Informatique théorique 220h cours/30h TD

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Licence Informatique - Informatique théorique 2 2005/2006

Informatique théorique 2

20h cours/30h TD

Licence 2 Informatique 2005/2006

Frédéric Fürst - bureau 205 - [email protected] www.u-picardie.fr/~ff-laria/

Plan du module

1ère partie - Systèmes relationnels Relations sur un ensemble

Théorie des treillis

2ème partie - Algèbre Théorie des groupes

Anneaux, corps

3ème partie - Séries Séries, polynomes formels

Fonctions génératrices

Systèmes relationnels

• Les systèmes relationnels sous-tendent de nombreux systèmes informatiques :

– Base de données et langages relationnels

– Structures ordonnées : arborescence des systèmes de fichiers, piles, files, arbres, hiérarchies objet, …

• Bibliographie :

– Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong, Masson

– Mathématiques pour l’informatique, A. Arnold &

I. Guessarian, Masson

– Mathématiques discrètes, S. Lipschutz, Serie Schaum

Relation sur des ensembles

• Ensemble: un ensemble (notion première) est défini quand il est possible pour tout élément (notion première) de dire s’il appartient ou pas à cet ensemble

• Relation (binaire) : soit E et F deux ensembles. On appelle relation binaire entre E et F tout sous-ensemble de E×F (E×F est le produit cartésien de E et F).

• Notes : - une relation peut lier un ensemble à lui-même - une relation n’est pas forcément binaire

• Exemples : - relation de notation entre l’ensemble des étudiants en L2 et l’ensemble des notes en IT2 [0..20]

- la relation de divisibilité dans N

Relations n-aires

• Relation: soit E1, .. , En n ensembles. On appelle relation entre les Ei tout sous-ensemble de E1×.. En.

• Exemples : - une relation unaire sur un ensemble E est une partie de E (par ex. l’ensemble des entiers pairs peut être vu comme une relation unaire sur N).

- 3 ensembles d’identifiants client, d’identifiants produit et de numéros de facture sont liés par une relation ternaire « achat »

Facture 32 fourchette

Dupond

Facture 23 Table

Dupont

Facture 22 Chaise

Tartempion

Opérations sur les relations (1/3)

• Les relations sont des sous-ensembles d’un produit cartésien d’ensembles => on peut leur appliquer des opérations ensemblistes, c’est l’algèbre relationnelle des SGBD (BD2)

• Inclusion de relation: l’inclusion des relations binaires R et S, notée R ⊆S, est définie par (x,y) ∈R => (x,y) ∈S. On peut généraliser à des relations n-aires.

• Exemple : {(Tartempion,chaise,facture22)} est incluse dans

{(Tartempion,chaise,facture22),(Dupont,table,facture23),(Dupont,fourchette, facture32)}

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Opérations sur les relations (2/3)

• Union et intersection de relations: soit R et S deux relations binaires entre E et F.

– R ∪S union de R et S est définie par x (R ∪S) y ssi xRy ou xSy.

– R ∩S intersection de R et S est définie par x (R ∩S) y ssi xRy et xSy.

– On généralise à des relations n-aires

• Exemples : - l'union de {(Tartempion,chaise,facture22)} et {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)}

- l'intersection de {(Tartempion,chaise,facture22)} et {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22)}

Opérations sur les relations (3/3)

• Inverse d’une relation binaire: soit R relation entre E et F. R^-1 inverse de R est définie par x R^-1y ssi yRx.

• Complémentaire d’une relation: la relation R’ complémentaire d’une relation R entre E et F est définie par (e,f) ∈R’ ssi (e,f) ∉ R. On généralise à des relations n-aires.

• Relation identité: la relation identité entre E et F, notée Id_E×F, est définie par (e,f) ∈Id_E×Fssi e = f

• Relation pleine: la relation pleine entre E et F, notée ∏E×F, est définie par ∀(e,f) ∈E×F, (e,f) ∈ ∏E×F

Composition des relations

• Composition des relations binaires: soit R une relation entre E et F et S une relation entre F et G. La relation T binaire composée de R et S, et notée RoS, est définie par ∀(x,z) ∈ E×G, xTz⇔ ∃y ∈F tel que xRy et ySz

A B C D

1 2 3 4

robert roger rodolphe

Propriétés des relations binaires (1/2)

• Symétrie: une relation R est symétrique si pour tout x et y tels que xRy, alors yRx. Si R est symétrique, R=R^-1

