Application de la méthode de factorisation et de la théorie des groupes au traitement relativiste des fonctions radiales hydrogénoïdes

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Application de la méthode de factorisation et de la théorie des groupes au traitement relativiste des

fonctions radiales hydrogénoïdes

A. Crubellier, S. Feneuille

To cite this version:

A. Crubellier, S. Feneuille. Application de la méthode de factorisation et de la théorie des groupes

au traitement relativiste des fonctions radiales hydrogénoïdes. Journal de Physique, 1971, 32 (5-6),

pp.405-411. �10.1051/jphys:01971003205-6040500�. �jpa-00207091�

APPLICATION DE LA MÉTHODE DE FACTORISATION

ET DE LA THÉORIE DES GROUPES AU TRAITEMENT RELATIVISTE

DES FONCTIONS RADIALES HYDROGÉNOÏDES

A. CRUBELLIER et S. FENEUILLE

Laboratoire Aimé

Cotton,

C. N. R. S.

II, Orsay,

^Essonne

(Reçu

^{le 18 décembre}

1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ On montre que l’expression relativiste des fonctions radiales des états liés d’un atome

hydrogénoïde ^au moyen de solutions d’un problème ^de Kepler généralisé permet, par l’emploi

simultané de la méthode de factorisation et de la théorie des _groupes

[O(2, 1)],

^{d’obtenir un certain}

nombre de résultats simples ^sur les éléments de matrice radiaux, diagonaux relativement à l’énergie,

des opérateurs ^{rK et r-K.} Ces résultats sont appliqués ^au traitement relativiste de l’effet Zeeman

(correction ^de Breit-Margenau) ^{et de la structure} hyperfine (corrections ^de Casimir).

Abstract. ²⁰¹⁴ It is shown that the relativistic expression ^{of bound states} hydrogenic ^{radial func-}

tions by ^{means of} generalized Kepler problem solutions allows _us, by simultaneously using ^fac-

torization method and group theory

[O(2,1)],

^{to obtain some} simple ^{results on} radial matrix éléments of rK and r-K, diagonal according ^{to the} energy. These results are applied ^to the relativistic treatment of Zeeman effect (Breit-Margenau correction) ^and hyperfine ^structure (Casimir ^correc- tions).

Classification Physics ^Abstracts

02.00, ^13.00

I. Introduction. ^-

Depuis

^les

premiers

^{travaux de}

Racah,

^la théorie des _groupes continus

joue

^{un rôle}

très

important

dans l’étude de la structure

atomique,

mais en

fait,

^{seul fut}

longtemps

^considéré

l’aspect angulaire

^du

problème,

^{et ce} n’est que très récemment que la

partie

radiale des fonctions d’onde ^a commencé à être étudiée _par la théorie des groupes. Les résultats

acquis jusqu’à présent

^{dans cette voie ne concernent}

d’ailleurs _{que le} traitement non relativiste des états liés des atomes

hydrogénoïdes,

^{et le} formalisme utilisé

ne permet ^d’étudier que les éléments de matrice des

opérateurs ^{r K}

^et

^r-K diagonaux

relativement à l’éner-

gie [1].

^La

question

^est donc très loin d’être résolue dans son ensemble. Parmi les nombreux

problèmes qui subsistent,

^se pose celui de l’extension ^{au cas} relativiste des résultats obtenus dans le cas non

relativiste. En

effet, après

^les

progrès

^{réalisés dans le}

traitement des corrélations

électroniques,

l’évaluation des corrections relativistes restè ^un des

problèmes

essentiels de la théorie de la structure

atomique.

^Là

encore,

l’aspect angulaire

^{de la}

question

^{a été étudié}

de

façon

^assez détaillée dans le cadre des méthodes de

Racah,

alors que les

parties

radiales des fonctions

d’onde,

même dans le cas

simple

^{des atomes}

hydro- génoïdes,

^{ont été seulement}

envisagées

^{comme solutions}

d’équations

différentielles et restent ainsi d’un

emploi

assez malaisé.

