Borne de Weiss-Weinstein pour la localisation de source polarisée à l'aide d'un réseau de capteurs COLD

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Borne de Weiss-Weinstein pour la localisation de source

polarisée à l’aide d’un réseau de capteurs COLD

Dinh Thang Vu, Alexandre Renaux, Remy Boyer, Sylvie Marcos

To cite this version:

Dinh Thang Vu, Alexandre Renaux, Remy Boyer, Sylvie Marcos. Borne de Weiss-Weinstein pour

la localisation de source polarisée à l’aide d’un réseau de capteurs COLD. Gretsi 2011, Sep 2011,

Bordeaux, France. 4p. �hal-00769356�

Borne de Weiss-Weinstein pour la localisation de source polaris´ee `a

l’aide d’un r´eseau de capteurs COLD

Dinh Thang VU, Alexandre RENAUX, R´emy BOYER, Sylvie MARCOS

Laboratoire des Signaux et Syst`emes (L2S) Universit´e Paris-Sud XI, CNRS, SUPELEC

Gif-Sur-Yvette, France

{Vu,Renaux,Remy.Boyer,Marcos}@lss.supelec.fr

R´esum´e –Dans cette contribution, on consid`ere le probl`eme de la d´etermination des performances ultimes, en terme d’erreur quadratique moyenne (EQM), pour l’estimation de la direction d’arriv´ee (DDA) d’une source polaris´ee `a l’aide d’un r´eseau de capteurs particuliers. Il s’agit d’un r´eseau dont les capteurs sont constitu´es par des boucles et des dipˆoles orthogonaux et co-centr´es, plus connu dans la litt´erature anglo-saxonne par la d´enomination COLD (cocentered orthogonal loop and dipole).

Abstract –In the context of polarized sources localization using a cocentered orthogonal loop and dipole array, direction-of-arrival estimation performance in terms of mean square error are investigated. In order to evaluate these performance for both asymptotic and non-asymptotic scenarios (low number of snapshot and/or low signal to noise ratio) we derive closed-form expressions of the Weiss-Weinstein bound. The analysis is performed under both conditional and unconditional source signal models. We show the good ability of the proposed bound to predict the well known threshold effect. We also show the influence of the polarization parameters.

1 Introduction

En traitement d’antenne, l’utilisation de r´eseaux de capteurs capables de traiter des sources polaris´ees est importante pour plusieurs applications (voir [1]). En particulier, le r´eseau COLD a d´ej`a ´et´e ´etudi´e dans la litt´erature. Dans [1], les auteurs ont in- troduit une technique efficace pour l’estimation conjointe de la direction d’arriv´ee (DDA) et des param´etres de polarisation.

Dans [2], le seuil de r´esolution statistique a ´et´e calcul´e. Les auteurs ont utilis´e la borne de Cram´er-Rao pour montrer que le r´eseau COLD conduit `a de meilleures performances par rapport

`a un r´eseau classique.

Afin de quantifier ces performances ind´ependamment de la r`egle d’estimation choisie, les bornes inf´erieures de l’EQM sont traditionnellement utilis´ees. On citera, en particulier, la borne de Cram´er-Rao (BCR). Cependant, ce probl`eme d’estimation est connu pour ˆetre non-lin´eaire, c’est-`a-dire que pour une faible valeur du Rapport Signal sur Bruit (RSB) et/ou pour un faible nombre d’observations, on observe un accroissement rapide de l’EQM des estimateurs [3]. Ce ph´enom`ene est appel´e d´ecroche- ment. Malheureusement, la BCR n’est pas capable de captu- rer ce d´ecrochement [4]. Pour cette raison, nous nous sommes int´eress´es `a la mise en oeuvre d’une borne plus pertinente que la BCR appel´ee borne de Weiss-Weinstein (BWW) [5]. De plus, cette borne ´etant Bay´esienne, elle prend en compte le support des param`etres via leurs distributions a priori et, par cons´equent, nous fournit un outil puissant afin de capturer le comporte- ment de l’EQM des estimateurs dans les r´egions asymptotique et non-asymptotique.