• Exemple : la relation "à coté de" définie sur Ob ×Ob où Ob est l'ensemble des objets matériels est symétrique

• Antisymétrie: une relation R est anti-symétrique si pour tout x et y tels que xRy et yRx, alors x = y

• Exemple : la relation "posée sur" définie sur Ob ×Ob est antisymétrique

• Transitivité: une relation R est transitive si pour tout x, y et z tels que xRy et yRz, alors xRz

• Exemple : la relation "à coté de" est transitive

Propriétés des relations binaires (2/2)

• Réflexivité: une relation R est réflexive si pour tout x, alors xRx

• Exemple : la relation "est située au même endroit" définie sur Ob ×Ob est réflexive

• Antiréflexivité: une relation R est anti-réflexive si pour tout x, alors xRx est faux

• Exemple : la relation "est posée sur" est antiréflexive

Fermetures des relations

• Fermeture d’une relation binaire: Soit R une relation binaire définie sur un ensemble E. On appelle fermeture réflexive, de R la plus petite (au sens de l’inclusion) relation réflexive définie sur E contenant R. On note r(R) la fermeture réflexive de R, t(R) sa fermeture transitive, s(R) sa fermeture symétrique.

• Théorème 1: Soit R une relation binaire sur un ensemble E.

– r(R) = R ∪Id (Id = relation d’identité) – t(R) = ∪Rⁱi=1..∞ (Rⁱ= RoRo .. oR i fois) – s(R) = R ∪R^-1

(3)

Fonctions, applications (1/2)

• Fonction: une fonction d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout élément x de E est en relation avec au plus un élément y de F

– on note y = f(x) et on dit que y est l’imagede x par f et que x est l’antécédentde y par f.

– l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe un élément de F en relation avec x est appeléensemble de définition de la fonctionf.

• Application: une application d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout élément de E est en relation avec exactement un élément de F. C'est une fonction de E vers F dont le domaine de définition est E.

Fonctions, applications (2/2)

• Injection: une application de E vers F est dite injective lorsque deux éléments distincts de E ont toujours des images distinctes dans F.

• Surjection: une application de E vers F est dite surjective lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.

• Bijection: une application de E vers F est dite bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.

Relations d’équivalence

• Relation d’équivalence: une relation d’équivalence (notée ≡) est une relation réflexive, transitive et symétrique.

• Exemples : - la relation de proximité spatiale "à coté de"

- dans Z, la relation définie par aRb ssi a-b est pair

• Classe d’équivalence: la classe d’équivalence d’un élément x d’un ensemble E relative à une relation d’équivalence ≡est l’ensemble des éléments y de E tels que x ≡y (ou y ≡x)

• Théorème 2: l’ensemble des classes d’équivalence qu’une relation d’équivalence induit sur un ensemble E est une partition de E. Inversement, toute partition de E induit une relation d’équivalence.

Ensembles quotient

• Ensemble quotient: le quotient d’un ensemble E par une relation d’équivalence ≡est l’ensemble dont les éléments sont les classes d’équivalences des éléments de E relativement à ≡.

• Exemples : - le quotient de l’ensemble {Pierre, Paul, Jacques, Marie, Jeanne} par la relation «a même sexe »est {{Pierre,Paul,Jacques}, {Marie,Jeanne}}

- le quotient de N par la relation R définie par xRy ssi x-y est multiple de 2 est l’ensemble réduit àdeux éléments, l’ensemble des entiers pairs et l’ensemble des entiers impairs

Relations d’ordre

• Relation d’ordre: une relation d’ordre partiel (notée ≤) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique. Une relation antiréflexive, transitive et antisymétrique est une relation d’ordre strict (une relation réflexive et transitive est appelée pré- ordre).

• Exemples : - la relation « plus grand que »

- dans N, la relation définie par aRb ssi a divise b

• Elément dominant: dans E muni de ≤, un élément x domine un élément y si y ≤x et qu’il n’existe pas d’élément z tel que

y ≤z ≤x. On dit aussi que x est le successeur de y.

• Exemples : - dans N muni de la relation de division, 4 domine 2 - dans N muni de la relation « plus grand que », 3 domine 2

Ensembles ordonnés

• Ensemble ordonné(ou partiellement ordonné) : un ensemble E ordonné est un ensemble muni d’une relation d’ordre ≤. On note cet ensemble (E, _≤).

