3 Fonctions transcendantes

3.1 Modèle exponentiel et logarithmique Question 1

Évaluer et simplifier les expressions suivantes.

a) −4

b) ( − 4)

c) 2

+ 0

d) ( − 2)

+ ( − 5)

e) − 2

− 5

f) 2

g) 2

h) (−2)

+ 3

i) 2

+ 3

j) (2 + 3)

k)

( 1 2

)

l) (

− 1 2

)

Question 2

Réécrire les égalités suivantes à l’aide d’un logarithme.

a) 5

= 125 b) 2

= 1024 c) 10

= 1

100 d) 2

= 1

256

e) √ 9 = 3 f) √

81 = 9 g) √

27 = 3 h) 7

= 1

2401

Question 3

Réécrire les égalités suivantes à l’aide d’un exposant.

a) log

49 = 2 b) log

128 = 7 c) log

1

64 = −6 d) log

2 = 1

3

e) log

√ 3 = 1

2 f) log

√

100 = 2 3 g) log

2

1 4 = 2 h) log

5

625 = − 4

Écrire les expressions suivantes à l’aide d’un seul loga- rithme.

a) log

3 + log

5 b) log

25 − log

3 c) log

25 − log

3

d) log

2 · log

11 e) log 5

log 2 f) log

2

Question 5

Évaluer, sans calculatrice.

a) log

64 b) log

( 1 8

) c) log

2048 d) log

1

e) log 1000 f) log 0 . 000001

Question 6

Évaluer, sans calculatrice.

a) log

2

b) log

(2

· 2

) c) log

(256 · 128) d) log

9

81

e) 2

f) log

5 · log

128 g) log

32

log

2

Question 7

Évaluer, sans calculatrice.

a) log

0 . 00001 b) log

2

c) log

1 d) log

2

e) log

(3

· 9

)

f) log

1024 128 g) 5

h) log

3 · log

512 i) log

81

log

3

j) log

64

Évaluer, sans calculatrice, les nombres suivants sachant que log

2 ≈ 0 . 63.

a) log

1000 b) log

10

c) log

1 9 d) log

54

Question 9

Évaluer les nombres suivants à l’aide des propriétés des lo- garithmes et de la table donnée.

x log

(x) 1 0.000 2 0.301 3 0.477 4 0.602 5 0.699 6 0.778 7 0.845 8 0.903 9 0.954 10 1.000

a) log

(12) b) log

(15) c) log

140

Question 10

Résoudre les équations suivantes.

a) log

x = 5 b) 3

= 100 c) ln(x) = 7

d) e

= 10 e) 5 · 3

= 2

f) 2 log

x − log

x − 1 = 1

Question 11

Soient les fonctions suivantes :

f (x) = e

g(x) = 3x

+ x + 1 h( x) = 4

k(x) = log

x Écrire et simplifier les compositions suivantes :

a) f (g(x)) b) g( f (x))

c) h(g( x)) d) k( f (x))

e) h(k(x))

Résoudre les équations suivantes.

a) 3

= 27 b) log

x = 32 c) 2

+ 1 = 16 d) 2

= 16

e) 2

= 3

f) log

( x + 1) = 7

g) log

(2x + 1)

= log

(x) 3.2 Applications du modèle exponentiel et loga-

rithmique Question 13

Pour les valeurs de P P

suivantes, calculer les décibels cor- respondant.

a) 100 b) 10 000

c) 1

100 000 d) 500

e) 1 80 f) 43 Question 14

Écrire les nombres suivants sous la forme n = 3a + 10b . a) 26

b) 42

c) 67 d) -6

e) -25 f) -38 Question 15

Approximer P

P

(grandeur de puissance) sans calculatrice : a) 6 dB

b) − 13 dB c) 10 dB d) 16 dB

e) 27 dB f) 62 dB g) − 34 dB h) 21 dB Question 16

À l’aide d’une calculatrice, calculer la valeur exacte de P P

à 5 décimales des valeurs données à la question précédente

et comparer.

Approximer C

C

(grandeur de champ) sans calculatrice : a) 6 dB

b) 40 dB c) 36 dB

d) − 22 dB e) 98 dB

f) − 38 dB

Vous pouvez utiliser une calculatrice pour calculer les solu- tions numériques des deux problèmes ci-dessous.