Dans le contexte du traitement d’antenne, quelques travaux tels que [6], ont ´evalu´e la BWW par le biais de simulations (c’est-`a-dire sans proposer d’expressions analytiques). La borne a ´et´e compar´ee avec l’EQM de l’algorithme MUSIC pour le cas particulier d’un r´eseau de capteurs constitu´e de8 × 8 ´el´ements.

Dans [7], les auteurs ont pr´esent´e une comparaison num´erique entre la BCR Bay´esienne, la borne de Ziv-Zakai et la BWW.

Dans [8], des simulations num´eriques de la BWW pour optimi- ser la position des capteurs dans un r´eseau non-lin´eaire ont ´et´e pr´esent´ees. Dans [9], en consid´erant le contexte de l’acoustique sous-marine, les auteurs ont propos´e des expressions semi-analy- tiques de la BWW pour le mod`ele stochastique (c’est-`a-dire lorsque les signaux source sont suppos´es al´eatoires). Concer- nant le mod`ele d´eterministe, l’expression analytique de la BWW a ´et´e propos´ee dans le cadre de l’analyse spectrale dans [10].

R´ecemment, dans [11], les expressions analytiques de la BWW pour le probl`eme d’estimation de la DDA utilisant un r´eseau de capteurs planaire ont ´et´e d´evelopp´ees et appliqu´ees au probl`eme du positionnement des capteurs. Il faut noter que tous les tra- vaux pr´ec´edents n’ont consid´er´e que le contexte o `u le r´eseau n’est pas capable de traiter la polarisation des sources.

Dans cette contribution, nous proposons des expressions ana- lytiques de la BWW dans le contexte sus-mentionn´e d’un r´eseau de capteurs COLD. Ces r´esultats sont donn´es pour les deux types de mod`eles de signaux classiques en traitement d’an- tenne, `a savoir les mod`eles dits conditionnel et non-conditionnel.

2 Mod`ele des observations

On consid`ere le contexte de l’estimation passive d’une DDA pour une source polaris´ee, situ´ee en champ lointain et dont le signal est suppos´e `a bande ´etroite `a partir d’un r´eseau lin´eaire (non-uniforme) constitu´e deN capteurs COLD. La position des capteurs dans le r´eseau est caract´eris´ee par rapport `a un r´eferentiel par le vecteur d= [d1. . . dN]. On supposera que la source est situ´ee dans le mˆeme plan que le r´eseau de capteurs [1]. Par cons´equent, la DDA de la source ne d´epend que de l’azimut not´eφ. La polarisation du signal source est suppos´ee connue ou bien a ´et´e estim´ee auparavant. Le vecteur de polari- sation est donn´e par : u= _j2πAsl

λ cos ρ − Lsdsin ρe^(jψ) ^T , o `uρ ∈ [0, π/2], et ψ ∈ [−π, π] repr´esentent les angles de po- larisation.λ est la longueur d’onde et Asl,Lsdsont la longueur des dip ˆoles et le diam`etre des boucles, tels queAsl< 3λ/10 et Lsd < λ/10, respectivement [1]. La r´eponse du i^eme capteur

`a l’instantt est un vecteur `a deux composantes donn´e par [4] :

 yˆi(t) ˘yi(t) ^T

= [c(φ)]is(t)u + bi(t), t = 1, . . . , T,.

s(t) est le signal de la source, T est le nombre des observations, et[c(φ)]i = exp j^2π_λdisin φ
est le i^eme ´el´ement du vec- teur directionnel c(φ). bi(t) est un bruit additif suppos´e com- plexe, circulaire, non-corr´el´e (spatiallement, temporellement et entre les boucles et les dip ˆoles de chaque capteur) gaussien de moyenne nulle et de covarianceσ²I. Concernant le signal source, on consid´erera les deux mod`eles suivants :

– M1: Le mod`ele d´eterministe ou conditionnel o `u le signal est suppos´e connu [12].

