Fonctions L d'Artin et nombre de Tamagawa motiviques

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Submitted on 29 Aug 2008

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David Bourqui

To cite this version:

David Bourqui. Fonctions L d’Artin et nombre de Tamagawa motiviques. New York Journal of Mathematics, Electronic Journals Project, 2010, 16, pp.179-233. �hal-00315608�

MOTIVIQUES

par

David Bourqui

Résumé. Dans lapremière partie dee texte, nous dénissonsdes fontions

L^{d'Artinmotiviqueà l'aided'unproduiteulerienmotivique,et montrons qu'elles}

oïnidentavelesfontionsintroduitesparDhillonetMinadans[DM06℄.Dansla

seondepartie,nousdénissons,sousertainesonditions,unnombredeTamagawa

motiviqueetmontronsqu'ilsespéialisesurlenombredeTamagawausueldénipar

Peyredans leadre desonjetures deManinsur lenombre depointsdehauteur

bornéedesvariétésdeFano.

Abstrat (MotiviArtinL^{-funtionsandamotiviTamagawanumber)}

Intherst partof thistext,wedene motiviArtin L^{-fontions viaa motivi}

Eulerprodut,andshowthattheyoinidewiththefuntionsintroduedbyDhillon

andMinadans[DM06℄.Inthe seondpart,wedeneundersomeassumptionsa

motiviTamagawa number and showthat it speializes to the Tamagawanumber

introdued byPeyreintheontextofManin's onjeturesaboutrationalpointsof

boundedheightonFanovarieties.

1. Introdution

Comme l'ont illustré Denef et Loeser dans [DL04℄, les propriétés de nombre de

sériesrationnellesissuesdelagéométriearithmétiquesontdenaturemotivique:elles

s'obtiennentnaturellementparspéialisationdesériesàoeientsdansunanneaude

Grothendiekdemotifset leurpropriétésselisentdéjà (aumoins onjeturalement)

suressériesmotiviques.Danslamêmeveine,onpeutsedemandersilespropriétés

desfontionszêtadeshauteurs,étudiées dansleadredesonjeturesdeManinsur

lespointsdehauteurbornée (f.parexemple [Pey03b ℄et [Pey02 ℄)sontdenature

Classiationmathématique parsujets (2000). 14G1014C35(11M4112E3014J45).

Mots lefs. FontionL^{d'Artinmotivique,nombredeTamagawa,nombredeTamagawa mo-}

tivique,produiteulerienmotivique,fontionzetadeshauteurs.

motivique. Il est à noter qu'en généralon ne s'attend pas à e que de telles séries

soientrationnelles(f.[BT95,inne℄).

Dansetexte,nousmontronsquel'onpeut,dansertainsas,donneruneversion

motivique naturelle du nombre de Tamagawadéni parPeyre qui apparaît onje-

turalementdanslapartieprinipaledelafontionzêtadeshauteurs.Dansleaslas-

sique,levolumeadéliquedénissantenombredeTamagawapeuts'exprimeromme

unproduit eulerien. L'analoguemotiviquequenous proposons s'exprimeommeun

produiteulerienmotivique(notionquiapparaîtdansunpréédenttravail[Bou06℄

onsaré auxfontions zêtadeshauteurs motiviquesdes variétéstoriques), donton

montrelaonvergenedansuneertaineomplétiondel'anneaudeGrothendiekdes

motifs (théorème 5.17).Cette omplétion est baséesur la ltration par ledegré du

polynmedePoinarévirtuelℓ^{-adique (i.e.parle poids). Un desesintérêtsest que}

la réalisationomptage des points s'étend àertainsélémentsde laomplétion.

Nous remarquons qu'une approhe similaire est utilisée dans [BD07℄ et [Eke07℄.

