Asservissement d’un panneau solaire

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et la recherche scientifique Université de Jijel

Faculté de sciences et de la technologie

Département de l’électrotechnique

Projet de fin d’étude pour l’obtention du diplôme de

Master en Électrotechnique

Option : Électrotechnique Industrielle

Thème

Encadré par: Réalisé par:

Année universitaire 2019/2020

Remercément

Nous remercions ALLAH le tout-puissant de nous

donner le courage, la volonté et la patience de

mener à terme ce présent travail.

Nous tenons à remercier notre encadreur

Pr LEFOUILLI Moussa pour son encadrement, sa

compréhension, ses conseils, ses observations son

aide et cette disponibilité durant la réalisation de

ce mémoire.

Nous remercions tous les membres de jury pour

avoir accepté de juger ce travail.

Dédicace

Je dédie ce travail à :

Ma mère et Mon père qui m’ont aidé à devenir ce

que je suis aujourd’hui.

Mes frères, et mes sœurs.

Mes chers amis Siradj, Walid,Baha,et Djomana.

Mes amis Mouloud, Chamsou, Bilal,Alla,Djamal,mon

binôme Zaki.

Sommaire

Introduction générale ...1

Chapitre I Généralités sur les énergies fossiles et les énergies renouvelables I. Introduction ...3

II. Energies fossiles ...3

II.1 Pétrole ...4

II.2 Gaz naturel ...6

II.3 Charbon ...7

II.4 Avantages d’énergie fossile ...9

II.5 Inconvénients d’énergie fossile ...9

III Energie renouvelable ...9

III.1 Introduction ...9

III.2.1 Energie Éoliens ...10

III.2.1.1 Définition ...10

III.2.1.2 Principe de fonctionnement de l’éolienne ...11

III.2.1.3 Différents types d’éolienne ...11

A) Éoliennes à axe vertical...11

B) Eoliennes à axe horizontal...12

III.2.1.4 Description du système énergétique éolienne ...13

A) Constitution ...13

III.2.2 Energie solaire ...15

III.2.2.1 Energie solaire thermique ...16

III.2.2.2 Energie solaire thermodynamique ...17

A) Centra à capteurs cylindro-paraboliques ...17

B) Centra à tour ...18

C) Centrale à capteurs paraboliques ...18

III.2.2.3 Energie solaire photovoltaïque ...19

A) Principe de la conversion photovoltaïque ...20

III.2.3 Energie hydraulique ...21

III.2.3.1 Principe de fonctionnement ...22

III.2.3.4 Avantages des énergies renouvelab ...23

1) Energie éolienne ...23

2) Energie hydroélectrique ...23

3) Energie solaire ...23

III.2.3.5 Inconvénients des énergies renouvelab ...23

1) Energie éolienne...23

2) Energie hydroélectrique ...24

3) Energie solaire ...24

IV Conclusion ...25

Chapitre II Notions de bases de l'asservissement I. Introduction ...26

II Système asservi ...27

II.2 Schéma fonctionnel d’un système asservi ...27

A) Comparateur ...28

B) Chaîne directe ou chaîne d’action ...28

C) Chaîne de retour ou chaîne de réaction ...28

II. 3 Performances d’un système asservi ...28

II.3.1 Stabilité ...29

II.3.2.1 Ecart statique ...30

II.3.2.2 Ecart dynamique ...31

II.3.3 Rapidité ...31

III.1 Fonction de transfert ...32

III.1.1 Définition ...32

III.1.2 Fonction de transfert en boucle ouverte ...33

III.1.3 Fonction de transfert en boucle fermée. ...33

VI. Systèmes linéaires ...33

IV.1 Représentation d’un Système linaire par un équation déférentielle ...33

IV.2 Transformée de Laplace ...34

IV.1.1 Définition ...34

B. Translation complexe ...35

C. Translation temporelle ...35

D. Dérivation ...35

E. Intégration ...35

F. Théorèmes des limites ...35

IV.3 Passage d'une équation différentielle à une fonction de transfert ...36

V. Analyse des systèmes linéaires ...37

V.1 Introduction ...37 V.2 Analyse harmonique ...37 V.2.1. Diagramme de Bode ...37 A Courbe du gain ...38 B) Courbe de phase ...38 V.2.2. Diagramme de Black ...39 V.2.3. Diagramme de Nyquist ...39 V.3. Analyse temporale ...40

V.3.1. Echelon -unité u(t) ...40

V.3.2 Rampe unité r(t) ...40

V.3.3. Impulsion de Dirac ...41

V.4. Stabilité des systèmes ...42

V.4.1 Conditions de stabilité ...42

V.4.2. Critère de stabilité ...43

V.4.2.1 Critère algébrique (Routh) ...43

A) Construction du tableau de Routh ...44

V.4.2.2 Critère graphique (revers) ...45

A) Critère du revers dans le plan de Nyquis ...45

B) Critère du revers dans le plan de Black ...45

C) Critère du revers dans le plan de Bode ...46

V.4.2.3. Degré de stabilité ...47

VI. Systèmes linéaires continus du 1ére ordre ...47

VI.1. Analyse harmonique ...48

VI.1.1. Représentation dans le plan de Bode ...48

VI.1.2. Représentation dans le plan de Nyquist ...49

VI.2. Analyse temporelle ...50

VI.2.1 Réponse impulsionnelle ...50

VI.2.2 Réponse indicielle ...50

VI..2.3 Réponse en vitesse ...52

VII. Systèmes linéaires continus de second ordre ...53

VII.1. Analyse harmonique ...53

VII.1.1. Diagrammes de Bode ...53

Représentation du module ...53

Représentation de la phase ...53

VII.1.2 Diagrammes de de Nyquist ...54

VII.1.3 Diagrammes de Black ...55

Représentation du module ...55

Représentation de la phase ...55

VII.2 Analyse temporelle ...56

VII.2.1 Réponse impulsionnelle ...56

VII.2.2 Réponse indicielle ...58

VIII. Conclusion ...61

Chapitre III Asservissement d’un panneau solaire I. Introduction ...62

II. Mouvement du Globe terrestre ...62

III. Rayonnement solaire ...63

III.1 Différents types de rayonnement solaire ...63

A. Rayonnement direct ………..63

B. Rayonnement diffus ………63

C. Rayonnement global ……….64

IV. Paramètres de position ...64

IV.1 Coordonnées géographiques ...64

A. Latitude ………..64

B. Longitude ……….64

V.1.Introduction ...66

V.2. Représentation de système ...67

V.3. Mise en équation de systématique ...67

V.3.1. Equation électrique ………...……68

V.3.2. Equation mécanique ………..69

V.3.3. Schéma fonctionnel du système ………..………..70

V.3.4. Fonction de transfert……….70

V.3.5. Données numériques ……….71

V.3.6. Equation caractéristique du systè……….71

V.3.7. Application du critère de Routh………71

V.3.8. Condition de la stabilité ………71

V.3.9. Tableau de Routh pour plusieurs valeurs de ka ………..72

V.4. Lieu d’Evans ou lieu des racines ...73

VI. Analyse temporelle ...………..74

VI.1 Réponse indicielle ...74

V.2. Réponse impulsionnelle ...74

VI.3. Réponse en vitesse ...76

VII. Analyse fréquentielle ...77

VII.1.1 Diagramme de Bode ………..78

VII.1.2 Diagramme de Nyquist ………..………80

VII.1.3 Diagramme de Black………82

VIII. Conclusion ...85

Introduction

Introduction générale

Depuis des siècles, l’énergie est indispensable au développement de la vie humaine,

l’être humain dépond énormément de l’énergie. En absence d’énergie il n’y aura pas de chaleur, aussi pas de lumière, pas de transports, par conséquent il n’aura pas de production ou de croissance. Les besoins énergétiques risquent d’accroitre énormément au cours des prochaines décennies : ils pourraient doubler, voire tripler d'ici 2050 ! Le développement des pays émerge et l'accroissement démographique nous oblige à considérer les ressources énergétiques de notre planète et à nous interroger sur leur capacité à couvrir les besoins des futures générations.