– M2 : Le mod`ele stochastique ou non-conditionnel o `u le signal est suppos´e al´eatoire, complexe, circulaire, gaus- sien de moyenne nulle et de matrice de covarianceσ²_sI connue. Pour ce mod`ele, le signal est ´egalement suppos´e ind´ependant du bruit [12].

On consid´erera plus particuli`erement l’estimation de l’angle

´electriqueω = sin φ. Cette ´etude de performance se d´eroulant dans le contexte Bay´esien, on supposera que le param`etreω est al´eatoire avec une loi uniformeω ∼ U[−1, 1] a priori :

p(ω) =

 ₁

2si − 1 ≤ ω ≤ 1,

0 si non. (1)

Donc, le mod`ele des observations `a l’instantt s’´ecrit y(t) =

 y(t)ˆ

˘ y(t)



= a(ω)s(t) + b(t), (2) o `u a(ω) = u ⊗ c(ω), o`u ˆy(t) = [ˆy1(t) . . . ˆyN(t)]^T, et o `u

˘

y(t) = [˘y1(t) . . . ˘yN(t)]^T. A partir des hypoth`eses pr´ec´edentes, la fonction de vraisemblance de toutes les observations, i.e., du vecteur y = [y<sup>T</sup>(1) . . . y<sup>T</sup>(T )]<sup>T</sup>, pour le mod`eleM1 est donn´ee par

p(y|ω) = 1 (πσ²)^{2N T}e



− ¹

σ2 T

P

t=1

ky(t)−a(ω)s(t)k²



, (3) et la fonction de vraisemblance pour le mod`eleM2est donn´ee par

p(y|ω) = 1

π^{2N T}|R(ω)|^Te



−

T

P

t=1

y(t)^HR(ω)⁻¹y(t)



, (4)

o `u R(ω) = σ<sup>2</sup><sub>s</sub>a(ω)a(ω)<sup>H</sup> + σ<sup>2</sup>I<sub>2N</sub> repr´esente la matrice de covariance pour le mod`eleM2. La BWW sera d´eriv´ee pour le mod`eleM1etM2.

3 Borne de Weiss-Weinstein pour le r´eseau

COLD

La BWW est obtenue, en g´en´eral, en cherchant le supremum d’une fonction sur un ensemble de points test et sur un en- semble de param`etress ∈ [0, 1]. Concernant le param`etre s, on utilise souvent l’hypoth`eses = 1/2 [9–11]. Ω et Θ repr´esentent respectivement l’espace des observations et l’espace des pa- ram`etres, la BWW pours = 1/2 s’´ecrit [5] :

Z

Θ

Z

Ω

(ˆω−ω)²p(y, ω)dydω ≥ W W B = sup

h

h²η(h, 0)η(0, h) 2(η(h, h) − η(h, −h))

(5) o `uω est un estimateur de ω, o`u p(y, .) repr´esente la loi jointeˆ entre le vecteur des observations et le param`etre (ou un point de test), et o `u h repr´esente la diff´erence entre le param`etre d’int´erˆet et un point de test appartenant `a l’espace des param`etres (c’est-`a-dire qu’il faut respecterω + h ∈ Θ). On a d´efini

η(α, β) = Z

Θ

Z

Ω

pp(y, ω + α)p(y, ω + β)dydω

= Z

Θ

pp(ω + α)p(ω + β)ζ(ω, α, β)dω (6)

etζ(ω, α, β) =R

Ω

pp( y| ω + α)p( y| ω + β)dy o`u p(.) repr´esente la distribution a priori du param`etre.

