Aberrations des images électroniques des cathodes émissives imparfaites

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Aberrations des images électroniques des cathodes

émissives imparfaites

F. Bertein

To cite this version:

ABERRATIONS DES IMAGES

ÉLECTRONIQUES

DES CATHODES

ÉMISSIVES IMPARFAITES

Par F.

_BERTEIN,

Laboratoire de Radioélectricité de l’École Normale _Supérieure.

Sommaire. 2014 Étant donné la cathode d’un

microscope électronique à émission _{thermionique,}

sa surface S _présente de petites irrégularités créant tout au _voisinage un _{champ perturbateur agissant} sur le _départ des _trajectoires et capable, par cela même, de nuire à la _qualité des images. On étudie les aberrations _optiques ainsi _{provoquées : astigmatisme,} courbure du _champ et distorsion; l’astigmatisme risque de réduire notablement la limite de résolution de l’appareil.

JOURNAL PHYSIQUE

_14,

1953,

Les trois coordonnées

_{rectangulaires}

seront notées xl, x2, x, ou z. Le

_{champ électrique}

au

voi-sinage

de S

_peut

être considéré comme _{formé par}

la

_{superposition}

de deux

_{champs partiels :}

i° Un

_champ

_uniforme

-E,

c’est-à-dire de loi de

potentiel

Ez,

à savoir celui

_qui

résulterait d’une

cathode « idéale », de face

_{plane (x10x2).}

Dans les

dispositions

usuelles

d’électrodes,

ce

_champ

se

détermine aisément à

_partir

des

_potentiels

appli-qués [1], [2].

z~ Un

_{champ perturbateur}

de

_potentiel

_x2’

_z)

s’annulant

_rapidement

dès

_qu’on

s’écarte du

_plan

(x10x2)

et

_provoqué

_{par les}

_{irrégularités}

comme nous le

_{préciserons.}

Si ces dernières sont assez

« étroites _{o, (p reste} localisé à l’intérieur du

_champ

uniforme

E,

ce _que nous _supposerons

_{(fig, 1 ).}

La fonction y est a

_priori

_{déterminée par la}

connais-sance de la surface

S;

rappelons [3]

que si

6(x,x,)

représente

la cote _{de S par}

_rapport

au

_{plan (XIOX2),}

supposée

faible,

on a

_simplement

Traj ectoires

issues d’un

_{point obj et}

M. -Nous allons étudier le faisceau des

_{trajectoires T 0}

issues du

_{point Mo}

dé S,

de coordonnées

Les

_équations

des

_{T 0}

seront

_{posées :}

de sorte

_qu’en

l’absence de

_{champ perturbateur}

(p

=

o)

et _{avec une} vitesse initiale

nulle,

_on aurait

Les (;

sont, par

suite,

les termes dus à q et à la

vitesse

initiale,

de

_composantes

_{v1’ v2’ v3 de la}

tra-jectoire

T 0

considérée.

On

_pratiquera

l’omission

_classique

du

_{signe 1}

dans les

_expressions

où il

_porte

sur un indice

_répété

plusieurs

fois dans les termes monômes :

représente,

par

exemple,

Le

_rapport

masse

des électrons sera

_pris

_égal

à 1,

ce

qui,

on le

sait,

est sans influence sur la forme des

_To.

Dans ces

conditions,

les

équations

du

mou-vement sont :

Leur résolution va faire intervenir les

fonc-tions de t suivantes :

ainsi que des

intégrales

doubles par

rapport

à t

236

portant

sur ces mêmes fonctions, ce _que nous

noterons

_simplement

à l’aide de

_{l’exposant (-2~,}

soit par

exemple,

La résolution est

_possible

_{par le fait que} nous

pourrons traiter comme

_{tn finiment petits}

_les

gran-deurs suivantes :

10 La cote a

_{définissant S}

et,

par

suite, le

potentiel o

et les fonctions

_{(4), (5)}

_qui

en

_découlent;

ces

quan-tités définiront l’infiniment

_petit

du i er

_ordre;

20 La vitesse initiale v

_(vi,

v2,

v,)

des

_électrons;

elle sera considérée comme constituant un

infini-ment

_petit

du 2e

ordre,

ce _que

justifieront

les résultats.