Les énergies renouvelables sont des énergies qui se renouvellent assez rapidement pour être considérées comme inépuisables à l’échelle humaine du temps. L'énergie solaire est disponible, non polluante et gratuite. C’est pourquoi, elle est de plus en plus utilisée, comme alternative aux combustibles, dans la production d'électricité.

L’Algérie possède l’un des gisements solaires les plus élevés au monde, avec une durée d’ensoleillement sur la totalité du territoire national pouvant atteindre les 3900 heures (hauts plateaux et Sahara). L’énergie reçue quotidiennement sur une surface horizontale de 1m2 est de l’ordre de 5 KWh sur la majeure partie du territoire national, soit prés de 1700 KWh/m2/an au Nord et 2263 kWh/m2/an au Sud du pays [1].

Dans ce travail nous allons nous intéressé à l’asservissement d’un panneau solaire, cet intérêt est validé par la nécessité d’obtenir une transformation de l’énergie solaire en énergie électrique avec le meilleur rendement et la meilleure régularité possible. Ceci se traduit une orientation du panneau solaire perpendiculairement aux rayons du soleil. Cette orientation varie dans la journée compte tenu de la rotation de la terre (azimut) mais aussi en fonction de la déclinaison du soleil selon les saisons (élévation).

Pour concrétiser ce travail, nous avons adopté le plan suivant :

Dans le premier chapitre nous allons présenter quelques généralités sur les énergies fossiles et les énergies renouvelables.

Dans le deuxième chapitre nous allons faire un large aperçu sur les systèmes asservis, leurs analyses temporelles et fréquentielles qui vont nous permettre de nous prononcer sur les performances de tout système.

Le troisième chapitre sera consacré à la présentation du servomécanisme de position utilisé pour l’orientation du panneau solaire dans les deux directions (élévation et azimut). La mise en équation des différentes constituantes de ce servomécanisme va nous permettre de le modéliser. Cette modélisation va nous permettre de le représenter par un schéma fonctionnel ensuite par des fonctions de transfert en boucle ouverte puis en boucle fermée.

Une fois le modèle remplacé par ses fonctions de transfert, il ne reste plus qu’à faire son analyse temporelle puis fréquentielle qui vont nous permettre de déterminer ses performances à savoir la stabilité, la rapidité et la précision.

Chapitre I

Généralités Sur Les Energies

Fossiles Et Les Energies

I. Introduction

Les énergies fossiles résultent d'une accumulation d'énergie solaire captée par des êtres vivants pendant des millions d'années. Elles regroupent trois sources d'énergie que l'on connaît bien :

• Le charbon ; • Le gaz naturel ; • Le pétrole.

Les énergies renouvelables se révèlent aujourd’hui, comme sources de production d’électricité vitales, obtenues à partir des gisements inépuisables telle que : « le soleil, le vent, la chaleur de la terre, les chutes d’eau ou encore les marées ». L’avance spectaculaire dans les différents domaines de technologie ces dernières années, ces formes alternatives de production d’électricité deviennent, pour certaines, compétitives par rapport aux combustibles fossiles qui révèlent leur épuisement et leur incidence environnementale (pétrole, gaz, et dans une moindre mesure, charbon et uranium).

II. Les énergies fossiles :

On appelle « énergie fossile » l’énergie produite par la combustion du charbon, du pétrole ou du gaz naturel. Ces combustibles, riches en carbone et hydrogène, sont issus de la transformation de matières organiques enfouies dans le sol pendant des millions d’années (d'où le terme "fossiles"). Ce sont des énergies non renouvelables puisqu’une fois utilisées, elles ne peuvent être reconstituées qu'à l'échelle des temps géologiques. [1]

On appelle hydrocarbures des composés chimiques dont les molécules sont constituées d'atomes de carbone et d'hydrogène. Ce sont les principaux constituants du pétrole brut et du gaz naturel, ainsi que des produits pétroliers issus des raffineries. [1]

Cela fait moins de 200 ans que l’Humanité utilise massivement les énergies fossiles. Pendant la majeure partie de l’Histoire, les hydrocarbures ne présentaient presque aucun intérêt pour l’Homme ! Parfois, on tombait sur un gisement par hasard en creusant un puits. On se servait alors du pétrole pour alimenter les lampes à huile. [2]

Il y a 2’500 ans, les Chinois ont découvert les propriétés du gaz naturel en creusant des puits pour trouver de la saumure (du sel mélangé à de l’eau). Ils le transportaient dans des tubes de bambou et s’en servaient pour l’éclairage. Les gisements de gaz étaient appelés « puits de feu ». En Europe, c’est la Révolution industrielle (18e - 19e siècle) qui donne aux hydrocarbures

une place centrale dans l’économie. Le formidable développement des usines, des machines et des transports doit tout aux énergies fossiles. [2]

Les énergies fossiles représentent aujourd’hui plus des trois quarts de la consommation mondiale d’énergie primaire, dans les transports, l’industrie et l'habitat. Elles sont également largement majoritaires (plus des deux tiers) dans la production de l’électricité, malgré la progression continue de la part des énergies renouvelables. Cette position dominante devrait se maintenir pendant plusieurs décennies (voir l’infographie de l’évolution du mix énergétique dans le temps).[1]

II.1 Le pétrole :

Le pétrole que nous utilisons actuellement est le résultat d'une lente dégradation au fond des océans du plancton (sédiments organiques et minéraux). Elle a débuté il y a des dizaines voire des centaines de millions d'années.

Ce plancton s'est déposé par couche, entraînant la formation de strates. Ces strates de plancton, qui sont le siège de la formation du pétrole (mais aussi du gaz naturel), sont souvent séparés par une épaisseur de dépôt argileux qui constitue alors une roche imperméable.

La strate dans laquelle va avoir lieu la dégradation du plancton est appelée roche mère. La roche mère est donc en quelque sorte une éponge dans laquelle se forme, après fossilisation des sédiments, du pétrole et du gaz naturel bruts. L'eau de mer qui était dans les sédiments n'est pas modifiée et reste dans la roche mère. [4]

Les hydrocarbures extraits du pétrole brut sont composés d'atomes de carbone et hydrogène. Chaque hydrocarbure possède dans ses molécules en nombre d'atomes qui le déterminent : le méthane (CH4), le butane (C4H10), le propane (C3H8).[3]

Le premier puits de pétrole a été foré en 1859 aux États-Unis. Depuis le pétrole a connu un développement fulgurant : carburant pour les automobiles, mais aussi, matières plastiques, lubrifiants, textiles, pharmacie. Mais ses réserves s’épuisent et au rythme de la consommation actuelle les réserves sont estimées à 45 ans. [3]

Le craquage catalytique fut inventé en 1949. Il s'effectue à haute température (500°C) et à l'aide d'un catalyseur (substance qui déclenche la réaction par sa présence). Il consiste également à "casser" en petites molécules les produits lourds afin d'obtenir des produits légers tels que :

• De l’essence. • Du gazole.

Grâce à ce craquage, on améliore la qualité de l'essence et on obtient des caractéristiques supérieures (carburant pour moteurs antidétonation et produits chimiques particuliers).

Des opérations similaires (alkylation, isomérisation, réformation catalytique) conduisent à la fabrication des matières premières de la pétrochimie : alcools, détergents, caoutchouc synthétique, glycérines, engrais, solvants, nylon, plastiques, paraffines, peintures, polyesters, styrène, polystyrène, teintures, matériaux isolants, explosifs, additifs alimentaires, substrats destinés à la fabrication des médicaments.[4]

Fig.I. 1 schéma représenté les produits obtenus à partir du pétrole.