• Ensemble totalement ordonné(ou chaine) : un ensemble E est totalement ordonné si pour tout couple (x,y) d’éléments de E, x ≤y ou y ≤x

• Notes : - un ensemble peut être doté de plusieurs relations d’ordre - toute relation d’ordre≤admet une relation duale ≥ - tout ensemble ordonné(E, _≤) admet un dual (E, ≥)

• Exemples : - l’arborescence d’un système de fichiers est partiellement ordonnée

- l’ordre lexicographique est un ordre total permettant de trier des chaînes de caractères

(4)

Représentation des ensembles ordonnés (1/2)

• Diagramme de Hasse

: sur un ensemble E ordonné par

≤

, pour tout couple d

’é

l

é

ments (x,y) tels que x

≤

y et ¬∃ z dans E tel que x ≤ z ≤ y (y domine x), on crée un arc fléché de x à y

• Exemple : l’ensemble des parties de {1,2,3} ordonné par la relation d’inclusion.

∅ {3}

{1,3}

{1} {2}

{2,3}

{1,2,3}

{1,2}

Représentation des ensembles ordonnés (2/2)

• Dans le cas d’un ensemble totalement ordonné, par transitivité de la relation d’ordre, le diagramme devient une «

chaine

»

x u z

y

t

v

Profondeur et hauteur

• Soit E un ensemble ordonné. Considérons les sous-ensembles totalement ordonnés de E.

• Hauteur: la hauteur d’un élément x de E est le maximum, s’il existe, de la longueur des chaînes admettant x comme élément maximum

• Profondeur: la profondeur d’un élément x de E est le maximum, s’il existe, des longueurs des chaînes admettant x comme élément minimum

• Exemples : - dans N muni de la relation aRb ssi a divise b, les nombres premiers ont pour hauteur 1

- dans l’ensemble des parties de {1,2,3} muni de l’inclusion, la profondeur de {3} est 2

Extension linéaire

• Extension: si un ensemble E est ordonné par <, tout ordre « sur E tel que x < y ==> x « y est appelé une extension de <.

• Extension linéaire: en particulier si « est un ordre total il est appelé une extension linéaire de <.

• Exemple : - la relation d’ordre aRb ssi a divise b ordonne N. La relation d’ordre usuelle sur N est une extension linéaire de la précédente.

• Note : - dans le cas des ensembles finis ou dénombrables, une extension linéaire « d'un ordre < permet d'énumérer les éléments selon l'ordre croissant (pour «), cette énumération étant compatible avec l'ordre d'origine <.

Linéarisation d’un ordre partiel

• Tout ordre partiel peut être étendu à un ordre total. Il n'y a pas en général unicité de l'extension et l'une de ces extensions peut être obtenue à l'aide du tri topologique.

• Algorithme du tri topologique: on l'applique au graphe sans boucle d'un ordre partiel.

1- on initialise une liste vide

2- on associe à chaque sommet son degré entrant 3- on choisit un sommet de degré entrant 0

– on l'ajoute à la liste – on le marque

– on diminue de 1 le degré entrant de tous ses successeurs 4- on recommence en 3 jusqu'à épuisement des sommets non marqués

• La liste obtenue est la linéarisation de l'ordre initial. On en déduit un ordre total compatible avec l'ordre partiel de départ. Un tri topologique d’un ensemble E est une numérotation des éléments de E, c’est-à-dire une injection de E dans N respectant l’ordre naturel sur N.

Exemple de tri topologique

∅

{3}

{1,3}

{1} {2}

{2,3}

{1,2,3}

{1,2}

[

^∅

] [

^∅

,{1}]

[

^∅

,{1},{2}]

[

^∅

,{1},{2},{3}]

[]

[

∅

,{1},{2},{3},{1,2}]

[

^∅

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}]

[

^∅

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}]

[

^∅

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}]

Mais [

^∅

,{1},{3},{1,3},{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}] est aussi une

extension lin

^é

aire de cet ordre partiel

(5)

Eléments particuliers dans un ensemble ordonné (1/3)

• Dans un ensemble E muni d’une relation d’ordre

≤

^:

– x est un minorant (resp.majorant) de y si x

≤

y (resp. y

≤

^x)

– x est la borne supérieurede E (notée sup(E)) s’il est le plus petit des majorants de E

– x est la borne inférieurede E (notée inf(E)) s’il est le plus grand des minorants de E

• Exemple : b est la borne sup de [a,b] sur (R, ≤) et aussi celle de [a,b[

• Note : un majorant ou minorant, et donc une borne supérieure ou inférieure n’existe par toujours ([0,+∞[ n’a pas de majorant)

