Démonstration du théorème 5.17

relation(4.2.4)et laremarque4.8,onapourtout

n

0 6 deg(Poinc ℓ (ψ n ( C )) 6 2 n.

^(5.6.3)

Envertudulemme5.16,ilsutdonpourétablirlaonvergenedans

[K 0 (CHM(k) \ Q ) ⊗ Q] ^{Poinc ℓ}

duproduiteulerienmotivique(5.4.1)demontrerqu'ona

deg _u (P X,ℓ,n (u) − 1) 6 −3 n.

^(5.6.4)

D'après(5.2.1)etladualitédePoinaré,onal'égalité

h H _ℓ ^{2 dim(X)−2} (X ) i

= [Pic(X ) ^∨ ] ℓ ^dim(X)−1 .

^(5.6.6)

Compte tenu du fait qu'une

Q

-représentation est isomorphe à sa duale, on en tire pourtout

j

^larelation

_j

D'aprèslarelation(5.5.5)appliquéeà

ρ

NS

,onapourtout

n

^larelation

De(5.6.9), (5.6.10)et (5.6.11)ondéduit l'inégalité5.6.4,etdonlethéorème5.17.

5.7. Démonstration du théorème 5.20.

Notations 5.26. Pour toute plae

p

^de

k

^{non ramiée dans} l'extension

k ^′ /k

^,

notons

C p

^{lalassedesgroupesde}déompositionde

p

^dansl'extension

k ^′ /k

^,etpour

n > 1

^,

C p,n

^{l'uniquelassedeConj}

(G)

^{telqu'ilexiste}

C ∈ C p,n

^et

C p ∈ C p

^vériant

C < C p

^et

|C| = _n∧|C ^{|C p |} _{p |}

^.

Lemme 5.27. Soit

b(X)

^{leplusgrandnombredeBettide}

X

^{.Ilexisteunensemble}

ni

S

^{de plaes nies de}

k

^{(dépendant de}

X

^etde

C

),tel quepour tout

p ∈ / S

^{on a}

lespropriétés suivantes:

1. Pour tout

n > 1

^,

Poinc ℓ (Φ n (X ))

^,

Poinc ℓ (ψ n ( C ))

^et

P X,ℓ,n (u)

^{sontpurs en}

p

^.

2.

Poinc ℓ ( V

mot

(X × C ))

^estpuren

p

^.

3. Pour tout

n > 1

^{,il existedesnombres}algébriques

(α p,n,r ) r>3

^vériant

∀r > 3, |α p,n,r | 6 2 (dim(X) + b 2 (X )) (1 + b(X )) ^r

r

^(5.7.1)

et

Tr p (log(P X,ℓ,n (u))) = X

r>3

α p,n,r N (p) ^{− n r 2} u ^{−n r} .

^(5.7.2)

4. Pour tout

n > 1

^{,il existedesnombres}algébriques

(β p,n,r ) 06r62 n

^vériant

|β p,n,r | 6 b 1 ( C ) + 1

5. Ilexiste desnombres algébriques

(γ p,r ) r>1

^vériant

|γ p,r | 6 6 r (b 1 ( C ) + 1) (dim(X ) + b 2 (X )) (1 + b(X )) ^r

^(5.7.5)

etsasomme vautalors

exp

Démonstration. Notons

S

^{la réunion des plaes nies}

p

^{qui vérient l'une des}

onditionssuivantes :

1.

p

^{appartientàl'ensemblenidupoint2dela}proposition5.13; 2. ilexiste

C ∈

^Conj

(G)

^telque

χ ℓ

Soit

p ∈ / S

^.Posons

v = N (p) ^{− 1 2} u ⁻¹

^.Soit

n > 1

^.Comme

Poinc ℓ (Φ n (X))

^estpuren

oùles

a p,n,r

^{sontdesnombres}algébriquesvériant

a p,n,r = a p,n,2 dim(X)−r

^et

∀ 0 6 r 6 2 dim(X), |α p,n,r | 6 b(X ).

^(5.7.12)

Ildéouledelaproposition5.13et de(5.7.11)quel'ona

Tr p (P X,ℓ,n (u)) = P _ρ

polynmeréiproquede degré

2 dim(X )

^{dontles rainessont demodule inférieurà}

1 + b(X )

^{.Onendéduit (5.7.2)et (5.7.1).}

Montrons lepoint4. D'après la proposition 2.12 et laremarque 2.11, on apour

tout

d > 1

Tr (Fr p | Poinc ℓ (Φ d ( C ))) = 1 + (−1) ^d+1 Tr(Fr ^d _p |H _ℓ ¹ ( C )) u ^d + N (p) ^d u ^{2 d} .