3.1 Mod`ele d´eterministe M

A partir de l’´equation (3), l’expression de` ζ(α, β) est donn´ee par :

ζ(α, β) = Z

Ω

1 (πσ²)^{2N T}

×e



−_2σ2¹

T

P

t=1(ky(t)−a(ω+α)s(t)k²+ky(t)−a(ω+β)s(t)k²)^ dy. (7) Par le changement de variable

x(t) = y(t) − 1

2(a(ω + α)s(t) + a(ω + β)s(t)) , on obtient

−_2σ¹2

T

P

t=1

ky(t) − a(ω + α)s(t)k²+ ky(t) − a(ω + β)s(t)k²

= −_σ¹2

T

P

t=1

kx(t)k²+¹₄ka(ω + α) − a(ω + β)k² (8) Puisque

Z

Ω

1

(πσ²)^{2N T} exp

T

X

t=1

− 1

σ²kx(t)k²

!

dx = 1, (9)

on a

ζ(α, β) = exp −ksk²

4σ² ka(ω + α) − a(ω + β)k²

! . (10) Grˆace `a la structure du vecteur a(ω) = u ⊗ c(ω), et sachant que u^Hu= ^4π_λ^2A2^2slcos²ρ + L²_sdsin²ρ, les expression analy- tiques deka(ω + α) − a(ω + β)k²sont donn´ees par

ka(ω + α)k² = ka(ω + β)k²

= N_4π2

A²_sl

λ² cos²ρ + L²_sdsin²ρ ,

(11) a(ω + α)^Ha(ω + β) = _4π2

A²_sl

λ² cos²ρ + L²_sdsin²ρ

×

N

P

i=1

e(^{j2πλdk(β−α)}),

(12) et par

a(ω + β)^Ha(ω + α) = _4π2

A²_sl

λ² cos²ρ + L²_sdsin²ρ

×P^N

i=1

e(^{j2πλdk(α−β)}).

(13) On trouve que les fonctionsζ(α, β) ne d´ependent plus du param`etreω. Par cons´equent, η(α, β) est donn´e par

η(α, β) = ζ(α, β) Z

Θ

pp(ω + α)p(ω + β)dω. (14)

Sous l’hypoth`ese d’un distribution a priori uniforme, on ob-

tient Z

Θ

pp(ω + α)p(ω + β) = 1 −|α| + |β|

2 . (15)

A partir de (5), (11), (12), (13), (14) et (15), l’expression ana-` lytique de la BWW est donn´ee par (16) (voir la page suivante).

3.2 Mod`ele stochastique M

A partir de (4), l’expression analytique de` ζ(α, β) est donn´ee par :

ζ(α, β) = Z

Ω

1

π^{2N T}|R(ω + α)|^{T /2}|R(ω + β)|^{T /2}

×e



−

T

P

t=1

y(t)^H



R(ω+α)−1 +R(ω+β)−1 2

 y(t)



dy (17) En posant Γ⁻¹ = ^{R(ω+α)−1+R(ω+β)}₂ ⁻¹, on obtient,|Γ| =

2^2N

|R(ω+α)⁻¹+R(ω+β)⁻¹|, ce qui donne ζ(α, β) = _|R(ω+α)|T /2^|Γ||R(ω+β)|^{T T /2}

×R

Ω 1

π^{2N T}|Γ|^T exp



−

T

P

t=1

y(t)^HΓ⁻¹y(t)

 dy.

(18) PuisqueR

Ω 1

π^{2N T}|Γ|^T exp



−P^T

t=1

y(t)^HΓ⁻¹y(t)



dy = 1, on a

ζ(α, β) = |Γ|^T

|R(ω + α)|^{T /2}|R(ω + β)|^{T /2}. (19)