Dansleasd'unorpsglobal,nousmontronsquelenombredeTamagawamotivique

sespéialiseenpresquetouteplae surlenombrede Tamagawalassique(théorème

5.20).Dans le as d'un orps ni,nous montrons que le nombre de Tamagawamo-

tivique se spéialise sur le nombre de Tamagawalassique (modulo une hypothèse

malhereusementpeunaturellef.théorème5.21et remarque5.22).Enndansleas

d'une surfae, utilisant un résultat de Kahn, Murre et Pedrini nous donnons une

versionpurement motiviquedunombredeTamagawamotivique,'est-à-direque sa

onvergeneestdénie àl'aided'unpolynmede Poinarévirtuelabsoluet nonpas

ℓ^{-adique(théorème5.34).}

Ladénition dePeyrefaitintervenirdesfateursde onvergenequi sontlesfa-

teursloauxdelafontionL^{d'Artinassoiéeaumodulede}Neron-SeverideX^.Nous

avonsbesoind'unanaloguemotiviquedeesfateurs loaux.Uneversionmotivique

desfontionsL^{d'ArtinaétéproposéeparDhillonetMinadans[DM06℄.Leuron-}

strution,quoiqueompateetélégante,présentevis-à-visdenotreobjetifledéfaut

denejustementpasfaireintervenirdefateursloaux.C'estpourquoinousdonnons,

dans la première partie de e texte, une dénition alternativedes fontionsL ^mo-

tiviqueviaunproduiteulerienmotivique.Nousrappelonsetpréisonslespropriétés

delafontionL^{deDhillonetMinaàlasetion3.Danslasetion4,nousdénissons}

notre fontion L^{. Nous montrons qu'elle oïnide ave la fontion} L ^{de Dhillon et}

Minaetdansleasd'unorpsdenombressespéialiseenpresquetouteplaesurla

fontionL^{usuelle.Ilestànoterque,stritosensu,lesrésultatsdelapremièrepartie}

ne sontpas utilisés dans la seonde (pour laplupart, ils ne sontd'ailleurs valables

aprioriqu'enaratéristiquezéro,àausenotammentdel'utilisationdurésultatde

Denef et Loeserpermettantd'assoier demanière anoniqueun motif virtuelà une

telle formule, f. théorème 4.1). Cependant: 1) ils justient moralement lefait que

lesfateursloauxutilisésdansladénitiondunombredeTamagawamotiviquesont

les fateurs naturels; 2) ils donnent une interprétation arithmétiquede la fon-

tionL^{d'Artinmotivique(pourunorpsde}aratéristiquezéroquelonque)et3) ils permettentdedérirepréisémentlesplesdelafontionL^{motivique,equiest}

utilepouruneformulationd'uneversionmotiviquedelaonjeturedeManin(f.les

remarques5.12etlasetion5.9).

Pouronlure etteintrodution,il faut remarquer quela dénitionproposéedu

nombre de Tamagawa n'est pas entièrement satisfaisante oneptuellement : une

bonne dénition devrait ertainement utiliser une (hypothétique) versionglob-

aledel'intégrationmotivique(ommeleremarquentlesauteursde[BD07℄àpropos

d'uneversionmotiviquedunombredeTamagawad'ungroupealgébrique).

Tabledes matières

1. Introdution..................................................... 1

2. Quelquesrappelset notations................................... 4

2.1. AnneauxdeGrothendiekdevariétésetdemotifs.......... 4

2.2. Caratéristique d'Euler-Poinaré ℓ^{-adique et nombre de} pointsmodulop^{........................................... 5}

2.3. Objetsdedimensionnie etrationnalité.................... 5

2.4. FontionszêtadeHasse-Weilgéométriqueetmotivique..... 6

2.5. Motifsd'Artin.............................................. 8

2.6. FormuledeMaDonaldmotivique........................... 8

3. LafontionL^{d'ArtinmotiviquedeDhillonetMina............ 10}

3.1. Uneremarquesurlesationsdegroupessurlesmotifs...... 10

3.2. Dénition etpropriétésdelafontionL^{motivique.......... 11}

4. Lafontion L ^{d'Artinmotivique dénie ommeproduit eulerien} motivique........................................................ 15

4.1. Motifvirtuelassoiéàuneformule.......................... 15

4.2. Lemotif virtueldespointsfermésdedegrén^{............... 17}

4.3. Motifvirtuelassoiéàunsymboled'Artin.................. 19

4.4. Dénition vialeproduit eulérienmotivique................. 22

4.5. Propriétés................................................... 24

4.6. Formulesetmotifs virtuelsassoiésauxsymbolesd'Artin... 28

5. LevolumedeTamagawamotivique.............................. 32

5.1. LevolumedeTamagawalassique.......................... 32

5.2. VersunanaloguemotiviqueduvolumedeTamagawa....... 35

5.3. Topologieutilisée........................................... 38

5.4. Énonédurésultat.......................................... 39

5.5. Quelqueslemmes............................................ 40

5.6. Démonstrationduthéorème5.17............................ 42

5.8. Démonstrationduthéorème5.21............................ 47

5.9. Lienonjeturalavelafontionzêtadeshauteursantianoniques 48

5.10. Unevraieversionmotivique............................... 50

Référenes.......................................................... 51

2. Quelques rappels etnotations

2.1. Anneaux de Grothendiek de variétés et de motifs. Dans tout e

texte,lesationsdegroupessontdesationsàgauhe.SiG^{estungroupe,onnote}G^op

legroupeopposé.Soitk^{unorps.Onnote}Vark(respetivementG^-Vark^)laatégorie

desvariétésalgébriquesquasi-projetivesdéniessurk(respetivementmunied'une ationalgébriqued'ungroupeniG^)etK0(Vark)(respetivementK0(G^-Vark)^)son

