Sur quelques aspects du calcul matriciel des circuits non linéaires à oscillation locale

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Sur quelques aspects du calcul matriciel des circuits non

linéaires à oscillation locale

François Bertein

To cite this version:

LE JOURNAI,

DE

_PHYSIQUE

ET

’

I.E

RADILTM

PHYSIQUE

APPLIQUÉE

SUR

_QUELQUES

ASPECTS DU CALCUL MATRICIEL DES CIRCUITS NON LINÉAIRES A OSCILLATION LOCALE

par

FRANÇOIS

BERTEIN,

Laboratoire

_{d’Électronique}

et de Radioélectricité de la Faculté des Sciences de Paris.

Résumé. 2014 On examine les

règles générales du calcul matriciel dans ces circuits ; ce calcul conduit dans certains cas à décrire les courants, non par leurs diverses composantes, mais par leurs

modulations en _amplitude et en _phase. Des _applications sont données en ce _qui concerne

particu-lièrement les problèmes de stabilité des oscillateurs. Abstract. 2014 General

principles are _surveyed about matrix calculus _applied to the above

men-tioned circuits. This method leads _{occasionnally} to the _description of currents not _by their various _components, but by amplitude and phase modulations. _Applications are _presented con-cerning chiefly problems of oscillator _stability.

Tome 21 SUPPLÉMENT AU No 11 NOVEMBRE i960

Nous considérons ici des circuits soumis d’une

part à

une oscillation « locale » et _{d’autre part} à un «

signal

»

d’amplitude

relativement

faible.

Tels

sont les circuits dits

_{généralement}

_modulateurs,

_qui

trouvent un

_{développement}

récent dans les

ampli-ficateurs

_{paramétriques.}

Il

_peut

arriver _que le

signal apparaisse spontanément

et soit considéré

comme utile

(oscillateurs

_{paramétriques)}

ou

nui-sible

_{(modulation parasite apparaissant}

sur

l’os-cillation

_locale).

L’écriture des matrices a été

appliquée

à des cas

importants,

_par

exemple [1], [2], C3J ;

nous nous

proposons d’examiner

ici, après

les

rappels

indis-pensables,

son

_emploi

_{systématique}

dans des

pro-blèmes

_complexes.

MATRICES

APPLIQUÉES

AUX DIPOLES ET AUX

CARACTÉRISTIQUES

DE TRANSFERT

Définition des matrices. -- Soit _un

dipôle

ne contenant _pas de force électromotrice et soumis à une oscillation locale

_{(mo) (fig.}

_{la) lorsque}

cette

oscillation existe

_seule,

l’intensité et la tension aux

bornes sont des fonctions

_périodiques

_{I (t),}

_V(t)

de

pulsation

coo,

supposées

connues _par étude

préa-lable. Il arrive souvent _que

_V(t)

soit fonction presque

sinusoïdale ;

7~),

terme fondamental

_(coo)

de

_{1 (t) permet}

alors de définir l’admittance

_Yws

de

l’élément,

au sens

_{généralisé,}

à l’aide de la relation

suivante

_(en

notations

_{complexes) :}

Dans le cas d’un élément linéaire

Y 0)0

est son

FIG. 1.

admittance usuelle. En

_présence

d’un

_{signal v(t)}

l’intensité et la tension s’écrivent :

1(t) peut

être considéré comme étant le «

_réponse

»

du

_dipôle

à

_{v(t) ;}

dans toute la

_suite,

on _suppose

_v(t)

assez _{faible pour que}

_i(t)

en

_dépende

_{linéairement,}

c’est-à-dire satisfasse au

principe

de

_{superposition,}

Rappelons

que le calcul de la

réponse i(t)

dans

le cas _{d’une condatctance} non linéaire c’est-à-dire

d’un élément défini _par une relation

_{algébrique :}

en l’absence de

signal

_{v(t) :}

I =

f (V)

en

_présence

de

_{v(t) :}

d’où

dl

désigne

la valeur de

df

_{quand V}

=

V t ;

c’est

une fonction

_périodique

_{(6)0) de t,}

connue a

priori.

Exprimons-la

par son

_{développement}

de Fourier

et _supposons d’autre

_part

le

_{signal v(t)}

_{donné par} un

développement

trigonométrique

du

_type

indi-qué

ci-dessous :

Il en résulte immédiatement

les coefficients étant

C’est là

_{l’expression}

de la

_{correspondance}

cher-chée entre v et i dans le cas le

_{plus simple.}

Voyons

comment elle se

généralise

_pour un

dipôle

non linéaire

_quelconque.

Prenons tout

d’abord

_{v(t) égal}

à une

_impulsion

unité située en

t =

"t" ; en vertu de la

_{périodicité}

de

fonctionne-ment due à l’oscillation

_locale,

_1(t)

est alors de la forme :

(p(r) :

périodique

de

_{pulsation (00).}

La

_réponse

à un

signal (fictif)

exponentiel

v(t)

= fJ1CJJt en découle par

superposition :

c’est-à-dire en

_{régime permanent}

(t

très

grand) :

Remplaçons

la fonction

_p(t

--

u)

par son

déve-loppement ;

la

_{réponse z(t)}

au

signal

eicùt

prend

ainsi la forme

en

_posant

A

_partir

de ce résultat une nouvelle

_application

du

_principe

de

_{superposition}

montre

_qu’un

signal

v(t)

d’expression

(3)

donne une

_réponse

de

même forme

_(4),

dont les coefficients sont :

C’est là la

_{généralisation}

de la formule obtenue

pour une conductance non linéaire.

Il est commode

_d’adopter

une écriture

matri-cielle. On définit à cet effet les matrices colonnes :

et la matrice carrée .

(les

matrices seront notées en caractères gras ; les

pulsations

sont

_rangées

dans l’ordre croissant sauf

mention

_contraire).

Les relations

₍₆₎

s’écrivent :

Les fonctions

₍₃₎

et

₍₄₎

mises en

_jeu

sont

com-plexes ;

de même _{que dans les}

_problèmes

linéaires

et

_{sinusoïdaux,}

on obtiendra des solutions réelles en

_prenant

les

_parties

réelles des

_expressions

ob.

tenues.