370

_°

Gaz butane, propane Pétrochimie

Essence Kérosène Gasoil

Fioul lourd, bitume Pétrole brut

Four de distillation

Colonne de distillation

II.2 Le gaz naturel :

Le gaz naturel est composé d'hydrocarbures qui existent naturellement sous forme gazeuse en sous-sol. Il est essentiellement composé de méthane. Après fractionnement, il en est essentiellement extrait de l'éthane, du butane et du propane. [3]

Le gaz naturel est principalement constitué de méthane, un gaz qui se dégage des organismes vivants lorsqu’ils se décomposent. Comment se fait-il qu’on en trouve sous terre ? Comme le pétrole et le charbon, le gaz naturel trouve son origine dans la décomposition d’animaux et de végétaux morts depuis des millions d’années.

Le gaz naturel n’a presque pas besoin d’être transformé, on peut l’utiliser quasiment tel quel, pour produire du chauffage ou de l’électricité. On l’achemine à l’endroit où il sera utilisé par des tuyaux appelés « gazoducs », ou dans des bateaux appelés « méthaniers ». [3]

Le gaz naturel représente près d’un quart de la consommation mondiale d'énergie. Une tour de forage est installée pour percer la roche à l'aide d'un outil rotatif appelé « trépan ». Une fois la poche de gaz atteinte, soit le gaz remonte tout seul si la cavité est sous pression, soit le gaz est remonté par injection d'eau ou de boue. [3]

II.3 Le charbon :

Le charbon résulte de la décomposition de débris végétaux accumulés, il y a des centaines de millions d'années, dans des endroits marécageux, des lagunes et des deltas de fleuves. Les végétaux immergés morts se sont déposés au fond de l'eau, fond qui s'est ainsi recouvert de feuilles, de bois, de pollen, d'écorces, de spores, d'algues microscopiques.

Ces dépôts minéraux ont été à leur tour recouverts d'un dépôt d'argile qui les a protégés de l'air. La fermentation a alors pu commencer. C'est cette fermentation qui donnera plus tard la houille. Pendant que les dépôts ont fermenté, du sable s'est accumulé sur l'argile, permettant à une nouvelle forêt de pousser. Puis le bassin s'est de nouveau enfoncé et une partie de la forêt a de nouveau été immergée. Et ainsi de suite. De tels gisements de charbon peuvent atteindre une surface de 5000 km² [4].

La révolution industrielle, au 19e siècle, entraîna l’exploitation de nombreuses mines de charbon partout en Europe, et beaucoup d’enfants y étaient employés ! Aujourd’hui, dans nos régions, le charbon n’alimente plus les usines. Mais il reste la deuxième source d’énergie la plus utilisée dans le monde, après le pétrole. Il est responsable de près de la moitié des émissions de gaz effet de serre.

Tout comme avec le pétrole, les produits dérivés du charbon sont nombreux : du chauffage à la métallurgie, puis de la fabrication de matériaux divers jusqu'à ses effets bénéfiques sur la santé et le filtrage de l'eau.

De nos jours, le charbon est utilisé :

o Pour obtenir un substitut au gaz naturel, GNS (gaz naturel de synthèse) : c'est la combustion directe du charbon dans la veine qui produit le GNS ;

o Pour produire du méthane CH4 : il est produit naturellement dans les veines par dégazage du charbon ;

o En métallurgie du fer et de l'acier (utilisation du coke pour l'obtention de fonte par exemple) ;

o Et pour fabriquer des carburants et des fluides susceptibles d'être brûlés dans les chaudières (centrales thermiques par exemple) ou transformés par la chimie (vernis, savon, plastiques, solvants, tergal, explosifs, parfums, colorants, caoutchouc,

cosmétique, lubrifiants, désinfectants, teintures, photographie, insecticides, goudrons, enduits, pharmacie) Chardon brut Transformation Cokéfaction Chauffage Fonte Acier Carbochimie Pharmacie Droguerie Colorants Parfums Plastiques Textiles Explosifs Engrais Résines

II.4

• Bon rendement (gaz naturel : 90 %, charbon : 40 %, pétrole : 80 %). • La durée de vie très long.

• Le prix modeste de la production d’énergie à partir de ressources fossiles comparé aux énergies renouvelables.

• La grande connaissance scientifique des divers usages possibles des énergies fossiles (transport, chauffage, composés plastiques…).

II.5

• Energie fossile est no renouvelé pas • Très polluant

• Installation à durée de vie limitée (20-40 ans)

• L’extraction et la transformation des énergies fossiles entraîne l’émission d’une grande quantité de gaz à effet de serre.

• Les ressources fossiles sont très inégalement réparties dans le monde. Elles sont donc une source de tensions et de conflits géopolitiques.

III L’énergie renouvelable

III.1

Le développement et l’exploitation des énergies renouvelables ont connu une forte croissance ces dernières années. D’ici 20 à 30 ans, tout système énergétique durable sera basé sur l’utilisation rationnelle des sources traditionnelles et sur un recours accru aux énergies renouvelables. Naturellement décentralisées, il est intéressant de les mettre en œuvre sur les Lieux de consommation en les transformant directement, soit en chaleur, soit en électricité, selon les besoins. La production d’électricité décentralisée à partir d’énergies renouvelables offre une plus grande sureté d’approvisionnement des consommateurs tout en respectant l’environnement. Cependant, le caractère aléatoire des sources impose des règles particulières de dimensionnement et d’exploitation des systèmes de récupération d’énergie.

Une source d’énergie est renouvelable si le fait d’en consommer ne limite pas son utilisation future. C’est le cas de l’énergie du soleil, du vent, des cours d’eau, de la terre, de la

biomasse humide ou sèche à une échelle de temps compatible avec l’histoire de l’humanité. Ce n’est pas le cas des combustibles fossiles et nucléaires. [5].

III.2 Les différents types de l’énergie renouvelable :

III.2.1 Energie Éoliens : III.2.1.1 Définition :

L'énergie d'origine éolienne fait partie des énergies renouvelables. L’aérogénérateur utilise l’énergie cinétique du vent pour entraîner l’arbre de son rotor : celle-ci est alors convertie en énergie mécanique elle-même transformée en énergie électrique par une génératrice électromagnétique accouplée à la turbine éolienne. Ce couplage mécanique peut être soit direct si turbine et génératrice ont des vitesses du même ordre de grandeur, soit réalisé par l'intermédiaire d'un multiplicateur dans le cas contraire Enfin il existe plusieurs types d’utilisation de l’énergie électrique produite : soit elle est stockée dans des accumulateurs, soit elle est distribuée par le biais d’un réseau électrique ou soit elle alimente des charges isolées. Le système de conversion éolien est également siège de pertes : à titre indicatif, le rendement est de 59 % au rotor de l’éolienne, de 96% au multiplicateur ; il faut de plus prendre en compte les pertes de la génératrice et des éventuels systèmes de conversion [6].

III.2.1.2 Principe de fonctionnement de l’éolienne

Lorsque la vitesse du vent devient suffisante (3 à 5m/s), un automate programmable, renseigné par l’anémomètre et la girouette fixés au sommet de la nacelle, commande au moteur d’orientation de placer l’éolienne face au vent. Le vent entraîne les pales qui font tourner l’arbre lent. Le multiplicateur augmente la vitesse de rotation, impose et imprime cette accélération à l’arbre rapide. Celui-ci transmet le mouvement rotatif au générateur qui produit l’électricité [7].

III.2.1.3 Les différents types d’éolienne A) Éoliennes à axe vertical

Les éoliennes à axe vertical ont probablement été les premières utilisées. Parmi celles-ci, une éolienne peu dispendieuse et facile à fabriquer est l’éolienne à rotor de SAVONIUS. Ce rotor a été inventé par le Finlandais Sigurd SAVONIUS en 1925. Il comporte essentiellement deux demi-cylindres dont les axes sont décalés l’un par rapport à l’autre. C’est une sorte d’éolienne fabriquée à partir de matériaux peut couteux tels qu’un baril d’essence coupé verticalement en deux et quelques pièces de bois pour former la structure. Les deux moitiés du baril sont glissées dans une tige qui sert d’axe de rotation. Quel que soit sa direction, le vent s’engouffre dans la moitié creuse du baril et la fait tourner. Une génératrice actionnée par la rotation du l’axe produit de l’électricité. L’éolienne a axe vertical n’a pas besoin d’être face au vent, elle est efficace quel que soit la direction du vent [8].

