Ch. Ausoni, M. R¨ oer WWU M¨ unster, Sommersemester 2010
UBUNGEN ZUR ¨
DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN
Blatt 7
∗, 28.05.2010
Aufgabe 7.1. Sei N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit. Beweise, dass T N ⊂ T M eine Unter- mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe 7.2. Sei n ∈ N ungerade.
(a) Finde ein C ∞ Vektorfeld X auf S n mit X p 6= 0 f¨ ur alle p ∈ S n .
(b) Finde C ∞ Vektorfelder X, Y und Z auf S 3 mit der Eigenschaft, dass {X p , Y p , Z p } eine Basis von T p S 3 f¨ ur alle p ∈ S 3 ist.
Hinweis: Um Vektorfelde auf S n explizit anzugeben kann es hilfsreich sein, T S n als Unterman- nigfaltigkeit von T R n+1 = R n+1 × R n+1 zu betrachten (siehe obige Aufgabe).
Aufgabe 7.3. Benutze das Vektorfeld X : S 1 → T S 1 aus der obigen Aufgabe um einen Diffeomorphismus h : S 1 × R → T S 1 zu konstruieren, der die folgenden Eigenschaften hat:
(a) π ◦ h(x, v) = x f¨ ur alle (x, v) ∈ S 1 × R ,
(b) h(p, −) : R → T p S 1 ist ein R -linearer Isomorphismus.
(In anderen Worten: h ist ein Diffeomorphismus und ein Isomorphismus von R -Vektorb¨ undeln.) Sei k ∈ Z , und sei f k : S 1 → S 1 durch f k (z) = z k (Potenz von z als komplexe Zahl) definiert.
Bestimme df k : T S 1 → T S 1 (oder h −1 ◦ df k ◦ h : S 1 × R → S 1 × R ).
Aufgabe 7.4. Seien M und N zwei C ∞ Mannigfaltigkeiten. Beweise die folgenden Aussagen.
(a) F¨ ur alle (p, q) ∈ M ×N sind T p M ×T q N und T (p,q) (M ×N ) als R -Vektorr¨ aume kanonisch isomorph.
(b) Ein kanonischer Diffeomorphismus und Isomorphismus von R -Vektorb¨ undeln T M × T N → T (M × N )
existiert.
Aufgabe 7.5. Sei n ∈ N und sei X ein C ∞ Vektorfeld auf S n . Beweise, dass ein C ∞ Vektorfeld X e auf R n+1 existiert, mit X = X| e Sn.
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