Les matrices admittance et

_{impédance Y,}

Z

ainsi définies

_dépendent

bien entendu du

_régime

d’oscillation locale :

_forme,

_amplitude,

_phase

de

_V(t).

On montre _{aisément par}

_exemple

_{que si} un

certain

_régime

d’oscillation locale donne au

dipôle

une admittance

_{d’expression}

_(7),

le même

_régime

déphasé

de 1>

_{(tension Y t}

devenant V t

-)-2013)

lui donne F admittance :

Î

’oÎ

Ce

_qui

_précède

reste valable si

_v(t)

₎

et

_1(t)

con-cernent non _{pas la même}

_branche,

mais deux

branches

_{différentes ;}

Y est alors une admittance

de transfert. Il en est de même si on considère la relation entre deux tensions

_u(t),

_v(t)

_{(matrices u,}

v)

ce

_qui

mettra en

jeu

une matrice

_gain

en

ten-sion A :

On voit en définitive la

_possibilité

d’avoir en

superposition

à l’oscillation locale

_(wo)

des

_régimes

comportant

les diverses

_pulsations

_nc~o + (ù

(ou

~

(nmo

+

m)

si l’on considère les fonctions

_réelles)

en suite

_{théoriquement}

infinie

_(n

= -- _oo,

...,

+

oo)

mais

_pratiquement

très limitée en

_général

(ex. :

n =

0,

_4i

1)

_en raison des

propriétés

de

Il

_peut

arriver _que ces diverses

pulsations

soient

bien

_séparées

les unes des autres et _par suite

iso-lables

(ex. :

amplificateurs paramétriques

non

dégé-nérés).

Il

_peut

arriver inversement

_qu’elles

appa-raissent en

_{multiplicités}

_{que l’on devra}

garder

en

bloc : tel est le cas

_{lorsque :}

1)

coco «(ù ex. : circuit de

régulation

de fré-quence de Pound

(fig.

2a) ;

2)

m « ooo, modulateurs usuels

(fig. 2b).

L’ensemble des

_pulsations

cùo, ~-

.ùo + .ù

forme

une onde

_porteuse

_(coo)

modulée pan un

_{signal (cm)}

f aible ;

3)

m #

coo/2,

amplificateurs paramétriques

«

dé-générés

»

(fig. 2c).

Rappel

des

_dipôles

les

_plus

_simples.

--- DIPÔLE LINÉAIRE. - Sa matrice admittance est

diagonale,

d’éléments

_~(~coo

+

cù), 1(m)

étant la fonction

admittance

_classique.

CONDUCTANCE

_(RÉSISTANCE

NON

_LINéAIRES

Les

_propriétés

en ont été

_rappelées

au

_{début ;}

suivant

_{(5) :}

LES éléments

Gn

sont les coefficients de Fourier du

_{développement (2)}

de la. fonction

df .

Dans le cas

_important

où la tension locale aux

bornes est une

fonction paire,

les

Gn

sont réels et

la matrice G

_{symétrique :}

La matrice Z = Y 1 _{a une structure}

analogue.

Appliquons,

à un élément redresseur

_polarisé,

l’amplitude

de l’oscillation locale

_V(t)

étant assez

faible pour que le courant _passe en

impulsions

assez étroites

_{(fig. 3) ;}

il en est alors de même de la

fonction

df,

d’où il _{résulte que les}

_premières

valeurs sont sensiblement

_{égales ;}

on

_peut

écrire

par

exemple :

si le

_demi-angle

de _{passage 0} est inférieur à

_~~4.

Le cas

_analytique

le

_plus

_simple

d’un tel élément

est _{donné par} la

_{caractéristique}

sous

_régime

local sinusoïdal

_{d’amplitude Vo ;}

on

tro uve :

(In

fcnction de Bessel

_modifiée,

d’ordre

_n).

L’admittance

_{généralisée}

de l’élément est dans les rnêines conditions :

RÉACTANCES NON LINÉAIRES. - Il est commode

de faire intervenir w, matrice

diagonale

d’élé-ments _{nmo +} go. On vérifie immédiatement que w

exprime l’opération

de dérivation ex. :

_{di idt}

=

jwi.

Une

_capacité

est _{définie par} une loi de

_chârge

ce

_qui

donne entre matrices q =

Cv ;

Si

_V(t)

est fonction

_paire,

C a la structure

₍₁₂₎

à éléments

_Cn,

_{de là par} dérivation i =

Yv,

Une inductance _{définie par} une loi T)

£ f3>

présente

de même une

_impédance

L a la

structure(12)

à éléments

Ln

à condition

que

I(t),

et non _pas

V(t),

soit ici fonction

paire.

Si

_V(t)

ou

_I(t)

ne

_présentent

_pas la

_partie

140

symétriques,

mais seulement

_hermitiques,

à files d’éléments

_{égaux (en}

raison des

_égalités

G_n

=

~n~.

Rappelons

que l’effet d’un

déphasage 0

se

mani-feste suivant

_(10).

Le caractère

_hermitique

conduit

immédiate-ment,

au moins dans les cas

_particuliers

actuels,

à la relation de

_Manley

et Rowe

_{[4] :}

(Pn puissance

fournie au

_dipôle

_par la

_pulsation

noeo +

Cù).

Quadripôles.

- Soit _un

quadripôle

_ne conte-nant pas de force électromotrice et soumis à une

oscillation locale

_(,wo)

_{( f ig.}

_1b);

les intensités et

tensions aux bornes d’entrée et de sortie sont des

fonctions

_périodiques

_{11 (t), .I2 (t), V,}

_(t),

_{V 2 (t).}

En

présence

d’un

_signal

ces

_quantités

deviennent

I1

(t)

+

_il

(t),

I2

(t)

+ i2 (t)~

VI (t)

+ Vi

(t),

V2

(t)

+ v2

(t).