^(5.7.14)

Parailleurs,omme

Poinc ℓ (Φ d ( C ))

^{estpur en}

p

^ona

∀d > 1, Tr(Fr ⁿ _p |H _ℓ ¹ ( C )) N (p) ^{− d 2} 6 b 1 ( C ).

^(5.7.15)

D'aprèslarelation(4.2.4),ona

∀n > 1, ψ n ( C ) = 1

Montronsàprésentlethéorème5.20.Toutd'abord,d'aprèslelemme5.10,ilexiste

unensembleni

S ^′

^deplaesde

k

^{telquepourtouteplae}

p ∈ / S ^′

^,onaunisomorpisme

Pic(X) → ^∼ Pic(X p )

^(5.7.18)

ompatible aux ations de

G _k

^{à gauhe et}

G _{κ p}

^{à droite. Pour}

p ∈ / S ^′

^{, soit}

G p

^un

groupededéomposition de

p

^dansl'extension

k ^′ /k

^,

ρ

NS

,p

^la

Q

-représentationde

G p

induiteparl'ationde

G _{κ p}

^sur

Pic(X )

^,

κ ^′ _p

l'extensiongaloisiennedegroupe

G p

^de

κ p

parompatibilitéàlarestritiondesfontions

L

^{d'Artinlassiqueonal'égalité}

V (X p × C _p / C _p ) = N (p) ^{(1−g( C )) dim(X)} Y

D'aprèslaremarque5.5, onadon

V (X p × C

Soit

S ^′′

^{l'ensemble ni de plaes de}

k

^{onstitué de la réunion de l'ensemble}

S

du lemme 5.27, des plaes

p

^vériant

N (p) 6 (1 + b(X)) ²

^{et de l'ensemble}

S ^′

in-troduit i-dessus. Il déoule alors du lemme 5.27 que pour tout

p ∈ / S ^′′

^{la série}

Poinc ℓ ( V

mot

(X × C ))

^estpuren

p

^{et quelasérieentière}

N (p) ^{(g( C} −1)) dim(X) Tr p [Poinc ℓ ( V

mot

(X × C ))] ∈ C[[u ⁻¹ ]]

^(5.7.22)

onvergeabsolumenten

u = −1

^vers

exp

5.8. Démonstration du théorème 5.21.

Notations 5.28. Pourtoutentier

m > 1

^,notons

C m

^legroupededéomposition de

k m /k

^dans l'extension

k ^′ /k

^{, et pour}

n > 1

^,

C m,n

^lesous-groupede

C m

^vériant

|C m,n | = _n∧|C ^{|C m} _m ^| _|

^.

Lemme 5.29. Soit

b(X )

^{leplusgrandnombrede Bettide}

X

^{.Onaalors :}

1. Pour tout

n > 1

^{,il existedesnombres}algébriques

(α n,r ) r>3

^vériant

∀r > 3, |α n,r | 6 2 (dim(X) + b 2 (X )) (1 + b(X)) ^r

r

^(5.8.1)

etpourtout

m > 1

Tr (F _k ^m | log(P X,ℓ,n (u))) = X

r>3

α n,r q ^{− n m r 2} u ^{−n r} .

^(5.8.2)

2. Pour tout

n > 1

^{,il existedesnombres}algébriques

(β n,r ) 06r62 n

^vériant

|β n,r | 6 b 1 ( C ) + 1

n

^(5.8.3)

etpourtout

m > 1

Tr (F _k ^m | Poinc ℓ (ψ n ( C ))) = X

06r62 n

β n,r q ^{m r 2} u ^r .

^(5.8.4)

3. Ilexiste desnombres algébriques

(γ r ) r>1

^vériant

|γ r | 6 6 r (b 1 ( C ) + 1) (dim(X ) + b 2 (X )) (1 + b(X )) ^r

^(5.8.5)

etpourtout

m > 1 Tr



F _k ^m | X

n>1

Poinc ℓ (ψ n ( C )) log(P X,ℓ,n )



 = 1 + X

r>1

γ r q ^{− m r 2} u ^−r .

