TD n°1 - Terminale ES/L Révisions du Bac
Les Suites (Année 2018)
Les exercices suivants dont l’intitulé est suivi du symbole (c) sont corrigés intégralement en fin du présent TD. Les autres présentent des éléments de réponses et un lien vers une correction détaillée sur www.math93.com
Les sujets du Bac ES/L comportent généralement un exercice sur les suites. Cet exercice présente presque toujours une question sur un algorithme. .
• Beaucoup de sujet comportent un exercice sur les suites pour les deux options.
• La question concernant l’algorithme était plus difficile.
• Les suites proposées ne sont pas toujours de premier termeu0, attention donc aux formules.
• Les suites et les probabilités peuvent être liées.
• Quelques questions sur les suites dans les QCM.
• Quelques questions utilisent la somme de termes d’une suite géométrique, propriété 1.
• NEW: des questions sur l’utilisation d’un tableur sont possibles (cf. métropole sept. 2018).
Point Bac
Quelques rappels :
Le TG d’une suite géométriqueude premier termeupet de raisonqest pour toutnentier,n≥p: un=up×qn−p
Théorème 1
Soit (un) une suite géométrique de raisonq6=1 et de premier termeu0, alors pour tout entiern, u0+u1+ · · · +un
| {z }
(n+1) termes
=u0×
µ1−qn+1 1−q
¶
Cette formule peut se généraliser de la façon suivante :
S=premier terme de la somme×1−qnombre de termes de la somme
1−q Propriété 1(Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique)
Soitqun nombre réel :
• Si−1<q<1 alors la suite géométrique de terme généralqnconverge vers 0 :
n→+∞lim qn=0
Théorème 2(Limite d’une suite géométrique de terme général (qn))
Exercice 1. Pondichéry, mai 2018 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite (un) définie paru0=65 et pour tout entier natureln: un+1=0,8un+18.
1. Calculeru1etu2.
2. Pour tout entier natureln, on pose :vn=un−90.
2. a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,8.
On précisera la valeur dev0.
2. b. Démontrer que, pour tout entier natureln:
un=90−25×0,8n. 3. On considère l’algorithme ci-dessous :
ligne 1 u←65 ligne 2 n←0
ligne 3 Tant que ...
ligne 4 n←n+1 ligne 5 u←0,8×u+18 ligne 6 Fin Tant que
3. a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier natureln tel queunÊ85.
3. b. Quelle est la valeur de la variablenà la fin de l’exécution de l’algorithme?
3. c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquationunÊ85.
4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonne- ment de 52epar mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
• d’un mois à l’autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés;
• chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
4. a. Justifier que la suite (un) permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio len-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
4. b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420edurant l’an- née 2018? Justifier la réponse.
4. c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette?
Argumenter la réponse.
Exercice 2. (c) Métropole, Septembre 2018 5 points
Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait 800 inscrits.
Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15 % des inscriptions ainsi que 90 désinscriptions.
Pour tout entier natureln, on noteunle nombre d’inscrits l’année 2016+n.
Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de 150 euros, sur laquelle l’école conserve un bénéfice de 20 euros après avoir payé tous ses frais fixes. L’école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d’un budget de 125 000 euros.
Partie A
Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.
Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à l’unité.
1. Quelle formule peut-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année de rangn?
2. Quelle formule peut-on saisir en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année de rangn?
3. Compléter sur l’annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.
4. En quelle année l’école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse?
Partie B
1. Justifier que, pour tout entier natureln, un+1=1,15un−90 et préciseru0. 2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=un−600.
2. a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier termev0.
2. b. Pour tout entier natureln, exprimervnen fonction den.
2. c. En déduire que pour tout entier natureln, un=200×1,15n+600.
3. À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de 2 000 adhérents?
A B C D E
1 année rang de l’année nombre d’inscrits bénéfice annuel bénéfices cumulés
2 2016 0 800 16 000 16 000
3 2017 1 830 16 600 32 600
4 2018 2 865 17 300 49 900
5 2019 3 904 18 080 67 980
6 2020 4 950 19 000 86 980
7 2021 5
8 2022 6
Corrigés
Corrigé de l’exercice2: métropole septembre 2018 Partie A
Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.
Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à l’unité.
1. La formule que l’on saisit en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année de rang nest = C2 * 1,15 - 90.
2. La formule que l’on saisit en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année de rang nest = E2 + D3
3. On complète sur le tableau donné, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.
A B C D E
1 année rang de l’année nombre d’inscrits bénéfice annuel bénéfices cumulés
2 2016 0 800 16 000 16 000
3 2017 1 830 16 600 32 600
4 2018 2 865 17 300 49 900
5 2019 3 904 18 080 67 980
6 2020 4 950 19 000 86 980
7 2021 5 1 003 20 060 107 040
8 2022 6 1 063 21 260 128 300
4. L’école dépassera 125 000 euros comme bénéfices cumulés en 2022, c’est donc en 2022 qu’elle pourra construire sa nouvelle salle de danse.
Partie B
1. On passe du nombre d’inscrits l’annéen au nombre d’inscrits l’annéen+1 en ajoutant 15 %, donc en multipliant par 1+ 15
100=1,15 puis en retranchant 90; donc, pour toutn, on a un+1=1,15un−90.
Le nombre d’inscrits en 2016 est 800 doncu0=800.
2. On considère la suite (vn) définie, pour toutn, parvn=un−600, doncun=vn+600.
2. a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique.
Les suites (un) et (vn) sont définies pour tout entiernpar :
(un) :
( u0 =800
un+1 =1.15×un−90
¯¯
¯¯
¯ (vn) : ( v0
vn =un−600
Pour tout entiern≥0 on a :
vn+1=un+1−600
vn+1=(1,15un−90)−600 vn+1=1,15×un−690 vn+1=1,15×
µ
un+−690 1,15
¶
vn+1=1,15×(un−600) vn+1=1,15×vn
La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison q =1,15, et de premier terme v0= 200 puisque :
v0=u0−600 v0=800−600 v0=200 Soit :
(vn) :
( v0 =200 vn+1 =1,15×vn
;∀n≥0
Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=1,15 et de premier termev0=200.
2. b. La suite (vn) est géométrique de raisonq=1,15, et de premier termev0=200 donc son terme géné- ral est
∀n≥0 ; vn=v0ס q¢n−0
Soit
∀n≥0 ;vn=200×(1,15)n
2. c. De l’égalité définie pour tout entiern≥0 :
vn=un−600 On peut en déduire l’expression :
un=vn+600 Soit :
∀n≥0 ;un=200×(1,15)n+600
3. Cette école accueillera plus de 2 000 adhérents pour la première valeur dentelle queun>2000; on résout cette inéquation en composant par la fonction ln qui est strictement croissante surR∗+:
un>2000⇐⇒200×1,15n+600>2000⇐⇒200×1,15n>1400
⇐⇒1,15n>7 ⇐⇒ln(1,15n)>ln(7)
⇐⇒nln(1,15)>ln(7) ⇐⇒n> ln(7) ln(1,15)
Or ln(7)
ln(1,15≈13,9 donc c’est à partir den=14 donc de 2016+14=2030 que le nombre d’élèves de cette école dépassera 2 000.