On

_prendra

le cas où les tensions

vl

(t) et

v2

(t)

sont données _par des

_{expressions (3)}

mettant en

jeu

une suite de

_pulsations

_{noeo +} ce.

Les résultats

_précédents

_permettent

alors de déterminer la forme des relations existant entre

Vli ~2?

il,

i2 :

en

_présence

de la seule excitation v1

(t)

nous _{pouvons écrire :}

Y1~, Y2, désignant

des

_{admittances ;}

il en est

de même en

_{présence de v2 (t)}

seule

_{(matrices Y12,}

Y22)

de sorte

_qu’avec

_Vl

_(t)

et _V2

_(t)

le

_principe

de

superposition

nous donne :

Des

_exemples

_importants

de

_quadripôles

sont

fournis par les

_{lampes (triodes,}

_pentodes)

et

tran-sistors ;

aux

_fréquences

suffisamment basses on

sait _que ces éléments sont _{définis par des}

carac-téristiques

algébriques,

de sorte _que les

admis-tances

_lik

sont des conductances de

_type

décrit

plus

haut.

Lignes,

facteur de réflexion. - Le calcul des

matrices

_s’applique

aussi bien aux

_lignes

de

trains-mission ;

on

_peut

raisonner sur les ondes incidente

et

_réfléchie,

de matrices

_respectives

a --.

1)1,+11,

Supposons

une

_ligne

fermée sur un

_dipôle

d’admittance

_{Y ;}

ce

_dipôle

_peut

_également

s’expri-mer à l’aide de son facteur de réflexion R défini par b = Ra. Nous

avons, suivant les relations

connues du calcul scalaire

_{(valeurs normalisées) :}

d’où

_résulte,

_par un calcul

_simple,

la relation

sui-vante entre R et 1" :

(dans

ces écritures matricielles 1

_désigne

la matrice

unité).

Le passage de Y à R

_exige

ainsi l’évaluation d’une matrice

inverse ;

il ne serait effectivement

possible

que dans des cas très

_simples,

_par

exem-ple

admittances Y _presque

_diagonales.

On

_peut

voir _{toutefois que dans} le cas d’une conductance G

_(12),

le facteur de réflexion a une structure du

même

_type

_que cette conductance.

EMPLOI D’UN

SYSTÈME

DE

_{COORDONNÉES (oc,}

_y)

EXPRIMANT LA MODULATION

Il

_peut

être commode

_d’exprimer

les intensités

i(t)

et tensions

_v(t)

à l’aide de «coordonnées » _autres

que les

composantes

in,

vn.

Cas de 2

_{pulsations *}

_wo, + w, coordonnées

(a, cp).

-

Admettons

tout d’abord

que les valeurs utiles de n se réduisent à n - * 1. Il en est ainsi

par

exemple lorsque

tù « (ùo et si les

propriétés

du circuit ne laissent subsister _{que les} 3

_pulsations

groupées mo (oscillation

locale) ±

oeo + ce

( f ig.

_{2b) :}

il

_s’agira

là de

_régimes

modulés en

amplitude

et en

phase,

de modulation

toujours

faible

(rappe-lons _que le

_signal

est

_{toujours supposé petit)}

(fig. 4).

Considérons la tension

_{totale, réelle,}

aux bornes

d’un

_dipôle

donné :

Soit

_4hv

la

_phase

à 1 ~ 0 de la tension

d’oscil-lation

_{locale, Ov}

= _arg

V 0;

_on vérifie que

(21)

s’écrit aussi bien :

La relation

₍₂₂₎

_exprime

_que

CO’{t)

résulte d’une double modulation de l’onde locale

_{V 0}

e’~’~~ :

1)

une modulation sinusoïdale

d’amplitudc,

donnée par

3{eva.

e’"’,

,

2)

une modulation sinusoïdale de

phase,

donnée

(et

se

traduisant

_par une modulation de

_fréquence

On

_pourra

rencontrer bien entendu les cas

parti-culiers

_{classiques :}

v~ = 0 : onde modulée _en

amplitude

seule ;

Va = 0 : onde modulée _en

phase

seule. Formons

)PS matrices :

Les relations

₍₂₃₎

s’écrivent

Il

_peut

être commode de décrire la tension

_v(t),

non _{par les}

_composantes

_{n-1, v1, mais par les}

quantités

va, Vcp que l’on

peut

considérer comme

formant un autre

_système

de coordonnées _pour

_v(t).

Le

_changement

de coordonnées associé est

_défini

par la matrice S, ;

on note _que

_{SV IV2}

est unitaire

car l’on a,

_quels

que soient v_1 et _v1:

Les considérations sont les mêmes si l’on envi-sage un courant

_{1(t) ;}

_i(t)

_peut

se décrire par une

matrice i’ formée à

_partir

de

_{coordonnées ~ ~ ;}

2 ~ sI 2.

La matrice

_Sr

fait inter venir

_Cj,

_phase

de l’intensité

_Io

eelùl de l’oscillation

_{locale ;}

elle est

donc

_égale

à

Sv

à condition d’avoir

_1>1

=

Ov.

Le

_système

de coordonnées _{vl, v_1,}

_{i 1,}

_{1_1,...}

sera brièvement

_{(:1: 1),}

celui _{va, v(fn}

_7’~

_{1~~>,..,}

sera noté

_(oc,

_y).

ADMITTAIVCES. -

Reprenons

la relation de

trans-fert

₍₈₎

_{par admittance} entre un courant

_i(t)

et

une tension

_v(t).

Cette relation s’écrit dans

_(a,

9)

t

Prenons pour Y la notation

_{générale, compte}

tenu,

suivant

₍₉₎

de la

_phase

_{0~ :}

on obtient : *.

en

_{posant :}

Deux

_types

_particuliers

sont à considérer :

1)

si 8 == 8’ ~

0,

la matrice Y’ est

diagonale ;

le transfert

s’écrit :

°

une modulation

_{d’amplitude}

conserve son

carac-tère,

de même une modulation de

_{phase ;}

tel est

le cas des conductances linéaires ou non linéaires

des circuits résonant et antirésonant linéaires accordés s ur la

pulsation

locale c~Q ; soit par

exemple

l’admittance du circuit antirésonant en notation

usuelle

_(pour

m >

_{0) :}

on a

de là

2)

si 7 = 6’ =

0,

le transfert s’écrit :

une modulation

d’amplitude

donne une

rnodn-lation de

_phase

et inversement.

