HAL Id: jpa-00249667
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Submitted on 1 Jan 1997
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Évaluation pratique des performances d’une machine Stirling de taille reduite fonctionnant en cycle
frigorifique
Ph. Nika, F. Lanzetta
To cite this version:
Ph. Nika, F. Lanzetta. Évaluation pratique des performances d’une machine Stirling de taille reduite fonctionnant en cycle frigorifique. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (7), pp.1571-1591.
�10.1051/jp3:1997209�. �jpa-00249667�
l~lvaluation pratique des performances d'une machine Stirling de taille r4duite fonctionnant en cycle ffigorifique
Ph. Nika et F. Lanzetta (*)
Institut de G4me inerg4tique et institut des Microtechniques de Flanche Comt4 (**), Universit4 de Flanche Comt4, Parc Technologique, 2 avenue Jean Moulin, 90000 Belfort, Flance
(Regu le 26 novembre 1996, rdvisd le 20 mars 1997, accept4 le 8 avril 1997)
PACS 44.60 +k Thermodynamic processes (phenomenology, experimental techniques)
PACS.44.90.+c Other topics in heat transfer, thermal and thermodynamic processes
R4sum4. Les auteurs pr4sentent une 4tude concernant I'(valuation des performances d'une machine thermodynamique de Stirling de tattle r4duite fonctionnant en cycle frigorifique. La m4thode retenue est bas4e sur un bilan d'4nergie pour un systkme ouvert constitud d'un cy, lindre sans clapets et de son piston. Cette m4thode est appliqu4e dans les volumes de d4tente et de compression ainsi que dans le r4g4n4rateur pour chacune des quatre phases du cycle frigori, fique. Les paramktres intervenant dans l'4tude th40rique sent d'ordres g40m4trique, m4canique,
thermodynamique et thermique. La r4solution des 4quations issues du bilan 4nerg4tique pour
chacune des quatre phases du cycle permet de tracer les 4volutions des temp4ratures dans les volumes de compression et de d4tente, des variations de pression et des masses du gaz de travail et de la production frigorifique. Celles-ci sent ensuite compardes aux rdsuitats exp4rimentaux.
Abstract. This paper describes predict performance and testing of a small Stirling cooling
machine. The theoretical model is based on an energy balance for an open thermodynamic
system applied to a compressor volume with moving piston and without valves. This model
ijapplied in the compression volume, expansion volume and in the regenerator for the four processes of the refrigerating cycle Theoretical method involves geometrical, mechanical, ther-
modynan1ical and thermal parameters. Evolutions of temperatures, pressures and masses of the gas are given for the compression volume, expansion volume and regenerator volume during the four processes of the refrigerating cycle. These evolutions are then compared with experimental
measures.
(*) Auteur auquel doit #tre adress4e la correspondance (**) FR W0067
© Les kditions de Physique 1997
1572
Nomenclature
" ~~~~~[ ~~~~~~~ ~°~~ ~ j 1nlaginaire conlplexe
A a d al ~
~ ~~°~~~~ ~~ ~~
a paranletree cacitAdu
~ ~(~~~~ rdgAnArateur
d ff 't' th ln'que du gaz ~
~ ~"~~ ~
)~ k = V~c/V~e rapport es vo umes
~ ~° ~~[ ~~~~~~~~ uJ vitesse angulaire
7 ~~)~~~~~~~n~j~~ '~ °~~~~~ ~~~~
~
~~~ ~ ~~~
p masse vo unlique u gaz
~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
N vitesse de rotation
X V IV c ge de I t
~ ~
~ ~~ ~°~~ ~~~~ ~° ~°~~
i~°~ Nu = hD/ nombre de usse t
c'tA therInique Inassique
~ ~~~~ P pression
b paranletre de pression ~ ~~
~~~' ~~~~~
~ ~~~
~r~~/~~~~~~ur
~ ~~~~~~~~~ Qf puissance frigorifique
( T IT r t d 'rat es ~ ~ ~ ~~
~ ~ ~~~°~_ ~~~~~~~ ~~ q" densit6 e ux ec eur
E ~~c~~~~~ ~~ ~~~~~~°~~ ~~~~°~~~~~~
~ ~[~~ ~~~~~~)
, ,
r
~e
du gaz parfait
e e cacit6 du regenerateur ,,
4l flux thermique
~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~
h coefficient de convection ~~~~~
il fonction de correction
~ ~~~~~~~~~~~
(#q. (47)) °~
~~~~~
Indices
abs matdriau absorbant thermique
c c6tA volume de compression
ch phase de r4chauflement
cx complexe
d relatif au volume mart
e c6t6 volume d'expansion
ext extArieur f frigorifique
fr phase de refroidissement
g gaZ
mini valeur minimale p relatif h la paroi
s volume balayA total
1. Introduction
En cryogdnie, les machines de Stirling, ou de principe voisin (comme les tubes h gaz pulsd), ont
vu un r4el essor au cours des derniAres d6cennies et remplacent souvent les machines dassiques
h compression de vapeur et liqu4faction pour des applications telles que le refroidissement de d4tecteurt infrarouges ou dans le domaine adrospatial. DAS que des impdratifs de poids, d'en- combrement et de fiabilit4 entrent en jeu, ce type de machine est jugd pr4fdrable h tout autre.
