1 La loi zêta

Quelques exemples de lois

1 La loi zêta

Pour tout entiern≥1, on désigne parA_n l'ensemble des multiples den. On note(pn)la suite des nombres premiers.

On xe un réels >1.

Une variable aléatoireX à valeurs dansN^∗ suit la loi zêta de paramètressi

∀n∈N^∗,P(X=n) = 1 ζ(s).n^s 1- Justier qu'il s'agit bien d'une probabilité.

2- Trouver espérance et variance deX. 3- CalculerP(An)pour toutn≥1.

4- Montrer que la famille(Ap), oùpdécrit l'ensemble des nombres premiersP, est indépendante.

5- En déduire que

P(1) = lim

n n

Y

k=1

1− 1

p^s_k

En résumé :

P(1) = Y

p∈P

1− 1

p^s

6- Montrer l'identité d'Euler :

ζ(s) = Y

p∈P

1− 1

p^s −1

7- Montrer queP 1

p_n diverge.

Indications 1- Il est clair que

∞

X

n=1

1

ζ(s).n^s = 1 2- Sis >2:

E(X) =ζ(s−1) ζ(s) Sis >3 :

V (X) =ζ(s−2)

ζ(s) −(E(X))² 3-

P(An) = 1 n^s 4- Soitr≥1,q1, ..., qrdes nombres premiers distincts ; notons

Bj=Aq_j

L'intersection

B=

r

\

j=1

Bj

1

est l'ensemble des multiples den=q1...qr ; avec 2 :

P(B) = 1 n^s =

r

Y

j=1

1 q^s_j =

r

Y

j=1

P(Bj)

5- Soitp₁, ..., p_r lesr premiers nombres premiers ; soitC_r l'ensemble des entiersn≥1 qui ne sont divisibles par aucun des nombresp₁, ..., p_r.

P(Cr) =

r

Y

j=1

1− 1 p^s_j

!

car c'est une intersection d'évènements mutuellement indépendants.

limr P(Cr) =P(1) d'après le théorème de continuité décroissante.

6- Découle de

P(1) = 1 ζ(s) 7- Supposons queP 1

pn converge. Alors P ln

1−_p¹

n

converge. Donc :

∀s >1,lnζ(s) =−

∞

X

k=1

ln

1− 1 p^s_k

≤ −

∞

X

k=1

ln

1− 1 p_k

On obtient une contradiction car

lim

1⁺ ζ= +∞

2 La loi hypergéométrique H (N, n, p)

On se donneN1≥1,N2≥1et N=N1+N2 ; une urne contientN1boules gagnantes etN2 boules perdantes ; on note p=N1

N la proportion de boules gagnantes. On xen∈J1, NK.

1- Montrer que

n

X

k=0

N1

k

N2

n−k

= N

n

2- On tirenboules sans remise ;X est le nombre de boules gagnantes tirées ; trouver la loi deX. 3- En déduireE(X).

4- RetrouverE(X)directement.

5- On suppose maintenantn xé,N →+∞, et p= ^N_N¹ →p0∈]0,1[; montrer que H(N, n, p) converge en loi vers une loi binomiale.

Indications

1- Utiliser le coecient deXⁿ dans(1 +X)^N1+N2. 2-

P(X =k) =

N₁ k

. _n−k^N2

N n

3-E(X) =np.

4-X est la somme denvariables suivant une loi de Bernoulli de paramètrep. 5-net ksont xés ; on étudie

P(X =k) =

N₁ k

. _n−k^N2

N n

= n

k

.N1.(N1−1)...(N1−k+ 1).N2...(N2−n+k−1) N(N−1)...(N−n+ 1)

Donc

P(X =k)∼ n

k

.N₁^k.N₂^n−k Nⁿ =

n k

. N1

N k

. N2

N n−k

→ n

k

p^k₀.(1−p0)^n−k

2

3 La loi binomiale négative

Soitr∈N^∗ et p∈]0,1[.

On répète une suite d'expériences de Bernoulli indépendantes de paramètrep. On dénit une variable aléatoireX qui est le nombre d'échecs avant d'arriver àrsuccès.

1- Déterminer la loi deX.

2- Déterminer la fonction génératriceGX. 3- DéterminerE(X)etV (X).

Indications 1-

P(X =k) =pk =

k+r−1 r−1

p^r(1−p)^k 2- Utiliser le développement en série entière de

u→(1−u)^−r 3- Notonsq= 1−p.

On trouve

G(t) = p

1−qt r

, E(X) =r.q

p, V (X) =r.q² p

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