Mesure du niveau de chaos à partir du spectre de Fourier dans des régimes dynamiques expérimentaux

HAL Id: jpa-00209624

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00209624

Submitted on 1 Jan 1983

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Mesure du niveau de chaos à partir du spectre de Fourier dans des régimes dynamiques expérimentaux

A. Lafon, A. Rossi, C. Vidal

To cite this version:

A. Lafon, A. Rossi, C. Vidal. Mesure du niveau de chaos à partir du spectre de Fourier dans des régimes dynamiques expérimentaux. Journal de Physique, 1983, 44 (4), pp.505-512.

�10.1051/jphys:01983004404050500�. �jpa-00209624�

Mesure du niveau de chaos à partir ^du spectre ^{de Fourier} dans des régimes dynamiques expérimentaux

A. Lafon, ^{A. Rossi et C. Vidal} (*)

Centre de Recherche Paul Pascal, ^Domaine universitaire, 33405 Talence Cedex, ^France

(Reçu le 8 novembre 1982, accepté le 14 décembre 1982)

Résumé.

On recherche s’il est possible d’introduire à partir ^du spectre de Fourier une mesure significative ^du

niveau de chaos d’un régime dynamique. Par simulation numérique ^d’un modèle, ^on établit que les variations d’une fonction H du type

entropie » ^{sont bien corrélées avec celles du} plus grand exposant ^de Lyapounov ^03BB.

Cette fonction pourrait ainsi être mise en oeuvre comme estimateur, chaque fois que le calcul de 03BB, ^est impossible,

ce qui ^est actuellement la règle ^à partir de données expérimentales. ^Une illustration est fournie pour ^une suite de régimes chaotiques de la réaction de Belousov-Zhabotinsky.

Abstract.

We investigate ^{how far} the power of chaos might ^be figured from the power spectrum ^{of a} dynamical regime. ^{The numerical} simulation of a model allows us to show that an entropy-like function H and the largest Lyapounov characteristic exponent 03BB ^both display nearby variations. Accordingly, ^we suggest ^to compute ^{this H} function, whenever 03BB cannot be determined. Since this is always ^{the case, so} far, ^when experimental time series are

involved, ^a sequence of chaotic regimes ^exhibited by ^the Belousov-Zhabotinsky reaction is used to illustrate this

point.

Classification Physics ^Abstracts 47.25C - 82.20M

1. Introduction.

La mesure du degre de d6sordre d’un regime chaotique ^{est un} probleme qui ^n’a pas

encore requ de solution pratique definitive. Certes la theorie des systemes dynamiques introduit a cet effet des parametres pertinents, ^{définis sans} ambiguit6.

Ainsi en va-t-il, par exemple, de la dimension fractale

(au ^sens de Hausdorff-Besicovitch [1]) de 1’attracteur des trajectoires ^dans 1’espace ^des phases; ^{ou bien}

encore des exposants caracteristiques ^de Lyapounov qui ^mesurent la vitesse avec laquelle ^ces trajectoires divergent (ou convergent) ^dans les differentes directions de cet espace. Cependant ^une determination precise

de ces parametres s’avere tres difficile, pour ^ne pas dire impossible, ^a partir des donnees brutes d’une

experience. Jusqu’a present d’ailleurs, seules des simulations numeriques ^de systemes d’equations ^diff6-

rentielles ont permis d’aboutir a des resultats relati- vement surs.

Le spectre ^de puissance de la transformee de Fou- rier d’un signal ^{constitue un} moyen commode et

largement ^utilise pour caract6riser un regime dyna- mique. ^Un spectre ^{de raies est la} signature ^d’un regime

soit p6riodique (une ^seule frequence fondamentale),

soit quasi periodique (plusieurs frequences ^fonda-

mentales non commensurables et certaines de leurs combinaisons lineaires). L’existence du chaos, _quant

a elle, ^est associee a la presence ^{dans le} spectre ^d’un massif, appele parfois ^bande large, auquel ^se super-

posent eventuellement certaines raies. On est alors conduit a se demander s’il ne serait _pas judicieux ^de quantifier ^cette observation qualitative, ^le spectre ^de Fourier fournissant 1’element de base d’une mesure

du chaos. Trois propositions, ^au moins, ^ont deja

ete faites en ce sens, qui, ^a partir ^d’un spectre ^de puis-

sance discret, introduisent les parametres ^{suivants :}

-

le« nombre de degr6 ^{de liberte »} [2], ^{dont nous}

utiliserons le logarithme ^decimal change ^de signe

DL :

B2

-

une fonction H, du genre « entropie » [3] :

(*) ^{To whom} correspondence ^{should be addressed.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01983004404050500

506

-

la dimension fractale d du spectre [4].

pi = puissance spectrale de la i-ieme composante ;

n = nombre de composantes discretes du spectre.

