Les suites exactes

Etudions la structure explicite des homomorphismes de complexes avec pério-dicités introduits dans les paragraphes 2.1-2.5.

1. Complexe cyclique. Soitf un élément deHom_S(BC(A),BC(B))du degrén, c’est-à-dire

f : T ot_∗BC(A)→T ot_∗+nBC(B).

Les décompositions en somme directe des modules T ot_kBC(A) =

[k/2]

M

i=0

A⊗A^⊗k−2i, T ot_kBC(B) =

[k/2]

M

i=0

B⊗B^⊗k−2i

induisent la décompositions def en somme de ses composantes f_pqrsBC_pq(A)→ BC_rs(A)

avec BC_pq(A) = A⊗A^⊗q−p, BC_rs(B) = B⊗B^⊗s−r, r+s−p−q = n. La condition de commutativité des homomorphismes avecSimplique que toutes les composantes de f qui envoient A⊗A^⊗i dans B⊗B^⊗j avec i et j fixes sont égales, c’est-à-dire que siq₁−p₁=q₂−p₂=i ets₁−r₁=s₂−r₂=j, alors f_p1q1r1s1 = f_p2q2r2s2. En effet, commeS enlève la première colonne du bicomplexeBC, ces composantes sont tous égales à la composantef_i⁰_j⁰_0javec i⁰ = ¹

2(i+j−n)et j⁰= ¹

2(j−i−n). Notons f_i0j⁰0j parF_ij.

De même on obtient F_ij = 0 lorsque i +j+ n est impair ou lorsque i+n > j.

Par conséquent chaque homomorphismeS-commutatiff peut être repré-senté par une matrice triangulaire infinie (F_ij)^∞_{i=0, j=0} avec les élements nuls en échiquier.

La matrice de la composition de deux homomorphismes est le produit des matrices correspondantes

(F ◦G)_ij=X

k

F_ikG_kj.

La différentielle s’écrite en forme matricielle comme suit

dF_ij=bF_i,j+1+BF_i,j−1−(−1)^|f|F_i+1,jB−(−1)^|f|F_i−1,jb.

2. Complexe diédral. Tout comme les complexes d’homomorphismes Hom_SΩ(BD(A),BD(B))et Hom_Ω(CR(A),CR(B))(voir §3.2) le complexe

Hom_S(BC⁺(A)⊕ BC⁻(A),BC⁺(B)⊕ BC⁻(B)) =Hom_S(BC(A),BC(B)) se décompose en somme directe de ses partie positive et négative:

Hom_S(BC(A),BC(B)) =Hom⁺_S(BC(A),BC(B))⊕Hom⁻_S(BC(A),BC(B)).

Chaque homomorphisme positif consiste en deux composantes f⁺⁺:BC⁺(A)→ BC⁺(B) f⁻⁻:BC⁺(A)→ BC⁺(B) et chaque homomorphisme négatif consiste en deux composantes

f⁺⁻:BC⁺(A)→ BC⁻(B) f⁻⁺:BC⁻(A)→ BC⁺(B).

Remarquons la périodicitéSenvoieBC⁺surBC⁻et réciproquement. Donc la composantef⁻⁻ de l’homomorphisme positiff est définie automatiquement par la composantef⁺⁺. De mêmef⁻⁺est définie parf⁺⁻.

Soit f un homomorphisme positif S-commutatif du degrén (le cas de f négatif est analogue). Alorsfpeut être répresenté par une paire des matrices triangulaires infinies avec les élements non nuls en échiquier: (F_ij)i≥0,j≥0 et (F_ij)_i≥0,j≥0, F_ij = 0 quandi+j+n est impair ou quand i+n > j et de même pourF_ij.

A l’aide de la présentation (3.6) des complexes BC⁺ et BC⁻ détaillons les matrices (F_ij) et (F_ij). Si i = 4k₁ ou i = 4k₁+ 3 et si j−n = 4k₂ ou j−n= 4k₂+ 3, alors on a F_ij :C_i⁺(A)→ C_j⁺(B),F_ij:C⁻_i (A)→ C_j⁻(B).

Si i= 4k₁+ 1 oui= 4k₁+ 2 et sij−n= 4k₂ ouj−n = 4k₂+ 3, alors on aF_ij:C_i⁻(A)→ C_j⁺(B),F_ij:C_i⁺(A)→ C_j⁻(B).

Si i= 4k₁ oui= 4k₁+ 3et si j−n= 4k₂+ 1ouj−n = 4k₂+ 2, alors on aF_ij:C_i⁺(A)→ C_j⁻(B),F_ij:C_i⁻(A)→ C_j⁺(B).

Si i = 4k₁+ 1 ou i= 4k₁+ 2 et si j−n= 4k₂+ 1ou j−n = 4k₂+ 2, alors on aF_ij:C⁻_i (A)→ C_j⁻(B), F_ij:C_i⁺(A)→ C_j⁺(B).