Éoliennes DARRIEUS Éoliennes DARRIEUS H Éoliennes SAVONIUS

Un autre type d’éolienne à axe vertical est l’éolienne de DARRIEUS. Cette éolienne a été conçue par l’ingénieur français George DARRIEUS en 1925. Le rotor est constitué de plusieurs pales, de profils symétriques liés entre elle et qui tournent autour d’un axe vertical. Les formes adoptées pour les surfaces des pales sont cylindriques, coniques ou paraboliques. Comme l’éolienne de type Savonius, elle possède l’avantage d’avoir les organes de commande et le générateur au niveau du sol donc facilement accessible [8].

B) Eoliennes à axe horizontal

Une éolienne à axe horizontal est dotée de pales qui servent principalement à faire tourner le rotor. Des pales en forme de voile de bateau étaient couramment utilisées pour faire tourner les moulins à vent. La forme incurvée de la voile accélère la vitesse du vent et diminue la pression de l’air devant la voile. Cette baisse de pression a pour effet de faire tourner le rotor du moulin. Ce système a l’avantage d’être simple à fabriquer et efficace s’il est face au vent, il faut donc qu’il soit équipé d’un système permettant de l’orienter [8].

Eolienne American Eolienne tripale Eolienne bipale

Fig.I. 6 Les différents types d’éolienne à axe horizontal.

Aujourd’hui, la forme des pales modernes est comparable à la forme des hélices d’avion. Ces pales sont planes sur un côté et profilées sur l’autre afin de tirer le maximum de profit de l’écoulement de l’air tout comme les ailes d’un avion. La courbure spéciale des surfaces des pales provoque un écoulement de l’air plus rapide sur le côté courbé de la pale. Il en résulte que la pression d’air est moindre sur le côté courbé que sur le côté plat, cette différence de pression fait tourner les pales [8].

III.2.1.4 Description du système énergétique éolienne A) Constitution

Les aérogénérateurs les plus courants sont à axe horizontal. Ils sont constitués par une tour (élément porteur) ; à son sommet se trouvent fixés la nacelle et l’ensemble rotor-pales (éléments actifs). [9]

A) La tour

C’est un élément porteur, généralement un tube d’acier ou un treillis métallique, il doit être le haut possible pour éviter les perturbations près du sol. La tour a une forme conique ; à l’intérieur sont disposés les câbles de transport d’énergie électrique, les éléments de contrôle, les appareillages de connexion au réseau de distribution ainsi que l’accès à la nacelle. .[9]

B) La nacelle

Elle regroupe tout le système de transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique et divers actionneurs de commande. Les parties essentielles constituant la nacelle sont comme suit [9]

- Arbre lent

Il relie le moyeu au multiplicateur et contient un système hydraulique permettant le

- Multiplicateur de vitesse

Il adapte la vitesse de la turbine éolienne à celle du générateur électrique. Ce multiplicateur est muni d’un frein mécanique à disque actionné en cas d’urgence lorsque le frein aérodynamique tombe en panne [10].

- Le système de refroidissement

Il comprend généralement un ventilateur électrique utilisé pour refroidir la génératrice et un refroidisseur à l’huile pour le multiplicateur. Il existe certains types d’éoliennes comportant un refroidisseur à l’eau [10].

- La génératrice

La génératrice constitue l’élément assurant la conversion d’énergie mécanique disponible sur l’arbre de sortie du multiplicateur en énergie électrique. Cette fonction peut être réalisée au moyen de différents types de machines (généralement asynchrones). [9].

- Anémomètre

C’est un dispositif de mesure de la vitesse du vent ; ayant la possibilité d’émettre des signaux électriques qui seront utilisés par le système de contrôle-commande de l’éolienne afin de la démarrer lorsque la vitesse du vent atteint approximativement 5m/s.

De même le système de commande électrique assure la protection de l’éolienne en provoquant un arrêt automatique si la vitesse du vent dépasse 25m/s [10].

- Le système de contrôle-commande

Il permet un contrôle du dispositif éolien. En cas de danger, à titre d’exemple en cas de surchauffe du multiplicateur ou de la génératrice, le système arrête automatiquement l’éolienne [10].

- Le dispositif d'orientation

Le dispositif d'orientation de l'éolienne est utilisé pour tourner automatiquement le rotor dans la direction face au vent.

C) Le rotor et les pales

Le rotor de l’aérogénérateur est constitué de pales qui sont-elles mêmes montées sur un moyeu. Le rôle essentiel du rotor est de convertir l’énergie cinétique du vent en énergie mécanique. Le rendement maximal du rotor est d’environ 59 % (limite de Betz) [11].

La pale est une pièce techniquement difficile à réaliser car elle doit obéir à certaines règles géométriques concernant le profit aérodynamique, mais elle doit aussi être fabriquée en matériau suffisamment résistant à la force de pression exercée par le vent. Pour cela, les pales sont réalisées en fibre de verre ou en matériaux composites comme la fibre de carbone qui est légère et résistante. Pour une meilleure efficacité énergétique, les pales s’affinent vers l’extrémité et sont variées dans leur longueur [11].

D) Le moyeu

C’est le support des pales. Il doit être capable de supporter des à-coups importants, surtout au démarrage de l’éolienne, ou lors de brusques changements de vitesse du vent. C’est pour cette raison que le moyeu est entièrement moulé et non réalisé par soudure. [9]

III.2.2 L’énergie solaire :

Acteur durable de plus de 4 milliards d’années, le soleil sauvera l’humanité du chao. Bien que distant de plus de 150 millions de kilomètres de nous, il demeure notre plus grande source d’énergie. L’énergie solaire reçue par la terre représente chaque année environ 8380 fois la consommation énergétique de l’humanité en 2009 soit environ 11 milliards de TEP (tonnes équivalent pétrole). Toutes les quarante minutes, en effet, la terre reçoit du soleil assez d’énergie solaire pour couvrir sa consommation mondiale d’énergie pendant une année. [12]

Jusqu’à présent, cette énergie est utilisée principalement pour l’éclairage naturel et pour le chauffage. Mais avec le développement de la technologie, il y a eu apparition de trois autres domaines d’utilisations de cette énergie : [12]

L’énergie solaire thermique :

L’énergie solaire thermodynamique : L’énergie solaire photovoltaïque

III.2.2.1 L’énergie solaire thermique :

Le solaire thermique consiste à transformer les rayonnements solaires en chaleur et à la récupérer pour chauffer l’eau. Son utilisation se fait principalement pour produire l’eau chaude sanitaire, mais elle peut être utilisée comme complément pour le chauffage de l’habitat. Il existe différents types de capteurs solaires à basse température utiles pour ce type de conversion de l’énergie solaire [13].

Tels que :

- Capteurs plans vitrés : ce sont les capteurs les plus répandus avec un bon rendement et un prix abordable. Ils sont utilisés pour la production de l’eau chaude sanitaire.

- Capteurs moquettes : ce sont des capteurs simples et économiques. Ils sont utilisés pour chauffer l’eau des piscines. Ils sont composés d’un réseau de tubes noirs accolés les uns aux autres.

- Capteurs sous vide : ce sont des capteurs qui permettent d’atteindre de très hautes températures pour le refroidissement et la climatisation.

L’énergie solaire thermique se trouve dans nombreuses applications : - La production de l’eau de chaude,

- Le chauffage des maisons, l’eau des piscines,

- Le séchage de la récolte agricole, - La réfrigération par absorption pour les bâtiments, …etc.