On remarque que DL varie de log n ^{a 0} lorsqu’on

passe d’un signal purement sinusoidal a un bruit blanc. Par ailleurs, ^en appliquant ^{au spectre la condi-}

n

tion de normalisation £ p; ^{= n,} la fonction H

i=1

possede exactement les memes bornes de variation,

ce qui ^{rend les deux} quantites plus facilement _compa- rables.

De toute evidence, ^une permutation quelconque ^de

l’ordre des composantes ^du spectre de Fourier ne

change pas les valeurs de ces deux parametres. ^Et pourtant, ^{a une telle} permutation peuvent ^corres- pondre ^deux spectres associes a des regimes dyna- miques tres diff6rents. C’est pourquoi Perdang [4]

a suggere de recourir a la dimension fractale du spectre. ^En effet, la determination de cette grandeur

exposee ci-dessous au § ²

s’appuie ^{sur la} longueur

du contour du spectre. Or, ^celle-ci depend ^{avant tout}

des variations d’amplitude ^entre composantes adja-

centes du spectre : ^{elle est} donc sensible a une permu- tation de ces composantes. ^{A ce} titre, ^{la dimension}

fractale d parait etre, a priori, ^un parametre ^mieux adapt6 que H ^ou DL. Par definition d est comprise

entre 1, dimension de la courbe, ^et 2, dimension du

plan.

Le bien-fonde et la pertinence ^{de ces trois} grandeurs

n’ont _pas 6t6 analyses ^d’un point ^{de vue} theorique ^et

restent encore a demontrer. Cette _remarque concerne tout particulierement la dimension d, ^{car rien ne} permet d’affirmer _que le spectre de Fourier est bien

un objet fractal. Un doute a d’ailleurs ete emis sur ce

point ^{par Wolf et Swift} [5], qui ^{ont etabli une} expres- sion analytique approchee ^du spectre ^de puissance

d’un regime chaotique, auquel ^{cas on} aurait alors affaire a une simple courbe de dimension 1. Toutefois,

etant donne _que la validite des conclusions de ces auteurs reste soumise a celle de leurs hypotheses

et approximations ^{de calcul, on ne} peut pas considerer

qu’il s’agit la d’une demonstration definitive, ^fermant

la porte ^a toute autre eventualite. C’est pourquoi,

sans ignorer que la question de leur fondement

theorique ^reste posee, ^{nous nous} proposons dans cet article d’examiner, ^de faqon ^tres pragmatique, jusqu’a quel point ^{l’un ou} 1’autre des trois parametres ^ci-

dessus pourrait ^{servir de mesure} du niveau de chaos.

A cette fin, ^{dans une} premiere etape, ^{nous calculons}

ces grandeurs ^a partir des resultats de l’int6gration numerique ^d’un systeme ^{de trois} equations ^diff6ren-

tielles du a Rossler ; ^le plus grand exposant ^caract6-

ristique ^de Lyapounov, d6jA ^determine par Crutch- field et al. [2], ^sert d’element de comparaison ^{et de}

reference. Puis les resultats d’une experience ^en

reacteur ouvert de la reaction de Belousov-Zhabo-

tinsky ^{sont utilises comme} base de donnees _pour

appliquer ^{le meme} type ^de traitement.

2. Determination de la dimension fractale d’un spectre.

^La methode utilisee est celle qui ^{a 6t6}

recemment propos6e par Blacher ^et Perdang [6].

Elle comporte ^les quatre etapes ^suivantes (1 ) :

a) calcul d’un spectre moyen, dit de haute r6solution.