anneaudeGrothendiek(f.[And04,13.1.1℄).SiF ^{estunanneau,onnote}CHM(k)F

la atégorie des motifs de Chow dénis sur k ^{à oeients dans} F ^{(f. [And04,}

Chapitre4℄)etK0(CHM(k)F)^sonanneaudeGrothendiek(f.[And04,13.2.1℄).La lassedumotif deLefshetz1(−1)^dans K0(CHM(k)F)^estnotéeL^{. Pour}d∈Z^,on

noteM(−d)^déf=M ⊗1(−1)^{⊗d la}d^{-èmetorsiondeTatede}M^.

Théorème 2.1 (Gillet-Soulé,Guillen-Navarro-Aznar,Bittner)

Soitk ^unorpsde aratéristique zéro. Ilexiste ununiquemorphisme d'anneaux

χvar : K0(Vark)−→K0(CHM(k)F) ^(2.1.1)

qui envoie la lasse d'une variété projetive et lisse X ^{surla lasse de son motifde}

Chowh(X)^.

L'imagedeK0(Vark)^parχvar

seranotéeK₀^var(CHM(k)F)^.

Notons C(G,Q)^le Q^{-espaevetorieldesfontions} Q^-entralesde G^dans Q^(i.e

lesfontionsα : G→Q^quivérientα(x) =α(y)^dèsquelessous-groupeshxi^ethyi

sontonjugués. On rappelleà présent unas partiulier d'une versionéquivariante

duthéorème2.1, due àDenef, Loeser,del Bañoet Navarro-Aznar(f.[dBRNA98,

theorem6.1℄).

Théorème 2.2. Soit k ^{un orps de} aratéristique zéro et G ^{un groupe ni. Il}

existe uneunique famillede morphismes d'anneaux

χeq(−, α) : K0(G^-Vark)→K0(CHM(k)Q)⊗Q ^(2.1.2)

indexéeparα∈C(G,Q)^{ayantlespropriétéssuivantes:}

1. siX ^{est une} k^-G^{-variété projetive et lisse,}ρ ^uneQ-représentation linéairede dimensionnieirrédutiblede G^etpρ

déf= _|G|¹ P

g∈Gρ(g⁻¹)⊗[g]l'idempotentde

Vρ⊗h(X)^{assoié,alors ona}

χeq(X, χρ) = [Im(pρ)] ; ^(2.1.3)

2. l'appliationα7→χeq(X, α)^{estunmorphismede groupe.}

Dénition 2.3. Si k^{est unorps de}aratéristiquenonnulle, G^ungroupeni

et X ^une k^-G^{-variétéprojetiveet lisse,on dénit} χeq(X, χρ)^{vialarelation (2.1.3)}

puisparlinéaritéχeq(X, α)^{pourtoutélément}α^deC(G,Q)^.

Théorème 2.4 ([dBRNA98℄). Soit k ^{un orps de} aratéristique zéro, G ^un

groupeni etX ^une k^-G^{-variété projetive etlisse.Alorson a} χvar(X/G) =

h(X)^G

. ^(2.1.4)

2.2. Caratéristique d'Euler-Poinaré ℓ^{-adique et nombre de points mo-}

dulop^{. Pourtoutorps}k^,onnotek^{suneltureséparablede}k^etG_k = Gal(k^s/k)

le groupe de Galois absolu de k^{. Pour tout nombre premier} ℓ^{, on note} K0(G_k^-Q_ℓ)

l'anneaudeGrothendiekdelaatégoriedesQ_ℓ^{-espaesvetorielsdedimensionnie}

munisd'uneationontinuedeG_k^{.Onsupposeratoujours}ℓ^{distintdelaaratéris-}

tiquedek^{,et onxeraunplongement}Q_ℓ֒→C^.Laaratéristiqued'Euler-Poinaré

ℓ^{-adiqueestlemorphismed'anneaux}

χℓ : K0(Vark)−→K0(Gk^-Q_ℓ) ^(2.2.1)

déniparχℓ([X]) =P

i(−1)ⁱ

H_cⁱ(X^s,Q_ℓ)

,oùX^sdéf=X×kk^s.Sik^{estdearatéris-}

tiquezéro,χℓ ^{sefatorisepar}χvar .

