MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT ELECTRONIQUE MEMOIRE MAGISTER OPTION MICROONDES Par AL-ANI KINANE Soutenue le 18 / 03/ 2006
Président du Jury : RIABI Med Lhadi Pr. Université de Constantine Rapporteur : BENSLAMA Malek Pr. Université de Constantine Examinateur : SOLTANI Fouzi Pr. Université de Constantine Examinateur: BENATIA djamel MC. Université de Batna.
Dans le cadre du projet de recherche national : Etude d’une Antenne Réflecteur pour une constellation de satellites en orbite basse J2501/02/07/2002
THEME
OPTIMISATION DE LA MISE A POSTE D’UNE
CONSTELLATION DE SATELLITES
Remerciements
Je tiens à remercier dieu tout puissant de nous avoir donnés courage et
force pour réaliser ce travail.
Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements, avec beaucoup de respect
et de confiance, mon encadreur le Professeur Malek Benslama, Directeur du
laboratoire de recherche en Electromagnétisme et Télécommunication (LET) à
l’université de Constantine, pour m’avoir proposé ce sujet, pour son aide, ses conseils,
avec un enthousiasme toujours égal.
Je tiens à remercier monsieur le Professeur M.L.RIABI, d’avoir accepter
de présider mon jury.
Je voudrais exprimer aussi ma reconnaissances à Messieurs :
F.SOLTANI Professeur à l’université de Constantine, Dj.BENATIA Maître de
conférence à l’Université de Batna qui sont les membres de jury de ce mémoire. Je tiens
à les remercier pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail et leurs remarques
judicieuses.
J’adresse mes remerciements les plus chaleureux à l’ensemble des
enseignants qu’ils n’ont pas épargné d’effort pour notre formation.
A mes parents, mes frères et soeurs, à ma femme et ma belle famille,
j’adresse mes vifs remerciements, pour leurs encouragements et leurs aides.
Je tiens à exprimer mes remerciements à mes amis et mes collègues.
Dédicace
Je dédie ce travail a :
@ Mes très chers parents
@ Mon frère et mes sœurs
@ Ma femme
@ Ma belle famille
@ Mes collègues du département de Transmission
@ Mes amis.
INTRODUCTION GENERALE ………1
Chapitre 1
SYSTEME DE NAVIGATION PAR SATELLITE
1.DEFINITION ………4 2. HISTORIQUE…….………..…4 3.UTILISATION ………..………...5 4. STRUCTURE PHYSIQUE..………5 4.1 Le Segment Spatial………..……….5 4.2 Le Segment de Contrôle………..………..6 4.3 Le Segment Utilisateur………..………6 5. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT …………..………..7 5.1 La triangulation ……….………7 5.2 La mesure de distance……….………..95.3 La mesure précise du temps……….……….9
5.4 Le positionnement des satellites……….…11
5.5 La correction d’erreurs………..….11
5.6 Précision……….12
6. GPS DIFFERENTIEL……….12
7. AUTRE METHODE………13
8. CONCLUSION ……….………..13
9. GALILEO : le projet européen pour le positionnement par satellite………13
10. CONCLUSION ET AVENIR………16 4 4 5 5 5 7 7 8 8 9 10 12 12 13 13 14 15 15 16
COORDONNEES ORBITALES
1. INTRODUCTION ..………..17
2. COORDONNEES ORBITALES………...18
2.1 COORDONNEES TERRESTRES ………....18
2.2 COORDONNEES EQUATORIALES…….….………18
2.3 LES COORDONNEES INTERMEDIAIRES………..………….19
2.4 COORDONNEES HORAIRES ………..20
2.5 COORDONNEES AZIMUTALES……….……..21
2.6 FORMULES DE CONVERSION EN COORDONNEES AZIMUTALES …....21
3. ORBITES ET COUVERTURES ………...22
3.1 L’orbite circulaire………..……….22
3.2 L’Orbites elliptiques (HEO)……… ……….…23
4. LES CONSTELLATIONS DE SATELLITES………24
4.1 Intérêts des constellations……….………24
4.2 Définition……….……….24
4.3. Les constellations de Walker………...………26
5. BASES DE MECANIQUE SPATIALE……….……….………28
5.1 Les lois de Kepler………...………28
5.2 Le problème à deux corps………..29
6. PARAMETRES ORBITAUX……….………33
7. RESULTATS NUMERIQUES………38
7.1 Définition d’une ellipse en coordonnées polaires……… 7.2 L'effet de changer l'excentricité dans une conique……… 8. LA THEORIE DES PERTURBATIONS ORBITALES………..39
8.1 Equation de Gauss adaptée aux orbites quasi-circulaires………....42
8.2 Les perturbations gravitationnelles………..43
8.3. Force de perturbations non gravitationnelles ……….49
8.4 Comparaison des forces perturbatrices……….51