Nous nous sommes assures _que la prise ^en compte d’une dizaine de spectres « bruts » suffisait _pour obtenir une moyenne significative;

b) generation, ^a partir ^de celui-ci, d’une s6rie de spectres de resolution Af decroissante _par application

d’une procedure ^{de «} moyenne glissante ^{». LA encore}

nous avons verifie numeriquement la validite de cette

approximation ^en comparant ^son resultat a celui obtenu _par calcul direct de la transformee de Fou-

rier(2) ;

c) ^{mesure sur une certaine} plage ^de frequence (fmin, fmax) ^{de la} longueur L(Ax) ^{de contour de} chaque

spectre de resolution ^{p AX} =, Af _ ’ _{fax - min} ^{apr6s p nor-}

malisation prealable ^au carr6 unite du domaine considere. Pour cela la hauteur du pic ^de plus grande amplitude ^{est normee a} 1;

d ) determination graphique de la dimension frac- tale d dans une representation :

La longueur L(Ax) peut, ^ou non, etre fonction de la resolution Ax adoptee. ^En effet, ^{si le} spectre possede

une « structure fine _», celle-ci se trouve progressive-

ment masquee par la moyennisation ^{sur des fenetres} Of ^de plus ^en plus larges. ^En consequence, ^la longueur

du contour diminue quand ^Ax augmente, jusqu’a

une valeur limite a partir ^de laquelle ^il y ^a saturation de 1’effet de moyenne. Par contre, si le spectre ^ne comporte que des raies simples, ^la longueur ^demeure invariable, lorsque ^{celles-ci ne sont} pas trop proches ^{les unes des}

autres, c’est-a-dire quand la distance _moyenne entre raies reste superieure ^{a la} plus grande resolution af prise ^en compte. ^{Dans les} systemes ^a petit ^{nombre de} degres de liberte auxquels ^{nous nous} interessons ici,

le respect ^{de cette condition ne} pose pas de probleme particulier. ^{Dans une} representation log L(Ax) = f (log Ax), ^on s’attend ainsi a trouver :

-

une horizontale dans le second cas puisque

-

une courbe decroissante dans ^le premier ^cas.

( 1 ) L’analyse mathematique ^de l’algorithme, ^{son mode}

de mise en oeuvre, ainsi que la justification numerique ^de

certaines approximations ^{dans le cas} du modele conservatif de Henon-Heiles, ^sont exposes dans la reference [6] ^à laquelle ^nous renvoyons pour de plus amples ^details.

(2 ) ^{Le recours a cette} moyenne glissante ^{est donc une}

simple ^astuce technique, ayant pour objet ^de reduire le

temps de calcul necessaire a la determination de spectres ^de

Fourier de resolution de plus ^en plus ^faible.

Fig. ^la.

Spectre moyen haute resolution issu d’une

experience ^sur la reaction de Belousov-Zhabotinsky.

[Averaged power spectrum corresponding ^{to a chaotic} regime ^{of the} Belousov-Zhabotinsky reaction.]

Pour autant que le spectre ^{soit un} objet ^fractal [1]

dont la longueur obeisse a la loi limite :

quand ^{Ax -} 0, ^{cette courbe sera une droite de} pente

1

d. En raison de 1’effet de saturation de la _moyenne d’une part, du caractere limite de la loi ci-dessus d’autre part, ^{la mesure} de la dimension fractale, ^{si elle}

est possible, doit accorder une place preponderante

aux points correspondants ^aux plus petites ^valeurs

de Ax accessibles.

A titre d’illustration de ^ce qui precede, ^la figure ¹ pr6sente :

-

une partie ^d’un spectre moyen haute resolution obtenu en 6tudiant la reaction de Belousov-Zhabo-

tinsky (la) ;

-

les graphes repr6sentatifs ^du logarithme ^{de la}

Fig. ^lb.

Graphe log L(Ax)

f (log Ax). ^La pente ^{de la} A droite ne depend pas de la largeur de l’intervalle de fre- quences ^sur lequel ^est mesure le contour, a condition d’inclure le pic ^{centre autour} de 125 mHz.

[The length L(Ax) of the Fourier spectrum, ^{measured over} a given frequency gap, may depend ^on the resolution Ax.

If the Fourier spectrum ^{is a} fractal, ^one expects the relation-

ship L(Ax)

a.Ax’-" to apply, d being the fractal dimen- sion. This plot ^{shows that d has the same} value, regardless

the width of the gap (90-160 ^{mHz or 110-140} mHz) provided

the main peak is included within its limits.]

longueur du contour, traces a partir des domaines spectraux ^110-140 mHz, ^{et 90-160 mHz} ( 1 b ).