APPLICATION AUX ÉLÉMENTS DOUÉS D’INERTIE

THERMIQUE

_{(0« (00). -}

Les coordonnées

(a,

cp)

permettent

d’obtenir commodément les

caracté-ristiques

d’éléments

_{intrinsèquement.}

linéaires mais doués d’inertie

_{thermique ;}

cette inertie confère

une non-linéarité différente de celle des

_dipôles

envisagés

jusqu’ici.

Prenons le cas d’une résistance

(ampoule

à

filament,

thermistor)

en

_régime

faiblement modulé

du

_type

_(21).

La

_pulsation

00 est

supposée

assez

élevée

pour que la

température

reste constante

pendant

la

_{période 27t !Ùo.}

L’élément a les

pro-priétés

d’une résistance linéaire évoluant suivant

la modulation

_{d’amplitude}

de basse

_{pulsation c,)}

Il en résulte d’une

_part

_que les modulations de

(Ro

valeur de la résistance dans le

_régime

_6}0).

On

a d’autre

_part,

entre les coordonnées

_{Va.? ia.,}

une

rel ation de la f orme :

provenant

du fait que la résistance suit avec un

certain retard la modulation

_{d’amplitude}

de

_5(t).

X

_{et y}

sont des constantes

_{qu’une analyse}

au

pre-mier ordre

_permettrait

de rattacher aux

caracté-ristiques thermiques

de l’élément

_{envisagé ; X}

_{et y}

ont des valeurs

_positives,

si du moins la résistance

se fixe effectivement à une valeur stable pour une

intensité

₁₁₀₁

déterminée.

Les relations

_(33),

₍₃₄₎

_expriment

les

_propriétés

de la résistance

_{thermiquement}

inerte : sa matrice

impédance

(ou admittance)

est

_diagonale

dans le

système

de coordonnées

_(IX,

_{y) :}

(on

comparera avec

_(31)).

Cas de 3

_pulsations

_col

_{000 + W,}

coordonnées

(0,

a,

~p).

- Nous

avons défini les coordonnées

(a,

cp)

dans les

_régimes

à n

_{= * 1}

_(modulations

sinusoïdales) ;

il est

_{également possible}

de mettre

en

jeu

ces

_quantités

en d’autres circonstances.

Prenons ici le cas où sont à considérer les 3

pulsations

m, -

coo -+- (ù, (ùo -~- col que nous

conpien-drons de _{ranger dans} cet ordre.

Les

_grandeurs

_{électriques v(t),...}

_pourront

être

repérées,

soit par leurs

composantes

vo, v_1, Vil... soit par vo, va, v(f)’." en conservant _{pour va, v~...} la

définition

_(23).

Ces deux

_systèmes

de coordonnées seront notés

brièvement

_(0,

_~

_{1), (0,}

_a,

_{cp) ;}

les lettres

accen-tuées

_{représentant}

les matrices dans le deuxième

système.

Le passage de l’un à l’autre s’effectue à l’aide de matrices de

_changement

de coordonnées

qu’on

aurait immédiatement à

_partir

de celles

Sp, SI

(25)

du

_problème

à 2

_composantes.

Le choix de

_(0,

oc,

p)

se

_présente

_par

_exemple

tout naturellement si l’on considère les

_propriétés

de transfert des modulateurs et démodulateurs

idéaux : u =

lVlv,

u =

Dv ;

les

premiers

reçoivent

m et

donnent ±

_(ùo + _co, les derniers se

_comportent

de

_{façon inverse ;}

on

_précise

immédiatement les

cas

particuliers classiques

dans le

_{système (0,}

ce,

p)

d’où l’on

_peut

ensuite _rppasser au

système (0,

~

1).

Modulateurs

_{d’amplitude}

et de

_{phase :}

-.

Démodulateurs

_{d’amplitude}

et de

_{phase :}

Si

Ov #

0 on aurait _par

_exemple

Ces diverses

_{correspondances}

_permettent

d’obte. nir sans calculs la matrice G’ d’une conductance

non linéaire G dans

(0,

rl,

_cp).

Avec l’ordre de

ran-gement

actuel

_(m,

-

wo

+

m, mo

+

6))

nous avons e~1 effet

_(avec

_0~

=

0) :

c’est-à-dire

de

_là,

_compte

tenu de

_{(31), (36), (37)}

La matrice Y’ d’une admittance linéaire serait :

(c-, 8

donnés par

(30)).

CALCUL DES

RÉSEAUX

Régime permanent.

- Soit

un réseau soumis à une oscillation locale de

pulsation

_{côo ; le}

régime

permanent

correspondant

est

_supposé

connu : En

_présence

d’un faible

_signal

_e(t),

de

_pulsation

(ù ou

_comportant

les diverses

pulsations

_n(ùo + Cù,

les courants et tensions deviennent :

On se _propose de déterminer les accroissements

ik

(t), ... Vk (t) ....

Les

_équations

à écrire vont mettre

en

_jeu

les matrices colonnes

_{ik, vk ;}

elles

exprime-ront comme

_toujours

la conservation de

l’électri-cité aux noeuds et les

_propriétés

des divers Álé.

ments,

dipôles

ou

_quadripôles

qui

interviendront

Ces

_équations

sont _{les mêmes que s’il}

_s’agissait

d’un réseau

_classique

linéairé en

_régime

sinusoïdal ;

les calculs seront donc les

_mêmes,

sous réserve

qu’il s’agira

ici de

_{matrices ;}

les matrices des élé-ments non linéaires n’étant _pas en

_général

commu-tables,

il

_importera

de ce fait ’de conserver l’ordre

des

_facteurs

dans les

_{produits ;}

tout

_quotient

s’exprimera

par le

produit

par la matrice inverse.

