II Étude d'une pompe à chaleur pédagogique

CB 2 DE Physique PCSI 1, 2, 3 Mardi 28 mai 2019 (durée : 4 h)

CALCULATRICES AUTORISÉES

Cet énoncé est accompagné d'un document réponse à rendre avec la copie.

Les 2 parties sont deux problèmes totalement indépendants.

N'hésitez pas à admettre les résultats donnés que vous n'arriveriez pas à démontrer, an de poursuivre dans les problèmes.

I Utilisation d'un club de golf

L'objectif du golf est de parvenir, en un nombre de coups le plus faible possible, à envoyer la balle dans chacun des 18 trous du parcours, en la frappant à l'aide d'un instrument appelé club : le geste eectué par le joueur avec le club pour frapper la balle est appelé swing . On étudie dans ce problème la mécanique du swing, pour mettre en évidence à la fois la cinématique et les eorts mis en jeu. On termine par une approche de l'eet de l'air sur le mouvement de la balle.

Dans tout le problème on travaille dans le référentiel terrestreR considéré galiléen, auquel on associe le repère orthonormé(O, ~ux, ~uy, ~uz).

I.1 Caractéristiques du club

Un club de golf est schématiquement composé de deux parties, rigidement liées entre elles : le manche et la tête de club. Le joueur tient le club avec ses mains par l'extrémité A du manche, et la tête de club est xée à l'autre extrémité B et entre en contact avec la balle lors de l'impact (voir Figure 1). Attention, dans tout l'énoncé, le mot club représentera l'ensemble {manche et tête de club}.

Le manche est une tige rectiligne sans épaisseur de longueur AB = L_c. Le club possède un centre de masseG_c qu'on considérera situé sur le manche, avecAG_c= hc, une masse totale mc et un moment d'inertie total Jc par rapport à un axe perpendiculaire passant par A. Il faut bien noter que la tête de club est prise en compte dansG_c,m_c etJ_c.

On cherche dans cette partie à déterminer expérimentalement AGc=hc etJc.

A

B

Manche

Tête Figure 1 Q1. Expliquer brièvement et précisément, en vous appuyant sur un schéma, pourquoi on détermine

la position de G_c en tendant son index à l'horizontale et en s'arrangeant pour poser le club en équilibre dessus.

Q2. An de mesurer J_c, on réalise à l'aide du club un pendule simple, en suspendant l'extrémité supérieure du manche (pointA) à un axe horizontal (Az) xe, par une liaison pivot sans frottement. On repère l'écart du club avec la verticale par l'angleϕ(voir Figure 2).

a) À l'aide du théorème du moment cinétique et en négligeant les frot- tements de l'air, établir l'équation diérentielle du mouvement. On noteragl'intensité du champ de pesanteur, et on introduira une pul- sation propreω₀.

b) On mesure la période des petites oscillations : T₀ = 2,3 s. Exprimer J_c en fonction de m_c, g,h_cet T₀. Application numérique avec m_c= 0,32 kg, g = 9,8 m·s⁻² et hc = 80 cm (données typiques pour un club de type driver , utilisé pour frapper les coups les plus longs).

A

B L_c h_c Gc

ϕ

~u_z

~ u_x

~ u_y

~g

Figure 2

I.2 Modèle du pendule double

On introduit ici le modèle qui sera utilisé dans toute la suite. Le club a déjà été décrit en section I.1.

Pour décrire le swing de golf, il faut prendre en compte le mouvement du club... mais aussi celui du golfeur ! Le modèle le plus simple, de type pendule double , consiste à considérer que les bras du golfeur sont en rotation autour d'un axe xe. On assimile de manière simpliée l'association des deux bras à une tige uniqueOA, rectiligne homogène, de longueur OA = L_b, de masse m_b et de moment d'inertie J_b par rapport à l'axe(Oz) (voir Figure 3). L'axe (Oz) est supposé xe dans R.

La tige OA ( les bras ) pivote dans le plan vertical (xOy), autour de (Oz) xe : on repère son écart par rapport à la verticale (Ox) par l'angle θ. Le club se déplace dans le même plan vertical : on note ϕ l'angle entre le club et la verticale. Grâce à l'articulation au niveau des poignets, modélisée ici comme une simple liaison pivot au niveau de l'axe(Az), cet angle est a priori indépendant deθ. On dénit enn un angle β=ϕ−θ.