Grˆace `a la structure de la matrice R(ω +δ) = σ_s²a(ω +δ)a(ω + δ)^H+ σ²I_2N, on a

|R(ω + δ)| = σ^4N

 1 + σ_s²

σ²ka(ω + δ)k²



. (20) En outre, par l’identit´e Woodbury, on obtient

R(ω + δ)⁻¹= 1

σ² I_2N −σ_s²a(ω + δ)a(ω + δ)^H σ_s²ka(ω + δ)k²+ σ²

! , (21) donc,

R(ω + α)⁻¹+ R(ω + β)⁻¹ =

1 σ²

2I2N −^σ2sa(ω+α)a(ω+α)^H

σ_s²ka(ω+α)k²+σ² −^σ2sa(ω+β)a(ω+β)^H σ_s²ka(ω+β)k²+σ²

. (22) Le d´eterminant de la matrice R(ω + α)⁻¹ + R(ω + β)⁻¹ est obtenu par une analyse des valeurs propres. En particu- lier, il y a 2N − 2 valeurs propres qui sont ´egales `a 2/σ<sup>2</sup>, et les vecteurs propres correspondant aux deux derni`eres valeurs propres forment une combinaisons lin´eaires : a(ω+α)+qa(ω+

β). De plus, ces deux valeurs propres ν sont des solutions de l’´equation suivante :

R(ω + α)⁻¹+ R(ω + β)⁻¹
(a(ω + α) + qa(ω + β))

= ν (a(ω + α) + qa(ω + β)) ,

(23) ce qui se r´eduit `a

a(ω + α)

1 σ²



2 − A ka(ω + α)k²− qAC

− ν +a(ω + β)

1 σ²

2q − Bq ka(ω + β)k²− BC^H

− qν

= 0, (24) o `uA = _σ2 ^σs2

ska(ω+α)k²+σ²,B = _σ2 ^σ2s

ska(ω+β)k²+σ² etC = a(ω + α)^Ha(ω + β). On obtient l’´equation

ν²σ⁴+ νσ²

2 − A ka(ω + α)k²− 2 + B ka(ω + β)k²

−4 + 2A ka(ω + α)k²+ 2B ka(ω + β)k²

−AB ka(ω + α)k²ka(ω + β)k²+ ABCC^H = 0. (25) En r´esolvant (25) pourν, et vu que

ka(ω + α)k²= ka(ω + β)k²= ka(ω)k², on obtient

R(ω + α)⁻¹+ R(ω + β)⁻¹ =

2N

Q

i=1

νi

=_σ^22N4N



σ²

ka(ω)k²σ²_s+σ² +¹₄^σ

4

s(^{ka(ω)k4−kCk2}) (^ka(ω)k2σ2s+σ²)²

 .

(26)

Finalement, en remplac¸ant (20), (26) dans (19), on a ζ(α, β) = 1 +σ²_s(ka(ω)k⁴−

a(ω + α)^Ha(ω + β)

2) 4σ²(ka(ω)k²σ²_s+ σ²)

!^−T . (27) Dans (11), (12), et (13), on trouve queζ(α, β) ne d´epend pas du param`etreω, comme dans le cas d´eterministe. Par cons´equent, l’expression analytique de la BWW est donn´ee par (28) (voir la page suivante).

W W B= sup

h

h²

1 −^|h|₂ 2

exp



−^ksk_σ2²

_4π2A²_sl

λ² cos²ρ+ L²_sdsin²ρ N−

N

P

k=1

cos ^2π_λdkh



2 1 −^|h|₂ 

− 2 (1 − |h|) exp



−^ksk_2σ2²

_4π2A²_sl

λ² cos²ρ+ L²_sdsin²ρ N−

N

P

k=1

cos ^4π_λdkh

 . (16)

W W B= sup

h

h²

1 −^|h|₂ 2





1 +

σ²_s ^4π2A2sl

λ2 cos²ρ+L²_sdsin²ρ

!2 N²−

N P k=1

exp(^j2πλd_kh)

2!

4σ²(N ^{4π2 A2}_λ2^slcos²ρ+L²_sdsin²ρ

! σ²_s+σ²)







−2T

2 1 −^|h|₂ 

− 2 (1 − |h|)





1 +

σ²_s ^{4π2 A2sl}

λ2 cos²ρ+L²_sdsin²ρ

!2 N²−

N P k=1

exp(^j4π_λ^dkh)

2!