Il sera nécessaire d’effectuer les calculs

_jusqu’au

3 e ordre infinitésimal

_{inclusivement,}

c’est-à-dire faire intervenir les termes _{tels que les suivants :}

Les fonctions

_{~i (t)}

sont alors a

_priori

du 1 eu

_ordre;

les

_équations

_(3),

limitées au 3e ordre dans leur

développement

de

_Taylor,

s’écrivent

et nous cherchons à les résoudre en écrivant

_{~l (t)}

sous

forme de

_{développement}

désignant

une fonction d’ordre infinitésimal k.

Il suffit à cet eff et de

_reporter

ces

_expressions

dans

₍₅₎

et

_d’égaler

les contributions des divers

ordres,

ce

_qui

fournit aisément

On

_portera

l’attention sur les arcs de

trajec-Les termes

_{indépendants}

de la vitesse initiale

ont été limités au 1 eu

ordre,

car cela suffit pour la

suite;

les autres

_{figurent jusqu’au}

3e ordre. On

toires

_{T 0}

situés dans la

_région

du

_champ

uniforme

E,

c’est-à-dire

_après

la traversée de la zone

_perturbée

par o. Les fonctions

précédentes

y sont de

simples

fonctions linéaires de t, de sorte

_qu’en

_reportant

dans

_(6),

les

_équations

du mouvement s’écrivent

_(2),

avec

les coefficients pi, fi,

p)j,

étant des constantes

définies par

Telles sont, en

_définitive,

les

_équations

du

fais-ceau

_To

issu du

_point

_{objet M,(x9),}

faisceau aux

trois

_{paramètres vi}

fixant la vitesse initiale.

Le faisceau _{de rayons} virtuéls T. -

Consi-dérons la section du _{faisceau par} un

_plan

de front

_P,

z = ~ et les

_tangentes

T aux

_Ta

à leurs intersections

avec P. Pour étudier la focalisation, il est commode

de considérer la

_région

à

_gauche

de P comme étant

d’indice

_optique

constant et

_d’y

substituer,

par

suite,

le

_faisceau

virtuel T au faisceau

_To.

Les T sont _{définies par les}

_équations

De la deuxième, nous tirons la valeur de z, instant

de passage au

_plan

_P;

cette valeur doit être obtenue

jusqu’au

2e ordre _pour

obtenir xi

au 3e ordre. On y

parviendra

aisément en écrivant T sous forme

de

_explicitant

les

ordres et en substituant. Le résultat est le suivant :

Cette

valeur,

reportée

dans les

_expressions

₍₁₀₎

donnant x1, on obtient

ainsi,

au 3 e ordre

remarque,

d’ailleurs,

que les valeurs des coefficients pi, ...

doivent y

être limitées au 1er

ordre,

puisque

et en

définissant,

en _outre, des coefficients p~~,

gi;

qui

interviendront

plus

loin

On voit ainsi _{que les}

_{équations (12)}

sont linéaires par rapport au

_champ

_perturbateur

et, par

suite,

il en est de même des

_expressions

xi. En d’autres

termes, les

_expressions

₍₁₂₎

définissant T

_pourront

s’obtenir _{par additivité si le}

_{potentiel y}

se

_présente

sous forme de somme de

_{potentiels composants.}

La zone d’amincissement du faisceau T.

-(12)

montre _{que dans le} cas d’une cathode idéale

(cp = 0),

on a c’est-à-dire le faisceau T

converge dans le

plan

II _{défini par z}

_{+ ~}

= o

(point M),

résultat par ailleurs bien connu. En

pré-sence de c3, on

_peut

donc s’attendre à ce

_qu’il

pré-sente un amincissement dans la

_{région définie}

_par

z -~ ~ ~ o.

C’est la structure dans cette

_région

z

_{+ ~ # 0}

_que nous allons

établir,

car de là vont

découler les

_{propriétés optiques}

cherchées.