On constate que la representation ^{aux faibles}

valeurs de Ax est convenablement lineaire, jusqu’a 1’apparition de 1’effet de saturation d6jA ^mentionn6.

En outre, la concordance des valeurs de d tirees des deux domaines spectraux ^{est tout a fait} satisfaisante.

Ceci s’explique par le fait _que ces domaines ont 6t6 choisis de maniere a inclure l’intervalle 120-130 mHz ou se trouve dissip6e ^une part notable de 1’energie.

La figure ^{2 montre,} par comparaison, ^le type ^de

Fig. ^2.

Spectre de Fourier (a) ^et graphe log L(Ax) = f (log Ax) (b) obtenus dans le cas d’un regime p6riodique.

[Fourier spectrum (a) ^and log L(Ax) ^versus log (Ax) plot (b)

for a periodic regime (d

1).]

508

resultat obtenu ^en presence ^d’un regime periodique,

pour lequel ^on vérifie bien _que la longueur ^{du contour}

est independante ^{de Ax} (d

1).

3. Etude numerique d’un modile.

Pour evaluer l’utilit6 pratique ^des parametres DL, ^{H et} d, ^il parait opportun, ^{dans un cas} suffisamment bien connu par

ailleurs, ^{de les} comparer a une grandeur ^{dont la} signification theorique ^ne prete pas a discussion. ^Le

plus grand exposant ^de Lyapounov ^A repond ^sans

aucun doute a cette condition. Des lors, le choix du

systeme d’equations diff6rentielles suivant :

s’impose presque de lui-meme. Ce modele propose

par R6ssler [7] ^{est en} effet l’un des rares pour lequel

cet exposant ^a ete calcule de faqon systematique ^sur

un assez large domaine du parametre de controle c,

a et b ayant ^une valeur fixe (a

^b

0,2). ^La figure ³ reproduit le resultat publi6 par Crutchfield et al.

montrant 1’existence de regimes periodiques (A 0)

ou chaotiques (A > 0) selon la valeur de c.

Fig. ^3.

Variation du plus grand exposant ^de Lyapounov ^A

en fonction du parametre ^{c du modele} (1). D’apr6s ^{la r6f6-}

rence [2].

[The largest Lyapounov characteristic exponent ^A plotted

as a function of c (see eq. 1). Taken from reference [2].]

Pour une valeur donnee de _c, nous avons integre numeriquement ^le systeme (1) ^en appliquant ^une

methode de Runge-Kutta ^{au 4e} ordre. Puis le spectre

Fig. ^4.

Spectre de Fourier et graphe de la dimension fractale pour ^un regime periodique (a) ^{et un} regime ^chao- tique (b) obtenus par integration numerique ^de (1).

[Fourier spectrum ^and fractal dimension plot corresponding

to (a) ^a periodic regime (b) ^{a chaotic} regime ^exhibited by

the set of eq. (1). ^Numerical integration ^{has been} performed

via a classical Runge-Kutta method.]

de Fourier _moyen haute resolution a ete determine,

a partir de la variable X(t), ^comme indiqu6 ^ci-dessus.

Enfin les parametres DL, ^{H et d ont ete tous trois} calcules sur le meme domaine spectral : ^d graphique-

ment, apres etablissement des spectres basse resolution et mesure de leur contour, ^{DL et H} par application

directe de leurs relations de definition au spectre haute resolution (3 ). ^{Si on veut etablir une} comparaison significative ^{entre ces trois} grandeurs, leur determina- tion doit evidemment prendre ^en compte ^{la meme} fraction d’energie dissipee : d’ou la n6cessit6 d’utiliser le meme intervalle de frequences pour ^mesurer d,

DL et H. La figure ⁴ pr6sente ^le spectre ^{de Fourier}

moyen ^et le graphe log L(Ax)/log Ax pour deux

r6gimes, ^l’un periodique (4a), ^1’autre chaotique (4b).

Le choix du domaine spectral ^mis en oeuvre (100-

160 mHz) resulte directement de 1’allure des spectres

et du critere indiqu6 auparavant.