Question 18

La loi de Moore est une prédiction faite en 1971 par Gordon Moore au sujet du nombre de transistors dans les micropro- cesseurs. Moore a prédit que le nombre de transistors par microprocesseurs sur une puce de silicium doublerait tous les deux ans.

a) En 1971 le nombre de transistor par microprocesseur était de 1000 transistors. Selon la loi de Moore, com- bien de transistors un microprocesseur de coût compa- rable aurait-il dut compter en 2001 ?

b) Entre 1971 et 2001, la densité des transistors a doublé chaque 1,96 année. Déterminer l’écart, au transistor près, entre la prédiction de Moore et la croissance réelle du nombre de transistors par microprocesseurs.

Question 19

Si un condensateur est initialement déchargé, la charge, en coulombs, accumulée sur les armatures du condensateur, t secondes après la fermeture de l’interrupteur, est donnée par

q(t) = CV(1 − e

) .

Un circuit contient une source de tension de 100 V, une ré- sistance de 100 k Ω et un condensateur d’une capacité de 0.01 µF. Calculer la charge accumulée à :

a) Calculer la charge accumulée à :

i) t = 0 ms ii) t = 1 ms iii) t = 2 ms

b) À quel moment la charge est-elle de 980 nC ?

Si un condensateur est initialement déchargé, la tension à ses bornes, t secondes après la fermeture de l’interrupteur, est donnée par

v

(t) = V(1 − e

) .

La tension aux bornes de la résistance au même instant t est donnée par

v

(t) = Ve

.

De plus, v

(t) + v

(t) = V pour tout t. Un circuit contient une source de tension de 100 V, une résistance de 2.2 k Ω et un condensateur d’une capacité de 1 µF initialement déchargé.

a) Calculer la tension aux bornes du condensateur après 2 ms.

b) À quel moment la tension aux bornes du condensateur est de 80 V ?

c) À quel moment la tension aux bornes de la résistance est-elle de 40 V ?

3.3 Trigonométrie Question 21

Écrire les angles suivants en radians.

a) 180

b) 90

c) 270

d) 30

e) 60

f) 120

g) 45

h) 225

i) 210

Question 22

Écrire les angles suivants en degrés.

a) 11 π 6 b) 3 π 5

c) 6π 2 d) − 3 π

4

e) 5π

12

f) 9 π

5

Localiser les points correspondants aux angles suivants sur un cercle.

a) 180

b) 90

c) 270

d) 30

e) 60

f) 120

g) 45

h) 225

i) 210

Question 24

Localiser les points correspondants aux angles suivants sur un cercle.

a) π 6 b) 5 π

6

c) 8 π 6 d) π

4

e) 3 π 4 f) 7 π

4

Question 25

Donner l’angle entre 0 et 2 π équivalent à l’angle donné.

(C’est-à-dire donner l’angle modulo 2 π .) a) 48π

b) − 123 π c) 27 π

4

d) 53 π 3 e) − 71π

6 f) 100 π

3

Question 26

Évaluer les expressions suivantes

4

3 θ

a) sin θ b) cos θ

c) tanθ d) sec θ

e) cscθ f) cot θ

Évaluer, sans calculatrice.

a) sin π 2 b) sin π 3

c) sin π 6 d) sin π 4

e) cos π 2 f) cos π 3

g) cos π 6 h) cos π 4

Question 28

Évaluer, sans calculatrice.

a) tan π 2 b) tan π 3

c) tan π 6 d) tan π 4

e) sec π 2 f) sec π 3

g) sec π 6 h) sec π 4

Question 29

Évaluer, sans calculatrice.

a) sin 2π 3 b) sin 5 π

3

c) sin 5π 4 d) sin 3 π

2

e) sin 11π 6 f) sin 5 π 6

Question 30

Évaluer, sans calculatrice.

a) cos 4 π 3 b) cos 5 π

4

c) cos 7 π 4 d) cos 3 π

2

e) cos 5 π 6 f) cos 11π

6

Question 31

Évaluer, sans calculatrice.

a) tan (

− 4π 3

)

b) sec 3 π 4

c) csc ( − π

2 )

d) cot ( − π

4 )

e) csc 7π 6 f) cot 11π

6

Évaluer, sans calculatrice.