III.2.2.2 Energie solaire thermodynamique

L’énergie thermodynamique désigne l’énergie solaire récupérée par des capteurs cylindro-paraboliques, des centrales à tour ou des capteurs paraboliques pour produire l’énergie électrique. Le flux solaire concentré réchauffe un fluide caloporteur (l’huile thermique, des sels fondus, l’huile synthétique, … etc.) dans une gamme de température allant de 250 ºC à 1000 ºC selon les techniques utilisées. Ces fluides viennent ensuite chauffer de l’eau dont la vapeur entraîne un turboalternateur à l’instar d’une centrale thermique classique [13].

Il existe un large éventail de technologies de concentration et chacune d’elles est capable de générer des températures élevées mais elles se diffèrent dans le la façon dont elles suivent le soleil et concentrent la lumière [14].

A) Centrales à capteurs cylindro-paraboliques

Un capteur cylindro-parabolique est un capteur à concentration à foyer linéaire utilisant un réflecteur cylindrique de section parabolique. Le récepteur est un tube positionné juste au-dessus du milieu du miroir parabolique et remplie d’un fluide caloporteur. Le réflecteur suit le soleil pendant la journée le long d’un axe unique [13].

B) Centrales à tour :

Les centrales solaires à tour sont constituées d’un champ de miroirs uniformément répartis (héliostat) concentrant les rayons solaires vers une chaudière située au sommet de la tour. L’énergie concentrée au niveau du receveur placé au sommet de la tour est utilisée pour chauffer un fluide caloporteur qui sera envoyé ensuite vers une chaudière pour produire de la vapeur pour actionner des turbines. Ces dernières entraînent des alternateurs produisant de l’électricité. Ce type de concentration nous permet d’atteindre des températures importantes qui varient entre 600 ºC à 1000 ºC [13].

Les centrales à tour sont moins répandues que les systèmes cylindro-paraboliques, mais elles offrent un bon rendement et une meilleure capacité de stockage de l’énergie [14].

C) Centrale à capteurs paraboliques :

Ce système convertit l’énergie thermique du rayonnement solaire en énergie mécanique puis en énergie électrique de la même manière que les centrales thermiques classiques à combustibles. Elles utilisent un réseau de miroirs pour réfléchir et concentrer le rayonnement direct entrant à un récepteur afin d’atteindre les températures souhaitées. Ce rayonnement solaire concentré est absorbé par le récepteur et transféré à un moteur [14].

III.2.2.3 L’énergie solaire photovoltaïque :

L’énergie solaire photovoltaïque est une énergie électrique produite à partir du rayonnement solaire qui fait partie des énergies renouvelables. La cellule photovoltaïque est un composant électronique qui est l’élément de base des installations produisant cette énergie. Elle fonctionne sur le principe de l'effet photoélectrique. Plusieurs cellules sont reliées entre-elles sur un module solaire photovoltaïque, plusieurs modules sont regroupés pour former une installation solaire. Cette installation produit de l'électricité qui peut être consommée sur place ou alimenter un réseau de distribution. [15]

Fig.I. 11 Centrale à capteurs paraboliques

III.2.2.3 .1 Principe de la conversion photovoltaïque

La majorité des cellules photovoltaïques sont fabriquées à partir du silicium cristallin, car il possède la caractéristique d'être non toxique contrairement au cadmium ou au sélénium, en plus, il permet d'atteindre des efficacités de conversion remarquables, il constitue environ 28% de l'écorce terrestre sous forme de composés (silicates, silice), ce qui en fait une source quasi inépuisable. La cellule solaire à semi-conducteur est un dispositif permettant de débiter un courant électrique dans une charge externe lorsque celui-ci est exposé à la lumière. Son principe de fonctionnement se résume comme suit :[7].

Une cellule PV est réalisée à partir de deux couches de silicium, une dopée P (dopée au Bore) et l’autre dopée N (dopée au phosphore) créant ainsi une jonction PN avec une barrière De potentiel. Lorsque les photons sont absorbés par le semi-conducteur, ils transmettent leur Énergie aux atomes de la jonction PN de telle sorte que les électrons de ces atomes se libèrent Et créent des électrons (charges N) et des trous (charges P). Ceci crée alors une différence de Potentiel entre les deux couches. Cette différence de potentiel est mesurable entre les connexions des bornes positives et négatives de la cellule. A travers une charge continue, on Peut en plus récolter des porteurs. La tension maximale de la cellule est d’environ 0.6 V pour Un courant nul. Cette tension est nommée tension de circuit ouvert (VOC). Le courant maximal

circuit (ICC) et dépend fortement du niveau d’éclairement. La figure (I.16) représentée le principe de fonctionnement d’une cellule. [16]

II.2.3 L’énergie hydraulique

L’énergie hydraulique qui provient de la captation de la variation d’énergie potentielle de l’eau entre deux niveaux, st une énergie renouvelable. C’est une source d’énergie propre et non polluante de l’environnement, économique et fiable. La mise en service est simple est très rapide, en effet lorsque l’eau est stockée, il suffit d’ouvrir les vannes pour commencer le cycle de production d’électricité. Ces caractéristiques lui permettent d’être très flexible pour la régulation de la charge électrique, elle est avantageusement utilisée lors des pics de consommation, ce qui permet d’éviter la mise en route coûteuse des autres types de centrales électrique relier au même système.

L’hydroélectricité met en valeur une richesse naturelle importante et produit une énergie propre et entièrement renouvelable, sans aucune émission de gaz à effet de serre. Leur principal désavantage est qu’elles ne sont pas des énergies qui peuvent répandre à des besoins certains, à des moments sûrs, c'est-à-dire que la production d’énergie électrique est dépendante des conditions météorologiques, [17].

Notons aussi dans le domaine de l’énergie hydraulique, les ressources marémotrices de la houle et celles des courants marins qui sont très importants, de nombreux travaux dans le

monde ont montré la faisabilité de l’exploitation des ressources de la houle. La plus grande usine marémotrice au monde se trouve en France (la Rance) avec une puissance de 240 MW. [18]

III.2.3.1 Principe de fonctionnement

Pour produire de l’électricité, il faut la combinaison d’un débit d’eau u [m3/s] et d’une chute h[m] qui et la différence entre un point haut et un point bas de niveau d’eau. Pour réaliser cette combinaison, le complexe hydroélectrique comprend un barrage construit en travers du lit d’un cours d’eau pour en retenir les eaux et pour créer ou aménager une chute en vue d’actionner les turbines de la centrale électrique. La turbine est un élément rotatif qui convertit l’énergie d’un courant d’eau. Il permet de transformer l’énergie potentielle en énergie mécanique puis électrique par l’intermédiaire d’un alternateur, [17]

III.2.3.2 Classification des centrales hydraulique :

Les centrales hydroélectriques sont classées en trois grandes catégories selon la hauteur de chute d’eau et par voie de conséquence, selon le débit ; on trouve, [17] :

Les centrales électriques de haute chute Sites de montagne avec un dénivelé important comme la centrale du Portillon dans les Pyrénées (1420 m de chute dans une conduite forcée) mais dont les débits sont faibles [17]

Les centrales électrique de moyenne chute (débit plus fort) Les centrales électriques de basse chute.

Selon la nature du barrage (barrage-voûte, poids, contrefort, en enrochement ou en terre, mobile…) : haute, moyenne ou basse chute, on utilise respectivement trois types principaux de turbines telles :

1. Pelton : Cette turbine est du type « à action »

2. Francis : Une turbine Francis est une turbine hydraulique de type « à réaction »

III.2.3.4 Les avantages des énergies renouvelables :

1) L’énergie éolienne :

• L’énergie éolienne ne libère aucun dioxyde de carbone au cours de son cycle de vie. • Il n’y a pas besoin de carburant.

2) L’énergie hydroélectrique :

• L’énergie hydroélectrique n’entraîne généralement aucun impact climatique ou environnemental.