En explorant l’intervalle 4,1 c 5,2, ^{nous avons}

ainsi construit point par point les courbes de variation de DL, H ^{et d en} fonction de c, presentees ^{sur la} figure 5, que ^nous pouvons rapprocher de celle de A

(Fig. 3). ^De prime ^{abord on note une assez} grande

similitude d’allure. Un examen plus detaille fait n6anmoins apparaitre quelques differences. Dans la zone de comportement chaotique, 1’exposant ^de Lyapounov decroit soudain _pour certaines valeurs de ^c

(4,32; 4,40; 4,50; 4,88) ^et redevient meme negatif pour

c

4,71 (regime periodique). ^{La fonction H} reproduit

assez bien ces divers accidents de parcours ^avec, il est vrai, ^une amplitude ^{nettement attenuee pour le}

dernier d’entre eux. Le nombre de degres ^{de liberte}

DL s’avere moins satisfaisant _car, contrairement a A,

il ne varie pratiquement pas ^au voisinage ^{de c}

4,50.

La dimension fractale d, quant ^a elle, ^{diminue assez}

notablement _pour ^c

4,54 ^et 4,80 ^{et ne} pr6sente, ^par

contre, ^{aucun minimum} significatif à ^c

^{4,50. Meme}

si sa valeur permet, ^en principe, ^de distinguer ^entre periodicite (d

1) ^{et chaos} (d > 1), ^{elle ne donne}

pas vraiment une bonne image >> du nombre de

Lyapounov, ^au moins dans 1’exemple consid6r6. Des

(3 ) ^{DL et H} peuvent, ^bien sur, etre calcules sur run quel-

conque des spectres ^{de Fourier} disponibles. Cependant

leur valeur est dominee par les raies de plus grande ampli-

tude pr6sentes dans le domaine spectral considere. Aussi mieux vaut avoir recours au spectre haute resolution si 1’on veut accroitre la sensibilite de ces deux grandeurs ^au

«

bruit

associe a la presence ^{de chaos.}

Fig. ^5.

Variations des trois grandeurs d, ^{DL et H} en fonction du parametre ^c, dans le domaine 4,1-5,2.

[The ^three quantities : fractal dimension d, logarithm ^of

the number of degrees of freedom DL and entropy-like

function H (see ^{text for} definition) ^are plotted ^{versus the}

control parameter ^c scanned within the range 4.1-5.2.

These curves are to be compared ^to Fig. ^{3. One must con-}

clude that H reproduces the variations of A better than d

or DL do, and therefore should be preferred.]

trois parametres envisages, c’est donc la fonction H

qui offre le meilleur reflet de A. En revanche, ^aucune

valeur definie de H ne peut ^etre associee a la transition

p6riodicit6/chaos, contrairement a ce qui ^se passe

510

pour A ^{et d. En} 1’etat actuel des choses, ^{il ne} semble par consequent guere possible ^{de donner a cette}

conclusion qualitative ^son prolongement quantitatif.

Il est clair toutefois _que, si d’autres exemples ^venaient

a 1’appui ^d’une variations concordante de H et de A,

cette fonction du type ^« entropie » apparaitrait ^alors

comme une sorte d’estimateur de 1’exposant ^de Lya-

pounov ou, plus exactement, ^{de ses} changements.

4. Application ^{a la reaction de} Belousov-Zhabo-

tinsky.

Parallelement a la theorie des systemes dynamiques, la recherche experimentale ^{sur les} sys- t6mes a petit ^{nombre de} degre de liberte (4) ^s’est largement developpee ^{au cours de ces dernieres} ann6es, ^{notamment en} hydrodynamique [8], ^{et aussi,}

comme l’avait suggere ^{Ruelle des 1973} [9], ^en cinetique chimique [10]. ^{Du reste, ce} dernier domaine se revele a l’usage ^un excellent terrain d’experimentation, ^source

de nombreux resultats (voir [10] page 49, [11, 12]).

Parmi les reactions chimiques ^a comportement ^forte-

(4) Degre de liberte s’entend ici au sens tres classique

de la Mecanique ; ^{aucune confusion ne} doit etre faite avec

la variable DL .

