THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE

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Submitted on 1 Jan 1970

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THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE

N . Vinh Mau

To cite this version:

N . Vinh Mau. THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE. Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C2), pp.C2-52-C2-57.

�10.1051/jphyscol:1970206�. �jpa-00213763�

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE N

.

Institut de Physique Nucleaire - Division de Physique ThCorique - ^91-Orsay

Une theorie microscopique des reactions nucleaires devra permettre de deriver toutes les quantites mesurees en fonction de l'interaction nuclCon-nucleon exclusivement

.

actions nucleair es , beaucoup plus complexe, est en fait beaucoup moins avancCe. En effet dans un noyau, tous les nuclCons interagissent et nous cherchons des &tats lies de cet ensemble de nuclCons ; dans l e s reactions nuclkaires nous devrons dkcrire les &tats d'un systeme, lui- mCme compos6 de plusieurs sous-systemes, chacun Ctant un &at lie d'un ensemble de nucle- ons le constituant. Dans cet expose nous nous limiterons au cas l e plus simple de la diffusion d'une particule par un noyau pour lequel l e systeme total est compose d'une particule sim- ple et d'un noyau.

Une approche ?I la theorie microscopique pour la diffusion d'une particule simple par un noyau a ete d6veloppke par Feshbach [ I ] ,puis par differents auteurs [2], Nous supposons que nous connaissions l e s fonctions d'onde ( K ) du noyau, solutions d'un hamiltonien modele ?J HA :

Nous Ccrirons l e hamiltonien total du systeme particule incidente-noyau cible :

- -

H = H A + T + V ( r , A) (2)

06 - T est l'energie cinetique de l a parti- cule - -

- ^V( r , A) est l'int eraction du noyau avec cette particule additive.

Cette separation particulier e du hamilto- nien en trois termes distincts s e r a naturelle s i l a particule indtlente est discernable des nucleons du noyau mais ne l'est plus dans l e cas d e la diffusion nucl&bn-noyau, La theorie d e Feshbach dans s a forme primitive neglige donc l'indis cernabilit C entr e particule incident e et

noyau et l'extension de son premier travail h une thkorie tenant compte de 11antisym4trie entr e nucleon incident et nucleons-cibles devient t r e s

complexe. Nous exposerons donc ici la theorie non antisymetrisee.

S i $AT, K ⁾ est la fonction d'onde du systeme total dans un &tat de moment angulair e I et parit6 n , nous Ccrirons s i nous n'antisymk- trisons pas :

c representant l'ensemble des nombres quantiques :

c = ( a & s jD

et

1

On peut alors dCriver un systeme d'equa- tions couplCes pour l e s fonctions uC(r) du nucleon diffuse :

E &ant l'Cnergie incident e

- v ~ ~ . ~ ~ = , ~ ~ ~ , ~ , ~ I v ~ ~ . ~ ~ , I ~ ~ ~ ~ ~ , ~ , ~ ~

(5) llintkgration porte ici sur les coordonnCes inter- -

nes du noyau A et sur l e s coordonnkes polaires et de spin du nuclkon.Ce syst5me (4) est de dimension infinie de telle sorte que des approxi- mations supplementaires sont nkcessaires pour rendre possible sa resolution et au mieux on ne gardera que l e s termes dont on sait qu'ils correspondent h de larges sections efficaces

.

Toutefois l e systeme (4) devra & r e modifie de telle sorte h inclure implicitement l e s voies

explicitement negligbes cornme nous l e verrons par la suite.

Etudions l'approximation du premier ordr e et ecrivons 1' equation corr espondant Ir

c = (t s j a. Jo) oh Q, Jo caracterise ltCtat

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970206

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE

initial fondamental du noyau, Les voies c' intervenant dans le second membre correspon- dent h une excitation intermediaire du noydu

i

cible (fig. 1) donc correspondent h des processus du 2kme ordre en V

° C P

S i nous nCgligeons ces eff ets du

=a

2kme ordre cette Cquation devient : fij. 4

S i maintenant nous considCrons ces Cquations (4) pour c' f c (a, ^JO) , les voies c"

correspondent aux deux types de c"

processus indiquCs sur la fig.2,

cl

Donc en l e r ordre en V nous negligerons toutes les e(4.X) voies c" # c(ao Jo) et obtenaws

E

alors un systkme approchC dlCquations :

donc un s y s t h e dlCquations dCcouplees decri- vant la diffusion Glastique et inClastique,