• Fournit une génération d’électricité stable et à grande échelle. • Fonctionne comme puissance de régulation.

• Il n’y a pas besoin de carburant.

• Les centrales hydroélectriques ont une longue durée de vie économique.

3) L’énergie solaire :

• L’énergie solaire a diminué ses coûts, grâce à son soutien public élevé et ses faibles émissions de carbone.

• Combinée au stockage d’énergie et aux solutions logicielles intelligentes, l’énergie solaire devient une source d’énergie fiable et moins coûteuse.

• Une ressource illimitée, contrairement aux combustibles fossiles.

• Les systèmes solaires sont faciles à installer et nécessitent très peu de maintenance.

III.2.3.5

1) L’énergie éolienne

• Affecte le paysage environnant et cause du bruit • Dépendant du vent

2) L’énergie hydroélectrique

• Les centrales hydroélectriques impliquent une ingérence majeure dans le paysage et affectent les écosystèmes.

• De grands investissements sont nécessaires pour construire une centrale hydroélectrique.

3) L’énergie solaire

• L’énergie solaire est une bataille d’énergie intermittente – la production d’électricité dépend du soleil brillant.

• Elle est encore coûteuse, malgré la diminution de son coût ces dernières années.

• La lumière du soleil varie selon l’endroit et la saison. Les prévisions sont plus incertaines que les combustibles fossiles (mais meilleures que celles du vent).

• Combinaison non réglable et faible entre la production et la demande – le soleil produit plus en été, alors que l’électricité est plus nécessaire en hiver

IV Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté des généralités sur les énergies fossiles et les énergies renouvelables, les différents types des énergies fossiles (pétrole, gaz naturel et charbon);les énergies renouvelables (l’énergie éolienne, l’énergie solaire, et l’énergie hydraulique) on finis par les avantages et les inconvénients de ces types d’énergies.

Chapitre II

Notions de bases de

l'asservissement

I. Introduction :

L’asservissement est un système dont l'objet principal est d'atteindre le plus rapidement possible sa valeur de consigne et de la maintenir constante, quelles que soient les perturbations externes. Le principe général est de comparer la consigne et l'état du système de manière à le corriger efficacement. On parle également de système commandé par rétroaction négative ou en boucle fermée.

Le principe de base d'un asservissement est de mesurer, en permanence, l'écart entre la valeur réelle de la grandeur à asservir et la valeur de consigne que l'on désire atteindre, et de calculer la commande appropriée à appliquer à un (ou des) actionneur(s) de façon à réduire cet écart le plus rapidement possible [19]

Ce principe pratiquement universel a cependant un inconvénient (généralement négligeable et souvent négligé, sauf pour les systèmes très rapides ou nécessitant des suivis précis de trajectoire) : les actionneurs étant pilotés en fonction de l'écart entre la valeur réelle et la consigne, le système ne peut réagir que lorsque cet écart est effectif, c’est-à-dire avec un certain retard qui dépend de la précision et du temps de réponse des capteurs.[19]

On peut, dans certains cas, compenser cet effet en complétant l'asservissement par un feed forward, c’est-à-dire en pilotant les actionneurs pour obtenir directement la valeur cible, ou du moins en donnant l'ordre qui permet de s'en approcher le plus en aveugle, si on sait prévoir le comportement des actionneurs. Par exemple on peut, dans le cas d'un asservissement en position, piloter directement l'accélération si on connaît l'accélération de la consigne et l'inertie du système à contrôler.[19]

La régulation automatique est l'ensemble des techniques qui permettent de contrôler une grandeur physique (ex. : température, vitesse, pression), sans intervention humaine, pour la maintenir à une valeur donnée, appelée consigne[20]

La régulation dans le domaine des procédés industriels concerne la mise en œuvre de l'ensemble des moyens théoriques, matériels et techniques pour maintenir chaque grandeur

physique essentielle égale à une valeur désirée, appelée consigne, par action sur une grandeur réglant, malgré l'influence des grandeurs perturbatrices du système.

II Système asservi :

II.1 Définition :

Un système asservi est un système bouclé dans lequel la grandeur de retour est comparée à la grandeur d’entrée par élaboration d’un signal, appelé écart. Ce signal écart est adapté et amplifié afin de commander la partie opérative.

Un système asservi peut être défini en trois points :

➢ Un système à retour : L’évolution de la grandeur de sortie est surveillée au moyen d’un capteur qui la transforme en une grandeur image appelée retour. Cette grandeur image doit être de la même nature que la grandeur d’entrée. ➢ Un système générateur d’écart : La grandeur de retour, image de la sortie, est

comparée à la grandeur d’entrée par élaboration de la différence ou écart. ➢ Un système amplificateur : L’écart est une grandeur d’autant plus faible que

la sortie est proche de l’entrée et devient alors insuffisant pour maintenir un signal de commande en sortie.

II.2 Schéma fonctionnel d’un système asservi :

Chaîne directe

Chaîne de retour

M (mesure)

S(sortie)

C (consigne)

E (erreur)

Il comporté :

➢ Un comparateur.

➢ Une chaîne directe ou chaîne d’action. ➢ Une chaîne de retour ou chaîne de réaction.

A) Le comparateur :

Le comparateur permet à tout instant de comparer la valeur de consigne à la valeur mesurée (image de la sortie), de façon à élaborer le signal d’erreur [21]

B) La chaîne directe ou chaîne d’action :

Elle est composée :

D’un correcteur qui a pour rôle de modifier le signal d’erreur pour donner naissance au signalé commande et améliorer ainsi les performances du système.

D’un procédé qui a pour rôle de conférer à la matière d’œuvre la valeur ajoutée attendue.[21]

C) La chaîne de retour ou chaîne de réaction :

Elle est composée :

➢ D’un capteur : qui permet de donner une image fidèle de la grandeur de sortie. ➢ D’un adaptateur : qui permet de transformer l’information en prévenance du

capteur pour qu’elle soit compréhensible par le régulateur.

II. 3 Performances d’un système asservi :

En fonction du régime du système (transitoire ou permanent), il est possible de définir quatre critères permettant de mesurer les performances d’un système asservi suivant le point de vue de l’utilisateur. [22]

Les critères permettant de qualifier et quantifier les performances du système sont : ➢ La stabilité

➢ La précision ➢ La rapidité

L'asservissement idéal est un système ayant une bonne stabilité et bonne précision, le régime transitoire doit être rapide et bien amorti. Ces critères de performances ne sont pas toujours compatibles. Par exemple en mécanique, un processus rapide est léger, il a ainsi une faible inertie et risque d'être peu amorti voire instable. D'autre part si on veut améliorer la précision, on raidit l'asservissement et on risque de tomber alors sur un phénomène d'instabilité. Tout l'art de l'automaticien est de réaliser une partie commande permettant de respecter au mieux ces critères.[23]

II.3.1 La stabilité :

Un système est stable si pour un signal d'entrée borné, la sortie reste bornée. Le bouclage d'un système peut rendre celui-ci instable.

II.3.2 La précision :

La précision caractérise l'aptitude d'un système à atteindre la valeur de sortie souhaitée. L'écart entre la consigne (sortie attendue) et la sortie (sortie réelle) se caractérise donc de la manière suivante (entrée et sortie homogènes) :[24]

Ꜫ(t) = e(t) – s(t) et on envisage la valeur de Ꜫ pour t → ∞ (régime permanent)

L'écart est exprimé dans l'unité de la grandeur de sortie, ou encore en %. On peut alors envisager l'écart à la sortie du comparateur, ce qui est équivalent. On distingue différents types d'erreur, en fonction du signal d'entrée. [24]

Fig. II. 2 Système stable Fig. II. 3 Système instable

Amplitude

Temps _Temps

II.3.2.1 L'écart statique : (Ꜫs)

e(t) = E. u (t)

Pour caractériser l'écart statique, on soumet le système considéré à une entrée en échelon d'amplitude constante, représentée sur les figures si dessous. La réponse du système s(t) est représentée en trait fin. En général, la réponse se stabilise au bout d'un certain temps, c'est le régime permanent.[7]

L'écart statique est la différence entre la valeur visée et la valeur atteinte en régime permanent 0 t

Eo

ε

Eo

ε

II.3.2.2 L'écart dynamique : (εv)

Pour caractériser l'écart dynamique, on soumet le système considéré à une entrée rampe de pente a : e(t) = a.t.u(t) représentée sur les figures ou-dessus. De même que précédemment on considère la réponse en régime permanent.

