Méthode des petits pas

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Méthode des petits pas

Leçons : 224

[Rom], partie 8.5.4 Théorème

Soit f :]−1, 1[→ _Rune fonction continue, et admettant un développement limité en 0 de la forme : f(x) =x−αx^p+1+βx^2p+1+o x^2p+1

, avecα>0,β∈_R^∗et p>0.

Sous de bonnes conditions initiales, la suite définie parxn+₁ = f(xn)vérifie :

x_n= ¹

√p

pnα− ^γ

p²α²√^p pα

lnn n√^p

n+o

lnn

n√^p n

, quandγ:= (1+p)α²

2 −β6=0.

Démonstration :

Étape 1 : On peut écriref(x) =xg(x)etx−f(x) =αx^p+1h(x), avecg(x)eth(x)qui tendent vers 1 quand xtend vers 0.

Ainsi,∃η>_0,∀x∈[−η,η]_,g(x)>_{0 et}h(x)>_0.

En particulier,∀x∈]0,η]_{, 0}< f(x)<x6η.

]0,η]est stable par f donc six₀∈]0,η],(xn)est bien définie et à valeurs dans]0,η]. Étape 2 : De plus,∀n∈N, 0<xn+1<xn, donc(xn)est décroissante et minorée par 0.

Donc elle converge vers un point fixelde f, car f est continue, avecl∈[0,η]. De l’inégalitéf(x)<xvalable sur]0,η], on déduitl=0.

Étape 3 : Soitλ∈_R; on noteyn=x^λ_n+1−x^λ_n. Dès lors : yn=x^λ_n

1−αxn^p+βx^2pn +o x^2pn

λ

−1

=x^λ_n

−λαxn^p+λβx^2pn +^λ(λ−1) 2

αxn^p

2

+o x^2pn

=−λαx^λ+pn +

λβ+^λ(λ−1 2 α²

x^2pn +o x^2pn

Cette relation ne nous intéresse vraiment que pourλ=−p: yn= pα+

−pβ+−p(−p−1)

2 α²

xn^p+o xn^p

=pα+p p+1

2 α²−β

| {z }

=γ

xn^p+o xn^p

−→

n→∞pα

(Remarquons qu’on a ici utilisé le fait quexn −→

n→∞0 etp>0.)

Par téléscopage, et par le lemme de Cesàro (qui sera démontré par la suite) : 1

n

x^−p_n −x₀^−p

= ¹ n

n−1

∑

k=0

y_k −→

n→∞pα Il s’ensuit alors facilement : 1

nx^−pn −→

n→∞pα, d’oùxn ∼

n→∞

1

√p

npα.

Étape 4 : On suppose désormaisγ6=0 ; commeyn= pα+pγxn^p(1+o(1)), on a :

n−1

∑

k=0

yk =npα+pγ

n−1

∑

k=0

x_k^p(1+o(1)).

On noteSn =

n−1∑

k=0

yk−npα

pγ , de sorte queSn=

n−1

∑

k=0

x_k^p(1+o(1)). Maisxn^p ∼

n→∞

1 npα ∼

n→∞

1

(n+1)pα, et comme

∑

n>0

1

n+1 diverge, on a : Sn ∼

n→∞

1 pα

n−1

∑

k=0

1 k+₁ ∼

n→∞

1 pα

n−1

∑

k=0

ln

1+ ¹ k+₁

n→∼∞

1 pαln

n−1

∏

k=0

k+2 k+₁

!

n→∼∞

1

pαln(n+1) ∼

n→∞

lnn pα

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

D’où

n−1

∑

k=0

y_k=npα+^γ

αlnn(₁+o(₁))_. Puisx^−p_n =npα+^γ

αlnn+o(_lnn)_. Enfinxn = (npα)^−1p

1+^γ

α lnn

n +o lnn

n −¹_p

= ¹

√p

npα

1− ^γ p²α²

lnn n +o

lnn n

. Ce qui revient à conclure :xn= ¹

√p

pnα− ^γ p²α²√^p

pα lnn n√^p

n +o lnn

n√^p n

. Lemme (Cesàro)

Soit(a_n)∈_C^N, une suite qui converge versl∈_C.

Alors lim

n→_∞

1 n

∑

a_k =l.

Démonstration :

Soitε>0 ;∃N∈N^∗,∀n>N,|an−l|<ε.

Alors, pourn>N:

∑

ak−nl

6

∑

ak−Nl

| {z }

=:K

+

∑

ak−(n−N)l

6K+

∑

|ak−l|6K+ (n−N)ε6K+nε

Puis∀n> N, 1 n

∑

ak−l

6 ^K n +ε.

Or,∃N1>N,∀n>N1,K

n <εet alors∀n>N1, 1 n

∑

a_k−l

62ε.

Références

[Rom] J.-E. ROMBALDI –Éléments d’analyse réelle : CAPES et agrégation de mathématiques, EDP Sciences, 2004.

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Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1