8.5 Les poussées des propulseurs………52
9. CONCLUSION ………54 17 18 18 18 19 20 21 21 22 22 23 24 24 24 26 28 28 29 33 36 36 37 39 42 43 50 51 52 53
PERFORMANCES REQUISES POUR UNE MISE À POSTE
OPTIMALE
1.INTRODUCTION ………..………..…………55
2.OPTIMISATION DE LA MISE A POSTE………..…...………..………55
2.1 Modélisation du problème……….………..55
2.2 La stratégie de commande proposée………..………..58
2.3 Modèle d’évolution dynamique……….60
2.4 Modélisations du problème d’optimisation pour un satellite……….62
2.5 Optimisation de la mise a poste………..63
3.EXEMPLES D’APPLICATION DE LA METHODE……….. 3.1 Lancement unique avec changement de plan orbital……….. 4.CONCLUSION ……….……….. 69
CONCLUSION GENERALE………...……….70
ANNEXE ……….. TABLE DES FIGURE
BIBLIOGRAPHIE 54 54 54 57 59 61 62 64 64 67 68 69
CHAPITRE I :
SYSTEMES DE NAVIGATION PAR SATELLITES
1. DEFINITION
Le GPS (Global Positionning System) ou Système de Positionnement Général, est un système de positionnement par satellites créé par l'armée américaine dans le contexte de la Guerre Froide, mais qui très rapidement est apparu sur le marché des civils. Afin de comprendre le contexte de son développement, il faut bien rappeler que c'est une propriété américaine accessible au monde entier. Actuellement, en utilisant certaines techniques particulières, la précision peut atteindre le mètre, mais dans son utilisation courante par des non-professionnels, elle est de l'ordre de 100 mètres.
Le GPS a été développé dans le contexte de la Guerre Froide, et a donc à la base une utilisation militaire. Les missiles téléguidés avaient parfaitement à l'époque la capacité de suivre exactement un itinéraire précis, cependant pour connaître le point d'impact exact, il fallait connaître précisément le point de tir. Or, souvent lancés d'un sous-marin, les missiles ne connaissait pas les coordonnées du point de départ: le GPS permettait donc de repérer le positionnement du sous-marin et ainsi augmentait la précision des missiles. Evidemment le GPS pouvait servir également à positionner les installations ennemies, ou à coordonner des déplacements d'armée. Mais très vite, les américains ont compris l'importance de cet outil pour des applications civiles, et ont su intelligemment allier leurs intérêts militaires à leurs intérêts économiques. Ce fût le départ de deux orientations: la version militaire et la version civile du GPS. [1]
2. HISTORIQUE
Le GPS est le résultat d'un projet lancé au début des années 60 aux Etats-Unis appelé NAVSTAR.
1965 Premier concept suite aux recherches du Department of Defense 1972 Etudes préliminaires de faisabilité
1974 - 79 Validation du modèle
1978 - 86 Mise en place de la première constellation de satellites BLOCK I
L'explosion de la navette Challenger survenue en janvier 1986 a interrompue la procédure de lancement, ce qui a entraîné une remise en cause du projet et la décision d'utiliser un lanceur spécifique (DELTA II) pour les prochains satellites. Les lancements ont repris en 1989. 1989 - 94 Mise en place de la deuxième constellation et de ses variantes BLOCK II/IIA/IIR Il fallait trouver un système permettant une utilisation simple et efficace du GPS pour les civils, tout en laissant à l'armée américaine le contrôle et l'utilisation optimale du concept. C'est ainsi que furent créés les deux modes de fonctionnement :
• Le Standard Positioning System (SPS) : ouvert aux civils
• Le Precise Positioning System (PPS) : réservé à l'armée américaine et permettant une précision supérieure au SPS.
La solution consiste à dégrader le signal des satellites : les utilisateurs civils munis d'un récepteur classique auront ainsi une perte de précision certaine, alors que les militaires, utilisant un récepteur évolué qui corrigera les erreurs selon des codes précis, bénéficieront de la meilleure précision possible. De plus le système reste entièrement sous le contrôle des USA car les satellites et les stations de contrôle leurs appartiennent.