O

A

B

Lb

balle sol

θ

ϕ

~ u_z

~ u_x

~ u_y

~g

Figure 3

Lors d'un swing complet, le golfeur commence par faire pivoter les bras et le club vers le haut, jusqu'à parvenir à une situation de torsion extrême où il ne peut plus tourner ses bras davantage. . . puis il fait redescendre les bras et le club rapidement an que la tête de club frappe la balle avec une vitesse élevée. On s'intéressera ici uniquement à cette phase de descente. La descente a lieu entre l'instant déni commet= 0 où les bras et le club sont immobiles, et l'instantt=τ où la tête de clubB frappe la balle. Avant l'impact, la balle repose sur le sol à la verticale du pointO, mais la balle n'interviendra pas du tout dans tout le problème (sauf à la section I.5)

Données : h_c= 80 cm;L_c= 1,1 m;m_c= 0,32 kg;L_b = 0,65 m;J_c calculé en Q2..

Q3. À l'aide d'un schéma simple, dégager le sens physique de l'angle β.

Q4. Àt= 0(position de torsion maximale du golfeur), on considérera pour toute la suite queθ(0) =π etϕ(0) = 3π/2. À t=τ (impact avec la balle), θ(τ) =ϕ(τ) = 0. Faire un schéma de ces deux positions, en précisant à chaque fois la valeur deβ.

I.3 Expressions des grandeurs cinétiques

Q5. En s'appuyant sur la Figure 3, donner les coordonnéesxGc etyGc du centre de masseGcdu club à un instant quelconque, dans le repère(O, ~ux, ~uy, ~uz) en fonction deL_b,hc,θetϕ. En déduire, dans ce même système de coordonnées, l'expression de la résultante cinétique (ou quantité de mouvement )~pc du club.

Q6. a) Donner l'énergie cinétique Ecb des bras (c'est-à-dire de la tigeOA), en fonction deJb etθ˙. b) Déterminer l'énergie cinétique Ecc du club. Pour cela, on admettra

• d'une part le théorème de K÷nig : l'énergie cinétique d'un solide en mouvement quel- conque est la somme de l'énergie cinétique associée à son mouvement de translation (donc à sa résultante cinétique), et de l'énergie cinétique associée à son mouvement de rotation propre autour de son centre d'inertie considéré xe ;

• d'autre part le théorème de Huygens : le moment d'inertie du club par rapport à(G_cz), notéJ_c⁰, s'exprime simplement à partir de son moment d'inertieJcpar rapport à(Az):

J_c⁰ =Jc−mch²_c.

c) En déduire que l'énergie cinétique de l'ensemble {bras et club} se met sous la forme : Ec= 1

2Cθ˙²+1

2Dϕ˙²+Eθ˙ϕ˙cosβ avec C=J_b+mcL²_b , D=Jc et E=mcL_bhc.

Q7. En admettant que le théorème de K÷nig s'applique aussi de la même manière pour le moment cinétique par rapport à l'axe xe (Oz), montrer que le moment cinétique σ_(Oz) de l'ensemble {bras et club} par rapport à l'axe(Oz)se met sous la forme

σ^Oz=Cθ˙+Dϕ˙+E( ˙θ+ ˙ϕ) cosβ

avec C, D et E les constantes trouvées en Q6. Pour la suite, il est conseillé d'utiliser cette expression en gardantC,DetE (sans les remplacer par leurs expressions).

I.4 Application : dynamique du swing

Dans cette section, on considérera les eorts et les accélérations assez importants pour pouvoir négliger la pesanteur et les frottements de l'air.

Q8. L'action du reste du corps sur les bras, au niveau de l'articulation en O, se réduit à une force inconnue appliquée enO et à un couple~Γ_b = Γ_b~u_z que l'on considérera comme indépendant du temps.

Quel est le signe de Γb? En appliquant le théorème du moment cinétique au système {bras et club}, établir une première équation diérentielle, faisant notamment apparaître θ, ϕ et leurs dérivées ainsi que Γ_b.