a) sin 8π 3 b) cos

(

− 5 π 2

)

c) tan 3 π 4 d) cot

(

− 11 π 6

)

e) sec 4π 3 f) csc

( − π 4 )

g) sin ( π

3 + π 4 )

h) cos π 12

Question 33

Sachant que cos ( π

8 ) =

√ 2 + √

2

2 , trouver a) sin

( π 8 )

b) cos ( − π

8 )

c) cos ( 7π

8 )

d) sin ( 3 π

8 )

Question 34

À l’aide des identités trigonométriques pour sin( α + β ) et cos(α + β) trouver les identités pour

a) sin( α − β ) b) cos( α − β )

c) sin(2 θ ) d) cos(2 θ )

Question 35

Démontrer les identités trigonométriques suivantes.

a) sin

θ = 1 − cos 2θ 2 b) cos

θ = 1 + cos 2 θ

2

c) sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin

θ d) cos

θ − sin

θ = cos 2 θ e) tan θ

2 = sin θ 1 + cos θ

a) Démontrer l’égalité cos ( π − θ ) = − cos( θ ) à l’aide du cercle trigonométrique.

b) Démontrer l’égalité cos (π − θ ) = − cos(θ) à l’aide des identités de base.

Question 37

Soient les fonctions suivantes :

f (x) = sin x g(x) = x

+ 3x h( x) = 1 1 − x

Écrire les compositions suivantes et simplifier si possible.

a) f (g( x)) b) g( f ( x)) c) h( f ( x))

Question 38

Soit f( x) = 4 sin (

3x + π 3 )

a) Donner l’amplitude de cette fonction.

b) Donner la période de cette fonction.

c) Donner la fréquence de cette fonction.

d) Donner le déphasage de cette fonction.

e) Évaluer f ( 7 π

9 )

.

Soit f (x) = 3 sin (

2 (

x − π 4

))

a) Donner l’amplitude de cette fonction.

b) Donner la période de cette fonction.

c) Donner la fréquence de cette fonction.

d) Donner le déphasage de cette fonction.

e) Évaluer f ( 7π

9 )

.

Question 40

Faire une esquisse du graphe de la fonction suivante. Don- ner les abscisses des maximums, minimums, du début, de la fin et du milieu d’une période.

f (x) = sin (

2 (

x − π 3

)) − 1 2 .

Question 41

Déterminer la fonction sinusoïdale dont le graphe est le sui- vant.

3

−1 π 4

3π 4

Question 42

Déterminer la fonction sinusoïdale de la forme A sin ( ω t + ϕ ) représentée par chacun des graphiques suivants.

a)

1

π/ 6 2 π/ 3

− 2

π/ 2

Question 1

a) -64 b) -64 c) 1 d) -7

e) -57 f) 8 g) 1 8 h) −71

9

i) 17 j) 625 k) 4

l) 1 4

Question 2

a) log

125 = 3 b) log

1024 = 10 c) log

1

100 = − 2 d) log

1

256 = −8

e) log

3 = 1 2 f) log

9 = 1

2 g) log

3 = 1 3 h) log

1

2401 = −4

Question 3

a) 7

= 49 b) 2

= 128 c) 2

= 1

64 d) 8

= 2

e) 3

= √ 3 f) 10

= √

(100) g)

( 1 2

)

= 1 4 h)

( 1 5

)

= 625

Question 4

a) log

15 b) log

25

3 c) log

25 3 d) log

11

e) log

5 f) log

4

Question 5

a) 6 b) −3 c) 11 d) 0 e) 3 f) −6

Question 6 a) 7 b) 16

c)

log

(256) +

log

(128) = 8 +

7 = 15

d) − 2 e) 11

f) 7 g) 5

Question 7

a) − 5

b) 1 3

c) 0 d) 9 e) 11

f) 7 g) 14 h) 9

i) 4

j) 3 2 Question 8

a) 3 b) 1 / 2 c) − 2 d) 3 . 63

Question 9 a) log

(12) =

log

(2 · 6) = log

(2) + log

(6) = 1 , 079

b) log

(15) =

log

(3 · 5) = log

(3) + log

(5) = 1 , 176

c) log

(140) = log

(2 ·

7 · 10) =

log

(2) + log

(7) + log

(10) = 2 . 146

Question 10

a) x = 32 b) x ≈ 4 . 19

c) x = e

≈ 1096 , 63

d) x = ln(10) − 1

2 ≈ 0 , 6513 e) x = ln(5/2)