Le but de cet article est de montrer que

l’expression relativiste

^{des fonctions} radiales des états liés d’un atome

hydrogénoïde

^{au moyen des solutions d’un}

problème

^de

Kepler généralisé [2]

permet, par

l’emploi

simultané de la méthode de factorisation et de la théorie des _groupes, d’obtenir un certain nombre de résultats

simples

^sur les éléments de matrice

radiaux, diagonaux

relativement à

l’énergie,

^des

opérateurs rK et r -K.

Nous

rappelons

^{tout d’abord les}

points

^essentiels

des résultats d’Infeld et Hull

[2] qui

permettent

d’exprimer

les fonctions radiales du

problème

^de

Dirac-Coulomb à

partir

de solutions d’un

problème

de

Kepler généralisé (sec. 2).

^{Nous nous} intéressons ensuite aux deux factorisations

possibles

^de

l’équation

radiale d’un

problème

^de

Kepler généralisé : 1)

^facto-

risation du type ^F

[2] qui

^{conduit à une}

propriété d’orthogonalité analogue

^{à celle de} Pasternack et Sternheimer

[3]

^{et à un certain nombre} de relations

simples

^entre

intégrales

^radiales

(sec. 3), 2)

^factorisa-

tion du type ^B

[2] qui

introduit directement la

possi-

bilité d’étendre au

problème

^de

Kepler généralisé

^le

traitement

qui

^{a été}

proposé

par

Armstrong [1]

^dans

le cas non relativiste et

qui

repose ^sur

l’utilisation

du groupe ^non compact

0(2, 1) (sec. 4). Enfin,

^nous

présentons

^divers

exemples d’application

des résultats à des

problèmes physiques particuliers (sec. 5).

II. Fonctions radiales de Dirac-Coulomb et

problème

de

Kepler généralisé.

^{- Si l’on admet} que le _noyau

peut

^{être considéré comme une}

particule ponctuelle

^de

masse

infinie,

le traitement relativiste d’un atome

hydrogénoïde

^{se réduit à} celui d’un électron dans un

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003205-6040500

406

champ

coulombien.

L’équation

^{de Dirac} correspon- dante s’écrit alors

[4] :

dans cette

expression, (a, fi) représente

^{le vecteur de}

Dirac à quatre

composantes, Eo

⁼

/lC2

^est

l’énergie

de l’électron au repos, et Ze est la

charge

^du noyau.

Les solutions de

l’équation (1)

peuvent ^{être écrites :}

où

représentant respectivement

^une

harmonique sphé- rique

^{et un}

spineur

^{à deux} composantes. ^{Les fonctions} radiales

Gnlj

^et

Fnlj

^{doivent être} normalisées de

façon

telle _{que :}

et vérifient les

équations

suivantes :

Divers traitements de ce

système d’équations

^sont

possibles

^{mais nous ne nous} intéressons ici

qu’à

^celui

dans

lequel

^{on passe par} l’intermédiaire d’un

problème

de

Kepler généralisé.

^{Ce dernier est défini par}

l’équa-

tion radiale suivante :

où

v = N + y et À = L + y (y > 0) ;

^{si nous ne}

considérons _{que les} solutions

discrètes,

^{N est un entier}

positif

^ou

^nul,

^{et L est un} entier inférieur à N,

positif, négatif

^{ou nul.}

L’équation (5)

peut être factorisée de deux manières différentes

(B

^et

F),

^et si l’on pose :

et v ⁼

n - 1 K 1

+ y, celle ^du type ^{F conduit au résultat} suivant dû à Infeld et Hull

[2] :

En

conséquence,

^{seuls sont à} considérer dans

l’équa-

tion

(5)

^{les cas}

particuliers

^{L = 0 et L} = - 1, ^{mais il}

est apparu

préférable

^{d’étudier les}

propriétés

^des

fonctions

R,

^de

façon

^aussi

générale

que

possible

avant d’en faire une

application particulière

^au pro- blème de Dirac-Coulomb.

