TERMINALES S BAC BLANC 2004 le 25 mars 2004

TERMINALES S BAC BLANC 2004 le 25 mars 2004

L’énoncé, de trois pages, est constitué de quatre exercices indépendants.

L’exercice 3 est différent pour les élèves ayant choisi la spécialité math.

En fonction de leur spécialité, les élèves choisiront donc l’un ou l’autre des exercices 3.

L’exercice 3 de spécialité math sera rendu sur une feuille séparée.

EXERCICE 1 (8 points)

On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ parf(x) =e^x−lnx.

Partie A :

1.a. Etudier les variations de la fonction g définie sur Rpar : g(x) =xe^x−1.

1.b. En déduire qu’il existe un réel uniqueαtel queαe^α = 1.Donner une encadrement de αd’amplitude10⁻³. 1.c. Préciser le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

2.a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0; +∞[.

2.b. Calculer la fonction dérivéef⁰ def et étudier son signe sur]0; +∞[en utilisant la questionA.1.

Dresser le tableau des variations de f.

2.c. Montrer quef admet un minimum m égal àα+α⁻¹.Justifier que : 2.3.≤m≤2.34.

Partie B :

1. En utilisant les résultats de la partieA, démontrer que, pour tout entiern≥3,l’équation f(x) =nadmet une solution unique dans l’intervalle[1; +∞[.On noteraxn cette solution.

2. Déterminer à la calculatrice des valeurs approhées à 10⁻¹ près dex10, x100,etx1000. 3. Démontrer que la suite (x_n) est croissante à prtir du rang 3.

4. Démontrer que, pour tout entierp≥3, f(lnp)≤p.En déduire la limite de la suite(xn).

EXERCICE 2 (3 points)

Une entreprise fabrique des pièces dont la masse doit être contrôlée. On choisit, pour la contrôler, une pièce dans la production, et on appelle X la variable aléatoire qui, à toute pièce tirée associe sa masse exprimée en grammes. Un étude statistique a permis d’établir le tableau suivant :

X 320 330 340 350 360 370 380

Probabilité 0.06 0.12 0.2 0.25 0.17 0.14 0.06

1. Donner à 10⁻²pr`es l’espérance mathématiqueE(X) et l’écart-typeσ(X) de la variable aléatoire X.

2. On prélève au hasard et successivement, avec remise,n pièces. SoitY la variable aléatoire qui à tout lot den pièces associe le nombre de pièces de320grammes.

2.1. Déterminer la loi suivie parY et préciser ses paramètres.

2.2. On choisitn= 10.Calculer la probabilité que trois pièces exactement aient une masse de 320 grammes.

2.3. Déterminer la valeur minimalen0 den pour que la probabilité d’avoir au moins une pièce dont la masse est 320 g, soit supérieure ou égale à 0.9.

EXERCICE 3

2. Le plan complexeP est rapporté à un repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v)(unité graphique : 1 cm ou 1 grand carreau).

On considère les points A, B, C, P d’affixes respectives : z_A= 3

2+ 6i , z_B = 3

2−6i , z_C =−3−1

4i , z_P = 3 + 2i Soit le vecteur−→w d’affixez−→w =−1 +5

2i.

2.a. Déterminer l’affixez_Q du pointQ, image du point B dans la translation tde vecteur−→w .

2.b. Déterminer l’affixez_R du pointR, image du pointP par l’homothétie h de centreC et de rapport −1 3 . 2.c. Déterminer l’affixezS du point S, image du pointP par la rotation R de centreA et d’angle −π

2 . 2.d. Placer les pointsA, B, C, P, Q, R etS sur une figure.

3.a. Démontrer que le quadrilatèreP QRS est un parallélogramme.

3.b. Calculer z_R−z_Q zP −zQ

. En déduire la nature précise du parallélogrammeP QRS.