Dans ces

conditions,

les

équations

(12)

se

simpli-fient. D’une

_part,

nous _{pouvons y}

_négliger

_(z

₊

_~)qi,

qui apparaissent

comme étant alors d’ordre

_{supérieur. Considérons,}

_par

ailleurs,

le coefficient il se limite à ~ 1

et les relations

₍₉₎

_{permettraient}

de voir

_qu’il

est

_nul;

en vertu de la

linéarité,

il suffirait d’ailleurs de le vérifier pour les lois de

potentiel simples

en

_lesquelles

on

_peut

_décomposer

_p comme la suite le

_précisera.

Les

_{équations (12)}

s’écrivent,

en

_{conséquence,}

Nous allons en déduire la structure du faisceau ’1’.

On

_simplifiera

en

_posant

les nouvelles coordonnées

c’est-à-dire :

a. en ce

_qui

concerne la coordonnée axiale z :

changement d’origine

et d’échelle

_(nouvelle

_{origine :}

plan II);

b. en ce

_qui

concerne les coordonnées

transver-sales xi, x2, ... :

_{représentation}

_{par des affixes}

complexes

dans les

_plans

transversaux.

On posera, en _outre,

Les

_{équations (14)}

sont alors :

ce _{que l’on}

_{peut exprimer}

_{par la relation}

_complexe

unique :

(*

indiquant

la

_{conjugaison).}

Les aberrations :

_expressions

_générales

en

fonction du

_champ

_(p. -

Déplacement,

dilatation,

distorsion. - Soit

d’abord le rayon moyen du

fais-ceau

T,

c’est-à-dire dont le

_départ

est

perpendi-culaire

_{(V = o). (16)}

montre

_qu’il

vient du

_point

N

défini par

X = X° -~ ,P,

au lieu du

_point

_{M (X°)}

obtenu en _{l’absence de y}

_(fig.

_i).

En d’autres termes, y

déplace

le

point

virtuel de la

quantité

p,).

On

_peut

en tirer des données

plus

caractéristiques

si l’on considère les accroissements

_{(fig. 2).}

A un

déplacement

dX° du

_point

_{objet M°,}

donc de M,

correspond

dX de

N, donné par

qui

prend

la forme

Étant donné

un

_petit

_objet

au

_voisinage

de

_Mo,

Cf lui fait

subir,

d’après

(18),

1° une dilatation

(algébrique)

D;

20 une

déformation (distorsion)

caractérisée _par D’.

Pour

_préciser

ce dernier

_point,

_prenons comme

objet

un

_petit

cercle _Y; il donne une

_{ellipse ;’}

dont

l’ellipticité différence des axes est

₁

D’

_1.

l’ellipficité

_’ est

_D,.

somme des axes

Astigmatisme.

-

238

de module

_compris

entre zéro et v vitesse maximum d’émission.

La relation

₍₁₇₎

montre _que la section du

_faisceau,

généralement

à deux dimensions, se réduit à un

segment

de droite pour les valeurs de Z définies

par

ce

qui exprime

l’existence de deux

_{focales, F1, F2,}

dont

on a ainsi les abscisses

respectives.

La section au

milieu de leur intervalle :

fournit le cercle de moindre

_{diffusion K qui}

consti-tuera, ainsi

_qu’on

sait,

le

_pseudo-objet

se

substi-tuant au

_point

virtuel M

_{(fig. i).}

On voit que le rayon du cercle K est :

(w, énergie

en volts

correspondant

à

_v).

C’est là le

_pouvoir

de résolution

_imposé

par

l’astig-matisme dû à la

_perturbation

Cf. Courbure du

_champ.

- Il

y a, d’autre

part,

, ~ ~

20132013~

déplacement (19)

du

_plan

de mise au

_point

NK : C

_{exprime la}

courbure du

_champ,

sans toutefois

constituer une donnée

_{expérimentale}

immédiate. Précisons cette dernière dans le cas d’un

_objectif

à _{immersion faisant passer} du

_champ

E au

_champ

E’

et _que nous assimilerons à une lentille mince située

dans le

_plan

d’une électrode 1

_(fig.