^(5.8.6)

4. Pour

m > 1

^{,la sérieentière}

Tr(Poinc ℓ [F _k ^m | V

mot

(X × C )]) ∈ C[[u ⁻¹ ]]

^onverge

absolumentpourtout

u = z ∈ C

^vériant

|z| > (1 + b(X )) q ^{− m 2}

^(5.8.7)

etsasomme vautalors

exp



 X

n>1

Tr[F _k ^m | Poinc ℓ (ψ n ( C ))] u=z log

P _ρ

NS

,{e},C m,n (q ^{−n m} z ^{−2 n} ) Tr[F _k ^m | Poinc ℓ (Φ n (X ))] u=z

q ^{n m dim(X)} z ^{2 n dim(X)} 

 .

(5.8.8)

La démonstration de e lemme est très similaire à elle du lemme 5.27. Par un

5.9. Lien onjetural ave la fontion zêta des hauteurs antianoniques.

On se plae sousles hypothèsesdu théorème 5.17.On suppose en outre que le

neeetifde

X

^{estnimentengendréet quelalassedufaiseau}antianoniquede

X

^estàl'intérieurduneeetif.Ceshypothèsespermettentdedéniruninvariant rationnel

α ^∗ (X )

^{(f.[Pey03a ,Ÿ3.1℄).Ondénit parailleurs}l'invariant

β(X )

^omme

étantleardinaldugroupe

H ¹ (k, Pic(X ))

^.Si

K

^{désigneleorpsdesfontionsde}

C

,on supposeenoutrequel'ensemble

X(K)

^{estZariskidense.Parsouide}simpliation, onsupposeraégalementqu'on a

Max{d ∈ N _>0 , 1 d

ω ⁻¹ _X

∈ Pic(X)} = 1.

^(5.9.1)

Supposons tout d'abord que

k

^{soit un orps ni de ardinal}

q

^{. Pour}

U

^ouvert

de Zariski de

X

^{assez petit, on peut alors onsidérer la fontionzêta des hauteurs}

antianonique

Z

^H

(X × C / C , U, t)

^{:'estlasériegénératriequiomptelenombrede}

morphismesde

C

vers

X

^dedegréantianoniquedonnédontl'imagen'estpasinluse dans le omplémentairede

U

^{. Voii une version dela onjeture de Manin dans e}

adre.

Question 5.30. Onsupposeque

X × C / C

vériel'approximation faible(par ex-emple que

X

^est rationnelle). Est-il vrai que pour un ouvert

U

^{assez petit, la série}

entière

Z

^H

(X × C / C , U, t)

^{aunrayon deonvergeneégal à}

q ⁻¹

^etquepourun

er-tain

ε > 0

^{sa somme se prolonge en une fontion méromorphe sur}

{|t| < q ^−1+ε }

^,

admettant unple d'ordre

rg(Pic(X ))

^en

t = q ⁻¹

^telque

t→q lim ⁻¹ (1 − qt) ^rg(Pic(X)) Z

H

(X × C / C , U, t)

= α ^∗ (X) β(X) h

(1 − q t) ^rg(Pic(X)) L

^Ar

( D , G, ρ

NS

, t) i

t=q ⁻¹

V (X × C / C ).

^(5.9.2)

Nousdonnonsi-dessous unpendantmotiviquedelaversionaaibliesuivante de

laquestion5.30.

Question 5.31. On suppose que

X × C / C

vérie l'approximation faible. Est-il vraiquepourunouvert

U

^{assezpetit, lasérie}

det(Id −F k t| Pic(X)) det(Id −q F k t| Pic(X )) Z

H

(X × C / C , t)

^(5.9.3)

onverge en

t = q ⁻¹

^vers

α ^∗ (X ) β(X )

det(Id −F k t| Pic(X )) det(Id −q F k t| Pic(X )) L

^Ar

( D , G, ρ

NS

, t)

t=q ⁻¹ V (X × C / C ) ?