L'écart dynamique est la différence entre la consigne et la réponse en régime permanent. On l'appelle également écart de traînage ou écart de poursuite. [25]

Fig. II. 6 Écart dynamique II.3.3 La rapidité :

La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une brusque variation du signal d'entrée. Cependant, la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique (système stable), on retient alors comme principal critère d'évaluation de la rapidité d'un système, le temps de réponse à n%.

En pratique, on utilise le temps de réponse à 5% (Tr5%) appelé aussi temps d'établissement, c'est le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à ± 5% près et y rester.

Le temps de réponse à 5% caractérise la durée de la phase transitoire. C'est une des caractéristiques importantes des systèmes bouclés. On cherchera souvent à diminuer ce temps de réponse, sans que cela soit au détriment d'autres performances.[24]

Écart dynamique constant. Écart dynamique nul Écart dynamique infini

0 t e ,

𝜀

𝜀

𝜀

La bande passante est liée au temps de réponse : un système de bande passante élevée est un système rapide et inversement.

III.1 Fonction de transfert

III.1.1 Définition :

On appelle la fonction de transfert d'un système, le rapport de la transformée de Laplace du signal de sortie à celui de l'entrée.[26]

On générale

Écrire l’équation différentielle qui lie l’entrée e(t) et la sortie s(t) du système. 𝑎_ₙ𝑑𝑛𝑒(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 +𝑎ₙ−1 𝑑𝑛−1𝑒(𝑡) 𝑑𝑡𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0= 𝑏𝑚 𝑑𝑚𝑠(𝑡) 𝑑𝑡𝑚 +𝑏𝑚−1 𝑑𝑚−1𝑠(𝑡) 𝑑𝑡𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 II. 1

Appliquer la transformée de Laplace à l’équation différentielle. E(p) (𝑎_𝑛𝑝𝑛_{+ 𝑎}

𝑛−1𝑝𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0)

= S(p) (𝑏_𝑚𝑝𝑚+ 𝑏_𝑚−1𝑝𝑚−1+ ⋯ + 𝑏₀)

II. 2

Exprimer la fonction de transfert F(p) du système.𝐹(𝑝) =𝑆(𝑝) 𝐸(𝑝). 𝐹(𝑝) = 𝑆(𝑝) 𝐸(𝑝)= 𝑏₀ + 𝑏₁𝑝 + 𝑏₂𝑝²+. . . +𝑏ₘ𝑝ᵐ 𝑎₀ + 𝑎₁𝑝 + 𝑎₂𝑝²+. . . +𝑎ₙ𝑝ⁿ = 𝑁(𝑝) 𝐷(𝑝) II. 3 Fig. II. 7 Temps de réponse à 5% d'un système oscillant.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Temp (sec) A m p li tu d e Tr Amp lit u d e Temps(s)

III.1.2 Fonction de transfert en boucle ouverte :

Lors de la détermination de la fonction de transfert en boucle ouverte, la boucle est ouverte au niveau de la grandeur de retour, même si cela peut sembler non intuitif :

𝐹𝑇𝐵𝑂 = 𝑆(𝑝) = 𝐺(𝑝)𝐸(𝑝) II. 4

III.1.3 Fonction de transfert en boucle fermée.

Le calcul de la FTBF permet de modéliser le système asservi dans son ensemble. On a :

𝐹𝑇𝐵𝐹 = 𝐻(𝑝)= 𝐺(𝑝) 1 + 𝐺(𝑝)

II. 5

VI. Systèmes linéaires :

On appel Systèmes linéaire tout système qui lier les entrés et les sorties sous d’un équation différentielle, il est caractéristique généralement par deux propriétés principales :

• L’additivité • Proportionnalité :

IV.1 Représentation d’un Système linaire par un équation déférentielle :

Tout système dynamique peut être représenté par une équation déférentielle a coefficients constons liant les grandeurs d’entre de sortie de la forme

∑ 𝑎𝑖(𝑡) ⅆ𝑖𝑒(𝑡) ⅆ𝑡𝑖 𝑛 𝑖=0 = ∑ 𝑏𝑖(𝑡) ⅆ𝑖𝑠(𝑡) ⅆ𝑡𝑖 𝑚 𝑖=0 II.6

Avec : 𝑒(𝑡) les grandeurs d’entrées 𝑠(𝑡) Les grandeurs de sorties

IV.2 Transformée de Laplace

L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant : la transformée de Laplace. [27]

IV.1.1 Définition :

Soit f(t) une fonction de la variable réelle t (temps) définie sur R et supposée nulle pour t<0, on appelle transformée de Laplace de f(t), la fonction F(p) définie par :[10]

∫₀+∞𝑓(𝑡). 𝑒−ᵖ͘ᵗ . 𝑑𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 0 II. 7

Avec p=𝐽𝜔 ,le variable complexe. On note :

F(p) =

L

L

On dit que F(p) est la transforme de Laplace de f(t) et que f(t) est l'original de F(p).

En pratique on utilise la transformée de Laplace restreinte qui ne s'applique qu'aux fonctions causales (c'est à dire aux fonctions nulles lorsque t<0).

IV.1.2 Principales propriétés :

Les principales propriétés de la transformée de Laplace sont :

A. Linéarité :

Soient a et b deux constantes, la fonction f(t) = a.f₁(t) + b.f₂ (t) pour transformée de Laplace F(p) = a.f₁(p) + b.f₂(p)

B. Translation complexe :

La fonction g(t) = f(t).𝑒−𝑎.𝑡 pour transformée de Laplace G(p) = F(p +a).

g(t) = f(t). e−a.t _{→ G(p) = F(p + a) II .10}

C. Translation temporelle :

Soit f(t) une fonction dont la transformée de Laplace est F(p) et soit g(t) la fonction présentant un retard τ par rapport à f (t) telle que g(t) = f (t - τ) alors on a : [10]

g(t) = f(t − τ) → G(p) = F(p). e−τp _{II. 11} D. Dérivation : Ordre 1 : F1(t) = df(t) dt → p. F(p) − f(0 +_{) II.}12 Ordre n

:

En considérant les conditions initiales nulles : [10]

∫ f(τ). dτ → (₀t

L

N.B : Lorsque les conditions initiales sont nulles, on peut retenir simplement :

• Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine fréquentiel

• Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine fréquentiel

F. Théorèmes des limites :

Théorème de la valeur initiale :

f(0) = lim

(t→0)f(t) = lim(p→∞)pF(p) II. 15

Théorème de la valeur finale : f (∞) = lim f(t) = lim pF(p)

IV.3 Passage d'une équation différentielle à une fonction de transfert [29]

Un système décrit par une équation différentielle liant l'entrée y(t) à la sortie x(t). On suppose que les conditions initiales sont nulles, Les transformées respectives de l'entrée et de la sortie sont :

x(t) = L[x(t)] = X(p) y(t) = L[y(t)] = Y(p)

On rappelle que la transformée de Laplace de la dérivée d'ordre n d'une fonction f(t) pour des conditions initiales supposées nulles, est donnée par :

L[dⁿf(t) dtⁿ ] = 𝑝

𝑛_{F(t) II.16}

En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle on obtient :

(b ₘpᵐ + b_m−1pᵐ−1… … . + 𝑏₁p + 𝑏₀)S (p) = (aₙpⁿ +

aₙ₋₁pⁿ⁻¹+.

