1 Exercice n

Architecture & Syst` eme Travaux dirig´ es n

3 : Alg` ebre de Boole

Les composants ´ electroniques d’un ordinateur manipulent des donn´ ees binaires via des circuits logiques. Ces circuits effectuent des op´ erations ´ el´ ementaires sur les bits ; des op´ erations logiques telles que la conjonction (et), la disjonction (ou), la n´ egation (non) ou encore le XOR (ou-exclusif). Les exercices de ces travaux dirig´ es constituent une bref rappel d’alg` ebre de Boole (ou alg` ebre bool´ eenne) permettant de mettre en œuvre les op´ erations de logique binaire.

1 Exercice n ^o 1

Donner les tables de v´ erit´ e des op´ erateurs logiques et, ou, non et xor.

2 Exercice n ^o 2

Montrer comment l’op´ erateur et peut ˆ etre obtenu ` a partir des op´ erateurs ou et non. De mˆ eme pour l’op´ erateur ou avec les op´ erateurs et et non.

3 Exercice n ^o 3

On note respectivement les op´ erateurs ou, et, xor et non par “ + ”, “ · ”, “ ⊕ ” et

“ ”. Montrer ` a l’aide de tables de v´ erit´ e que A ⊕ B = (A · B) + (A · B ) et que A ⊕ B = (A + B ) · (A + B).

Rappels

Les lois de De Morgan permettent de transformer une conjonction en une disjonction (et r´ eciproquement) via la n´ egation.

A + B = A · B (1)

et

A · B = A + B . (2)

Parmi les r` egles de calcul logique importantes il y a aussi les r` egles suivantes.

1. R` egle de double-n´ egation

A = A . (3)

2. R` egles de commutativit´ e

A#B = B#A (4)

pour # = · ou # = + ; 3. R` egles de distributivit´ e

A · (B + C) = (A · B) + (A · C) (5) et

A + (B · C) = (A + B) · (A + C) . (6)

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4. R` egles d’associativit´ e

A#(B #C) = (A#B )#C (7)

pour # = · ou # = + ; 5. R` egles d’idempotence

A#A = A (8)

pour # = · ou # = +.

Toute expression bool´ eenne peut ˆ etre ´ ecrite sous une forme particuli` ere.

1. Forme normale conjonctive (FNC) : Une expression logique est en FNC si et seule- ment si elle est une conjonction d’une ou plusieurs disjonctions d’un ou plusieurs litt´ eraux. Par exemple, (A + B + C) · (D + E + F ) ;

2. Forme normale disjonctive (FND) : Une expression logique est en FND si et seule- ment si elle est une disjonctions d’une ou plusieurs conjonctions d’un ou plusieurs litt´ eraux. Par exemple, (A · B) + B + (C · D · E) ;

Rappelons qu’un litt´ eral est une variable bool´ eenne (une lettre) ou la n´ egation d’une variable.

4 Exercice n ^o 4

D´ emontrer les deux derni` eres r` egles (associativit´ e et idempotence) ` a l’aide d’une table de v´ erit´ e.

5 Exercice n ^o 5

Ecrire l’expression ´ A + (B · C) sous forme normale conjonctive et puis sous forme normale disjonctive.

6 Exercice n ^o 6

Montrer que les deux r` egles d’associativit´ e sont duales, i.e., montrer qu’` a partir de la r` egle d’associativit´ e de l’op´ erateur ou, on peut d´ eduire, en utilisant les r` egles pr´ ec´ edentes (except´ e l’associativit´ e de l’op´ erateur et ), la r` egle d’associativit´ e de l’op´ erateur et (et inversement).

7 Exercice n ^o 7

Ecrire les expressions suivantes sous forme normale conjonctive puis sous forme normale ´ disjonctive. (Pour la derni` ere formule, vous vous contenterez de donner sa FND.)

1. A ⊕ B ;

2. (A · B) + (A · B) ; 3. (A + B ) · (A + B) ; 4. A + (A · B ) ; 5. A · (A + B ) ;

6. (A · B) + (A + B + C + D) ;

7. A + (B · C) + ((A · (B · C)) · ((A · D) + B )).

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