III. Factorisation du

type

^{F. - La} factorisation du type ^F permet ^{de définir des}

opérateurs

^échelles reliant les diverses solutions de

l’équation (5)

^corres-

pondant

^{à une même valeur de v. Plus}

précisément,

Infeld et Hull

[2]

^ont montré que ^ces solutions satisfont des relations suivantes :

Or, ^{celles-ci ne sont} que la

généralisation

^directe

(1 - À, n - v)

^des

équations analogues

satisfaites _par les solutions de

l’équation

^{radiale non} relativiste du

problème

^de

Kepler.

^Ces

équations

^ont

permis

^récem-

ment à l’un d’entre nous

[5]

d’obtenir des relations

simples

^entre

intégrales

^radiales

hydrogénoïdes

^{et de}

démontrer en

particulier

^la

propriété d’orthogonalité

trouvée _par Pasternack et Sternheimer

[3].

^La

géné-

ralisation est

immédiate,

^{et l’on obtient en}

particulier,

si K est inférieur à + Â’ +

1,

r o0

Le raisonnement _par récurrence

qui

^avait

permis

^de

démontrer la

règle

^de sélection de Pasternack et Sternheimer

[3]

^{est encore valable et nous obtenons :}

si

En outre, ^{en utilisant} simultanément les

équations (8a)

et

(8b),

^on peut ^montrer que, pour K inférieur à 2 A + 1 et différent de zéro :

Cette

équation

^est

particulièrement

intéressante dans le cas : Â ⁼ _y

(L

⁼

0).

^En

effet,

^{dans un traitement}

relativiste,

les éléments de matrice radiaux de

r -K, diagonaux

relativement à v, sont de divers types, ^mais dans tous les cas, les

équations (6a)

^et

(6b)

^montrent

qu’ils

peuvent ^{être obtenus à}

partir

^{de :}

- v

et

Or, ^{si K est inférieur à 2 y +}

1, l’équation (10)

permet

d’exprimer l’intégrale

^{radiale non}

diagonale

^à

partir

des seules valeurs moyennes de

r-K

dont

l’expression

littérale peut être obtenue ^sans

difficultés,

^{comme nous}

le verrons dans la section suivante.

IV. Factorisation du

type

^B. Théorie des groupes. ^-

fl)

^RAPPELS SUR LA FACTORISATION DU TYPE B ET SES

CONSÉQUENCES. ^- Si l’on fait les

changements

^de

variables et de fonctions suivants dans

l’équation (5) :

celle-ci devient

[2] :

Cette

équation,

^{comme bien sûr}

l’équation (5),

^reste

invariante dans les substitutions suivantes :

Nous n’étudierons _{ici que} les solutions

correspondant

à v et Â

+ § positifs.

L’équation (11), d’après

^{Infeld et Hull}

[2],

peut ^être factorisée suivant le type B ; ^{dans ce} cas, c’est

-

(Â

⁺

1 ’ qui joue

^{le rôle} d’une valeur _propre alors que c’était -

1/v2

^{dans la} factorisation du type ^{F. Les}

opérateurs

^{échelles sont à}

présent :

et ils relient cette fois les diverses solutions de

l’équa-

tion

(11) correspondant

^{à une même} valeur de A :

A

partir

^{des résultats}

généraux

^{de la référence}

[2],

on peut montrer que les solutions

Pÿ

^{de carré som-}

mable

(pour + t

^{et v}

positifs)

^{sont telles} que v - Â - 1 soit

entier, positif

^{ou nul. Ces}

dernières,

^si

nous choisissons la variable

Ç, s’expriment

^d’ailleurs

simplement

^{en fonction des}

polynômes

^de

Laguerre ; plus précisément,

^en

imposant

la condition de norma-

lisation suivante :

on obtient :

dans ce cas, le facteur

Nva

^a pour

expression :

408

b)

INTRODUCTION DU FORMALISME DE LA THÉORIE

DES GROUPES. ^- Les résultats

précédents

permettent d’introduire le formalisme de la théorie des _{groupes :}

en

effet,

le domaine de variation

de v, lorsque A

^est

donné,

montre que les fonctions

correspondantes P"

forment la base d’une

représentation

^d’un groupe

0(2, 1) [6]

^{et, de}

plus,

^les

générateurs

^{de ce} groupe s’obtiennent aisément à

partir

^des

opérateurs ±H

introduits

précédemment.