Eléments particuliers dans un ensemble ordonné (2/3)

– x ∈E est maximal(resp. minimal) s’il n’a pas d’autre majorant dans E (resp. minorant) que lui-même

– x ∈E est le maximum(ou universel) de E si ∀y ∈E, y

≤

^x

– x ∈E est le minimum(ou élément nul) de E si ∀y ∈E, x

≤

^y

• Exemples : - dans l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble E, E est le maximum et ∅le minimum

- dans N muni de la relation de divisibilité, 1 est minimum, il n’y a pas de maximum

Eléments particuliers dans un ensemble ordonné (2/2)

• Notes : - un maximum ou un minimum n’existe pas toujours (N muni de la relation de divisibilité n’a pas de maximum)

- un maximal ou un minimal n’existe pas toujours (l’intervalle réel [a,b[ n’a pas de maximal, mais il a un majorant)

- dans le cas où un maximum (resp. minimum) existe, il est le seul élément maximal (resp. minimal) de E

- dans le cas d’un ordre total, les notions de minimum (resp.

maximum) et de minimal (resp. maximal) sont confondues

• Différence entre maximum et maximal : – E, C et D sont maximaux mais pas maximums

A

B C D

E

Exemples d'éléments remarquables

• Dans l'ensemble ordonné de la figure : – Le sous-ensemble {D,E,F} possède 4 majorants A,

B, C, D et une borne inf D. D est maximal et maximum. E et F sont minimaux (mais pas minimums).

– Le sous-ensemble {D,E,F,G} ne possède ni majorant ni minorant

– Le sous-ensemble {A,B,C,D} ne possède aucun majorant, 3 minorants E, D et F et une borne inf D.

B et C sont maximaux mais non maximums et D est minimal et minimum.

A C B

D H G

F E

Ensemble ordonné fini

•

^Th

é

^or

è

^{me 3}: Soit A une partie finie non vide d

’

un ensemble ordonn

é

(E,≤). Pour tout x de A, il existe dans A un minimal m et un maximal s tels que m≤x≤s.

•

Preuve : par induction sur |A|. Vrai pour |A|=1. Supposons la propriété vraie pour |A|=n-1. Soit x de A tel que |A|=n et B=A\{y}

où y≠x. B contient donc un maximal s et un minimal m tels que m≤x≤s. 3 cas se pr

é

^{sentent :}

–s≤y : posons s’= y et m’= m –y≤m : posons s’= s et m’= y – m≤y ≤s : posons m’= m et s’= s

Dans les 3 cas, s

’

^{et m}

’

sont les maximal et minimal cherch

é

^s.

•

^Corollaire: Tout ensemble ordonn

é

fini admet un maximal et un minimal. En particulier, toute cha

î

ne finie admet un maximum et un minimum.

Ordre bien fondé

• Ordre bien fondé: un ordre sur un ensemble E est dit bien fondé (ou noethérien) si toute partie non vide de E admet un élément minimal.

• Exemple : - une arborescence de fichiers muni de l’ordre « est sous-arbre de » est bien fondée

• Théorème 4: dans un ordre bien fondé, tout élément non maximal admet un dominant.

• Preuve : soit x un élément non maximal de (E,≤) bien fond

é

^et

F={y∈E, x ≤y}. F n

’

est pas vide puisque x n

’

est pas maximal, donc F admet un minimal qui est clairement un dominant de x.

(6)

Bon ordre

• Bon ordre: un bon ordre sur un ensemble E est un ordre tel que toute partie non vide de E admet un minimum.

• Exemples : - (N,≤) est un ensemble bien ordonné mais pas (Z,≤)

• Théorème 5: un ordre est bon si et seulement s’il est bien fondé et total.

• Preuve : la condition suffisante est évidente. Un bon ordre est clairement bien fondé. De plus, toute partie à 2 éléments admet un minimum, donc deux éléments quelconques sont

comparables.

• Corollaire: dans un ensemble bien ordonné, tout élément non maximum admet un dominant unique.

Définition ensembliste des Treillis

• Treillis: Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure, c’est-à-dire qu’étant donnés deux éléments x et y, l’ensemble des majorants communs à x et y n’est pas vide et admet un minimum noté x ∨y et l’ensemble de leurs minorants communs n’est pas vide et admet un maximum noté x ∧y.

• Note : - on parle aussi de demi-treillis. Un inf-demi-treillis (resp. sup-demi- treillis) est un ensemble ordonné où toute paire d’éléments admet une borne inférieure (resp. supérieure).