An de déterminer plus complètement les eorts fournis par le golfeur, il faut s'intéresser à l'action des bras sur le club, au niveau de la liaison enA : on considérera que les actions des bras sur le club se réduisent à une force de résultanteF~b→c=F_x~u_x+F_y~u_y et à un couple~Γb→c= Γ_c~u_z.

Q9. Écrire la relation entre les composantes Fx etFy et les composantes de~pc(dénie en Q5.).

On admet que l'on peut aussi exprimerΓ_c en fonction de ϕetϕ¨ grâce au théorème du moment cinétique appliqué au club seul (hors programme).

Q10. Première phase de la descente

Dans la première phase, on constate expérimentalement que le golfeur bloque ses poignets, de telle sorte que l'angleβ(t) reste constant, égal à sa valeur initiale β(0)(cf Q4.).

a) Quelle est alors durant cette phase la relation entre θ˙ et ϕ˙? Résoudre alors l'équation du Q8. en exprimantθ(t) en fonction deC,DetΓb.

b) À l'aide des trois équations établies en Q9., on peut montrer alors (calcul non demandé !) que durant cette phase

Γ_c= DΓ_b

C+D+ EΓ²_b (C+D)²t²

En déduire qu'il existe un instantt0 où le couple exercé par les bras sur le club s'annule et déterminer l'angleθ(t₀) correspondant, en fonction deDetE. Application numérique pour θ(t₀).

Q11. Deuxième phase de la descente

Pour t > t0 et jusqu'au moment de l'impact avec la balle à t = τ, un bon joueur n'exerce quasiment plus aucun couple sur le club, c'est-à-dire qu'il libère ses poignets et on peut donc considérer que Γ_c = 0 (la liaison bras club au niveau de l'axe (Az) devient un pivot parfait).

Attention, le coupleΓb reste non nul et toujours indépendant du temps.

a) Pourquoi, de t= 0jusqu'àt=τ, le travail des forces intérieures au système {bras et club}

est-il nul ?

b) Que vaut le travail du couple ~Γ_b pendant cette même durée, en fonction deΓ_b?

c) À t = τ, des mesures montrent que |θ(τ˙ )| |ϕ(τ˙ )|. Les constantes C, D et E étant de valeurs assez proches, déduire des questions Q11.a) et Q11.b) l'expression approchée de

˙

ϕ(τ) en fonction deΓ_b etJ_c.

d) En déduire l'expression approchée de la vitesse de la tête de club (assimilée ici à la vitesse du pointB) au moment de l'impact.

Sachant qu'on mesure une vitesse ||~vb|| = 150 km.h⁻¹, en déduire la valeur du couple Γb

appliqué par le corps.

I.5 Le vol de la balle

La tête de club est en réalité assimilable à une surface plane dont l'inclinaison avec la verticale varie en fonction du type de club. L'impact de cette surface avec la balle est un phénomène très violent et très bref. Typiquement, lors d'un coup frappé avec un club de type driver (vitesse de la tête de club d'environ50 m·s⁻¹), la balle passe d'une vitesse initiale nulle à environ70 m·s⁻¹ à la n du contact avec la tête, qui dure0,50 ms. Cependant l'inclinaison de la tête de club entraîne un glissement de la balle le long de celle-ci pendant l'impact, ce qui conduit à une mise en rotation de la balle. Ainsi une balle frappée avec un driver quitte le sol en eectuant de l'ordre de 60 rotations par seconde. Dans le cas d'un coup sans aucun eet l'axe de rotation de la balle est horizontal et perpendiculaire à sa vitesse à la sortie du club.

On s'intéresse dans cette partie à l'eet de la rotation de la balle sur sa trajectoire aérienne. Pour simplier le calcul, on s'intéresse à un modèle d'écoulement autour d'un cylindre de longueur innie, de rayonR, animé d'un mouvement de rotation autour de son axe(Oz)xe, avec un vecteur-rotation Ω = Ω~~ uz dans le référentiel R(O, ~ux, ~uy, ~uz) galiléen (cf Figure 4).