Connaissant la solution de la premikre equation (7.a), il est alors facile de montrer que les autres Cquations admettent une solution simple qui conduit h l'expression suivante de l a matri- ce S correspondant h la diffusion inClastique :

oh uE,(r) et uE6-> sont solutions de l'dquation (7. a) correspondant aux potentiels

I _et vkC (r) respectivement

.

vC'C'

ainsi obtenu la matrice S dans l'approxima- tion de Born avec ondes distordues

.

tion nucleon-nuclCon mais il est bien connu que pour reproduire la diffusion Clastique l'interac- tion nucleon-nucleon doit Stre remplacee par une interaction effective complexe ou pot entiel optique.

Ceci peut fitre montre rigour eusement

.

En effet, soit P l'operateur projection dCfini dans le sous espace des &tats c' retenus dans l e s Cquations (4) et Q l'opdrateur Q = 1 - ^P.

Soit JI (P) la fonction d'onde $ dCveloppCe sur ce sous-espace restreint , on peut montrer que, s i on impose que les e l h e n t s de matrice

de S calculCs dans ce sous-espace soient identiques h ceux obtenus en resolvant l e pro- blkme exactement, JI (P) devra Stre solution de:

( E - H A - T - v ) $ ( P ) = O

Donc dks que l'on est oblige de rendre fini l e systeme initialement infini et de l e rame- ner B un systkme de dimension P , on devra dans

(4) remplacer l'interaction nucleon-nucleon par une interaction effective qui peut s t r e calculee suivant (9) et s e r a une interaction complexe.

Dans l e s Cquations (4) , Vcct devra alors Stre rernplacC par :

2

'Kcc' = vcc*+ IeQ _E

-

1) s i P contient tous les Qats corres- pondants h de larges sections dficaces, l e 2kme terme de qfccl sera faible devant VCCl et l a partie rCelle d e Vcc, sera dominde par l'interaction nuclbon-nucleon. Toutefois l'ex- clusion d e certaines voies inelastiques fait apparafir e une partie imaginaire et les Cqua- tions (4) devront & r e rCsolues en rempla~ant Vccl par Vcc* + i W CC'

2) dans l'approximation du ler ordr e ou DWBA conduisant aux Cquations (7), l e 2&me terme de (10) pour l e s Clements diagonaux de

, est alors une s o m e de carrCs dont certains seront certainement t r k s importants.

vcc

.

l e potentiel optique correspondant aux voies indlastiques c' pourra & r e different du poten- tie1 optique pour la voie Clastique s i l'Ctat

excite corr espondant du noyau a une structure t r k s diffCrente de lr&tat fondamental (en parti- culier s i cet &tat est un Qat t r k s collectif).

Enfin l e s elkments non diagonaux de seront certainement proches de ceux d e l'interaction nucleon-nucleon, puisqu'alors l e 2 h e terme de (10) ayant un signe non dCfini pourra, en moyenne, & r e supposd nul, Dans l e s calculs de DWBA, on pourra donc utiliser (8) oh les fonctions u: et u,: seront solutions de (7.a), VCtant r +place par des potentiels optiques

complexes qui en principe dependent d e la voie

N . VINH MAU

considCr Ce et peuvent Btr e calculCs [3], Toute- fois dans les nombreux calculs de sections efficaces inClastiques au moyen de la DWBA, on utilise un potentiel optique ph4nomCnologicpe ajustC sur la diffusion Clastique pour calculer l e s fonctions uz et uz,, Ainsi ces calculs ne sont microscopiques qu'h travers l'emploi de fonctions d'onde nuclCaires microscopiques pour l e calcul de Vccle

Les rCsultats prCcCdents sont exacts s i l a particule incidente est discernable des nuclCons du noyau , par exemple s i nous nous intCressons B la diffusion dqune particule a consid6ree comme une particule simple sur un noyau. 11s seront encore valables pour la diffu- sion d'un nucleon de haute Cnergie (supgrieure B 100 Mev environ) sur un noyau mais devien- dront inexacts s i nous nous inthressons B la diffusion de nucleons de basse Cnergie, lranti- symCtrie jouant alors un r81e important, RCcemment Schaeffer [4] a r e p r i s l e s calculs en DWBA antisymhrisant directement la for -

mule (8) entre nucleon incident et nuclPon cible et utilisant un potentiel optique ph6no- m6nologique.