En

_conséquence

toute

_expression

obtenue dans le

calcul

_classique

scalaire _pourra ne _pas se

trans-crire immédiatement ici.

Bien

_entendu,

toute

_partie

de calcul concernant

uniquement

des éléments linéaires s’effectue

comme à l’ordinaire

_(matrices

_diagonales

commu-tables) ;

il

_peut

êtra utile d’obÇerver d’autre

_part

que tout

quotient A~B

du calcul scalaire se

tra-duira _par .B-1 A et non AB-1

_{(ex :}

_(20)).

Rappe-lons que les matrices carrées

_{dépendent à priori}

dn

_régime

d’oscillation locale et en

particulier

de sa

_{phase 0}

dans les éléments

_{considérés ;}

on

pourra souvent

supposer (D

= 0.

Il

_peut

êt.re commode de

_faire

intervenir les varia-bles

_(oc,

_{CF) ;}

nous allons examiner le cas le

_plus

f

ave-rable à ce

sujet,

celui des

régimes

à deux

pulsations

~ wo -~- m

_(c~

«

_wo)

dans les réseaux constitués exclusiv ement de

_{conductances,}

linéaires ou non

(ou

éléments mettant en

jeu

des matrices de ce

type :

lampes

aux

_fréquences

assez

_basses,

trans-f ormateurs

_parfaits)

et de circuits antirésonants accordés sur _mo. Il est clair _que l’oscillation locale

a alors la même

phase

_partont,

de sorte _{que l’on}

passe aux variables

_(oc,

_p)

à l’aide d’un

_changement

de coordonnées

_~S~

=

Si

fixe

(25) ;

_-, conformément

aux

_règles

du calcul

matriciel,

les relations obte-nues entre les courants et tendions seront aussi bien valables avec les matrices

_{1[, T[}

du

_système

de variables

_(oc,

_cp).

Or l’étude antérieure montre _que

le choix de ce

_{système présentera}

ici un

grand

avantage

car les matrices des éléments du circuit en

_question

_y sont toutes

_diagonales.

Le calcul du

régime

se réduira ainsi à un

_simple

calcul scalaire

dans

_lequel

l’ordre d es facteurs n’intervient

_{plus ;}

de

_plus,

les derzx modulation _{oc, cp} se traitent de

manière

_{imdépendante}

l’une de l’autre. Prenons

l’une d’elles, par

exemple

on écrira les relations entre les

_ikf7w’

comme s’il

s’agissait

de courants

et tensions en

_régime

linéaire

_{sinusoïdal ;}

on devra

remplacer : chaque

conductance

_(de

_dipôle

ou de

lampe)

du

_{type (12)}

_par une conductance

Go

-1-

G1

(cf.

(31)) ;

chaque

résistance à inertie

thermique

par

Ro

1

+ 1 À.)

(cf.

(35));

cha-que circuit antirésonant par G

( 1

+ 2jQ

-(cf.

(32)).

Les résistances linéaires et

transforma-teurs

_parfaits

restent

_inchangés.

On

_opèrera

de

manière

_analogue

_{pour les Vkrp.}

On _pourra bien

_{entendu, adopter}

comme

_support

graphique

le schéma du réseau lui-même dans

lequel

on effectuera les substitutions

précédentes ;

une résistance à inert,ie

thermique

se traduira ainsi par un

_dipôle

résistance en série avec ensemble

conductance-capacité

en

_parallèle,

le circuit anti-résonant par conductance et

_capacité

en

_parallèle.

Régimes libres,

instabilité :

_Équation

en s. ----Les

_équations

du circuit définissent des

_régimes

libres

_lorsqu’on

_y annule le

_signal

_e(t).

Elles

con-duisent alors en

_particulier

à une condition de

compatibilité équation

en s

_qui

fournit les valeurs

s1, s~,... de s =

jm,

en

_{général complexes,}

des divers

régimes possibles.

Le

_{régime correspondant}

à s,

comprend

des courants et tensions de la forme :

Les

_{racines si}

situées à

_gauche

dans le

_plan

complexe

donnent des

_régimes

amortis. Celles de droite donnent des évolutions croissantes

_qui

finissent _par sortir du domaine de linéarité et de ce

fait aboutissent à une oscillation

_permanente

super-posée

à l’oscillation

_{locale ;}

s’il existe des

racines s2

à

_droite,

cette dernière

_apparaît

ainsi comme étant

instable. Si « _(Ùo,

_l’aspect

_global

est celui

d’une oscillation

_(mo)

modulée

_{(fig. 3).}

De même que dans la théorie des réseaux

li-néaires,

il est facile de

_prévoir

dans les cas

_simples

la forme de

_{l’équation}

en s. S’il

_s’agit

_par

_exemple

d’un

_dipôle

d’admittance

_Y,

les

_régimes

libres sont

obtenus en écrivant Yv =

0,

système

linéaire

homo-gène

dont la condition de

_{comptabilité}

sera

(det

= déterminant de la

matrice).

Dans le cas d’un

_{amplificateur}

à

réaction,

A

désignant

le

_gain

total en boucle ouverte : v - Av d’où la condition :

(Le gain

total se

_présentera

en fait souvent sous

forme d’un

_produit

de

_gains

de

_quadripôles

suc-cessifs

_AB...).

En vertu des

_règles

de calcul des déterminants

on _{pourra aussi bien écrire}

P étant une matrice de déterminant non

_{nul ;}

cette

_possibilité

_permettra

souvent de

_remplacer

(~1. - 1)

par une matrice

_{plus simple}

et d’éliminer

les matrices inverses

_figurant

éventuellement dans

les

_{expressions explicites :}

le calcul des inverses

risques

en eifet d’être très

_compliqué.