La composition de (F_ij, F_ij) avec(G_ij, G_ij) est une paire (X

k

F_ikG_kj,X

l

F_ilG_lj).

Les différentielles s’écrivent comme dans le cas cyclique.

3. Complexe quaternionique. Considérons les homomorphismes “qua-ternioniques”

f ∈Hom_T(BQ(A),BQ(B))∼=Hom_T(BC⁺(A),BC⁺(B)).

Dans les cas cyclique et diédral, la commutativité avec la périodicitéS néces-site que les composantes des matrices correspondantes soient nulles en haut de la diagonale j −i = n. La condition de T-commutativité est moins restrective. Comme la 2k-ième et la(2k+ 1)-ième colonnes du bicomplexe BC⁺se trouvent dans la période deT, alors les homomorphismes qui envoient les éléments de la2k-ième colonne deBC⁺(A)sur les éléments de la(2k+ 1)-ième colonne deBC⁺(B) sont non nuls en général. Chaque homomorphisme T commutatif se représente donc par une paire des matrices (F_ij)i≥0,j≥0 et (F_ij)_i≥0,j≥0 décrites précédemment plus la diagonale supplémentaire

F_j−n+2,j :C_j−n+2⁺ (A)→ C_j⁻, j≥0, oùnest le degré de l’homomorphisme.

Théorème 3.26: On suppose 1/2 ∈ k. Alors les suites suivantes sont ex-actes

0→Hom_S[−2](BC(A),BC(B))−−→^S (3.10)

−−→HomS _S(BC(A),BC(B))−−→Hom(C(A),C(B))→0 (voir [9]),

0→Hom⁻_S[−2](BC⁺(A)⊕ BC⁻(A),BC⁺(B)⊕ BC⁻(B))−−→^S

−−→HomS ⁺_S(BC⁺(A)⊕ BC⁻(A),BC⁺(B)⊕ BC⁻(B))−−→ (3.11)

−−→Hom(C⁺(A),C⁺(B))⊕Hom(C⁻(A),C⁻(B))→0,

0→Hom⁺_S(BC⁺(A)⊕ BC⁻(A),BC⁺(B)⊕ BC⁻(B))−−→^W (3.12)

−−→HomW _T(BC⁺(A),BC⁺(B))−−→Hom[−2](C⁺(A),C⁻(B))→0.

Démonstration: L’applicationS consiste en l’inclusion des matrices tri-angulaires, telles queF_ij= 0quandi−j > n−1, dans les matrices triangu-laires, telles queF_ij= 0quandi−j > n. Les composantesF_ijaveci−j=n définissent le morphisme du complexe de Hochschild.

L’applicationW est l’inclusion naturelle des paire des matrices dans des paires des matrices avec “la diagonale supplémentaire”. Dans l’image deW les élément de “la diagonale supplémentaire” sont nuls. Les éléments de cette diagonale définissent le morphisme du complexe de Hochschild.

Il résulte de la représentation matricielle que les opérateursS etW sont les morphismes des complexes et que les suites (3.10), (3.11) et (3.12) sont exactes.

Remarque 3.27: Si on remplace Hom⁺_S par Hom⁻_S et réciproquement dans la suite (3.11), on obtient une autre suite exacte.

Désignons

HRⁿ₊₊(A, B) =H−n(Hom(C⁺(A),C⁺(B))), HRⁿ₋₋(A, B) =H−n(Hom(C⁻(A),C⁻(B))), HRⁿ₊₋(A, B) =H−n(Hom(C⁺(A),C⁻(B))).

Corollaire 3.28: On a les suites exactes longues

· · · →HCⁿ⁻²(A, B)→HCⁿ(A, B)→HHⁿ(A, B)→HCⁿ⁻¹→HCⁿ⁺¹→ · · ·

· · · →HCⁿ⁻²₋ (A, B)→HCⁿ₊(A, B)→

→HRⁿ₊₊(A, B)⊕HRⁿ₋₋(A, B)→HCⁿ⁻¹₋ →HCⁿ⁺¹₊ → · · ·

· · · →HCⁿ₊(A, B)→HQⁿ(A, B)→

→HRⁿ₊₋(A, B)→HCⁿ⁺¹₊ (A, B)→HQⁿ⁺¹(A, B)→ · · · qui correspondent aux suites courtes exactes du théorème 3.26.

Remarque 3.29: Avec la même méthode on peut prouver que la suite

· · · →HDⁿ⁻²₋ (A, B)→HDⁿ₊(A, B)→

→HRⁿ₊(A, B)→HDⁿ⁻¹₋ (A, B)→HDⁿ⁺¹₊ (A, B)→ · · · qui généralise la suite (3.11) est exacte. Ce fait ne dépend pas de l’inversibilité de2dansk.

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Nikolay V. Solodov Université Lomonosov Faculté de Mécanique et de Mathématiques Leninskie Gory 119992 Moscou RUSSIE

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