Un probleme intCressant est alors de dCterminer dans une thCorie microscopique complet ement antisymhrisCe l'analogue de l'expr ession (10) pour l e pot entiel optique.

Bell et Squires [5] ont montrC que s i est lropCrateur de masse d&ini par : G, (x, X ~ ) . G ~ ~ ) ( ~ x*)

dxldx,G1 (0) ~ x , x , ) ~ ~ x , x , ) ~ , ( x , x ' ) (19 oh

x = ( r , a , t )

G, (x, x') = fonction de Green d'une particule

G: (x,x') = fonction de Green d'une particule libre ,

l e potentiel optique ?J- est donnP par :

( 1 = -

z(&,

- -

2 ⁽ r , r q , E) Ctant la transform& de Fourier par rapport au temps de llopCrateur d6fini pr CcCdemment

.

exprimC sous cette forme est alors non local et dCpendant de llCnergie.

Cette relation est en fait intuitive puisque la fonction de Green GI traduit la rCponse d'un systeme lorsqu'on lui ajoutr ou retranche une particule et L ^va r eproduir e l'eff et

qu'auront l e s interactions de la particule ajou- t6e avec l e noyau sur cette particule. Cette mCthode de calcul du potentiel optique prCsente l'avantage de t enir compte automatiquement de l'antisymktrisation et nous nous sommes alors attache au calcul de llopCrateur L

.

avons pu montrer que moyennant l e s m h e s approximations que celles de la R P A pour un systeme trou-particule ou celles qui conduis ent au calcul de l a matrice G pour un systgme de deux particules, c'est B dire s i nous ne con-

servons que les diagrammes en Cchelles pour tout propagateur d e deux particules et l e s diagrammes en bulles pour tout propagateur trou-particule, L peut slCcrire comme la somme des diagrammes reprCsentCs fig. 3,

Sur c e dCveloppement nous pouvons faire un certain nombre d e remarques immCdia- tes.

1) l e premier terme est l e potentiel de Hartree-Fockson local mais inddpendant de llCnergie

2) tous l e s termes d'ordre supCrieur sont purement non locaux et dCpendant de lVCnergie alors que les analyses phCnomCnologiques B partir d'un potentiel optique non local suppo- sent toujours ce potentiel indCpendant de llCnergie.

3) les diagrammes 3a , et 3c correspon- dent au potentiel optique d6rivC par Feshbach lorsque Iron choisit comme Ctats du noyau les Ctats propres de la R P A

4) en particulier il serait intCressant de ealculer la contribution des diagrammes 3b qui nront jamais kt6 inclus dans un tel calcul

5) t e l que l e d6veloppement d e L est

~rCsentC sur la fig.3 il est Cvident que seuls les Ctats collectifs de la R P A vont contribuer

6 ) enfin s i nous introduisons dans notre formalisme l e spin isotopique nous aurons daas chacun des diagrammes 3b-3e contri- butions drCtats intermidiairesavec Cchange de charge soit s i nous nous int6ressons h l a diffusion d e protons nous tiendrons compte

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE C2-55

automatiquement des voies (P,P') et(~,n)-.

Fig 3

Ainsi nous avons obtenu une derivation microscopique exactement antisymCtris6e du potentiel optique qui implique que, connaissaa lrinteraction nucleon-nuclbon, nous calculions

1) l e s Ctats de Hartree-Fock 2) l e s Ctats d e l a RPA

3) l e s Ctats h deux particules ou deux e o u s qui dans l'approximation Cchelle sont

h a t s propres d'un systeme dlCquations anafo- gue au systeme dlCquations de la RPA [ 6 ] [73.

Ceci connu, il suffira de calculer chacun des diagrammes d e la fig.3. Mais ce program- me est encore trop ambitieux et pour tester c e modele nous avons fait un certain nombre d'approximations supplhentaires et calculC l a partie imaginair e du potentiel optique pour la diffusion de nuclCons de 14-60 Mev sur l e Ca 40

l) nous avons dCcrit les Ctats dlCnergie positive du nuclCon par des ondes planes

2) nous avons approchC l e diagramme 3b par son premier terme, terme du second ordrp.

en V. On peut montrer que seuls les &tats h deux particules dVCnergies basses contri- bueront h la partie imaginaire ce qui peut Stre une justification d e cette approximation

3) nous avons inclus tous les Ctats de la RPA de parite

-

Sanderson [8] et l e s etats de paritC + ^calcu-

16s par Cortes [g] avec la m&ne interaction 4) dans l e calcul des C l h e n t s d e rnatri- ce nous avons utilisC une force h portde nulle dont les parametres d'kchange sont ceux dCterminCs par Gillet et Sander son ,

DCsirant compar er notr e potentiel optique aux potentiels phCnomCnolo i ues non

q,+~*

locaux, potentiels s6parables en 1 ^RI= I - ^[

2 et 17 \=I? - 71 nous avons CtudiC Im en fonction de ces m h e s coordonnCes

.