Si l’on pose :

on montre que : d’une part,

et d’autre part,

ces

résultats,

^{à un}

changement

^{de variables}

près,

^sont

rigoureusement identiques

^{à ceux de la référence}

[1].

Comme dans

celle-ci,

^nous définissons un espace de Hilbert

engendré

par les fonctions

rpÿ grâce

^au

produit

scalaire suivant :

ce dernier est d’ailleurs

égal

^{à :}

c5( v, v’) c5(,1, À’) puisque :

(QvJ 1 Qv) =

et que l’on ^a alors deux fonctions

Pi,

^fonctions

propres d’un

opérateur hermitique, qui

^sont

orthogo-

nales si les valeurs _propres associées À et À’ sont différentes. Avec ce

produit

^{scalaire :}

et en

conséquence,

les fonctions

çi correspondant

^à

une même valeur des forment la base d’une

repré-

sentation irréductible unitaire d’un groupe

0(2, 1).

^La

valeur _propre

correspondante

^de

l’opérateur

^{de Casi-}

mir :

est

égale

^à

Â(Â

⁺

1)

^{et le} spectre ^de

J3

^{est :}

v = N + y >, Â + 1 (N entier).

^{Dans la} notation de

Barut-Fronsdal

[6],

^il

s’agit

^{de la}

représentation D+( - À - 1),

que l’on ^notera ici

D+(À)

pour des raisons de commodité.

Par

ailleurs,

^on peut montrer, ^comme dans la référence

[1],

que les

opérateurs exp(iqz

⁺

KX)

[ou exp(iqr) (K]

^{sont des}

opérateurs

tensoriels vis-à-vis de

l’algèbre

^de groupe définie

ci-dessus, puisqu’en

^{effet :}

Les

opérateurs

tensoriels irréductibles

correspondants

sont obtenus en

imposant

^les conditions suivantes : K> 0:

{ q > K, q - K entier, représentation D+(- K),

[

^{q -}

^{K, q}

⁺

^{K entier,} représentation D-(- K), K 0 q 1 , - K, K

^entier

ou

demi-entier, représentation D(- K) ;

toutes ces

représentations

^{sont non unitaires}

[6].

Nous nous trouvons donc en

présence

^d’une

algèbre

de _groupe

identique

^{à celle}

qui

^{a été} introduite _par

Armstrong [1] ]

^dans l’étude des fonctions radiales

hydrogénoïdes

^non

relativistes ;

^nous utilisons le même

produit

^scalaire pour définir un espace de

Hilbert,

^et

finalement,

^la seule différence réside dans le fait _que

nous considérons toutes les

représentations D+(A,) (A, quelconque > - 2)

^{et non}

plus

seulement les

représentations D+(l) (1

entier >

0). Cependant,

^le

processus de calcul de la référence

[1] ]

^se

généralise point

par

point,

^{nous ne le}

répéterons

^donc pas

ici,

et nous reporterons ^seulement les résultats obtenus dans le

paragraphe

^suivant.

c)

RÉSULTATS. ^- Les

intégrales

^{radiales entre fonc-}

tions

Ri

^des

opérateurs pK

^et

p-K(K

>

0) qui

^sont

diagonales

^{en v} peuvent

s’exprimer

^en fonctions d’élé- ments de matrice

d’opérateurs

tensoriels du type

précédent.

^Pour

p’, cependant, l’opérateur

correspon- dant à une valeur nulle

de q (seul

^cas

qui

^nous

intéresse) appartient

^{à une}

représentation

^non totalement réduc-

tible ;

^le traitement sera donc moins

complet

^que pour les

opérateurs p-K.

Dans ce dernier _cas, une

légère simplification

appa- raît _par rapport ^{aux résultats}

d’Armstrong [1].