(5.9.4)

Revenons au asd'un orps

k

^{quelonque. Pour}

U

^{ouvert de Zariski de}

X

^assez

petit,onpeutalorsonsidérerlafontionzêtadeshauteursantianoniquegéométrique

Z

H

,

^var

(X × C / C , U, t)

^{: 'est une série formelle dont les oeientssont leslasses}

dans

K 0 (Var k )

^{desespaesdemodules} paramétrantlesmorphismesde

C

vers

X

^de

U

^.Lorsque

k

^{est unorpsni,lemorphismenombredepoints envoie}

Z

^H

,

^{var sur}

Z

^H.Si

k

^estdearatéristiquezéro,onpeutonsidérerlafontionzêtadeshauteurs motiviques

Z

^H

,

^mot

déf

= χ

var

(Z

^H

,

^var

)

^{.Paranalogieave laquestion5.31,onpeutalors}

poserlaquestionsuivante.

Question 5.32. Supposons

k

^dearatéristiquezéro. Est-ilvrai quepourun ou-vert

U

^{assezpetitla série}

Z

^mot

(Pic(X ), t) ⁻¹ Z

^mot

(Pic(X), t) ⁻¹ Z

^H

,

^mot

(X × C / C , U, t)

^(5.9.5)

onverge dans

[K 0 (CHM(k) \ Q ) ⊗ Q ] ^{Poinc ℓ}

^en

t = L ⁻¹

^vers

α(X ) β (X )

Z

^mot

(Pic(X), t) ⁻¹ Z

^mot

(Pic(X), L t) ⁻¹ L

^mot

( D , G, ρ

NS

, t)

t=L ⁻¹ V

mot

(X × C / C ) ?

(5.9.6)

Lesargumentsdéveloppésdans[Bou06℄montrentquelaréponseàettequestion

estpositivedansleasoù

X

^{estunevariététoriquedéployéeet}

C = P ¹

^.

Remarque 5.33. Onpourraitimaginerrenforerlaquestion5.31endemandant

enoutre laonvergene delasérie (5.9.3)en

t = q ^−1+ε

^pour

ε > 0

^{assezpetit. Cei}

aurait deux avantages : d'une part une telle onvergene impliquerait une réponse

positiveàlaquestion5.30,d'autrepartl'adaptationauadremotiviqueseraitaisée

(quitteàintroduireformellementdesrainesde

L

^{dansl'anneaude}Grothendiekdes motifs). Cependant une réponse positive àla questionainsi reformulée entraînerait

enoutrequelesplesdelafontionzêtadeshauteurssurleerlederayon

q ⁻¹

^sont

inlus dansl'ensemble

{α ⁻¹ q ⁻¹ }

^,

α

^{dérivantlesvaleurspropresde}

F k

^sur

Pic(X )

^.

Cein'estpasvériéparexempledansleasduplanprojetifélatéenunpoint(où

q ⁻¹

^{n'estpasl'uniquepledu}prolongementméromorphesurleerlederayon

q ⁻¹

^).

Laquestionde lanature desples qui doiventapparaîtresurle erlederayon

q ⁻¹

resteàétudier.

Supposons à présent que

k

^{soit un orps de nombres et indiquons omment les}

questions5.31et 5.32pourraientêtrereliées.Onsupposequ'ilexisteunouvert

U

^tel

quelaréponseàlaquestion5.32soitpositive.Notons,pourallégerl'ériture,

Z ^

^H

,

^mot

(t)

^déf

= Z

^mot

(Pic(X), t) ⁻¹ Z

^mot

(Pic(X ), L t) ⁻¹ Z

^H

,

^mot

(X × C / C , U, t) ∈ K 0 (CHM(k) Q ) [[t]]

(5.9.7)

et

L ]

mot

(t)

^déf

= Z

mot

(Pic(X ), t) ⁻¹ Z

mot

(Pic(X), L t) ⁻¹ L

mot

( D , G, ρ

NS

, t) ∈ K 0 (CHM(k) Q ) [[t]].

(5.9.8)

Ainsi,d'aprèslepoint4delaproposition3.12,

L ]

^mot

(t)

^{estunpolynme.}

Supposonsenoutrequepourpresquetout

p

^onait

Tr p (χ ℓ ( Z ^

^H

,

^mot

(t)) = Z g

^H

,p (t)

^où

Z g

^H

,p (t)

^déf

= det(Id − Fr p t| Pic(X p )) det(Id −N (p) Fr p t| Pic(X p )) Z

^H

(X p × C _p / C _p , U p , t) ∈ C[[t]].

