EM3 – Exemples de champs électrostatiques A – Travaux dirigés EM31 – Distribution volumique entre deux plans

EM3 – Exemples de champs électrostatiques A – Travaux dirigés

EM31 – Distribution volumique entre deux plans

EM32 – Champ créé par une boule

EM33 – Faisceau de particules chargées à symétrie cylindrique

1°)

a) Le problème est à symétrie cylindrique d’où : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸(𝑟𝑟)𝑢𝑢����⃗_𝑟𝑟

Donc, on applique le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r d’axe Oz et de hauteur h tel que :

φ _{= 𝐸𝐸. 2}π_{𝑟𝑟ℎ =} ^𝑄𝑄ε^{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖}₀ ⇒ _{𝐸𝐸�⃗ =} ^{𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖} 2πε_{0𝑟𝑟ℎ 𝑢𝑢}^{����⃗𝑟𝑟} 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖} = ρπ_𝑟𝑟²_ℎ ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 < 𝑅𝑅) = ρ₀

2ε₀^𝑟𝑟⃗

𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖} = ρπ_{𝑅𝑅²ℎ} ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅) =ρ_0𝑅𝑅² 2ε_{0𝑟𝑟 𝑢𝑢}^{����⃗𝑟𝑟} b) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖} = ∫₀^𝑟𝑟ρ_𝑑𝑑τ _{= ∫} ρ_{0�1 +} ^𝑟𝑟2

𝑅𝑅²� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ_{𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑟𝑟 0

⇔ _{𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =}ρ_{0� �𝑟𝑟 +} ^𝑟𝑟3

𝑅𝑅²� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗ 2π_{ℎ = 2}πρ_{0ℎ �}^𝑟𝑟2 2 +

𝑟𝑟⁴ 4𝑅𝑅²�

𝑟𝑟 0

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 < 𝑅𝑅) = ρ₀

2ε₀. 𝑟𝑟 �1 + 𝑟𝑟² 2𝑅𝑅²� 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖} = �^𝑅𝑅ρ_𝑑𝑑τ

0 = � ρ_{0�1 +} ^𝑟𝑟2

𝑅𝑅²� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ_{𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑅𝑅 0

⇔ _{𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =} ρ_{0� �𝑟𝑟 +}^𝑟𝑟3

𝑅𝑅²� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗ 2π_{ℎ = 2}πρ_{0ℎ �}^𝑅𝑅2 2 +

𝑅𝑅⁴ 4𝑅𝑅²�

𝑅𝑅 0

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅) = 3

4 .ρ₀ε^𝑅𝑅₀²_{𝑟𝑟 𝑢𝑢}^{����⃗𝑟𝑟}

2°) Le conducteur filiforme est le cas limite précédent où 𝑅𝑅 → 0 d'où la conservation de la charge s'écrit :

λ_{ℎ =} ρ₀π_𝑅𝑅²_ℎ ⇒ λ

π⁼ ρ_0𝑅𝑅²

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = _2πε^λ

0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗_𝑟𝑟

3°) En appliquant le théorème de Gauss:

- 𝑆𝑆𝑆𝑆 0 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 0�⃗

- Si 𝑅𝑅1 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅2 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = ₂^ρ_ε⁰

0�𝑟𝑟 −^𝑅𝑅_𝑟𝑟¹²� . 𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟

- Si 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅₂ ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = ₂^ρ_ε⁰

0𝑟𝑟. (𝑅𝑅₂²− 𝑅𝑅₁²). 𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟

4°) Cette fois : ρ₀π _(𝑅𝑅2²_{− 𝑅𝑅1}²_{)ℎ =} σ ₂π_𝑅𝑅1ℎ ⇒ρ_0(𝑅𝑅2² _{− 𝑅𝑅1}²_{) = 2}σ _𝑅𝑅1 ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1) = 0�⃗ 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅1) = σ _ε^𝑅𝑅1

0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗_𝑟𝑟

EM34 – Energie coulombienne de deux noyaux miroirs

1°) La sphère de rayon r a déjà été construite, elle porte la charge 𝑞𝑞(𝑟𝑟) = 𝜌𝜌 ⁴₃π_𝑟𝑟³_, l’opérateur va amener la charge 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜌𝜌 4π_𝑟𝑟²_{𝑑𝑑𝑟𝑟} (couronne sphérique concentrique) de l’infini à r. Par conséquent : δ_{𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑑𝑑𝑞𝑞� 𝑉𝑉(𝑟𝑟) − 𝑉𝑉(∞)�

⇒δ_{𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑑𝑑𝑞𝑞 � 𝜌𝜌

43π_𝑟𝑟³

4πε_{0𝑟𝑟 − 0}^{� = 𝜌𝜌 4}π_𝑟𝑟²_{𝑑𝑑𝑟𝑟 ×}ρ_𝑟𝑟²

3ε₀ ^⇒δ_{𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 =} ⁴πρ² 3ε₀ ^𝑟𝑟4

Pour obtenir la sphère de rayon R, on intègre cette expression pour r variant de 0 à R, il vient :

⇒ _{𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =}⁴πρ²

3ε₀ ^{� 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟}

𝑅𝑅

0

= 4πρ² 3ε₀ ^𝑅𝑅

5

5 Or : 𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 ⁴₃π𝑅𝑅³⇒ρ² ₌ ⁹

16π²𝑅𝑅⁶𝑄𝑄²

⇒ _{𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =} ⁴π

3ε₀^{× 9𝑄𝑄}

2

16π²_𝑅𝑅^6×𝑅𝑅

5

5 = 3 4πε₀^𝑄𝑄

2

5𝑅𝑅

L’énergie électrostatique de constitution d’un noyau atomique est égale à : 𝐸𝐸_{𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛} = 3

5 × 𝑄𝑄²

4πε_{0𝑅𝑅 > 0}

B – Exercices supplémentaires

EM35 - Recherche d’une distribution de charges

EM36 – Distribution volumique entre deux sphères concentriques

EM37 - Champ dans une cavité cylindrique

Donc : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸����⃗ + 𝐸𝐸₁ ����⃗ =_{2 2𝜀𝜀}^𝜌𝜌

0𝐻𝐻����������⃗₁𝐻𝐻₂

EM38 – Champ dans une cavité sphérique

EM39 – Étude d'un champ électrique à distribution cylindrique