ln (2 / 3) ≈ − 2 . 26 f) x = 16

Question 11

a) f (g( x)) = e

b) g( f( x)) = 3e

+ e

+ 1

c) h(g(x)) = 4

d) k( f (x)) = x log

e

e) h(k(x)) = x

a) x = 3 b) x = 2

2 c) x = log

15 d) x = 3

e) x = 1 + 4 log

3 1 − 2 log

3 f) x = 127 g) x = − 64

127

Question 13 a) 20 dB b) 40 dB c) −50 dB

d) 26.9897 dB e) − 1 . 90308 dB

f) 1.63346 dB

Question 14 a) 2 × 3 + 2 × 10 b) 4 × 3 + 2 × 10 c) − 1 × 3 + 7 × 10

d) − 2 × 3 + 0 × 10 e) − 5 × 3 − 1 × 10 f) − 6 × 3 − 2 × 10

Question 15

a) 4 b) 1

20 c) 10

d) 40 e) 500 f) 1600000

g) 4 10000 h) 128

Question 16 a) 3.98107 b) 0 . 05011 c) 10

d) 39.81071 e) 501 . 18723 f) 0.00039

g) 125.89254

Question 17 a) 2

b) 3

c) 10 d) 40

e) 500 f) 1600000

a) 32768000 transistors b) 7745706 transistors.

Question 19

a) i) 0 nC ii) 632.121 nC iii) 864.664 nC

b) t = − ln 0 . 2 ms Question 20

a) 59.711 V

b) t = −2.2 ln 0.2 ms

c) t = − 2 . 2 ln 0 . 4 ms

Question 21

a) π b) π 2 c) 3 π

2

d) π 6 e) π 3 f) 2 π

3

g) π 4 h) 5π

4 i) 7 π

6

Question 22

a) 330

b) 108

c) 540

d) −135

e) 75

f) 324

Question 23

180

90

270

30

60

120

45

210

225

π 6 5π

6

8π 6

π 4 3π

4

7 π 4

Question 25

a) 0 b) π

c) 3 π

4 d) 5π

3 e) π

6

f) 4 π 3

Question 26 a) 3

5 b) 4 5

c) 3 4 d) 5 4

e) 5 3 f) 4 3 Question 27

a) 1

b)

√ 3 2

c) 1 2 d)

√ 2 2

e) 0

f) 1 2

g)

√ 3 2 h)

√ 2 2 Question 28

a) ∄ b) √

3

c)

√ 3 3 d) 1

e) ∄ f) 2

g) 2 √ 3 3 h) √

2

Question 29

a)

√ 3 2 b) −

√ 3 2

c) −

√ 2 2 d) − 1

e) − 1 2 f) 1

2

a) − 1 2 b) −

√ 2 2

c)

√ 2 2 d) 0

e) −

√ 3 2 f)

√ 3 2

Question 31

a) − √ 3 b) − √

2

c) −1 d) − 1

e) −2 f) √

3

Question 32

a)

√ 3 2 b) 0 c) −1 d) √

3

e) − 2 f) − √

2 g)

√ 2 + √ 6 4 h)

√ 2 + √ 6 4

Question 33

a)

√ 2 − √

2 2 b)

√ 2 + √

2 2

c) −

√ 2 + √

2 2 d)

√ 2 + √

2 2

Question 34

a) sin α cos β − sin β cos α b) cosα cosβ + sin α sin β

c) 2 sin θ cos θ d) cos

θ − sin

θ

Question 35 Laissé à l’étudiant.

cos(θ)

θ

cos(π−θ)

=−cos(θ)

θ

b)

cos( π − θ ) = cos( π ) cos( θ ) − sin( π ) sin( θ )

= ( − 1) cos( θ ) − (0) sin( θ )

= − cos( θ )

Question 37

a) f (g(x)) = sin(x

+ 3x) b) g( f (x)) = sin

x + 3 sin x c) h( f (x)) = sec

x

Question 38

a) 4 b) 2 π

3 c) 3 2π

d) π 3 e) 2 √

3

Question 39 a) 4

b) π c) 3

2 π

d) π 3 e) 2 √

3

Question 40

Amplitude A = 2, période : T = 2, h = − 1, k = − 1

−3

−1 − 2 1

2 1

Question 41 2 sin(x + π/ 2) La donnée π/ 2 donne un quart de la période, soit T /4

Question 42

a) sin(4x − 2 π/ 3)

b) 2 sin(x + π/2)