Le tatouage de documents num´ eriques Cours 2
Marc Chaumont
30 novembre 2007
Plan
1 Les diff´erentes mesures de corr´elation La corr´elation lin´eaire
La corr´elation normalis´ee Coefficient de corr´elation
D´ efinition
La corr´elation lin´eaire entre deux vecteurscwn etwr de tailleN est :
zlc(cwn,wr) = 1
Ncwn.wr = 1 N
N
X
i=1
cwn[i].wr[i]
Interpr´ etation g´ eom´ etrique
Lorsque la corr´elation entre un vecteurcwnet une marquewnd´epasse un seuilτ, on dira que les deux vecteurs sont correl´es. On peut alors voir la r´egion de d´etection comme un hyper-plan perpendiculaire au vecteur marque. Tout signal c ´etant dans la r´egion de d´etection est consid´er´e comme tatou´e.
Les d´ efauts de la corr´ elation lin´ eaire
Un des probl`emes de la correlation lin´eaire est que le seuil de d´etec- tion est fortement d´ependant de l’amplitude des vecteurs. La mesure de corr´elation lin´eaire est donc non robuste aux attaques valu- metriques(exemple : reduction de la luminosit´e).
Un autre probl`eme r´eside dans la difficult´e `a mod´eliser la proba- bilit´e derandom-workfaux positif (mˆeme quand la marque suit une distribution blanche Gaussienne).
Plan
1 Les diff´erentes mesures de corr´elation La corr´elation lin´eaire
La corr´elation normalis´ee Coefficient de corr´elation
D´ efinitions
La corr´elation normalis´ee permet de r´esoudre les probl`emes li´es `a la corr´elation lin´eaire. Le vecteur cwn et le vecteur wr sont normalis´es
`a 1 avant d’effectuer le produit scalaire :
znc(cwn,wr) = cwn
|cwn|. wr
|wr|= 1
|cwn||wr|
N
X
i=1
cwn[i].wr[i]
Le produit scalaire entre deux vecteurscwn etwr est ´egal au produit des longueurs des vecteurs par le cosinus de l’angleθ entre les deux vecteurs : cwn.wr =|cwn||wr|cos(θ). Ainsi la correlation normalis´ee est ´egale au cosinus de l’angle entre cwn etwr :
znc(cwn,wr) =cos(θ)
Interpr´ etation g´ eom´ etrique
Lorsque la corr´elation normalis´ee entre un vecteurcwn et une marque wr d´epasse un seuil τ, on dira que les deux vecteurs sont corr´el´es.
On peut alors voir la r´egion de d´etection comme un hyper-cone.
Appliquer un seuil sur la corr´elation est ´equivalent `a appliquer un seuil sur l’angle entre les deux vecteurscwn etwn :
cwn.wr
|cwn|.|wr| > τnc ⇔θ < τθ avecτθ =cos−1(τnc).
Interpr´ etation g´ eom´ etrique
Mesure ´ equivalente
De mani`ere proche, certains auteurs utilisent la mesure suivante : z1(cwn,wr) = cwn.wr
|cwn|
qui est ´equivalente `a la mesure de cor´elation normalis´ee `a un facteur pr`es (la norme du vecteurwr).
Plan
1 Les diff´erentes mesures de corr´elation La corr´elation lin´eaire
La corr´elation normalis´ee Coefficient de corr´elation
D´ efinition
Le coefficient de corr´elation est obtenu en soustrayant la moyenne decwn (resp.wr) `acwn (resp.wr) et ensuite de calculer la corr´elation normalis´ee :
˜
cwn = cwn−cwn
˜
wr = wr −wr
zcc(cwn,wr) = znc(˜cwn,w˜r)
Interpr´ etation g´ eom´ etrique
L’interpr´etation g´eom´etrique du coefficient de corr´elation dans es- pace de dimensionN est la mˆeme que l’interpr´etation g´eom´etrique de lacorr´elation normalis´eedans un espaceN−1. La soustraction de la moyenne est en effet ´equivalente `a projeter les vecteurs sur un vecteur diagonal.
Ci-dessous, l’illustration du passage 2D vers 1D obtenue en sous- trayant `aa (resp. b) sa moyenne.
Mesure ´ equivalente
De mani`ere proche, certains auteurs utilisent la mesure suivante : z2(cwn,wr) = cwn.wr
scwn
avecscwn l’ecart-type du vecteurcwn :
scwn= vu ut1
N XN
i
(cwn[i]−cwn[i])2= 1
√N|˜cwn|
On a alors :
z2(cwn,wr) =
√
Ncwn.wr
|˜cwn|
Si wr a une moyenne nulle on a wr = ˜wr et cwn.w˜r = ˜cwn.w˜r1.