Envisageons

le cas où le circuit est un

oscilla-teur

_produisant

lui-même l’oscillation locale

₍₆₎₀₎

sans source

_{extérieure ;}

suivant la théorie des

oscillateurs,

il en découle souvent une

_équation

mettant en

_jeu

l’admittance ou le

_gain

au sens

Il pourra être commode d’en tenir

compte

en

remplaçant

par

exemple

les

équations (43),

(44)

par l es suivantes :

Prenons un circuit dont tous les éléments ont

des matrices

_diagonales

en coordonnées

_(a,

p) ;

soit par

exemple

la seconde

_équation

en s

(46),

c’est-à-dire

A,,, et A,,

désignant

les deux éléments

_diagonaux

de A ;

de là les deux

_{possibilités}

suivantes :

dont les solutions sont des

_régimes

libres modulés

uniquement

en

_{amplitude ;}

.

dont les solutions sont des

_régimes

libres modulés

uniquement

en

phase.

Rappel

du critère de Routh-Hurwitz. - En

vertu de son

obtention, l’équation

en s est

algé-brique

à coefficients réels. Ses

_{racines si}

sont toutes à

_gauche

dans le

_{plan complexe,}

en d’autre termes

le

_régime

local

_(coo)

est

_stable,

si les conditions de

Routh-Hurwitz sont satisfaites. Pour une

équation

du 3e

_{degré :}

~ . ~ - -

-ces conditions sont les suivantes :

ont le même

_signe.

EXEMPLES D’APPLICATIONS

Nous donnerons

_{quelques exemples}

montrant

bien le

_{parallélisme}

existant entre le calcul

matri-ciel et le calcul scalaire des réseaux linéaires. Il faudra s’attendre à

_aboutir,

le cas

_échéant,

à des

équations

très

_{complexes ;}

le calcul matriciel ne

peut

en effet

_apporter

aucune

_{simplification}

aux

équations

ultimes d’un

_{problème ;}

son seul intérêt

est d’en faciliter notablement l’obtention et

éven-tuellement la

_{présentation.}

Contre-réaction,

contrôle de

_gain

et de fré-quence. -- CONTROLE

DE GAIN. - Prenons le

sché-ma de la

_figure

5 mettant en

jeu

3

_quadripôles

dont les matrices de transfert de tension sont

_A,

D,

F. Il

_s’agit

là d’un ensemble de

_gain

DA, subissant une réaction de la

_part

du circuit F branché en

_parallèle

sur la sortie et en série sur

l’entrée ; on a :

et _{par suite :}

ce

_qui

définit le

_gain

total du

_système.

Ce

_type

de schéma est _par

_exemple

celui des circuits de contrôle de

_gain

chez les

_{récepteurs ;}

les trois

_quadripôles

étant : A

_{amplificateur}

sélec-tif

_auquel

la

_lampe

d’entrée à

_pente

variable donne

un caractère non

_linéaire,

D

_détecteur,

F filtre linéaire. Trois

_pulsations

sont mises en

_{jeu :}

_(ù, ~ coo + m à

partir

du

signal

d’entrée +

(ù

(m

«

_{Co 0).}

Les matrices ont les structures suivantes :

~ se détermine en observant _{que la sortie v} est

formée de deux

_{parties : réponse}

linéaire _{à e,}

réponse

à _{u ;} ces deux

parties

donnent

respecti-vement les deux éléments

_{diagonaux d,}

g et les

deux

_{éléments c,}

_f

de la

_première

colonne.

Le calcul de

_{l’expression}

_(49~

n’a bien entendu

pas d’intérêt dans les cas

_simples

_{que l’on traite}

directement,

par

exemple

celui où l’on a D

détec-teur

_{d’amplitude}

_parfait

et A accordé sur du

point

de vue du calcul des

matrices,

on aurait

alors a

= b,

c

_{= f ,}

d = _g et le passage aux

varia-bles

_(0,

_ce,

_cp)

conduirait à des

_{simplifications}

immédiates.

La relation

₍₄₉₎

_permet

d’autre

_part

d’obtenir

l’équation

des

_régions

libres

(modulations parasites

éventuelles) :

Ces diverses considérations ne

_supposent

_pas

que les

gains

soient

indépendants

des

charges

branchées aux

_{sorties ;}

une

_dépendance

_pourrait

être

_exprimée

_par

_exemple

à

_partir

du théorème

de Thévenin étendu aux matrices.

CIRCUIT DE POUND. - On sait que la

contre-réaction conduit

_également

à des circuits de

con-trôle de

_fréquence.

Il

_peut

_{arriver que} le mécanisme

mis en oeuvre sorte du domaine de la linéarisation

mais

_puisse

toutefois

_s’y

rattacher

facilement ;

nous le montrerons brièvement dans le

_montage

de Pound utilisé pour la

régulation

de

_fréquence

partie

UHF

_{( f ig.}

₆₎

_que nous traiterons par les

matrices. Le

_signal

_(o)

_appartent.

aux

hyper-fréquences ;

rappelons qu’il

se réfléchit sur une

cavité résonante

_C,

_puis

sur un cristal «

modula-teur » K soumis à une oscillation locale

_(wo

~~

_(ù)

et subit enfin une détection

_{d’amplitude}

_par un cristal détecteur K’. Nous allons évaluer la

ten-sion

détectée

_u(t)

en fonction de l’onde incidente

mesurée _par

_a(t)

_{= ao} e;6) dans une section donnée

du

_guide

_d’entrée,

section choisie de manière à

avoir _ao réel.

En vertu des ordres de

_grandeur,

un certain

nombre de

_pulsations

_n6)o + m sont

susceptibles

de se _{propager ; elles interviendraient} additive-ment de sorte

_qu’il

suffit de ne retenir _{que les} 3

pulsations

6), :i:

coo + m en raison de la sélectivité

des circuits H. F. du

_montage

total.

En notations de

_matrices,

la valeur b du

_signal

à son arrivée en I~’

_peut

s’écrire :

b = c eJ+ _{BR,, a. (50)}

c est un facteur

_{numéri que}

_provenant

des

par-tages

de l’onde à

_chaque

_passage au centre du

_T,

le

déphasage ~

est introduit par la

propagation ;

il

se manifeste _par un

simple

facteur scalaire car il

est sensiblement le même _{pour les 3}

_pulsations

utiles.