Pour cela, on eectue un changement de référentiel en se plaçant dans un référentiel où l'axe du cylindre est immobile et l'air en écoulement. Loin du cylindre, en amont de celui- ci, l'écoulement a une vitesse uniforme,~v0 =−v₀~ux, avecv0

constante et positive. On repère un point M de l'espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) d'axe(Oz).

Un modèle d'écoulement d'air incompressible et non vis- queux de masse volumiqueρ conduit à l'expression suivante du champ de pression autour du cylindre modélisant la balle :

P(R, θ) =P0+ ρ 2

v₀²(1−4 sin²θ)−R²Ω²−4RΩv0sinθ , où P₀ représente la valeur de la pression loin du cylindre, considérée uniforme.

x y

z O

r

M θ

~

v0 =−v₀~ux

Figure 4

Q12. En déduire, à l'aide d'un schéma clair et d'arguments de symétrie, que la résultanteF~p des forces de pression sur le cylindre a une composante nulle selon~u_x.

Q13. a) En raisonnant sur une portion de cylindre de hauteurh, déterminer la force de pressionF~p

selon ~uy et mettre nalement F~p sous la forme F~p =α~v0 ∧Ω~ en exprimant la constante α en fonction des données. On pourra utiliser

Z 2π

0

sin³θdθ = 0 et Z 2π 0

sin²θdθ=π . b) Commenter ce résultat d'un point-de-vue physique et dimensionnel.

On admet que le résultat ci-dessus se transpose à une balle de golf, à condition de prendre pour le coecientα une valeur appropriée.

Q14. Commenter la direction et le sens de la force F~p selon que le golfeur a correctement frappé la balle (Ω>0) ou a totalement raté son coup (Ω<0).

Q15. Calculer la norme de cette force au départ d'un coup de driver : Ω = 3,8×10² rad·s⁻¹, v0 = 70 m·s⁻¹ etα≈1,5×10⁻⁵(S.I.). Commenter, sachant que la balle a une masseM_b = 46 g. Q16. Que risque le golfeur si, à cause d'un swing imparfait, le vecteur-rotation n'est pas tout à fait

porté par ~uz?

Q17. Quel phénomène négligé ici faudrait-il prendre en compte pour une description complète des forces subies par la balle ? Quelle est sa conséquence sur la vitesse et la rotation de la balle au cours de son vol ?

II Étude d'une pompe à chaleur pédagogique

Dans le cadre du développement durable, la pompe à chaleur est une machine thermique particuliè- rement intéressante en raison de son ecacité supérieure à un. Elle est utilisée comme dispositif de chauage en hiver et comme climatiseur (système réfrigérant) en été.

Une pompe à chaleur est une machine thermique comportant deux sources de chaleur (froide et chaude) entre lesquelles un uide caloporteur subit des cycles de transformation. Le uide utilisé dans la pompe à chaleur du laboratoire est le 1,1,1,2-tétrauoroéthane (uide HFC référencé R134a).

Nous allons étudier une pompe à chaleur pédagogique : nous aborderons l'étude de la machine ther- mique en considérant dans un premier temps le système fermé constitué par le uide caloporteur R134a. Nous considérerons ensuite l'écoulement du uide dans les diérentes machines qui composent la pompe à chaleur.

Figure 1 Vue d'ensemble de la pompe à chaleur

II.1 Étude thermodynamique du système fermé

Le dispositif comprend les diérents organes mentionnés gure 1. Le uide R134a est contenu dans un tuyau de cuivre parfaitement fermé. Sous forme gazeuse à la sortie du compresseur (point 2), il subit une liquéfaction au niveau du condenseur : le tuyau de cuivre prend la forme d'un serpentin plongé dans le seau de droite contenant de l'eau (gure 2). Le liquide subit ensuite une détente au niveau du détendeur (évolution de 4 à 5) avant de se vaporiser complètement au niveau de l'évaporateur : le tuyau de cuivre prend la forme d'un serpentin plongé dans le seau de gauche contenant de l'eau (gure 2). Il retourne à nouveau dans le compresseur (point 1) pour suivre un nouveau cycle.