ment non-lineaire, ^{celle de} Belousov-Zhabotinsky

occupe ^une place privilegiee ^en raison des nombreux travaux qui ^{lui ont 6t6 et} continuent de lui etre consa-

cr6s. Rappelons qu’il s’agit ^de l’oxydation ^{en milieu}

acide d’un reducteur organique, ^tel que l’acide malo-

nique CH2(COOH)2 ^par exemple, par les ions bro- mate Br03 , oxydation 6ventuellement catalysee par

un couple ^{redox comme} Ce/Ce4. ^{Conduite en}

r6acteur ouvert, ^{cette reaction a} permis ^d’observer

des regimes dynamiques tres varies [13], d’illustrer le concept d’attracteur etrange [14, 18], d’etudier diff6- rents modes d’apparition ^{du chaos} [11, 15-17]. ^Un

moyen, commode et precis, pour suivre la dynamique

consiste a mesurer la densite optique ^{du milieu}

r6actionnel a 340 _nm, longueur ^{d’onde a} laquelle ^seul

l’ion Ce4 + absorbe la lumiere de fagon significative.

Ainsi recueille-t-on un signal directement propor- tionnel a l’une des variables du probleme, ^{la concen-} tration ^{en Ce4+.} Les conditions exp6rimentales (5)

(’) Les details du dispositif employe pour ^mener a bien

1’exp6rimentation ^decrite ici, ainsi que la ^structure des

equations d’evolution, ^sont exposes ^{dans un} article ant6- rieur [16].

Fig. ^6.

Spectre de Fourier et graphe de la dimension fractale pour ^un regime periodique (a) ^{et un} regime ^chao- tique (b) de la reaction de Belousov-Zhabotinsky.

[Similar ^to Fig. 4 ; ^{but now} the time series have been directly

recorded from the Belousov-Zhabotinsky reaction carried

out in a CSTR.]

que nous avons utilisees sont les suivantes :

Temperature : ^T

^{40 OC.}

En faisant varier le flux volumique ^J traversant le r6acteur ouvert de volume V, ^on modifie le parametre

de contrôle 03BC

J/V, 6gal ^a l’inverse du temps moyen de sejour ^des especes chimiques dans le r6acteur.

Le domaine explore ^{dans cette} experience ^{va de}

03BC = 0,17 ^min-’ A p

0,36 min-’.

Pour permettre ^une comparaison ^{directe avec la}

simulation num6rique, ^la figure ⁶ presente ^{le meme}

genre de resultats _que la figure ^4, c’est-a-dire : le spectre de Fourier et le graphe ^{de mesure} de la dimension

fractale, pour ^un regime periodique (6a) ^et pour ^un

regime chaotique (6b). De la meme maniere, ^les

courbes donnant DL, ^{H et d en fonction} de p ^sont

rassemblees sur la figure ^{7. Bien entendu, comme}

nous 1’avons souligne ^en introduction, 1’exposant ^de Lyapounov ^n’est pas accessible dans ce cas.

Les variations de grande amplitude ^{des trois} parametres s’accordent _pour mettre en evidence : un

domaine de p6riodicit6 jusqu’£ p

0,22 min-1,

suivi d’une zone de chaos, puis ^{d’un retour a la} perio-

dicité aux alentours de p

^{0,25 min-1. Le chaos} resurgit ^soudain pour Jl

0,26 min-’, ^{avant de} disparaitre au-dela de _p

0,34 ^{min-1. On note une} tres grande similitude entre les variations de DL et de H alors _que d ne change pas exactement de la meme maniere. En particulier dans le domaine 0,26 min-’

03BC 0,34 ^min-’ d diminue progressivement ^tandis

que DL ^et H conservent des valeurs elevees, signe ^d’un degr6 de d6sordre toujours important. L’extrapolation

des resultats ant6rieurs concernant le modele de R6ssler incite a penser que la fonction H, ^{tout comme}

DL qui ^{lui est} fortement corr6l6e dans ce cas, pourrait refl6ter, ^{au moins dans ses} grandes lignes, les variations de 1’exposant ^de Lyapounov. ^Ainsi que ^nous 1’avons

d6jA indiqu6, ^cette conclusion ne peut etre consid6r6e

comme acquise ^{et doit etre} plus largement 6tay6e.

5. Conclusion.

Des trois parametres pris ^en

consideration dans ce travail, c’est la fonction de type

« entropie » H ^oc Epi ^{log pi dont le} comportement

Fig. ^7.

Variations de d, ^{DL et H en} fonction du param6tre No-

de contr61e p

I/T ^{(i : : temps} de renouvellement du

reacteur ).