Rg est le facteur de réflexion de C

_{(linéaire) ;}

il

se réduit

ici à un

simple

scalaire

Rc

(jw)

puisque

a ne

_comporte

_qu’un

seul terme. R est le facteur de réflexion du cristal K non

_{linéaire ;}

_supposons K

conductance

_{pure, ~ = 0 ;}

la matrice R a la

même structure que sa conductance G

(39) :

1~~,

Rl,

R2 (réels)

désignant

ses

_éléments,

nous aurons

ainsi :

(ordre

m, -

wo + Co,

m).

L’onde b est _{démodulée par le} cristal K’,

L’oscil-lation «locale » est ici formée par la

_partie

_de

l’onde incidente arrivant directement en

_K’,

soif

(Ç’ déphasage

dû au chemin

_{correspondant) ;}

sa

pulsation

est,

non

_plus

_mo, mais (0, de sorte que la

formule matricielle doit faire intervenir b _par ses

composantes

de

_pulsation

w

_-~-

₆₎₀

c’est-à-dire

_&i.

Nous aurons

ainsi,

_compte

tenu de la

_{phase J/}

de l’onde locale

_(w)

_{(cf. (38j),}

et à un coefficient

_près

caractéristique

du

_cristal,

formule connue du mécanisme de

régulation.

La

_présence

du

_symbole

fle

_{(partie réelle)}

témoigne

de la non-linéarité due aux deux

oscil-lations « locales » successives _{mo, m} du circuit.

Instabilité d’oscillateurs. ~- Nous allons

exa-miner la

_{possibilité d’apparition}

de

_régime

spon-tané

_parasite

dans deux oscillateurs

_classiques

très

différents. C’est l’oscillation donnée par le circuit lui-même

_qui

_jouera

le rôle d’oscillation locale

OSCILLATEUR A STABILISATION _THERMIQUE

D’AMPLITUDE. - Prenons le

montage

de la

fi-gure

7 ;

le circuit de réaction

comporte

deux

résis-tances R à inertie

_thermique,

dont le rôle est de stabiliser

_{l’amplitude}

des oscillations vis-à-vis de diverses fluctuations. Ces deux résistances sont

les seuls éléments non

_{linéaires ;}

elles sont

repré-sentées _par des matrices

_identiques,

la

_{phase 4)}

de l’oscillation

_{(ton) s’y}

trouvant la

_même,

ainsi

qu’on

le vérifie aisément.

En vertu de la structure du

_circuit,

les

_régimes

libres

_possibles

ne

_peuvent

être

_qu’à

deux

pul-sations :

_(J81«

_cùo);

d’autre

_part

les seuls

nous _supposerons

parfaits ;

conformément à une

observation

_antérieure,

le calcul des

_régimes

spon-tanés fera donc

_appel

au calcul scalaire ordinaire dont il nous suffira de

_rappeler

les

_{grandes lignes.}

Avec les notations de la

_{figure ( G}

=

_pente

du

tube dont nous _supposons la conductance interne

négligeable) :

La

_charge

alimentée _{par le} transformateur de

droite

_(N,

_rapport

de

_{transformation)}

est

sensi-blement

_(R

_+7?i)/2

d’où l’on

_{tire v,}

et de là le

_gain

de la

_{lampe :}

Passons au circuit de réaction : le circuit

oscil-lant

_peut

être considéré comme

disposé

aux bornes

d’un

_générateur

de force électromotrice e et

impédance

interne

_Ri,

_{calculable par} le théorème de Thévenin

De là la tension entre a

et b,

_{u, et} le

gain

du

quadripôle

de réaction :

( Y

admittance du circuit oscillant entre a et

_{b ;}

N’

_rapport

de

_{transformation).}

Le

_gain

total A en boucle ouverte est donc donné

par

Appliquons

d’abord au

_régime

« local » _mo, en

négligeant

les

_pertes

du circuit

_{Y( Y 6)0}

=

0) ;

Recherchons maintenant les

_régimes

en _s,

-sui-vant la relation

_(48),

en écrivant _pour

chaque

composante :

~~ 2013

_4-1

= 0 :

Prenons d’abord la modulation

_{d’amplitude ;}

conformément à la

_{règle générale,}

nous devrons

remplacer

certains _{des éléments par les}

_expressions

suivantes

_(éléments

de matrice en coordonnées _ce;

9)

~

0

La relation

₍₅₅₎

donne ainsi

c’est-à-dire en

_{développant, l’équation}

en s du

3~

_{degré :}

On vérifierait sans difficulté que cette

équation

satisfait aux conditions de Routh-Hurwitz :

l’oscil-lateur ne

_présente

donc _{pas de} modulation

spon-tanée

_{d’amplitude,}

du moins

_moyennant

les

approxi-mations

_adoptées.

On

_opère

de

_façon

_analogue

_{pour la} modulation de

_{phase ; R}

doit maintenant être

_remplacé

_par

Ro (cf.

(35))

de sorte _que

_{l’équation}

₍₅₆₎

_s’applique

encore à condition

_d’y

faire ?, =::

0 ;

il

_apparaît

de ce fait une racine s = 0 dont

l’interprétation

est du reste évidente

_{(possibilité}

d’un

_déphasage

constant

_appliqué

à l’oscillation

_{locale) ;}

il n’existe

pas de modulation

spontanée

de

_phase

_{Isl :1=}

0.

OSCILLATEUR EN CLASSE C. - Prenons

un

cir-cuit

_classique

à

_lampe

oscillatrice dans

_lequel

la

larrlpe

constitue le seul élément non linéaire

_{( fig. 8).}

Nous établirons tout d’abord les

_équations

des

régions

libres dans le cas

_général

sans

_spécifier

la

structure du

_quadripôle

linéaire abcd. Ce dernier

sera défini _par ses

_{équations d’impédances :}

Le

_{quadripôle lampe}

sera défini par ses

équa-tions d’admittances :

(57) conduit,

après

élimination

_{de v,}

à

_{l’équation :}

de là

_{l’équation}

des

_régimes

_{spontanés :}

Examinons le domaine de

_fréquences

mis en

jeu.