Figure 2 Vues détaillées des serpentins

Figure 3 Vues détaillées des manomètres

On dispose de deux manomètres (basse pression et haute pression) permettant une mesure de pression relative (P_rbetP_rh) ; pour obtenir la pression absolue on doit ajouter 1 bar. Ces manomètres présentent une double graduation pression relative et température.

On utilise un système d'expérimentation assistée par ordinateur an de suivre l'évolution des tempéra- turesTi aux diérents points et de la puissanceP consommée par le compresseur. Pour cette dernière, on utilise un wattmètre disposant d'une sortie en tension proportionnelle à la puissance mesurée.

On peut schématiser le fonctionnement de la pompe à chaleur sur le schéma d'ensemble donné gure 4.

Figure 4 Schéma d'ensemble de la pompe à chaleur

On note les températures exprimées en^◦C avec la lettreθ et celles exprimées en kelvin avec la lettre T.

II.1.1 Modèle de Carnot

Dans toute cette partie, on modélise la pompe à chaleur par une machine cyclique réversible ditherme de Carnot : au cours d'un cycle le uide R134a reçoit le transfert thermiqueQ_f de la part de la source froide (à la températureT_f), le transfert thermiqueQ_cde la part de la source chaude (à la température Tc) et le travailW de la part du compresseur. On suppose que toutes les évolutions sont réversibles.

Q1. a) Appliquer le premier principe au uide R134a sur un cycle. L'écriture obtenue dépend-elle du caractère réversible des évolutions ?

b) Appliquer le second principe au uide R134a sur un cycle. L'écriture obtenue dépend-elle du caractère réversible des évolutions ?

Dans une pompe à chaleur, le transfert thermique reçu par la source froide est positif(Q_f >0). Q2. a) Donner, en le justiant, le signe de Q_c puis deW pour la pompe à chaleur.

b) Comparer |Q_f|et|Q_c|. Commenter.

Q3. La pompe à chaleur est utilisée ici comme un réfrigérateur.

a) Dénir l'ecacité η_{f c} de cette machine et l'exprimer en fonction des températures des sources.

b) Faire l'application numérique avecθc= 26^◦C et θf = 0^◦C.

c) Commenter le résultat en se référant à un ordre de grandeur de l'ecacité d'une machine réelle actuelle.

Q4. La pompe à chaleur est utilisée ici comme un dispositif de chauage.

a) Dénir l'ecacité η_cc de cette machine et l'exprimer en fonction des températures des sources.

b) Faire l'application numérique avecθ_c= 26^◦C et θ_f = 0^◦C. Commenter.

II.1.2 Modèle des pseudo-sources

Dans cette partie, on considère que les températures des sources, constituées des masses d'eau m_e contenues dans les seaux en plastique, varient au cours de l'expérience (pseudo-sources). On suppose également que toutes les évolutions sont réversibles. À la date t = 0, on met en marche la pompe à chaleur alors que les deux seaux contiennent chacunm_e = 4kg d'eau à la même températureT₀. On notec_e la capacité thermique massique de l'eau.

La température des pseudo-sources évoluant très peu à chaque cycle (considéré innitésimal), l'évo- lution complète se fait sur un temps long constitué d'une succession d'un grand nombre de cycles considérés innitésimaux.

Q5. a) Appliquer le premier principe au uide R134a pour un cycle considéré innitésimal.

b) Appliquer le second principe au uide R134a pour un cycle considéré innitésimal.

Q6. a) Exprimer le transfert thermique élémentaire δQf reçu par le uide de la part de la source froide en fonction deme, ce etdT_f, où dT_f est la variation élémentaire de température de la source froide.

b) Exprimer le transfert thermique élémentaire δQ_c reçu par le uide de la part de la source chaude en fonction dem_e,c_e etdT_c, oùdT_c est la variation élémentaire de température de la source chaude.

c) En déduire la relation : ^dT_Tf^f + ^dT_T^c

c = 0.

Q7. Lors de l'expérience, on obtient les tracés de la gure 5 avec θ₀ = 17^◦C, où θ₀ représente la température initiale commune des deux seaux.