[Plot ^{of d, DL and H as a} function of the control para- meter p (reciprocal ^{of the mean residence} time). ^{The varia-}

tions of DL and H are highly correlated. The Lyapounov exponent ^{À. cannot be} computed, ^{but is} expected ^to vary in the same way.]

semble se rapprocher ^le plus de celui du plus grand

exposant ^de Lyapounov A ; ^{c’est en tout cas ce} que

tend a montrer 1’etude numerique du modele de

R6ssler. La dimension fractale du spectre ^{de Fourier}

512

s’avere en revanche moins satisfaisante. Comme sa

determination exige ^{en outre} des calculs plus impor-

tants, il n’y ^a guere ^{de raison} pratique de lui accorder la preference, ^en d6pit ^d’une signification physique plus accessible (structure ^{fine du} spectre ^de Fourier).

Il serait maintenant souhaitable d’appuyer ^sur

d’autres exemples numeriques 1’existence d’une corr6- lation entre variations de H et de A et, ^{si la} question

a un sens, d’en etablir la base ou la signification ^th6o-

rique. ^{En ce cas la} fonction H pourrait servir a estimer les changements ^de 1’exposant ^de Lyapounov, ^donc

a evaluer d’une certaine maniere le niveau de chaos.

La grande simplicite ^{de son calcul est, bien sur, un}

616ment decisif de l’int6r8t qu’elle ^est susceptible

d’offrir a cet effet. Une serie d’experiences ^{sur la}

reaction de Belousov-Zhabotinsky ^{nous a} permis

d’illustrer 1’exploitation ^{des mesures} qui peut ^ainsi etre envisagee.

References

[1] MANDELBROT, ^B. B., Fractals : form, chance and dimen- sion (Freeman ^and Co., ^San Francisco) ^1977.

[2] CRUTCHFIELD, J., FARMER, D., PACKARD, N., SHAW, R., JONES, J., DONNELLY, ^R. J., Phys. ^{Lett. A 76} (1980) 1.

[3] YAHATA, M., Prog. ^Theor. Phys. ⁵⁷ (1977) 1490;

AIKAKE, H., ^{in :} System identification : ^{advances in}

case studies, Mehra, ^{R. K. and} Lainiotis, ^D. G., eds. (1979) 27 ;

POWELL, ^G. E., PERCEVAL, ^I. C., ^J. Phys. A : ^Math.

Gen. 12 (1979) ^2053.

[4] PERDANG, J., Astrophys. Space ^{Sci. 74} (1981) ^149.

[5] WOLF, A., SWIFT, J., Phys. ^{Lett. A 83} (1981) ^184.

[6] BLACHER, S., PERDANG, J., Physica ^{D 3} (1981) ^512.

[7] RÖSSLER, ^O. E., Phys. Lett. A 57 (1976) ^397.

[8] Hydrodynamic instabilities and the transition to tur-

bulence, Swinney ^{H. L.} and Gollub J. P., ^eds.

(Springer-Verlag, Berlin) ^1981.

[9] RUBLLE, D., Trans. N. Y. Acad. Sci. 35 (1973) ^66.

[10] Non-linear phenomena ^{in chemical} dynamics, ^Vidal C.,

Pacault A., ^eds. (Springer-Verlag) ^1981.

[11] SIMONYI, ^R. H., WOLF, A., SWINNEY, ^H. L., Phys.

Rev. Lett. 49 (1982) ^245.

[12] Roux, ^J. C., Physica ^{D, sous} presse.

[13] ROUX, ^J. C., ROSSI, A., BACHELART, S., VIDAL, C., Physica ^{D 2} (1981) ^395.

[14] ROUX, ^J. C., ROSSI, A., BACHELART, S., VIDAL, C., Phys. ^{Lett. A 77} (1980) ^391.

[15] POMEAU, Y., ROUX, ^J. C., ROSSI, A., BACHELART, S., VIDAL, C., ^J. Physique ^{Lett. 42} (1981) ^L-271.

[16] ^VIDAL, C., BACHELART, S., ROSSI, A., ^J. Physique ⁴³ (1982) 7.

[17] Roux, ^J. C., ROSSI, A., VIDAL, C., ^à paraître.

[18] ROUX, ^J. C., TURNER, J. S., MCCORMICK, ^W. D., SWINNEY, ^H. L., Nonlinear problems : present ^and

future, Bishop ^A. R., Campbell ^D. K., ^Nico-

laenko B., eds (North ^Holland publishing Co.)

1982, p. 409.