗⁰, d⁰;h)

estP⁰-P⁰⁰-compatible, si les opérateursf,∇ethcommutent avec les périodi- cités: f P_i⁰=P_i⁰⁰f,∇P_i⁰⁰=P_i⁰∇, hP_i⁰=P_i⁰h pour touti, 1≤i≤k

Considérons les exemples suivants de périodicités définies sur les com- plexes construits dans les paragraphes 2.1-2.5.

1. Sur le complexecycliqueBC on définit la périodicité de degré−2 SBC: BC_n(A)−−→BCn−2(A)

qui est la projection naturelle de BC_n(A) =

[n/2]

M

i=0

A⊗A^⊗n−2i

sur

BCn−2(A) =

[n/2]

M

i=1

A⊗A^⊗n−2i.

Au niveau intuitifS_BC “enlève” la première colonne de bicomplexeBC. Il est clair queSBC commute avec les différentielles deBC.

De même, on peut définir l’opérateur S_CC: CC_n(A)−−→CCn−2(A), S_CC:

n+1

M

i=1

A^⊗i→

n−1

M

i=1

A^⊗i

qui enlève les deux premières colonnes du bicomplexe CC.

Proposition 3.3: La rétraction par déformation du complexe CC vers BC, construite dans le paragraphe 2.2 est SBC-SCC-compatible.

Dans la suite, quand il n’y a pas de risque de confusion, nous écrivons

“S-compatible” au lieu de “SBC-SCC-compatible”.

Démonstration: Il est facile à montrer que la composition de deux ré- tractions par déformation S-compatibles est S-compatible. La rétraction considérée est la composition de la rétraction (2.3) et de la rétraction qui nous a permis d’enlever le sous-complexe dégénéré de BCˆ (voir la fin de

§2.2). Notons les opérateurs de cette dernière rétraction parf,∇ et h:

(BC(A), b,B)ˆ ←−−−−−−→_∇^f ( ˆBC(A), b,B;ˆ h). (3.1) Munissons le bicomplexeBCˆ d’une périodicité analogue àS_BC.

LaS-compatibilité de la rétraction (2.3) résulte de la forme matricielle des opérateursI_n,J_netS_n(voir §2.4). Considérons, par exemple, la matriceJ_n. L’action à droiteJ_n◦S_CC deS_CC surJ_n consiste à enlever les deux premières colonnes de la matriceJ_n. L’action à gaucheSBC◦J_n deSBC surJ_n consiste à enlever la première ligne de la matrice J_n. Compte tenu de la forme de la matriceJ_n (voir §2.4), on a

J_n◦SCC=SBC◦J_n.

Le lemme 1.5 nous donne les opérateursf,∇ eth de (3.1) en forme ma- tricielle (voir les formules (1.3)). Il en résulte évidemment la commutativité

de f avec S. Lorsqu’on compose S avec l’un des opérateurs ∇ ouh soit à droite, soit à gauche, le seul effet est que le dernier facteur dans la somme

X

i≥0

h(−δh)ⁱγ ou X

i≥0

h(−δh)ⁱ

devient nul. Ce qui montre que la rétraction (3.1) est égalementS-compatible.

2. Sur les complexes quaternioniques BQ et CQ on construit d’une manière analogue les périodicités

T_BQ: BQ_n(A)→ BQ_n−4(A), TCQ: CQ_n(A)→ CQn−4(A).

Ils consistent à “enlever” les trois (resp. quatre) premières colonnes qui forment la période

TBQ:

[n/4]

M

i=0

(A^⊗n−4i+1⊕A^⊗n−4i⊕A^{⊗n−4i−1})→

[n/4]

M

i=1

(A^⊗n−4i+1⊕A^⊗n−4i⊕A^{⊗n−4i−1}).

Proposition 3.4: La rétraction par déformation du complexe CQ vers le BQ construite dans le paragraphe 2.5 est T_BQ-T_CQ-compatible.

La démonstration est analogue à celle de la proposition 3.3.

3. Sur le complexeréflexif CR= CR⁺⊕ CR⁻ on a une périodicité de degré−1

Ω_CR: CR⁺_n(A)⊕ CR⁻_n(A)→ CR⁻_n−1(A)⊕ CR⁺_n−1(A)

qui enlève les premières colonnes de CR⁺ et CR⁻. L’opérateur Ω_CR envoie CR⁺ dansCR⁻ ainsi queCR⁻ dansCR⁺. Plus explicitement, la restriction deΩ_CR sur la partie positiveCR⁺ est la projection

n+1

M

i=1

A^⊗i→

n

M

i=1

A^⊗i

et de même pourCR⁻.

4. Les périodicités des complexesdiédrauxBDetCDsont plus variées.

On définit

SBD: BD⁺_n(A)⊕ BD⁻_n(A)→ BD⁻_n−2(A)⊕ BD⁺_n−2(A)

de telle façon que sa restriction sur chaque plan BC, à savoirBD⁺(A)_[i] ou BD⁻(A)_[i], coïncide avec SBC. Alors, SBD envoie BD⁺ dans BD⁻ et BD⁻ dansBD⁺.

De même on définit

SCD: CD⁺_n(A)⊕ CD⁻_n(A)→ CD⁻_n−2(A)⊕ CD⁺_n−2(A)

qui coïncide sur chaque plan CD⁺(A)_[i] et CD⁻(A)_[i] avec S_CC et qui envoie CD⁺ dansCD⁻ et CD⁻ dansCD⁺.

Les opérateurs

Ω_BD: BD⁺_n(A)⊕ BD⁻_n(A)→ BD⁻_n−1(A)⊕ BD⁺_n−1(A),

ΩCD: CD⁺_n(A)⊕ CD⁻_n(A)→ CD⁻_n−1(A)⊕ CD⁺_n−1(A)

sont des périodicités des bicomplexesBDetCDdans une autre direction. Sur chaque planCRdeBDouCDelles coïncident avec la périodicité “réflexive”

ΩCR. Tout commeSCD etSBD, les opérateursΩCD etΩBDenvoient la partie positive dans la partie négative et réciproquement.

Proposition 3.5: La rétraction par déformation du complexe CD vers le complexeBD, construite dans le paragraphe 2.4 estS_BDΩ_BD-S_CDΩ_CD-compa- tible.

Démonstration: Comme dans le cas cyclique, la rétraction par déforma- tion se dećompose en deux rétractions successives: la rétraction du complexe CD(A) vers le complexe BD^◦(A) et la rétraction du complexe BD^◦(A) vers le complexe BD(A)(voir §2.4).

La démonstration de laS-Ω-compatibilité de la deuxième rétraction est analogue à la deuxième partie de démonstration de la proposition 3.3. Pour vérifier que la première rétraction est également S-Ω-compatibile, il faut montrer que les opérateursIˆ_n,Jˆ_n etSˆ_n (voir §2.4) commutent avec les péri- odicités S et Ω. Prouvons le pour Sˆ_n (pour Iˆ_n et Jˆ_n les raisonnements sont