Figure 5 Courbes expérimentales

a) Commenter l'allure des trois courbes du haut donnant les variations de T_c(t), T_f(t) et pTc(t)T_f(t). On commentera avec soin l'allure de cette dernière courbe.

b) Pourt >1500s, on observe que la températureTf ne varie plus. Quel phénomène se produit- il à partir de cette date ? Proposer une expression pour le transfert thermique innitésimal

δQf pour t >1500s. Vous pouvez introduire une ou plusieurs grandeurs que vous dénirez soigneusement.

Dans la suite, on se place à t <1500s.

Q8. On dénit une ecacité théorique par : η_t =

δQ_c δW

où δW est le travail reçu par le uide de la part du compresseur au cours d'un cycle innitésimal.

a) Justier la dénition de ηt. b) Exprimerη_t à l'aide de T_c etT_f.

c) En déduire :η_t= T_c² T_c²−T₀².

d) En exprimant ∆T =Tc−T_f, on peut montrer que l'ecacité théorique ηt de la pompe à chaleur à chaleur s'écrit :ηt= 1

2+ s

1 4+

T0

∆T 2

. Commenter cette expression. La courbe nomméeethéorique (gure 5) est-elle en accord avec cette expression ?

II.2 Étude thermodynamique de l'écoulement stationnaire II.2.1 Écoulements stationnaires à travers les diérents composants

Dans cette partie, on considère cette fois que le uide est en écoulement stationnaire à travers les dié- rentes machines qui composent la pompe à chaleur (compresseur, condenseur, détendeur, évaporateur, tuyau). De plus, on réalise un écoulement d'eau dans le seau de droite (gure 6) : le seau de droite est alimenté en eau par un robinet et l'eau du seau s'évacue ensuite dans un évier.

Figure 6 Pompe à chaleur avec dispositif de refroidissement

Au bout d'une vingtaine de minutes, la température de l'eau du seau de droite (notéeθ₃) est constante.

Il en va de même pour celle du seau de gauche. Les températures et pressions se stabilisent alors dans l'ensemble du dispositif comme le montre le relevé donné gure 7.

Figure 7 Relevé de températures

Le régime permanent atteint, on eectue alors les mesures de températureθi et de pressionPireportées dans le tableau 1.

1 2 3 3' 4 5 6

P_r (bar) 1,9 5,8 5,8 5,8 5,8 1,9 1,9 P (bar) 2,9 6,8 6,8 6,8 6,8 2,9 2,9 θ (^◦C) 12 44 26 26 19 0 0

Table 1 Mesures

Q9. Quel est l'intérêt d'avoir une double graduation pression relative Pr et température θ sur les manomètres (gure 3) ?

En régime permanent d'écoulement, le uide R134a subit les transformations suivantes (on peut se reporter à la gure 4) :

1→ 2 : le uide à l'état gazeux sous la pression P_b est comprimé dans un compresseur à piston.

Il ressort à la pression P_h. On considère que cette compression est isentropique ;

2 → 3 : le gaz se refroidit de façon isobare dans le condenseur (seau de droite contenant une masse d'eaume). On parle de désurchaue. Au point 3 le gaz est assimilé à de la vapeur saturante sèche ;

3→3' : le gaz se condense au contact thermique de l'eau du condenseur (seau de droite) jusqu'au liquide saturé ;

3' → 4 : dans le tuyau de cuivre, le liquide se refroidit de façon isobare jusqu'au détendeur. On parle de sous-refroidissement ;

4 → 5 : le liquide subit une détente dans le détendeur ; il commence à se vaporiser ; la pression de sortie est P_b (manomètre de gauche). Cette détente peut être considérée comme adiabatique ; 5→6 : le uide poursuit sa vaporisation à la pressionPhnotamment dans le serpentin évaporateur

baignant dans de l'eau (seau de gauche contenant une masse d'eaume) ;

6→ 1 : dans le tuyau de cuivre, le gaz se réchaue de façon isobare jusqu'à l'entrée du compres- seur. On parle de surchaue. Elle permet de s'assurer qu'aucune goutte de liquide ne pénètre dans le compresseur, ce qui l'endommagerait (liquid shock).

On obtient le tableau 2.

