ATTENTION, la correction de l’exercice résolu n°1 p173 est truffée d’erreurs, je la reprends
Règle algébrique :
Pour connaître la parité d’une fonction 𝒇 à partir de l’expression de 𝒇(𝒙), on calcule 𝒇(−𝒙) : Si 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙), alors 𝒇 est paire
(Graphiquement, la courbe admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie) Si 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙), alors 𝒇 est impaire
(Graphiquement, la courbe admet l’origine du repère pour centre de symétrie) Donc la méthode quand on a l’expression algébrique (formule) de 𝒇(𝒙) consiste à calculer 𝒇(−𝒙) et voir si 𝒇(−𝒙) correspond à 𝒇(𝒙) ou à −𝒇(𝒙) ou aucun des deux (auquel cas la fonction n’est ni paire ni impaire)
Exemples : Déterminer les parités des fonctions suivantes 𝑓(𝑥) = 1 + 1
𝑥2 𝑔(𝑥) = −2𝑥3+ 𝑥 ℎ(𝑥) = −2𝑥2+ 𝑥
Réponses :
𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝟏 𝒙𝟐 On calcule 𝑓(−𝑥) :
Pour calculer 𝑓(−𝑥), on remplace dans l’expression de 𝑓(𝑥), 𝑥 par −𝑥 puis on arrange l’écriture :
𝒇(−𝒙) = 1 + 1
(−𝑥)2= 1 + 1
𝑥2 = 𝒇(𝒙)
Rappel :(−𝑥)2 = (−𝑥) × (−𝑥) = +𝑥2 = 𝑥² On a 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) donc 𝑓 est paire
𝒈(𝒙) = −𝟐𝒙𝟑+ 𝒙 On calcule 𝑔(−𝑥) :
Pour calculer 𝑔(−𝑥), on remplace dans l’expression de 𝑔(𝑥), 𝑥 par −𝑥 puis on arrange l’écriture : 𝒈(−𝒙) = −2(−𝑥)3+ (−𝑥) = −2 × −𝑥3 − 𝑥 = +2𝑥3− 𝑥 = −(−2𝑥3 + 𝑥) = −𝒈(𝒙)
Rappel :(−𝑥)3 = (−𝑥) × (−𝑥) × (−𝑥) = −𝑥3 On a 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥) donc 𝑔 est impaire
Au préalable, on a remarqué que : −𝑔(𝑥) = −(−2𝑥3+ 𝑥) = 2𝑥3− 𝑥
𝒉(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐+ 𝒙 Calcul préalable : −ℎ(𝑥) = −(−2𝑥2 + 𝑥) = 2𝑥2− 𝑥
À présent calculons ℎ(−𝑥) et voyons si on retrouve ℎ(𝑥) ou −ℎ(𝑥) :
𝒉(−𝒙) = −2 × (−𝑥)2 + (−𝑥) = −2 × 𝑥2− 𝑥 = −2𝑥2− 𝑥 = 𝒏𝒊 𝒉(𝒙) , 𝒏𝒊 − 𝒉(𝒙) On a ℎ(−𝑥) qui n’est égal ni à ℎ(𝑥), ni à −ℎ(𝑥), donc ℎ n’est ni paire ni impaire
À la CALCULATRICE
On peut tracer les fonctions pour conjecturer graphiquement leur parité (à savoir faire)
La courbe représentant 𝑓 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
La courbe représentant 𝑔 semble admettre
l’origine du repère pour centre de symétrie Toujours la courbe de 𝑔 en zoomant pour mieux se rendre compte
La courbe représentant ℎ n’a pas l’air tout à fait symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Effectivement, en zoomant, on se rend compte qu’il n’y a pas symétrie