D'aprèslethéorème5.20,onestdanslasituationsuivante:

Si on arrive à montrer que la èhe horizontale inférieure est bien dénie et fait

ommuterlearréinférieur,onobtientquelaréponseàlaquestion5.31estpositive

en

p

^.Conrètement,onest ramenéàunproblèmed'interversiondesérie. Ils'agirait alorsdedégagerlespropriétésde

Z ^

^H

,

^{motassurantqueette} interversionestliite.

5.10. Une vraie version motivique. L'appelation motiviquepourle

vol-ume de Tamagawadont l'existeneest montréepar lethéorème5.17est abusiveau

vu de laomplétion utilisée. Ildevrait plutt êtrequalié de ohomologique. Si

onadmetlaonjeturequetoutmotif deChowadmetunedéomposition de

Chow-Künneth(f.[Mur93℄),onpeutdénirunpolynmedePoinarévirtuelabsolu

Poinc abs : K 0 (CHM(k) Q ) −→ K 0 (CHM(k) Q ) [u, u ⁻¹ ] [M ] 7−→ P

i∈Z

h ⁱ (M )

u ⁱ

^(5.10.1)

et onpeutsedemandersilaonvergenedunombredeTamagawamotiviquealieu

dans

K 0 (CHM(k) \ Q ) ⊗ Q ^{Poinc abs}

^{(et pas seulement dans une omplétion liée à une}

réalisationohomologique). En fait onpeut montrer unrésultat de onvergene

in-onditionnelpourlessurfaes:soit

S _k

lasous-atégoriepleinede

CHM(k) Q

^dontles

objetssontlesmotifsdéoupéssurlesvariétésdedimensionauplus

2

^,leurssommes

et leurs duaux. Comme les variétés de dimension au plus

2

^{admettent des}

déom-position deChow-Künneth(f. [Mur90℄), onpeutdénirunpolynmede Poinaré

virtuelabsolu

Théorème 5.34. Soit

k

^{un orps de} aratéristique zéro. Soit

C

une ourbe projetive, lisse et géométriquement intègre. Soit

S

^{une surfae projetive, lisse}

A 0 (S k(S) )

^{estnul.Onreprendlesnotations 5.11.Leproduit eulerienmotivique}

L ^{2 (1−g( C ))} Y

n>1



 Y

C∈

^Conj

(G)

P _ρ

NS

,{e},C ( L ⁻ⁿ ) ^{η k ′ ,G,C,n} Φ n (S) L ^{2 n}





ψ n ( C )

(5.10.3)

onverge dans

K 0 ( \ S _k ) ⊗ Q ^{Poinc abs}

^{(f.la notation 5.15).}

Remarque 5.35. L'hypothèseque

A 0 (S k(S) )

^{estnulestvériéedèsque}

A 0 (S _k(S) )

estnulle.Ceivautenpartiuliersi

S

^est

k(S)

-rationnellementonnexe,et donsi

S

estune surfaedeFano.

Démonstration. Comme

H ¹ (S, O _S ) = 0

^{, la variété d'Albanese de}

S

^{est triviale.}

D'après [KMP07, Propositions 14.2.1,14.2.3et Corollary14.4.9(a)℄, on aune

dé-omposition

h(S) = 1 ⊕ Pic(S)(−1) ⊕ t ² (S) ⊕ 1(−2)

^(5.10.4)

où

t ² (S)

^{estunmotifdepoids}

2

^{quiestnulsietseulementsi}

A 0 (S k(S) )

^estnul.Ainsi

ona

Z

mot

(S) = Z

mot

(1, t) Z

mot

(Pic(S), Lt) Z

mot

(1, L ² t)

^(5.10.5)

d'où

Z

^mot

(S) ⁻¹ = (1 − t)( X

n>0

(−1) ⁿ

Alt ⁿ (Pic(S))

L ⁿ t ⁿ ) (1 − L ² , t)).

^(5.10.6)

Onendéduitl'analoguepourlepolynmedePoinarévirtuelabsoludelaproposition

2.12:pourtout

n > 1

^,ona

Poinc abs (Φ n (S)) = 1 + P b 2 (S),n

_j

∧ Pic(S)

16j6b 2 (S)

u ^{2 n} + L ^{2 n} u ⁴ⁿ

^(5.10.7)

À partirdelà, ilest failede vérierque toutesleségalités de ladémonstrationdu

théorème5.17ontlieudans

K 0 ( S _k )⊗ Q

^{(etpasseulementdans}

K 0 ( G _k

^-

Q ℓ ) ⊗Q

^).

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