1 2 3 3' 4 5 6

P (bar) 2,9 6,8 6,8 6,8 6,8 2,9 2,9

θ(^◦C) 12 44 26 26 19 0 0

T (K) 285 317 299 299 292 273 273

x vapeur sèche vapeur sèche 1 0 liquide x₅ 1

v (m³.kg⁻¹) 0,073 0,033 0,030 8,3.10⁻⁴ 8,1.10⁻⁴ 0,012 0,070

h (kJ.kg⁻¹) 408 430 412 233 226 h₅ 396

s(kJ.K⁻¹.kg⁻¹) 1,76 s₂ 1,72 1,13 1,09 1,08 1,72

Table 2

Q10. On considère une machine (M), présentant une entrée et une sortie, dans laquelle un uide est en écoulement permanent unidimensionnel. Établir le premier principe sous la forme :

∆h+ ∆e_c+ ∆(gz) =w_i+q_e où w_i est appelé travail indiqué (ou travail utile) massique.

Dans toute la suite du problème, on négligera les variations d'énergies cinétique et potentielle mas- siques devant les variations d'enthalpie massique.

Q11. On s'intéresse au détendeur. Il s'agit d'un organe sans pièce mobile. La détente est supposée adiabatique.

a) Quel(s) argument(s) permet(tent) de justier l'adiabaticité de la transformation (4 → 5) dans le détendeur ?

b) Montrer que l'enthalpie massique se conserve au cours de la transformation.

Q12. On s'intéresse au compresseur. L'évolution du uide peut être considérée comme adiabatique.

Calculer le travail massique indiquéw_i12reçu par le uide de la part du compresseur. Commenter.

II.2.2 Diagrame enthalpique

On considère le diagramme enthalpique (ou diagramme des frigoristes) fourni sur le document réponse.

Sur ce diagramme, on peut identier la courbe de saturation composée de la courbe d'ébullition (liquide saturé, x = 0, courbe de gauche) et de la courbe de rosée (vapeur saturante sèche, x = 1, courbe de droite). On peut également identier les isotitres, les isothermes, les isentropiques et les isochores.

Q13. Commenter l'allure des isothermes dans chaque domaine (vapeur sèche, état diphasé, phase li- quide).

Q14. Placer les points 1, 2, 3, 3', 4, 5 et 6 sur le diagramme des frigoristes et tracer le cycle parcouru par le uide.

Q15. a) Lors du changement d'étatA→B d'un corps pur à la températureT, quelle relation a-t-on entre∆s_AB(T) et∆h_AB(T)?

b) Vérier numériquement cette relation pourT = 299K.

c) Déterminer graphiquement la valeur de l'enthalpie massique de vaporisation du uide R134a pour T = 273K. Commenter l'ordre de grandeur en comparant à des ordres de grandeur connus.

Q16. Déterminer la valeur de la fraction massiquex=mg/mau point 5.

II.2.3 Ecacité de la pompe à chaleur

Dans toute la suite du problème, on prendra comme valeur du débit massique en R134a : D_m = 2,12.10⁻³kg.s⁻¹.

Q17. Le wattmètre mesurant la puissance électrique consommée par le compresseur ache une valeur moyenneP = 110W. Déterminer le rendement r du compresseur. Commenter.

Q18. La pompe à chaleur est utilisée comme chauage en hiver.

a) Donner le sens eectif de tous les transferts énergétiques ; on s'aidera pour cela d'un schéma.

b) Dénir l'ecacité ηc de la pompe à chaleur en tenant compte de la désurchaue et du sous-refroidissement mais sans tenir compte du rendementr du compresseur.

c) Faire l'application numérique et la comparer à l'ecacité η_cc de Carnot.

d) Quel est l'intérêt de la désurchaue (2→ 3) et du sous-refroidissement (3'→ 4) ?

e) Que vaut l'ecacité calculée précédemment si l'on tient compte du rendement du compres- seur ?

Q19. La pompe à chaleur est utilisée comme système de réfrigération en été.

Reprendre l'étude précédente : sens des échanges, ecacitéηf, application numérique, intérêt de la surchaue (6 → 1) et prise en compte du rendement du compresseur.

Q20. Évaluer la puissance thermique reçue par le uide lors de la surchaue. Commenter le résultat.

? ? ? FIN de l'ÉPREUVE ? ? ?