Cependant, pour les domaines de temp4ratures mod4r4es, peu infdrieures h la tempdrature ambiante, leur emploi est quasi inexistant. Dans un article de 1995 [1], en s'appuyant sur une
4tude comparative des rendements thdoriques exerg6tiques et dnergdtiques, les auteurs ddmon-
trent l'intdrAt que peut offrir une machine Stirling dans ce cas. En France, curieusement et
contrairement aux tendances remarqudes aux #tats-Unis, au Canada, au 3apon et en SuAde par exemple, les recherches sur de tels systAmes tardent h se ddvelopper.
De conception m4canique assez simple, comportant pour d14ments de base, un systAme com-
presseur ddtendeur, un rdgdnArateur et deux dchangeurs (temp4rature ambiante et puits froid),
la machine frigorifique de Stirling classique est un mdcanisme qui r4alise des cycles thermody- namiques successifs en utilisant toujours la mAme quantitd de fluide. Les problA1nes rencontrds dans sa rdalisation sont plut6t d'ordre technologique utilisation de l'hdlium sous des pressions dlevAes (problbmes d'AtanchAitA), pibces mdcaniques mobiles gAnArant des frottements, trans- ferts therIniques internes, efficacit4 et compacit4 du rdgdn6rateur. Des 4tudes sont donc lnen4es dans leInonde [2,5] coInlne en France [6,ii pour r4soudre ces questions et a1n61iorer les perfor-
1nances des machines. Dans cette optique, les tubes h gaz pulsA semblent devenir une solution
d'avenir, mais les mAmes dcueils subsistent concernant les interactions entre les variations de pression et de tempdratures ainsi que les flux thermiques dchangds entre le gaz et les parois
de la machine. Il a At4 remarqu6 en effet, que, durant (es phases de compression et ddtente du gaz dans les cylindres, la dassique loi de Newton pour la convection ne semble plus Atre un modAle valable [8]. Cette relation stipule que le flux thermique aux parois est proportionnel h la diffdrence des tempdratures moyennes du gaz et de la paroi, ce qui n'est plus vdrifid lorsque la pression et la tempdrature du gaz varient assez rapidement. En r6alitd, il existe un d4pha,
sage entre le flux et la diffdrence de teInpdrature qui rend inaddquate l'utilisation d'un nombre de Nusselt dassique, celui-ci prenant parfois des valeurs nulles, ndgatives ou infinies. Il existe
encore assez peu de relations numAriques propos4es pour de tels cas, la d6marche la plus cou,
rante consiste h envisager un nombre de Nusselt sous forme complexe, de fagon h tenir compte
du d4phasage [9,10]. L'objectif de cet article est donc de mieux comprendre l'influence des variations de pression, de telnp4rature et de flux convectifs sur les performances d'une petite
Inachine de Stirling. Une 4tude exp4rilnentale est lnen4e pour fixer l'influence des diffArents para1nAtres g4o1nAtriques,1n6caniques et therIniques.
