Contraintes de Classement

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Submitted on 26 Jun 2019

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Contraintes de Classement

Christian Bessière, Emmanuel Hébrard, George Katsirelos, Zeynep Kiziltan, Toby Walsh

To cite this version:

Christian Bessière, Emmanuel Hébrard, George Katsirelos, Zeynep Kiziltan, Toby Walsh. Contraintes

de Classement. 13èmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC 2017), Jun

2017, Montreuil-sur-mer, France. pp.89-90. �lirmm-02059660�

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Actes JFPC 2017

Contraintes de Classement

Christian Bessiere

¹

Emmanuel Hebrard

²

George Katsirelos

³

Zeynep Kiziltan

⁴

Toby Walsh

⁵

1

LIRMM, CNRS, Universit´ e de Montpellier

²

LAAS-CNRS, Universit´ e de Toulouse

3

MIAT, INRA

⁴

Universit´ e de Bologne

5

Universit´ e de Nouvelle-Galles du Sud

bessiere@lirmm.fr hebrard@laas.fr george.katsirelos@toulouse.inra.fr zeynep.kiziltan@unibo.it tw@cse.unsw.edu.au

R´ esum´ e

La notion de classement se manifeste dans de nom- breux domaines : la recherche d’information, la planifica- tion de tournois, la bibliom´ etrie, ou encore l’analyse sta- tistique. Nous proposons une contrainte pour mod´ eliser ce concept, ainsi que deux d´ ecompositions et des algo- rithmes de filtrage efficaces. Les r´ esultats exp´ erimentaux sur la minimisation de la corr´ elation entre classements d´ emontrent l’int´ erˆ et de l’approche choisie. Ce papier est un r´ esum´ e d’un article pr´ esent´ e ` a IJCAI-16 [1].

1 Introduction

Supposons que nous voulions d´ eterminer le classe- ment de joueurs de tennis sur un ensemble de tour- nois. La m´ ethode de Kemeny-Young est la seule m´ e- thode ` a la fois neutre, coh´ erente et Condorcet. Elle cal- cule le classement qui minimise la somme des distances de Kendall tau, i.e., du nombre de divergences, pour chaque paire de joueurs, avec le classement d’un tour- noi. D´ eterminer ce classement est NP-complet pour 4 tournois, et le calculer par r´ esolution d’un CSP n´ eces- site de repr´ esenter la notion de classement.

Un classement peut avoir des ex æquo, au contraire d’une permutation. Par exemple, 12225 et 12345 sont des classements mais seul le deuxi` eme est une permu- tation. Il existe une contrainte globale ´ el´ egante et effi- cace pour la notion de permutation, pour laquelle R´ e- gin a propos´ e un algorithme ´ etablissant la coh´ erence d’arc en O(n

²

d

²

) [5]. Pourtant, aucun outil de r´ eso- lution ne propose d’algorithme pour la contrainte de classement. Nous comblons ce manque dans ce papier.

2 La contrainte de classement

D´ efinition 1 Une s´ equence R est un classement si et seulement si R = (1), ou R = (x

1

, . . . , x

m+1

) avec

x

m+1

= x

m

ou x

m+1

= m + 1 et (x

1

, . . . , x

m

) est un classement. La contrainte Classement (X

1

, . . . , X

n

) est satisfaite si et seulement si il existe une permuta- tion π telle que (X

π(1)

, . . . , X

π(n)

) est un classement.

Par exemple, Classement ([4, 1, 2, 2]) est satisfaite, mais Classement ([3, 1, 4, 3]) ne l’est pas.

Il est possible d’exprimer cette contrainte ` a l’aide de la contrainte Tri´ e (X, Y) [3], qui impose que Y = Y

1

, . . . , Y

n

soit une permutation croissante de la s´ e- quence X = X

1

, . . . , X

n

:

Tri´ e (X, Y), Y

1

= 1

Y

i

= Y

_i−1

∨ Y

i

= i ∀i ∈ [2, n]

Un second mod` ele utilise la contrainte Cgc (X, V, Y) [4], o` u Y = {Y

v

| v ∈ V }, qui impose ` a chaque valeur v ∈ V un nombre d’occurrences dans X ´ egal ` a Y

v

.

Cgc (X, {1, . . . , n}, Y), Y

₁

= Z

₁

Z

i

= Z

_i−1

+ Y

i

∀i ∈ [2, n]

Z

_i

≥ i ∀i ∈ [1, n]

Y

i

= 0 ⇐⇒ Z

i−1

≥ i ∀i ∈ [2, n]

Etablir la coh´ ´ erence d’arc sur l’une ou l’autre de ces

d´ ecompositions n’est pas suffisant pour ´ etablir la coh´ e-

rence d’arc (de bornes) sur la contrainte Classement .

Arc coh´ erence. Le probl` eme de l’existence d’un sup-

port peut ˆ etre reformul´ e comme un probl` eme de flot

maximum lexicographique [2] (e.g., avec des coˆ uts ex-

ponentiels). Un flot dans ce r´ eseau est une s´ equence R

qui respecte une condition proche de celle d’un classe-

ment : l’´ egalit´ e x

_m+1

= m + 1 dans la d´ efinition 1 est

remplac´ ee par x

m+1

≥ m+ 1. Si le flot maximum n’est

(3)

pas un classement, il existe un indice i dans la s´ equence tel que le pr´ efixe de taille i − 1 (i.e., x

1

, . . . , x

_i−1

, les i − 1 plus petites valeurs) est un classement, et x

i

> i.