4σ²(N ^4π2A2sl

λ2 cos²ρ+L²_sdsin²ρ

! σ_s²+σ²)







−T. (28)

−30 −20 −10 0 10

10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 10⁰

RSB [dB]

EQM

BWW déterministe BWW stochastique MAP déterministe MAP stochastique

FIG. 1 – MAP par rapport `a la BWW.

4 R´esultats de simulations

On consid`ere un r´eseau lin´eaire uniforme compos´e deN = 10 capteurs COLD avec une distance entre capteurs de λ/2.

Les param`etres de polarisation sont fix´es `aρ = π/4, ψ = π/3, Asl = 2λ/10, et Lsd = λ/10. Le nombre des observations est ´egal `aT = 20. Enfin, l’EQM empirique de l’estimateur du maximum a posteriori est r´ealis´e `a partir de1000 tirages de Monte Carlo. La Fig. 1 montre que la BWW donne une bonne approximation du d´ecrochement de l’estimateur du maximum a posteriori pour les deux mod`eles de signaux consid´er´es ici.

Toujours dans le cas du sc´enario sus-mentionn´e, on consid`ere l’impact du param`etre de polarisationρ sur la BWW. La Fig. 2 montre que les meilleures performances sont obtenues lorsque ce param`etre tend vers z´ero.

5 Conclusion

Dans ce papier, nous avons ´etabli les expressions analytiques de la BWW pour le contexte de la localisation des sources `a l’aide d’un r´eseau de capteurs COLD pour les mod`eles de si- gnaux d´eterministe et stochastique.

R´ef´erences

[1] J. Li, P. Stoica, and D. Zheng, “Efficient direction and polarization esti- mation with a COLD array,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 44, no. 4, pp. 539–547, Apr. 1996.

−30 −20 −10 0 10

10⁻⁵ 10⁰

RSB [dB]

BWW déterministe

ρ=0 ρ=π/9 ρ=2π/9 ρ=3π/9 ρ=4π/9

−30 −20 −10 0 10

10⁻⁵ 10⁰

RSB [dB]

BWW stochastique

ρ=0 ρ=π/9 ρ=2π/9 ρ=3π/9 ρ=4π/9

FIG. 2 – BWW en fonction du param`etre de polarisationρ.

[2] M. N. El Korso, R. Boyer, A. Renaux, and S. Marcos, “Statistical reso- lution limit of the uniform linear cocentered orthogonal loop and dipole array,” vol. 59, no. 1, pp. 425–431, 2011.

[3] H. L. VanTrees and K. L. Bell, Bayesian bounds for parameter estimation and nonlinear filtering/tracking. New York : Wiley, 2007.

[4] R. Boyer, “Analysis of the cold uniform linear array,” in Proc. IEEE Int.

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[5] E. Weinstein and A. J. Weiss, “A general class of lower bounds in pa- rameter estimation,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 34, pp. 338–342, Mar. 1988.

[6] T. J. Nohara and S. Haykin, “Application of the Weiss-Weinstein bound to a two dimensional antenna array,” in IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. 36, no. 9, Sep. 1988, pp. 1533–1534.

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[8] F. Athley, “Optimization of element positions for direction finding with sparse arrays,” Proceedings of the 11th IEEE Signal Processing Work- shop on statistical signal processing, pp. 516 – 519, 2001.

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[11] D. T. Vu, A. Renaux, R. Boyer, and S. Marcos, “Closed-form expression of the Weiss-Weinstein bound for 3D source localization : the conditional case,” in Proc. IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop, Kibutz Ma’ale Hahamisha, Israel, Oct. 2010.

[12] B. Ottersten, M. Viberg, P. Stoica, and A. Nehorai, “Exact and large sample maximum likelihood techniques for parameter estimation and detection in array processing,” in Radar Array Processing, S. Haykin, J. Litva, and T. J. Shepherd, Eds. Berlin : Springer-Verlag, 1993, ch. 4, pp. 99–151.