. . . + a₁p +

a₀) E(p) II. 17

D'où le rapport de la transformée de Laplace du signal de sortie à celle du signal d'entrée correspondant, toutes les conditions initiales étant nulles qui est défini comme étant la fonction de transfert du système H(p).[26]

H(p) =S(p) E(p)=

b ₘpᵐ+ bₘ₋₁ pᵐ⁻¹ ...+ b₁p+b₀

aₙp" + aₙ₋₁pⁿ⁻¹+...+ a₁p+ a₀ II.18 Elle permet de déterminer les caractéristiques principales du système sans résoudre l’équation différentielle. La fonction de transfert caractérise la dynamique du système, elle ne dépend que de ses caractéristiques physiques. Elle est largement utilisée dans la théorie des systèmes linéaires continus et invariants. Donc, un système sera décrit par sa fonction de transfert et non par l'équation différentielle qui le régit.[29]

De manière générale, la fonction de transfert d'un système se présente sous la forme d'un rapport de deux polynômes de la variable de Laplace p. Elle peut s'écrire sous la forme :

𝐻(𝑝) =b ₘpᵐ+ bₘ₋₁ pᵐ⁻¹ ...+ b₁p+b₀ aₙp" + aₙ₋₁pⁿ⁻¹+...+ a₁p+ a₀ =

𝑁(𝑝)

On appelle respectivement les zéros et les pôles de la fonction de transfert les racines de l'équation N(p) = 0 et D(p) = 0. L'ordre d'un système est défini par le degré de D(p) qui, en général, est supérieur ou égal à celui du numérateur pour les systèmes physiques réels. C’est aussi le rapport de la transformée de Laplace de la sortie à la transformée de Laplace de l’entrée quand toutes les conditions initiales sont nulles. Dans ce cas, on a : [29]

𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝)𝐸(𝑝) II. 20

V. Analyse des systèmes linéaires

V.1 Introduction :

L'analyse des systèmes dynamiques linéaires, par l'étude des réponses temporelles à des excitations typiques et l'étude de la réponse harmonique à une excitation sinusoïdale sont très utilisées et permettent la détermination des principales performances [30]

V.2 Analyse harmonique : [31]

Si on applique un signal sinusoïdal à un système linéaire, on sait que la réponse est sinusoïdale. On montre également qu'une fois le régime transitoire établi, la sortie est sinusoïdale, de même pulsation que l'entrée, mais d'amplitude et de phase différente. La fonction de transfert s'écrit alors (avec p = jω, ω étant la pulsation du signal d'entrée).

H(jω) =

E(jω)

=

b ₘ(jω)ᵐ+ bₘ₋₁ (jω)ᵐ⁻¹ ...+ b₁(jω)+b₀

aₙ(jω)" + aₙ₋₁(jω)ⁿ⁻¹+...…...+ a₁(jω)+ a₀

La représentation pour l'analyse harmonique peut se faire des trois manières différentes mais équivalentes appelées souvent diagramme de Bode, Nyquist et Black.

V.2.1. Diagramme de Bode :

Le Diagramme de Bode d'un système linéaire est la double représentation du gain A (ω) en décibel et de la phase 𝜑 = (ω) en degré, de F (jω) et ou « ω » est reporté en échelle logarithmique.

A) La courbe du gain :

La courbe du gain d'un système linéaire de transmittance F(j ω) est le lieu des points définis en cordonnées cartésiennes semi-logarithmiques par une ordonnée égale au gain logarithmique en décibels et une abscisse égale à la pulsation'ω'variant de zéro à l'infini

𝐴_𝑑𝐵(ω) = 20 log|F(jω)| II. 22

B) La courbe de phase :

La courbe de phase d'un système linéaire de transmittance F(j ω) est le lieu des points définis en cordonnées cartésiennes semi-logarithmiques par une ordonnée égale à l'argument de F(j ω) en degrés et une abscisse égale à la pulsation ' ω ' variant de zéro à l'infini

V.2.2. Diagramme de Black :

Il s'agit d'une représentation équivalente à celle de Bode, mais tracée dans un seul plan,

𝜑(𝜔) = 𝐴𝑟𝑔[𝐹(𝑗𝜔)] étant placé en abscisse et AdB=20 log|𝐹(𝑗ω)| en ordonnée, pour (𝜔) variant de zéro à l'infini, le lieu est gradué en valeurs de (𝜔)

V.2.3. Diagramme de Nyquist :

Le lieu de Nyquist d'un système linéaire de transmittance F(j 𝜔) est le lieu des points définis en cordonnées cartésiennes pur une ordonnée égale à Im (F (j 𝜔)) et une abscisse égale à Réel(F(j 𝜔)) pour ‘𝜔’variant de zéro à l'infini, le lieu est gradué en valeurs

de 𝜔.

Fig. II. 11 Diagramme de Nyquist

-180 -135 -90 -45 0 45 -60 -40 -20 0 20 40 la Phase (deg) la G a in ( d B )

Fig. II. 10 Diagramme de Black

Le gain

V.3. Analyse temporelle :

L'analyse temporelle permet à partir des réponses temporelles à des excitations dites usuelles de statuer sur les performances des systèmes à savoir la stabilité, la précision, la rapidité et la qualité de ces systèmes. Parmi les signaux « tests » en entrée les plus usuellement utilisés, nous citons :(impulsion, échelon, rampe)

V.3.1. L'échelon -unité u(t) :

Appelée aussi existence ou fonction d'Heaviside. Elle correspond à un changement brusque et maintenu de la consigne (saut). Cette fonction est définie par :

𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑥) = {1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0 0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 La transformée de Laplace de l'échelon unité est : 𝑢(𝑡)→ 𝑢(𝑝) = ∫𝐿 ₀+∞𝑢(𝑡). 𝑒−𝑝𝑡 _{. 𝑑𝑡 = ∫ 1. 𝑒}−𝑝𝑡_{. 𝑑𝑡 = [−}1 𝑝𝑒 −𝑝𝑡_{] (+∞ 0)} +∞ 0 = 1 𝑝 II. 24

Fig. II. 13 l'échelon unité V.3.2 La rampe unité r(t) :

C'est une variation linéaire en fonction du temps, elle est définie par : 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑥) = {𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0

0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 La transformée de Laplace de la rampe unité est :

Fig. II. 12 La rampe unité

V.3.3. L’impulsion de Dirac :

Appelée aussi percussion-unité, elle est définie par :

𝛿(𝑥) = { 1

𝑇 𝑠𝑖 𝑡 > 0

0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 𝑒𝑡 𝑡 > 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑇 → 0 La transformée de Laplace de l'impulsion de Dirac est :

𝛿(𝑡)→ ∆(𝑝) = 1𝐿 II.26

Fig. II. 13 impulsion direc

V.4. Stabilité des systèmes

La stabilité d'un système dynamique linéaire est la propriété selon laquelle ce système, écarte de sa position d'équilibre par une sollicitation extérieure, revient à cette position d'équilibrer une fois que cette sollicitation a cessé.

V.4.1 Conditions de stabilité

Un système linéaire est stable si aucune des racines de son équation caractéristique (dénominateur de sa fonction de transfert) n'a pas de partie réelle positive. Pour cela exclut :

• Les racines réelles positives.

• Les racines complexes à parties réelles positives. On peut formuler ceci autrement :

• Un système asservi bouclé est stable si tous les pôles de la FTBF sont localisés dans le demi-plan gauche du plan complexe.

• Un système asservi bouclé est instable si sa FTBF comprend, au moins, un pôle localisé dans le demi-plan droit du plan complexe et/ou des pôles de multiplicité >1 sur l'axe imaginaire.

• Si le système comprend une seule paire de pôle sur l'axe imaginaire ou un pôle unique à l'origine, le système est dit marginalement stable. Sa réponse sera oscillatoire non amortie ou non oscillatoire à variation constante lorsque t → ∞