^En

effet,

si  n’est ni entier ni demi-entier

(ce qui

^sera

toujours

^{le cas dans}

l’application

^au

problème

^de

Dirac-Coulomb),

^la

décomposition

^du

produit

^de

Kronecker

D(- K)

^x

D+(A)

^{se réduit à :}

Dans cette

décomposition,

^{seules sont} unitaires les

représentations

pour

lesquelles k - K

^{+ A + 1 est}

positif ;

par

ailleurs,

elles n’admettent _pour bases les fonctions

çil (Â’

^{= A - K +}

k) qu’à

^{la condition} que

À’

+ 2

^soit

positif.

^En

conséquence,

^le

développement

suivant :

où les

t q (K)

^{sont définis par :}

peut ^être

toujours

^{écrit si :}

A

partir

^de

là,

^tous les résultats de la référence

[1 ]

restent valables si l’on effectue les

remplacements

suivants :

On

dispose

ainsi pour évaluer

l’intégrale

radiale de

p-’ diagonale

^{en v} des formules suivantes :

et

Les coefficients

A(Âv, Kq 1 À.’ v’)

^{ne sont} différents de zéro

qu’à

^la condition suivante :

on retrouve donc ainsi la

règle

de sélection de Pas- ternack et Sternheimer

généralisée,

donnée dans la section 3. En outre, ^{il est}

important

^de

signaler

que la

quasi-identité

^{de la forme}

algébrique

des coefficients

A(Âv, Kq 1 Â’ v’)

^et des coefficients de Clebsch-Gordan du groupe

0(3)

^trouvée initialement _par

Armstrong [1]

subsiste

ici,

et,

quand

^{elles sont connues}

[7],

^on peut utiliser les

expressions

littérales de ces coefficients de Clebsch-Gordan

correspondant

^{à une} valeur donnée de K.

En ce

qui

^{concerne les}

opérateurs pK,

^{nous ren-}

et

Il

n’ y

^a

plus

^{ici aucune}

règle

^de

sélection. ,

controns, ^{comme nous l’avons}

signalé plus haut,

^la

même difficulté

qu’Armstrong [1].

^{Il est}

cependant possible

^{d’étudier le cas}

particulier

^{g =}

^0,

^ce

qui

conduit aux résultats suivants :

410

Une dernière _remarque

s’impose :

^{toutes les for-}

mules écrites ci-dessus peuvent ^être

regardées

^comme

une

généralisation

directe des résultats d’Arms- trong

[1],

^valables pour les fonctions d’onde radiales

hydrogénoïdes

^non

relativistes ;

^on pourra

donc,

^sans

passer à nouveau par l’intermédiaire de la théorie des groupes, utiliser les formules des

intégrales

^radiales

hydrogénoïdes,

^{et en}

particulier

^celles des valeurs moyennes

de pK

^et

p-K,

^en effectuant les

changements suivants : n - v,

¹ ---> À.

V.

Application

^au traitement relativiste des atomes

hydrogénoïdes.

^{- Les éléments de matrice radiaux}

des

opérateurs

^{rK et r -K}

apparaissent

^{dans de nom-}

breux

problèmes physiques particuliers

^et les résultats obtenus dans les sections

précédentes

^sont

susceptibles

de nombreuses

applications.

^Parmi

celles-ci,

^nous

avons choisi l’effet Zeeman et la structure

hyperfine.

En ce

qui

^{concerne l’effet}

Zeeman,

^le facteur de Landé relativiste a pour

expression [8] :

Nos

résultats,

associés à la relation

classique :

conduisent

après quelques manipulations algébriques

élémentaires à la relation suivante :

où

gNR(lj)

^{est la valeur non} relativiste du facteur de Landé. Si nous

rapprochons

^ce résultat de celui de

Margenau [8] :

nous obtenons :

résultat

qui, d’ailleurs,

^aurait pu être trouvé

plus

directement à

partir

^{des résultats donnés} par Infeld et Hull

[2]. Quoi qu’il

^en

^soit,

^{nous avons ainsi une}

forme

générale

^{de la} correction de

Breit-Margenau [8]

qui s’exprime

^{à l’aide des seuls nombres}

quantiques.

Rappelons

que celle-ci est

toujours négative,

^{et que,}

même _pour les atomes très

lourds,

^{elle ne}

dépasse

^pas,

en valeur

absolue, quelque 10- 3.