On suppose à présent quek ^{est unorps global. Soit}p ^{une plae nie de} k^{. On}

note κp ^{sonorpsrésiduel,} Ip ⊂G_k ^{ungrouped'inertie en}p ^et Frp ^{unFrobenius en}

p^{.Lenombre depointsmodulo} p^{d'unélément}V ^deK0(G_k^-Q_ℓ)^estTr(Frp|V^Ip)^.On

lenoteraTrp(V)^{. Si}X ^{est une}k^{-variété,pourpresquetout}p ^ona

Trp(χℓ(X)) =|X(κp)|, ^(2.2.2)

où X(κp) ^désigne (abusivement) l'ensemble des κp^{-points d'un modèle de} X ^(ainsi

|X(κp)|^{est biendénimodulounnombrenide}p^).

2.3. Objets de dimension nie et rationnalité. Pour tout anneau A^{, on}

note1 +A[[t]]^{+ le}sous-groupedeA[[t]]^{× formé desélémentsdeterme onstantégal}

à1^et1 +A[t]^{+ le}sous-monoïdedespolynmesde1 +A[[t]]^{+.Onditqu'unélément} f ^de1 +A[[t]]^{+ estrationnels'ilexiste}g∈1 +A[t]^{+ telque}g f∈1 +A[t]^+.

Soit A une atégorie tensorielle pseudo-abélienne F^{-linéaire, où} F ^{est une} Q^-

algèbre.Soit G^{un groupeni,} M ^unobjetde A muni d'uneation deG ^et ρ ^une F-représentationlinéairededimensionnie de G^{. Onnote} (M ⊗Vρ)^{G l'imagedans} M ⊗Vρ ^{du projeteur} 1

|G|

P

g∈Gg⊗ρ(g)^{. Dans leas partiulier del'ation de} Sn

surM^{⊗n et}ρ^estlareprésentationtriviale(respetivementlasignature),etteimage estnotéeSymⁿM (respetivementAltⁿM^).Suivantlaterminologiede[And05℄,un objetM ^deA estditpair(respetivementimpair)s'ilvérieAltⁿM = 0^pourn >>0

(respetivement SymⁿM = 0 ^pourn >>0^{.Un objet} M ^de A est dit de dimension

nies'ils'éritommesommedireted'unobjetpairetd'unobjetimpair.Pourtout

objetM^,onpose

ZA(M, t)^déf= X

n>0

[SymⁿM]tⁿ∈1 +K0(A)[[t]]⁺. ^(2.3.1)

OnadansK0(A)[[t]] ^{laformule(f. eg[Hei07,Lemma4.1℄)} Z^A(M, t)



X

n>0

[AltⁿM] (−1)ⁿtⁿ



= 1 ^(2.3.2)

d'oùdéoulelaproposition suivante.

Proposition 2.5 (André). SoitM ^unobjetdeA.SiM ^estpair(respetivement impair) alors ZA(M, t)∈ 1 +A[t]⁺ (respetivement ZA(M, t)⁻¹ ∈ 1 +A[t]^+).En

partiulier, pourtoutobjetM ^{de dimensionnie,} ZA(M, t)^est rationnelle.

2.4. Fontions zêta de Hasse-Weilgéométriqueet motivique. Soitk^un

orps et X ^une k^-variétéquasi-projetive.Ondénit,suivantKapranov,lafontion zêtadeHasse-WeilgéométriquedeX

Z^var(X, t)^déf= X

n>0

[SymⁿX]tⁿ ∈1 +K0(Vark)[[t]]⁺. ^(2.4.1)

Ilexisteununiquemorphismedegroupes

Z^var(. , t) : K0(Vark)−→1 +K0(Vark)[[t]]^{+ (2.4.2)}

quienvoielalassed'unevariétéquasi-projetiveX ^surZvar(X, t)^.

SoitF^unorpsdearatéristiquezéro.PourtoutobjetM ^deCHM(k)F ^ondénit,

suivantAndré,lafontionzêtadeHasse-WeilmotiviquedeM Z^mot(M, t)^déf=ZCHM(k)F(M, t) =X

n>0

[Symⁿ(M)]tⁿ ∈ 1 +K0(CHM(k)F) [[t]]⁺.

(2.4.3)

Onaenpartiulier,pourtout entierd^,

Zmot(M(−d), t) =Zmot(M,L^dt). ^(2.4.4)

Ilexisteununiquemorphismedegroupes

Z^mot(. , t) : K0(CHM(k)F)−→1 +K0(CHM(k)F) [[t]]^{+ (2.4.5)}

quienvoielalassed'unmotifM ^sur Z^mot(M, t)^.

Si X ^{est une variétéprojetiveet lisse, onpose}Zmot(X, t)^déf= Zmot(h(X), t). ^Si k

estdearatéristiquezéro,onad'aprèslethéorème2.4

χvar◦Z^var(. , t) =Z^mot(χvar(.), t). ^(2.4.6)

Danseas, ilexisteununiquemorphismedegroupes

Z^mot : K0(Vark)−→1 +K0(CHM(k)F) [[t]]^{+ (2.4.7)}