2. Approche th40rique globale
2. I. SITUATION Du PROBLLME. Le cycle frigorifique pratique est obtenu dans une machine de technologie Alpha h deux cylindres, avec leurs pistons respectifs, et s4parAs par un iAgAnA-
rateur (Fig. I). Chacun des cylindres est en liaison avec l'une des deux sources thermiques : le volume de ddtente avec la source froide, le volume de compression avec le puits chaud. Dans la pratique, ce dernier n'est autre que l'air ambiant, le cylindre correspondant 6tant ailetd et
en mat4riau conducteur de la chaleur. La source froide est r6alisde avec une piAce conductrice
m6tallique (pouvant servir de support h un composant hrefroidir) qui constitue la partie supd-
rieure du cylindre froid r4alis4, quant h lui, dans un matAriau isolant. Lors des essais, la source froide et le puits chaud sont laissds au voisinage de la temp4rature ambiante, l'objectif n'4tant
T~yt
Tge §e Tpe Tie ~ic §C §c Tgc
dmc V~
Ve dme
Rkgknkrateur
w w
Volume de dktente Volume de compression
Fig. 1. Modkle de machine Stirling.
[Stirling machine configuration.]
pas d'obtenir des basses tempdratures mars plut6t de comprendre la dynamique des (changes thermiques du fluide de travail au sein de la machine. Le cycle thAorique de Stirling (compos6
des quatre phases successives suivantes une compression isotherme du fluide, un refroidisse- ment isochore, une d4tente isotherme et un rdchauffage isochore) n6cessiterait des mouvements de pistons comportant des successions de rampes montantes et descendantes, ainsi que des pd-
riodes stationnaires. En pratique, le cycle est approchd en utilisant des mouvements de pistons qui engendrent des variations sinusoidales des volumes d6phasdes d'un angle ad Le premier h avoir fait l'analyse th60rique des moteurs de type Stirling et h proposer le calcul de leurs performances fut Gustave Schmidt en 1871, au prix d'hypothAses simplificatrices importantes,
notamment sur les temp6ratures, le fonctionnement thermique du rdg6nArateur et les (changes
d'enthalpie entre les volumes des deux cylindres. Dans son modAle, Schmidt considAre que les tempdratures du fluide sent toujours (gales h celle du cylindre dans lequel il se trouve, Te ou Tc l'eflicacitd du rdgdndrateur est supposde implicitement (gale h 0,5 puisque la tempArature
de celui-ci est (Te + Tc)/2 et les (changes de masses de gaz entre les volumes Ame et Amc ne
sent pas envisag4s. Cette analyse fut amAlior4e, notamment h propos de ce dernier point, par
Beans dons un article de 1981 [10]. Les calculs seront envisag6s au paragraphe 2.7.
Les hypothAses que nous utilisons sent encore plus larges que celles de Schmidt ou Beans les temp4ratures du gaz et des parois sont consid4r4es variables dans chaque volume les performances thermiques du r4g4n4rateur sont prises en compte
,
un d6phasage entre le flux thermique par16tal et la diff4rence des temp4ratures paroilfluide apparait, compte tenu des variations rapides de la pression dans les cylindres, les pertes de
charge Ataht n4glig4es entre les diff4rents volumes
les flux de matiAre h la frontiAre des diffArents sous-systAmes sont consid4r4s, ce qui impose de distinguer quatre phases diff4rentes dans le cycle complet, suivant le sens de ces (changes
gazeux, phases qui n'ont plus tier h voir avec celles du cycle de Stirling de base.
2.2. BILAN D'LNERGIE PouR uN SYSTLME THERMODYNAMIQUE ouvERT. Le systAme de
base est constitu4 d'un cylindre saris dapets, avec son piston (Fig. 2)
Frontikre du volume de contr61e
Ti
P Tg m
ml
Fig. 2. Modkle de base.
[Basic model.]