Notre potentiel s'dcrit :

Nous avons calculC l e premier terme & = 0 mais il serait intkressant de calculer l e terme & = 1 n6gligC dans les analyses phCnomCnologiques

.

Pour une energie incidente de 14 Mev, les fig, 4 et 5 montrent l e comportement d e W, (R , ^{p ) I.} On peut dCfinir un paramgtr e de non localit6 qui varie entr e 1.1 et 1.3 fermis (fig.4) donc est leg& ement supCrieur

au paraml?tr e de Perey et Buck

.

part l a variation d e W, en fonction d e R

N. VINH MAU

t

Fig. 4

t

~n.incidente = 14 MeV

semble t r s s diffCrente de celle imposCe par Per ey et Buck (fig.5) en particulier pour de

)

petites valeurs de R. D'autre part, ce potentiel calcule n'est pas separable en R et p ,

Toutefois cette comparaison entr e poten- tiels non locaux Ctant difficile, nous avons cal- culC l e potentiel local Cquivalent .

Nous devons dgterminer un potentiel opti- que local tel que la fonction d'onde cp ( + r ) soit

solution de :

oh VL(r) = UL(r) + ^{i WL(z) ( 16)}

N'ayant calculC que la seule partie imagi- naire W, (R, p ) , nous supposerons UL@) determinke par les analyses phCnomCnologiques de la diffusion Clastique aux Cnergies conside- rCes [lo]. Suivant l a mCthode de Perey- Saxon

[ill , nous obtenons :

w,(r)

-

' 3 x 2 (17)

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE

oh - -

J

fig. 6. En fait pour r & If nous avons donne x2 est un paramktre qui devrait & r e choisi de

une courbe "moyenne" l e s points calculCs s e telle sorte qu'il rende minimum l e s termes

rCpartissant en fait de part et d'autre de cette negliges dans l'approximation de Perey-Saxon.

3 G courbe. Ceci provient de ce que pour ces En fait nous avons vkrifiC que --a a x varie peu valeurs de R , les deux termes de ( 19 ) ont

au voisinage de x2 = k2 et avons remplace

des signes opposCs ce qui rend l e rksultat x2 par k2.

trks sensible h toute variation de chacun.

Nous ecrirons donc

Bien que l e potentiel non local soit assez WL(r) = G(r, k2) - . U L ( r ) (I9)

["?ZjX2

^,,

- L'absorption de surface s i elle existe

les caract kristiques des potentiels phenomena- s e r a dOe uniquement au l e r terme G(r ,k2)

logiques locaux, l'absorption de surface dispa-

- L'absorption de volume est en fait domi-

raissant toutefois moins rapidement avec n4e par l e 26me terme donc plus imprecise B

1' ener gie

.

cause de notre approximation x2

-

.

En,inc. 30 MeV

- - - ^En.;nc. 40 MeV.

.-.- .- En.~nc. 00 MeV.

1 ^{I I I I I I I I I}

1 2 3 4

Fig. 6

[ 1 Feshbach(H) Ann. of Phys. 1958,5,357 ; 1962, l9, 287

r2] Shakin(C) Ann. of Phys

.

~emmer(R) et a1 Ann. of Phys .1%4,27,13 [3] Slanina(D)et a1 Nucl

.

et r Cfkrences contenues dans cet article

[41 Schaeff er<R)Nucl

.

[5] ~ e l l ( J . S)et a1 Phys . R e v . Letters 1959 ,

3, 96

-

r6I Ripka(G)et a1 preprint Saclay 1969 [7 1 Vinh Mau(N)Int

.

Trieste 1969

[8] Gillet(V)et a1 Nucl. Phys ,1967 ,A91 , 292 [9] Cortks communication p r i d e

r

.

- Van Oers(W. T

.