3.c. Justifier que les points P, Q, R etS appartiennent à un même cercle noté (C).On calculera l’affixe de son centre et son rayon.

4. La droite(AP) est-elle tangente au cercle(C) ?

EXERCICE 3

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v) (unité graphique : 5 cm).

On considère les pointsA d’affixe √

2 etB d’affixe i.Soit C le point tel queOACB soit un rectangle.

On note I le milieu de[OA], J le milieu de[BC], K le milieu de[AI]. Placer les points sur une figure.

1. On considère la transformationsde P dansP qui a tout pointM d’affixezassocie le point M⁰ d’affixe z⁰, tel quez⁰ =−i

√2 2 z+

√2

2 +i.

1.a. Démontrer ques est une similitude dont le centre est le pointΩ d’affixe 2√ 2 3 +1

3i et dont on déterminera le rapport kainsi qu’une mesureθ de l’angle.

1.b. Déterminer les images par sdes pointsO, A, B et C.

2.a. Calculer une mesure de l’angle ³−→ΩB,−→ΩA´

.En déduire que les pointsA, B etΩ sont alignés.

2.b. Démontrer de même que les pointsI, C etΩ sont alignés.

2.c. En déduire une constructon deΩ.Placer le pointΩ sur lafigure.

3.a. Montrer que Ωappartient aux cercles Γ₁ et Γ₂ de diamètres respectifs [BC]et [AI]. 3.b. Démontrer que−→JΩet−−→JK sont colinéaires.

3.c. Démontrer que la droite(ΩO) est la tangente commune aux deux cerclesΓ₁ etΓ₂. Représenter les cercles Γ₁ et Γ₂ et la droite (ΩO) sur lafigure.

EXERCICE 4 (4 points)

Pour chacune des questions posées (quatre en partie A, deux en partie B, et trois en partie C), une seule des réponses proposées est vraie. Vous recopierez sur votre copie (ne rendez pas l’énoncé) la proposition qui vous semble vraie sachant qu’à chaque question est affecté un nombre de points. Chaque réponse juste rapportera ce nombre de points; une réponse fausse enlèvera la moitié de ce nombre de points. Une absence de réponse ne rapportera ni ne coûtera aucun point.

Partie A :

On considère la suite (u_n) définie par

( u0 = 9 un+1 = un

2 −3 et la suite(v_n) telle quev_n=u_n+ 6.

1. (v_n) est arithmétique de raison 6 Vrai / Faux 2. (v_n) est géométrique Vrai / Faux 3. (u_n) est décroissante Vrai / Faux 4. (u_n) converge vers−6. Vrai / Faux Partie B :

On considère la suite géométrique(wn)de raison 1

2, de premier terme w0 = 15, et la suite (Sn) telle queSn=w0+w1+· · ·+wn.

Alors

1.a. Sn= 152ⁿ⁺¹−1

2ⁿ 1.b. Sn= 151−2¹ⁿ

1−¹₂ 1.c. Sn= 151−₂ⁿ⁺¹¹ 1−¹₂ 2.a. lim

n→+∞Sn= +∞ 2.b. lim

n→+∞Sn= 30 2.c. lim

n→+∞Sn= 15 Partie C :

On considère la même suite géométrique(w_n) que dans la partieB ainsi que la suite(t_n) définie part_n= ln (w_n). Soit la suite(P_n) : P_n=w₀×w₁× · · · ×w_n

1.a. (t_n) est arithmétique 1.b. (t_n) est géométrique 1.c. (t_n)n’est ni arithmétique ni géométrique 2.a. lnP_n= nln 15

2 µ

1 + ln 1 2ⁿ

¶

2.b. lnP_n= n+ 1

2 (1 +nln 2) ln 15 2.c. lnP_n= n+ 1

2 (2 ln 15−nln 2) 3.a. lim

n→+∞Pn= +∞ 3.b. lim

n→+∞Pn= 0 3.c. lim

n→+∞Pn=−∞