Pour une fraction de temps A16mentaire dt, la variation d'dnergie interne totale dUt du systbme s'dcrit
&W+&Q+&#=dUt. (I)
Dans l'hypothAse oh l'on ndglige l'Anergie cindtique du gaz, supposA parfait, et en prenant
comme r4f4rence pour l'4nergie interne, U = 0 pour Tg = 0 K, alors
:
dUt * dU = d(mcvTg). (2)
Le flux d'4nergie interne accompagnant le flux de matibre traversant la frontibre du systbme
ouvert s'exprime par :
&# = cvT(dm (3)
oh T/ reprdsente la tempdrature du fluide transitant au travers de la frontiAre du systAme lorsque le fluide sort du systbme alors T[ = Tg et dm < 0
lorsque le fluide pAnbtre dans le systAme alors T[ est h ddfinir et dm > 0.
Si le flux de chaleur est uniforme sur toutes les surfaces, la quantitd de chaleur dchangde
par les frontibres du systbme s'dcrit :
~Q = -qi'sjt)dt j4)
avec la convention de signe suivante :
lorsque le gaz fournit de la chaleur (T~ > Tp) alors q" < 0
lorsque le gaz reqoit de la chaleur (T~ < Tp) alors q" > 0.
L'Anergie mdcanique &W se compose
du travail d'expansion du systbme global de volume V -PdV
du travail de ddplacement de la masse dm au travers des frontibres du systbme : Pu*dm soit au total :
&W
# -PdV + PU*dill. (5)
En portant les dquations (2) h (5) dans (I), le bilan global devient
PdV + Pv*dm q"S(t)dt + cvT[dm = cud(mTg). (6)
Le gaz dtant supposd parfait, il vient
:
m = PV/rT~. ii)
I la frontibre ouverte du cylindre
on peut dcrire Pu*
= rT[ = cv(~ l)T(. (8)
D'autre part, l'dquation d'dtat du gaz parfait peut Atre dcrite sous la forme diffdrentielle
@=$+$-~j~
19)
soit, compte tenu de ii),
v p
~~
Pv dTg, lio)
~~° " f~~ ~
rT~ rTg Tg
AprAs substitution de (8) et (10) dans (6), le bilan thermodynamique donne :
~ ~~~ T~
+~ (Ti pvdT8 = q"S(t)dt. Ill)
'~ ~~y~~~) Pd~ ~
(+~ l)Tg ~ ~~ 'f ~ ~
La loi de Newton en convection doit Atre modifide afin de faire apparaitre le d6phasage qui existe entre le transfert de chaleur et la diff4rence de tempdrature entre le gaz et la paroi solide du volume de contr61e [8]. C'est la nature instationnaire des transferts de masses et de chaleur qui crde ce d6phasage. L'expression du flux de chaleur peut Atre mise sous forme complexe, Alex,
en faisant apparaitre les parties rdelles et imaginaires des coefficients de convection complexes
et de la diffdrence de temp4rature complexe entre le gaz et la paroi.
Ainsi, la densitd de flux de chaleur complexe q([
= AlexIS peut s'4crire
all = l~lql'x)+Ji~lql'x)
= (l~lhcx) + Jlllhcx))ll~lT~ T~)cx + j~jT~ T~)cx). l12)
Afin de simplifier l'4criture des expressions complexes, nous pouvons poser l~(hex) = partie rAelle du coefficient d'Achange convectif notAe hr l~(hex) = partie imaginaire du coefficient d'Achange convectif notde hi l~(T~ Tp)cx = partie r4elle de la diffdrence de tempArature notde (Tg Tp)r
~(Tg Tp)cx = partie imaginaire de la diffdrence de tempdrature (Tg Tp)1.
Si une variation pAriodique de la tempArature du fluide est envisagde sous la forme
jTg)cx = Tg + 6T expjjuJt). j13)
(14)
Par Suite>
dTg
~ j~AT exp(J"t).
dt
cx
Nous remarquons alors que la partie imaginaire de la tempArature complexe du gaz peut se mettre sous la forme
:
jj~ )_ ~~g
jis)
~
w dt
~
Si l'on suppose que la tempdrature de paroi Tp reste constante au cours du temps dans le modAle thdorique (en r6alitd, les mesures montrent que cette tempdrature varie aussi de faqon p6riodique), alors (15) peut Atre rAAcrite sous la forme
(Tg Tp)j = (~~~ ~~~
l.