_3),

ce

qui

est

admissible si l’ouverture de 1 est

_petite;

sa

_position

définira

_{l’abscisse ~}

elle-même. Au

_rayon

incident de

_support

T

_{correspond l’émergent}

de

_support

T’. La formule des lentilles donne entre des

_points

conjugués M(z), M’(z’)

Le

_point

M est en z =2013~ pour une cathode idéale. La

_{perturbation ?}

lui substitue le cercle K dont l’abscisse est,

d’après

(19)

et

_{(15), z}

= 2013 ~ +

Az,

où le terme en

_{(p3 -~- x~)}

est maintenant

_négligeable

en raison de l’ordre de

_{grandeur de ~}

et, par

suite,

un

déplacement

~z’ de

_l’image

M’ en

K’,

donné par

La mise au.

point

de

l’objectif

s’effectuant par

déplacement

de S par

rapport

à

~,

il _y a intérêt

à déterminer le

changement

de mise au

_point,

c’est-à-dire le

_{déplacément}

1) de S

qui

équivaudrait

à la

_perturbation

_c~.

Ce

_{déplacement n}

_{déplace l’objet}

virtuel de de

_plus,

il accroît le

_champ

E de la

_quantité

dE =Eny.

Il en résulte la variation dz’ définie _par

L’égalité

avec

₍₂₃₎

donne le

_{déplacement n}

(chan-gement

de mise au

_point)

_équivalent

En des termes un _peu différents :

_lorsqu’on

explore

la cathode S

_point

_par

_point,

il est néces-saire de maintenir la mise au

_point

_par un

dépla-cement

_longitudinal

de valeur 2013Y]; on

_peut

dire

que S

présente

une

_profondeur

_{apparente -n}

sensi-blement

_supérieure

à sa

_profondeur

réelle

6,

comme

le montrera la suite

_{qui précisera,}

en

_{eff et,}

les

expres-sions rencontrées.

Les aberrations en fonction de la structure de la cathode S. - Cas de certaines structures

particulières.

- Soit

une cathode S dont

l’équa-tion z = d

_{(x,, x2)}

satisfait à

_{l’équation}

aux dérivées

partielles

où l’on _pose

Exemples :

ô =fonctions

_{trigonométriques}

_{cos ’-’l « *}

*

au

_voisinage

du

_point

_{objet Mo envisagé,}

dont

(xi,

x,)

désigneront

désormais les coordonnées : pente

courbure nioyenne courbure totale

La loi de

_potentiel

o créée

par 8

doit satisfaire

(1),

c’est

Le calcul des coefficients

₍₉₎

_{n’offre pas de}

diffi-cultés ;

il fait intervenir, en

_particulier,

la valeur de

l’intégrale

définie

Les valeurs obtenues sont les suivantes :

d’où se déduisent immédiatement

₍₁₆₎

les

_quatre

aberrations

C,

A, D, D’;

ce sont des fonctions du

point Mo

(xl,

x2).

La relation

_{géométrique}

entre S et son effet

optique apparaît

clairement si l’on

_prend

les axes

de coordonnées transversales

_Oxl,

_{OX2 parallèles}

aux deux sections

_principales

de S au

_{point Mo}

considéré,

sections définies comme on _{sait par les}

deux

_plans

de

_symétrie

de la

_portion

de S entou-rant

_Mo,

Ce

_sytème

de référence donne

dans ces

conditions,

_°11

et

_ô22

sont les courbures

principales

de S en

_Mo

et l’on a

On voit que les aberrations se déduisent de la struc-ture de S au

_{point objet Mo :}

_{la courbure du}

_champ

et la dilatation sont

_{proportionnelles}

à la courbure

moyenne,

l’astigmatisme

et la distorsion le sont à

l’ellipticité

de S.

On retrouve là des

_propriétés

_analogues

à celles

rencontrées chez les autres lentilles

_{[5] :}

en

parti-culier,

la limite de résolution

₍₂₀₎

est sous la

_dépendance

de

_{l’elliplicité}

de la

_surface,

c’est-à-dire de son _manque

de

_symétrie

de

révolution,

au

_voisinage.

En ce

_qui

concerne la

_profondeur

_apparente

r~,

on voit

_qu’elle

est

_{proportionnelle}

à la

_profondeur

réelle 6 tout en

_pouvant

lui être sensiblement

supé-rieure cas où - >> i

.

Exemple.