^{Pour le niveau} fondamental

(7

^s

2S1/2)

^{du Francium par}

^exemple,

l’application

de la formule

(26)

^{conduit à une déviation}

de -

5,8

^{x 10-3} par rapport ^{à la valeur non} relativiste

(g

⁼

2)

^{si nous ne tenons} compte ^{d’aucun effet d’écran}

(Z

⁼

87).

Dans le cas de la structure

hyperfine (dipolaire magnétique

^et

quadrupolaire électrique),

^{il intervient}

les deux types

d’intégrales

^suivants

[9] :

Si j

^est

égal

^à

j’,

^notre formalisme permet ^d’évaluer les deux

intégrales précédentes

^{et nous obtenons :}

Si nous

appliquons l’équation (27)

^{au cas d’une}

orbitale _{5 p}

( j = 1/2, 3 ,

^{nous obtenons} pour Z ⁼ 50

(cas

^de

Xel) :

alors _que le traitement

approché

^{de Casimir}

[10]

conduit

respectivement

^{à :}

et

Les différences bien

qu’assez

^{faibles ne} sont pas

cependant négligeables.

VI. Conclusion. ^- Partant des méthodes de facto- risation décrites _par Infeld et

Hull,

^{et de travaux}

récents sur

l’application

^{de la} théorie des _groupes au

problème

^{des fonctions}

radiales,

nous avons

développé

un formalisme

qui

conduit à un certain nombre de résultats

généraux

^et

simples, susceptibles d’applica-

tions diverses dans le traitement relativiste des atomes

hydrogénoïdes.

^De nombreuses difficultés subsistent

cependant ;

^en

particulier,

^le

problème

^{des éléments}

de matrice non

diagonaux

n’est pas résolu ^et il reste la

question

^{de savoir dans}

quelle

^mesure les résultats

valables _pour les atomes

hydrogénoïdes

peuvent ^être utiles à l’étude des atomes à

plusieurs

électrons. Ce travail doit donc être considéré comme une contribu- tion à l’étude de ce vaste et intéressant

problème

que constitue l’étude des fonctions radiales

atomiques

^au

moyen de la théorie des _groupes.

Remerciements. ^- Nous tenons à remercier ici le Professeur

Lloyd Armstrong

^{Jr. pour la communica-}

tion,

^avant

publication,

^{de son manuscrit sur la théorie}

des _groupes et les fonctions

radiales,

^ainsi que pour les discussions fructueuses _que nous avons eues ensem-

ble sur ce

sujet.

Bibliographie [1] ^ARMSTRONG

(L.),

Suppl. ^J. Physique, 1970, C-4, ^5.

[2] ^INFELD (L.) ^{et HULL} (T. E.), ^{Rev. Mod.} Phys., 1951, 23, 21.

[3] PASTERNACK (S.) ^et STERNHEIMER (R. M.), ^{J. Math.}

Phys., 1962, 3, 1280.

[4] ^{Pour toute} référence à ce sujet, ^voir par exemple :

BETHE (H. A.) ^{et SALPETER} (E. E.), « Quantum Mechanics of One-and Two-Electron Atoms », Springer-Verlag, Berlin, ^1957.

[5] ^FENEUILLE (S.), ^{C. R. Acad.} Sci., Paris, 1970, ^B 271,

992.

[6] ^BARUT (A. O.) ^{et FRONSDAL} (C.), ^Proc. Roy. Soc., 1965, ^A 287, ^532.

[7] ^EDMONDS (A. R.), ^« Angular ^{Momentum in} Quantum Mechanics », Princeton University Press, ^Prince- ton, 1957.

[8] ^MARGENAU

(H.),

Phys. Rev., 1940, 57, ^383.

[9] ^CASIMIR (H. ^B. G.), ^{« On the} Interaction Between Atomic Nuclei And Atoms », Freeman and Co., San Francisco, 1963.

[10] KOPFERMANN (H.), ^{« Nuclear} Moments », ^Academic Press, ^New York, 1958.