(16)~d ~~
r
En portant (13) et (16) dans (12) on distingue la partie rdelle de la densit4 de flux de chaleur qui s'6crit :
~~~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~dt~~~~ ~~~~
En portant (17) dans ill), la puissance fournie aux parois 4l est alors reprdsentde par l'dgalitd
~ T[ Tg
~dV~ ~T/ Tg
~ dP ~
~T/
pV dTg
~
~ l Tg dt ~ (~ l)Tg dt ~ l Tg Tg dt
=
hr(Tg
Tp)r + ~~
~~~ ~~j
Sit). (18)
" dt
2.3. BILAN Du RLGLNLRATEUR. Darts l'hypothAse d'un rAgAnArateur adiabatique, et en
n4gligeant les pertes de charge au travers de celui-ci, l'dquation du bilan therInodynamique (I)
est simplifi6e :
&W + &# = dUt. (19)
Nous avons alors :
le travail du gaz au sein du rdgdndrateur :
&W
= cv(~ l)(T/~dme + T/~dmc), (20)
l'dnergie apportde par le flux de matiAre :
&4 " CvlT(edme + T[cd'~~c)> 121)
l'4nergie interne totale tenant compte de la masse de gaz contenue dans le rdg6n6rateur (md)
et la masse de l'absorbant thermique (mobs)
dUt " ~d(mabscabsTpd + "~dcvTgd). (~~)
Appliqu4es au gaz traversant le r4gAnArateur et port4es dans (19), les dquations (20) h (22) permettent de rA6crire le bilan
:
cv(~ l)(T(~dme + T[~dmc) + cv(T(~dme + T(~dmc) = -d(mabscabsTpd + mdcvTgd) (23) qui, sous forme simplifiAe, devient :
(T/~dme + T[~dmc) =
~°~~~~~~~ d(Tpd) + VddP (24)
cp r~
oh le volume du rdg6n6rateur est
vd " xl&e 125)
et l'6quation du gaz suppos6 parfait s'6crit
PVd = mdrTgd (26)
En substituant l'expression (10) appliqu#e aux masses de gaz transitant dans le r6g4ndrateur,
le bilan thermodynamique global du r6gdndrateur peut s'dcrire :
dP ~(~~ + ( ~~ + ~ + P ~~d( +
~ d( (~ ~~~ (~
Tge Tgc ~ Tge Tgc Tge Tge Tgc Tgc~~~)
= -r~~~~~~~~ dTpd. (27)
CP
2.4. LOIS COMPL#MENTAIRES
2.4.i. Variation sinusoidale des volumes
C6td volume froid ( = (l~e /2)(1+ cos(wt)). (28)
C0tA volume chaud : ( = k(~[e/2)(1 + cos(wt ad)) (29)
2.4.2. Conservation de la masse. La masse totale de fluide enfermAe dans les volumes est mtotale "
) + ~
+ l' (30)
~ ge r gc ~ gd
Par conservation il vient dmtotaie = 0, soit
dP ~
+
~
+
~
= -P ~~
+
~~ Ve~)~ (~jj~ d~ji~l.
(31)
T8e Tgc Tgd Tge Tgc Tge Tgc (d
2.4.3. EllicacitA du r6gdnArateur. L'efficacitA d'un rdcup4rateur de chaleur se dAfinit par le rapport entre la quantit4 de chaleur transf4rde durant l'unitd de temps et la quantitd de chaleur
maximale transfdrable durant cette unitd de temps.
Pour la phase de rdchauflage du gaz avec Tge(t) = T[~it) l'efficacitd s'dcrit
/t
icp(T(~(~t) T[~(~t))d~t
ech " °t (32)
/ icp(Tpd(u)
T(~(~t))d~t
o
Dans la suite du ddveloppement, nous considdrerons que l'efficacitd du rAg4n4rateur ech est une valeur moyenne telle que
~~~~
= 0, ainsi il vient : dt
T[~ = echTpd + (I ech)Tge. (34)
Pour la phase de refroidissement du gaz avec Tgc(t) = T[~(t)
~~ ~
~e ~c
j~~)
~ Tpd T/~
soil
T/~ = efrTpd + (I err)Tgc. (36)
Le calcul de la temp6rature Tgd s'eflectue avec l'hypothAse simplificatrice d'un fluide parfaite-
ment brass4 darts le volume entier du r4g4ndrateur et de temp6rature uniforme toujours (gale
h sa tempArature de sortie. Quatre cas seront donc h envisager pour les calculs suivant que les
masses gazeuses entreat ou sortent aux extr4mit4s de l'4changeur (Fig. 3).