- Soit la surface S

surface à ondulations de

_largeur

1 suivant Ox,

La limite de résolution

_{correspondante}

est,

d’après

(20),

(30),

J

-soit,

pour les valeurs suivantes :

valeur

_{déjà nofable,}

_{bien que les ondulations soient} relativement peu

marquées

On obtient des

_{expressions plus simples}

si l’on se

borne à calculer les carrés moyens des

coefficients

d’aberrations sur la

_surface

S

On

_désignera

ce _genre

_{d’expressions}

_{par des}

notations

_surlignées

C2,

.... Il suffit d’observer

que la courbure totale xt peut être aussi bien

posi-tive que

négative

pour en conclure que l’on a

vrai-semblablement

_xr

= _o. On le démontrerait en

décomposant

0 (Xl’

x2)

en fonctions

_{trigonométriques}

orthogonales

et

_qui

satisfont bien cette

relation;

on

verrait,

de

même,

que

240

Sur f ace S

de structure

_quelconque.

--

Nous pouvons alors nous ramener au cas

_précédent

_par

_{superposition.}

x.) s’exprime

par un

_{développement}

trigo-nométrique

en

_{(x,, x,)}

et, _par

suite,

peut

s’écrire :

où

_chaque

_{composante 6,,}

vérifie

_{l’équation (27)}

pour une valeur déterminée sn de s. En vertu de la

linéarité des relations

_{(1) ... (16),}

les aberrations

seront _{obtenues par}

_{superposition}

Cn, A,~, ...

étant les aberrations relatives à la

composante

On,

telles

_qu’on

vient de les déterminer. De telles formules sont évidemment

_{inapplicables}

en

_pratique;

on devra se contenter de ramener

approximativement S

à une seule

composante 6,,

prépondérante.

Les carrés _moyens

_{s’expriment plus simplement :}

ils

_{s’obtiennent,}

eux

aussi,

_par

_{superposition}

en

vertu de

_{l’orthogonalité}

entre fonctions

ona

d’in-dices différents :

soit,

en vertu de

_(30),

On

_peut

_{dire que les}

_importances

relatives des ondulations On des divers ordres sont données par

indépendamment

de leurs

_{f ormes}

_{particuliéres.}

On voit encore _{que si l’on}

_prend

deux ondulations

â,t

homothétiques,

elles

_présentent

mêmes

_{D2, ~}

_{1 D’ 12;}

quant

aux, termes

C2, ~ A ~2,

ils sont dans le

_rapport

d’homothétie.

’

L’aberration de révolution. - Effectuons

jus-qu’au

4e

ordre les calculs des

_trajectoires

à

_partir

de

_{l’équation}

de base

₍₅₎

pourvue du terme suivant de son

_{développement :}

on verra

_apparaître

a

_priori

une aberrations en

_v2,

c’est-à-dtre en w, à coefficient

non infiniment

petits

_et,

_par

suite,

indépendants

de la

_perturbation

9. On la calculerait donc directe-ment bien

_plus

_rapidement

à

_partir

de la cathode idéale : c’est l’aberration de révolution bien connue

des cathodes émissives dont la limite de résolution

est

_[6]

Dans

_{l’application}

_numérique

ci-dessus :

on avait alors

Ces chiffres

_soulignent

_{l’importance}

des

_défauts

optiques

examinés dans cette étude :

l’astigma-tisme dû aux

_{irrégularités}

est sensiblement

_supérieur

à l’aberration de révolution, même chez une cathode

« assez

plane

». C’est lui

_qui

limitera,

en

_général,

le

_{pouvoir séparateur,}

ainsi

_qu’on

_peut

en

_juger,

par

exemple

sur un cliché de A.

_Septier,

cliché

présentant,

par

ailleurs,

une bonne netteté

_[7].

L’emploi

des

_systèmes

correcteurs décrits en

_particulier

pour le

microscope

[5] permettrait

la

suppression

de

cet

_astigmatisme

et ne laisserait _{que l’aberration}

de révolution. Il ne

_peut

toutefois

_s’agir

_{que d’une}

suppression

assez

locale,

la zone

corrigée dépendant

du

_réglage

du correcteur.

Manuscrit reçu le 15 décembre 1 9 5 2 .