- un treillis T admet un dual T’ tel que ∧ ≡ ∨’ et ∨ ≡ ∧’

• Exemples : - N muni de la relation divise (∧= pgcd et ∨= ppcm) - tout ensemble totalement ordonné

- l’ensemble des parties d’un ensemble ordonné par l’inclusion (x ∨y = x ∪y et x ∧y = x ∩y)

Treillis et diagramme de Hasse

a b

c d e

a c e

b d f Deux exemples de treillis

a b d

c e f Un contre-exemple de

treillis

Partie finie d’un treillis

• Théorème 6: toute partie finie d’un treillis admet une borne inférieure et une borne supérieure.

• Preuve : toute partie de cardinal 1 ou 2 vérifie la propriété.

Supposons la propriété vraie pour toute partie de cardinal n-1 et soit P={x₁, .. ,x_n} une partie à n éléments. P\{x_n} admet un inf a et un sup b. La partie {a,x_n}, ayant deux éléments, admet un inf qui est celui de P et la partie {b,x_n}, ayant deux éléments, admet un sup qui est celui de P.

• Corollaire: tout treillis fini admet une borne inférieure et une borne supérieure

Sous-treillis

• Sous-treillis: une partie (P, ≤) d’un treillis (T, ≤) est un sous- treillis de T si pour tout x et y de P, x ∧y et x ∨y sont dans P.

a

b c

d Treillis E d

^é

fini par son

diagramme de Hasse

e {a,b,c,d}, muni du même ordre, est un sous-treillis de E {a,b,c,e}, muni du même ordre, est un treillis mais pas un sous-treillis de E

Treillis complets (1/2)

• Treillis complet: un treillis est dit complet lorsque toute partie non vide admet une borne supérieure et une borne inférieure.

• Note : - si dans un treillis complet, il n’existe pas de minimum ou maximum, il est toujours possible de rajouter les inf et sup, qui sont notés ⊥ (bottom) et T (top)

• Exemples : - tout treillis fini est complet

- l’ensemble des parties d’un ensemble muni de l’inclusion est un treillis complet avec sup({E_i})=U_iE_iet inf({E_i})=∩iE_i - (N,≤) est un inf-demi-treillis complet mais pas un treillis

complet

(7)

Treillis complets (2/2)

• Théorème 7: tout treillis sans chaîne infinie est complet.

• Preuve : soit A une partie non vide d’un treillis T sans chaine infinie. Soit x₀un élément de A. Si x₀est un minorant de A, c’est le minimum et x₀=inf(A). Sinon, il existe un élément x₁de A tel que ¬(x₀≤x₁) et donc (x₁∧x₀) ≤x₀. Si x₁∧x₀est un minorant de A, alors x₁∧x₀= inf(A) car pour tout minorant m de A, m≤x₀et m≤x₁donc m≤x₁∧x₀. Sinon il existe un élément x₂de A tel que (x₂∧x₁∧x₀)≤(x₁∧x₀) ≤x₀. Puisque le treillis ne contient pas de chaine infinie, le processus s’arrête au bout d’un temps fini et conduit à inf(A). De même pour sup(A).

Morphismes d’ordre (1/2)

• Morphisme d’ordre: soient (E₁,≤₁) et (E₂,≤₂) deux treillis. Une fonction f : E₁→E₂est un morphisme d’ordre si pour tout x et y de E₁, x ≤1y => f(x) ≤2f(y). Un morphisme est donc une fonction qui respecte l'ordre. Un morphisme d’ordre est aussi appelé fonction croissante.

• Note : - une fonction décroissante est définie par x ≤₁y => f(y) ≤₂f(x) - on utilise parfois le terme d’homomorphisme à la place de

morphisme

• Exemples :

– l'application note de {Albert, Bertrand, Caroline, Hervé}, ordonné par l'ordre lexicographique dans {11,12,13}, ordonné par l'ordre naturel des entiers et définie par note(Albert) = 11, note(Bertrand) = 13, note(Caroline) = 12 et note(Hervé) = 13 n'est pas un morphisme d'ordre

Morphismes d’ordre (2/2)

– l'application taille définie entre les ensembles {Albert, Bertrand, Caroline, Hervé}, ordonné par l'ordre lexicographique dans {160,167,182,190}, ordonné par l'ordre naturel des entiers et définie par taille(Albert) = 160, taille(Bertrand) = 167, taille(Caroline) = 182 et taille(Hervé) = 190 est un morphisme d'ordre