Phase compression Phase II transfert "chaud"
~gd" ~ic~ ~ie~ ~ ~~~ ~~
i iiijjjiil,". fi
ifi
TicI-iI I" 5~~~~ ., .g I
~
->~. ,~.x.~ i»
..
« .. ~<. ~ ~.
Phase Ill d6tente Phase IV transfert "froid"
T ~=T~ T~=T*
Fig. 3. Phases principales du cycle au sein du rdgdndrateur.
[Gas processes during the cycle in the regenerator.]
Tableau I. Variables ~ttilisdes dans le moddle.
[Variables used for the model.]
c6td c6td rdg4ndrateur pression
expansion compression globale
Tge Tgc Tgd
T[~ ou P
Tpe Tpc Tpd
2.5. APPLICATION Du MODLLE PouR UNE MACHINE STIRLING ALPHA. On applique les
dquations (18), (27), (31), (34) et (36) pour le volume d'expansion Ve, le volume de compression ( et le volume du r4gdnArateur Vd.
Les variables, au nombre de 9, sont rdsum4es dans le tableau I.
Les paramAtres intervenant dons l'Atude thAorique sort d'ordre
. gAomAtrique volume d'expansion de base : l~e,
rapport des volumes compression/ddtente k, pourcentage de voluInelnort X,
surfaces d'Achange Se et Sc = kse
. mAcanique : vitesse angulaire w, ddphasage des pistons ad,
pression de remplissage : em j
Tableau II. Phases d~t cycle de Stirling pratiq~te.
[Gas processes in the practical Stirling cycle.]
Phase I Phase II Phase III Phase IV
dme < 0 dme > 0 dme > 0 dme < 0 dmc < o dmc < o dmc > o dmc > o T[~ = Tge T[~ = f(Tpd T[~
= f(Tpd T[~ = Tge
T* = Tgc = Tgc T* = g(Tpd) = g(Tpd)
~ ~~~ = Tic
~~~ ~
(Tic j ~ie~
Tgd = ~ie ~~~ ~ ~~
. thermodynamique temp4ratures du gaz Tgc, Tge, nature du gaz ~
= cp/cv,
matAriaux constituant les cylindres et le rdgdndrateur : mece,
mace> mdcd1
. thermique coefficients d'dchange internes de convection hr et hi, efficacit4 du rdgdndrateur ech et err.
Le cycle de Stirling pratique se ddcompose en quatre phases rAsum4es dans le tableau II.
Ce cycle ne correspond plus vraiment au cycle thdorique de Stirling.
2.6. CALCUL DE LA PuissANcE FRIGORIFIQUE INSTANTANtE ET MOYENNE. En repartant
de l'dcriture de base du principe de conservation de l'4nergie (10), l'expression de la quantit4 de chaleur frigorifique peut s'Acrire
&Qf = cud(meTge) + Pd( Pv*dme cvT(~dme. (37)
Puis, en utilisant la loi du gaz parfait, on obtient la puissance instantanAe :
&Qf = (cv/r)d(P() + Pd( rT[~dme cvT[~dme, (38)
~j~ " ~ ~P~ + ~K $
CpTje~j~ " q"Slt). 139)
AprAs intAgration sur le cycle, la puissance frigorifique Inoyenne ljf s'exprime par
:
Qf = ~ ~ / Pdl[
+ / l~dP
cp / T[dme (40)
60 ~ l ~ l
2.7. COMPARAISON AvEc LE MODLLE DE SCHMIDT CLASSIQUE. Nous averts repris les
analyses de Schlnidt et Beans, dtablies h l'origine pour une Inachinelnotrice, en les adaptant
h une machine frigorifique de type Alpha (Inachine h deux pistons opposds) [11]. La puissance frigorifique massique par cycle tjf s'exprime alors par
Q~ - i~mniKe [( + k +ltl~lll)11
+ ~() ~l l~~~