Le

_quadripôle

_{passif présente}

un circuit oscillant

de

_pulsation

_propre mi. La

pulsation c~o

de

l’oscil-lation locale reste

_toujours

très voisine de _Cùl

et il est _{clair que} tout

_régime

_spontané

devra avoir

au moins une de ses

_composantes

₊ ce dans

le domaine de

_résonance,

d’où co,

Isi

« m~. Les

_pulsations

utiles se réduiront a

_priori

à Cù¡

à + m car la structure du réseau

passif

arrête

pratiquement

les autres. L’étude des

_{régimes exige}

donc des matrices de

_degré

trois

_(rangement

_ce,

- (,)0 +

m, Cùo

-+- ~).

Il n’est _{bien entendu pas}

_question

de traiter

l’équation (60)

dans toute sa

_{généralité ;}

nous

admettrons ici les

_hypothèses

suivantes :

1) H,

h =

0,

_ce

qui

serait tout

particulièrement

le cas d’une

lam pe pentode.

2) La lampe

travaille en classe

C,

de telle sorte que le courant

_{grille 3,}

_(t)

soit

_{proportionnel au}

courant

_plaque

_{3(t) ;}

cette

_hypothèse

se

justifie

par l’allure des

caractéristiques 3,

(U, 3(%)

en

classe C

3),

la

_petitesse

relative du

_{courant à,}

permettant

des

_{approximations}

assez

_larges

sur sa loi de variation.

Les

_{conséquences}

vont être les suivantes : d’une

_part

₍₆₀₎

se réduit à

_{l’équation}

d’autre

_part,

les matrices g, G sont

proportion-nelles

elles sont de

_plus

_{respectivement}

_{proportionnelles}

aux arlmittances du

_régime

_mo

Envisageons

tout d’abord

_{l’équation}

du

_régime

iocâl

_{(mo) :}

l’examen de

₍₆₁₎

montre _que cette

équation

s’écrit nécessairement :

Nous définirons la matrice

_diagonale

Dans le domaine de _mo, la structure résonante

des circuits

_permet

d’écrire a

_priori

sensiblement :

avec ce,

~,

oc,

~3’

coefficients

réels,

petits,

Q

=

qualité

de circuit

oscillant,

susceptible

d’être

_précisée.

Or

₍₆₄₎

entraîne ~x’ _

1,

~’

w

0 ;

la fonction -E-

s)

apparaît

ainsi comme étant

proportionnelle

à

_{l’impédance}

d’un circuit

anti-résonant accordé sur

Nous allons en voir l’intérêt dans l’étude de

l’équation (61)

que nous abordons

_maintenant

permet

d’écrire :

Nous pouvons

évaluer Ç,

G dans le

_système

de

variables

(0, a,

~l : ~’,

G’,

et

_remplacer

ainsi

l’équa-tion

₍₆₁₎

_par la suivante :

En vertu de

_{(32), (40) :}

(on

peut

toujours

admettre

~2,

=

0) ; (68)

s’écrit

ainsi :

c’est-à-dire

en

explicitant

et omettant le facteur

Telle est

_{l’équation}

en s des

_{régimes libres ;}

on

voit que son

_{application n’exige plus}

_que la

connais-sance des

_impédances

en basse

fréquence

Z11

_(s),

Z12 (s)

du réseau

_{passif ;}

ces

_impédances

_peuvent

s’évaluer sur un schéma

_{simplifié (circuit}

réson-nant réduit à son inductance

_{L, suppression}

de la

capacité

du circuit oscillant et des

_capacités

para-sites).

Appliquons

au cas

_particulier

_envisagé

_figure

_{8 ;}

on trouve aisément

_{(fig. 8b).}

en notant - M le coefficient d’induction mutuelle

entre les deux

_{enroulements ;}

la condition d’oscil-lation

_(Cùo)

_exige

M > 0.

Le

_report

des

_{expressions (71)}

dans

_{l’équation}

générale (70)

nous conduit à une

équation

en s

du 3e

_degré,

de coefficients :

Ces

_expressions

se

_simplifient

en raison des ordres de

_{grandeur ;}

si _{l’on admet par}

_exemple

des

caractéristiques

d’allure

_{exponentielle}

cf.

₍₁₄₎

on

_peut

calculer _yi et "(2

(15),

K

(16)

et l’on trouve

et _par

_suite,

si _{l’on pose}

(ordre

de

_{grandeur : quelques unités).}

Voyons

les conditions de stabilité

₍₄₇₎

de

l’oscil-lation _{cùo ;} l’examen des ordres de

_grandeur

mon-trerait que le

_signe

commun mis en cause doit

être le

_signe

+. Les conditions a,

b, d

> 0

_imposent

des limites extrêmes à r ; la condition bc --- ad > 0

exige

en

particulier

c > 0 et

_impose

de ce fait une

limitation à la constante de

_temps

du circuit de

polarisation automatique

de

_{grille ;}

c’est là une

condition

_classique

chez ce

_type

d’oscillateurs.

On détermine aisément la

_pulsation

c~ = m’ _pour

un

_réglage

donnant~ la limite

d’instabilité ;

il suffit

d’écrire que

l’équation

en s a les

solutions +

jc~’ :

La structure de

_{l’équation}

de base

(69)

permet

d’autre

_part

de

_{prévoir qu’il s’agira}

d’une

modula-~ tion

parasite d’amplitude.

Manuscrit _reçu le 14 mars 1960.

RÉFÉRENCES

[1] PETERSON _(L.), Proc. Inst. Radio _{Engrs, 1945, 33,}

458.

[2] TORREY

_(H.),

WHITMER _{(C.), Crystal Rectifiers, 1948,}

p. 114.

[3] ROWE _(H.), Proc. Inst. Radio _Engrs., 1958, 46, 850.

[4] MANLEY (J.), ROWE _(H.), Proc. Inst. Radio _Engrs,

1956, 44, 904.

[5] MONTGOMERY _{(C.), Techniques} of Microwave