• Isomorphisme: un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Dans ce cas, on a ∀x,y de E₁, x ≤₁y <=> f(x) ≤₂f(y)

• Endomorphisme: un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même

• Automorphisme: un automorphisme est un endomorphisme bijectif

Morphismes de treillis

• Morphisme de treillis: soient (E₁,≤₁) et (E₂,≤₂) deux treillis. Une fonction f : E₁→E₂est un morphisme de treillis si pour tout x et y de E₁, f(x) ∧f(y)=f(x ∧y) et f(x) ∨f(y)=f(x ∨y). Un morphisme qui respecte ∨est un ∨-morphisme, et un morphisme qui respecte ∧est un ∧-morphisme. Un morphisme est à la fois ∨- morphisme et ∧-morphisme.

• Théorème 8: tout morphisme de treillis est un morphisme d’ordre

• Preuve : si x ≤₁y, x ∧y = x et f(x) = f(x) ∧f(y) donc f(x) ≤₂f(y)

• Note : - un morphisme d’ordre n’est pas forcément un morphisme de treillis

• Exemple : - Id : (N,div) →(N,≤). 4 ∨6 = 12 dans (N,div) et 4 ∨6 = 6 dans (N, ≤) donc Id(4 ∨6) = 12 ≠Id(4) ∨Id(6) = 6.

Isomorphismes

• Théorème 9: soient deux ensembles ordonnés (E₁,≤) et (E₂,≤₂) isomorphes (d’ordre). Si l’un est un treillis, l’autre aussi, et ils sont isomorphes (de treillis).

• Preuve : soit f la bijection d’ordre de E₁dans E₂. Supposons que E₁soit un treillis, donc x ∧y existe. f(x ∧y) est un minorant de {f(x),f(y)} car x ∧y ≤1x => f(x ∧y) ≤2f(x) et x ∧y ≤1y => f(x ∧ y) ≤2f(y). Montrons que c’est le plus grand minorant. Soit m un minorant de {f(x),f(y)}. Puisque f est un isomorphisme (d’ordre), il existe z dans E₁tel que m = f(z) avec z ≤₁x et z ≤₁y. Donc z

≤₁(x ∧y) et donc m = f(z) ≤₂f(x ∧y). Par dualité, on montre aussi que f est un ∨-morphisme. Et par bijection, on montre la propriété si E₂est un treillis.

Point fixe (1/2)

• Point fixe: une fonction f : E→E admet un point fixe x si f(x) = x.

• Rôle des points fixes en programmation :

• Soit le programme suivant :

• Posons f la fonction qui à un programme P associe le programme suivant travaillant sur un entier n donné en entrée

• La fonction fact définie précédemment est le point fixe de la fonction f.

public int fact(int n){

if(n == 0) return 1;

else return n*fact(n-1);

}

if(n == 0) return 1;

else return n*P(n-1);

(8)

Point fixe (2/2)

• La notion de point fixe apparait également dans les boucles qui peuvent être décrites comme des récursions.

• Exemple : la boucle peut être écrite sous forme de la fonction récursive suivante

while(cond) inst;

public void boucle(){

if(cond){

inst;

boucle();

} }

Théorème de point fixe

• Théorème(Knaster-Tarski, 1942) : toute fonction croissante d’un treillis complet dans lui-même admet un plus petit et un plus grand point fixe (c’est-à-dire que l’ensemble des points fixes admet un inf et un sup)

• Preuve : soit f une fonction croissante d’un treillis complet (T,≤) dans lui-même. Posons F={x∈T, f(x) ≤x}. F est non vide car sup(T) existe et sup(T) ∈F (au besoin on le rajoute). Donc F admet une borne inférieure a = inf(F). f étant croissante, ∀x ∈ F, a ≤x => f(a) ≤f(x) ≤x. Donc f(a) est un minorant de F et f(a)

≤a. Donc a ∈F et est le minimum de F. Ainsi, si a est un point fixe de f, ce sera le plus petit, car tout point fixe de f est dans F.

Or f(a) ≤a => f(f(a)) ≤f(a), donc f(a) ∈F, d’où a ≤f(a).

Point fixe et informatique

• La notion de point fixe et le théorème de point fixe sont utilisés largement en informatique

– base de données: mise à jour des données

– analyse de programme et compilation: transformation des boucles et récursions en points fixes, contrôle de terminaison

– contrôle de systèmes : stabilité, vérification de système – ...