Or, la s´ equence R = x

1

, . . . , x

n

donn´ ee par un flot maximum est maximale dans l’ordre lexicographique.

Il s’en suit qu’il n’existe pas de classement pr´ efixe dont le maximum est sup´ erieur ou ´ egal ` a x

i

et de longueur

≤ i. Cette contrainte peut ˆ etre rajout´ ee au r´ eseau en changeant la capacit´ e d’un seul arc. Le nombre de r´ e- visions, et donc d’it´ erations est born´ e par O(n

²

).

Coh´ erence de bornes. L’algorithme glouton suivant calcule un support pour la coh´ erence de bornes en temps O(n log n). Il maintient une partition des va- riables entre assign´ ees (A) et non-assign´ ees (U ) : SupportCB : A chaque it´ eration, si aucune variable dans U ne contient la valeur |A| + 1, alors un ´ echec est renvoy´ e. Sinon, la variable X

_i

avec la plus petite borne sup´ erieure est choisie parmi celles-ci. Lors d’une it´ eration, les trois ´ etapes suivantes ont lieu :

— X

_i

est affect´ ee ` a |A| + 1 et d´ eplac´ ee de U vers A.

— Pour un ensemble F initialement vide, et tant qu’il existe des variables dans U dont la borne sup´ erieure est inf´ erieure ` a |A| + |F| + 1 ces va- riables sont d´ eplac´ ees de U vers F.

— Toutes les variables dans F prennent la valeur

|A| et sont d´ eplac´ ees de F vers A. Un ´ echec est renvoy´ e si ce n’est pas possible.

Th´ eor` eme 1 L’algorithme SupportCB retourne un support de bornes s’il en existe un, et renvoie un ´ echec sinon, en temps O(n log n).

Il existe trois raisons pour l’incoh´ erence de bornes : D´ efinition 2 (Valeur satur´ ee/´ echec) Une valeur v est satur´ ee s’il existe exactement v variables dont le domaine a une intersection non nulle avec l’intervalle [1, v]. De plus, si ce nombre est strictement inf´ erieur

`

a v, alors v est une valeur ´ echec.

S’il existe une valeur satur´ ee v, alors le domaine de toute variable contenant v peut ˆ etre restreint ` a son in- tersection avec [1, v]. S’il existe une valeur ´ echec, alors la contrainte est incoh´ erente.

D´ efinition 3 ((super-)intervalles de Hall) Soit V

_v

(a, b) = {X | D(X) ⊆ [a, b]} et S(a, b) = |V

_v

(a, b)|.

[a, b] est un intervalle de Hall si S(a, b) = b − a + 1, et un super-intervalle de Hall si S(a, b) > b − a + 1.

S’il existe un super-intervalle de Hall [a, b], alors au- cune variable hors de V

_v

(a, b) ne peut prendre de va- leur dans l’intervalle [b + 1, a + S(a, b) − 1].

Enfin, une affectation peut ˆ etre incoh´ erente parce qu’elle ´ etendrait un ensemble de (super-)intervalles

jusqu’` a vider le domaine d’une autre variable. Par exemple, une variable X

j

6∈ V

_v

(a, b) participerait ` a cet intervalle si une valeur dans [a, b] lui ´ et´ e affect´ ee, avec pour cons´ equence l’extension des valeurs inter- dites [b + 1, a + S(a, b) − 1], jusqu’` a possiblement re- couvrir le domaine d’une variable X

j

.

3 R´ esultats exp´ erimentaux

Nous avons ´ evalu´ e les diff´ erents algorithmes et d´ e- compositions sur le probl` eme de la minimisation de la corr´ elation entre deux classements. La figure 1 montre, pour chaque taille de s´ equence dans [5, 20], le temps CPU moyen et le ratio d’instances non r´ esolues en moins de 30 minutes (en pointill´ e) sur des domaines g´ en´ er´ es de fa¸ con al´ eatoire et pour quatre m´ ethodes : les deux d´ ecompositions de la section 2 (Tri´ e, Cgc) ; un algorithme complet pour la coh´ erence de bornes

“force brute” (singleton) ; et un algorithme incomplet bas´ e sur les r` egles de filtrage de la section 2 (filtrage).

Figure 1 – Non-corr´ elation : Intervalles al´ eatoires

4 Conclusion

Nous avons propos´ e une contrainte globale de classe- ment. ´ Etablir la coh´ erence d’arc pour cette contrainte est polynomial, mais coˆ uteux. Nous avons donc pro- pos´ e un algorithme pour la coh´ erence de bornes per- mettant un gain en performance d’environ un ordre de grandeur par rapport ` a une d´ ecomposition.

R´ ef´ erences

[1] C. Bessiere, E. Hebrard, G. Katsirelos, Z. Kiziltan, T. Walsh. Ranking constraints. IJCAI, p. 705–711, 2016.

[2] D. Kozen. Lexicographic flow. Technical Report, Cornell University, 2009.

[3] W.J. Older, G.M. Swinkels, M.H. van Emden. Getting to the real problem : experience with BNR Prolog in OR.

PAP, p. 465-478, 1995.

[4] A. Oplobedu, J. Marcovitch, Y. Tourbier. CHARME : Un langage industriel de programmation par contraintes, illustr´ e par une application chez Renault. Workshop on Expert Systems and their Applications, p. 55-70, 1989.