3. UTILISATION
Les applications civiles du GPS sont multiples, notons cependant quelques grands domaines touchés :
• Navigation aérienne
• Navigation maritime
• Suivi d'itinéraire pour compagnie de transport
• Etudes géodésiques et géographiques
• Assistance aux équipes de secours
• Utilisation personnelle (randonnée en montagne, etc...)
Toutes les compagnies de transport aériens sont désormais équipées du GPS, ce qui permet notamment aux avions d'atterrir avec une grande précision et de se diriger en automatique dans la plupart des cas. Dans les grandes courses de voiliers, la précision obtenue par les récepteurs joue un rôle capital dans la victoire, et les équipes de sauvetage en montagne ont vu leur efficacité augmenter en utilisant ce système.
4. STRUCTURE PHYSIQUE
Le GPS est constitué de 3 parties:
• Le Segment Spatial
• Le Segment de Contrôle
• Le Segment Utilisateur 4.1 Le Segment Spatial
Il s'agit de l'ensemble des satellites américains utilisés pour ce système. Constitué de 21 satellites + 3 de secours en tout point de la terre toujours un minimum de 5 satellites visibles.
Figure 1.1 : le segment spatial
Sur chaque orbite se situent 4 satellites répartis symétriquement, chaque orbite forme un angle de 55° avec l'équateur et de 60° avec une autre orbite L'altitude des satellites est de 20200 km Ils ont une révolution de 12 heures .Le schéma suivant montre la répartition de la constellation au dessus de la Terre.
4.2 Le Segment de Contrôle
Il s’agit de l’ensemble des bases de contrôle qui suivent chaque seconde la trajectoire de chaque satellite. Elles sont réparties sur différents pays afin qu’au moins une station contrôle un satellite donné. La station principale est située sur la Falcon Air Force Base dans le Colorado. Le rôle de ces stations est d’assurer le suivi des satellites, mais aussi de leur envoyer les corrections d’erreurs de positionnement. Ceci permet d’augmenter la fiabilité du système en permettant à tout instant de vérifier que les informations générées par chacun des satellites sont correctes.
Figure 1.3: Station principale & stations de contrôle
4.3 Le Segment Utilisateur
C’est le plus connu puisqu’il s’agit de l’ensemble des récepteurs GPS utilisés à travers le monde. Les variétés sont très importantes car il existe un GPS pour chaque type d’utilisation.
Un récepteur GPS fournit :
• une position
• une vitesse
• un temps
La position est fournit soit en données angulaires (latitude / longitude), soit en données métriques (grille UTM).
Grille UTM (Universal Traverse Mercator) : c’est une projection permettant de mettre à plat la surface terrestre en la découpant en carrés de 1 km de côtés. Ces carrés sont rassemblés en zone, et on peut ainsi se repérer précisément
Le récepteur GPS permet ainsi :
• de connaître sa position
• de prévoir un itinéraire
• de suivre un itinéraire
5. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT
Le mode de repérage utilisé par le GPS s’appui sur le principe de la triangulation, méthode bien connue des physiciens. On peut exposer son fonctionnement en 5 points :
1. La triangulation 2. La mesure de distance 3. La mesure précise du temps 4. Le positionnement des satellites 5. La correction d’erreurs
5.1 La triangulation :
1ère étape :
Supposons pour commencer que nous connaissions la distance séparant un satellite d’un
récepteur GPS. Sachant que le satellite a une position X précise et définie dans un espace à 3 dimensions, l’ensemble des points possibles où pourrait se situer l’utilisateur du GPS est la sphère de centre le satellite et de rayon la distance connue .(figure 1.4)
Figure 1.4 : champ d'un satellite
2ème étape :
En faisant intervenir un 2ème satellite qui connaît la distance le séparant du récepteur, on obtient pour ensemble des points possibles, un cercle, issu de l’intersection des 2 sphères (figure 1.5).
Figure 1.5 : intersection des sphères
3ème étape :
Le raisonnement est identique avec un 3ème satellite : on obtient alors 2 points possibles. Dans notre contexte, l’utilisateur n’est pas un astronaute flottant dans l’espace, donc il se trouve sur la surface terrestre, connaissant cette donnée on peut déduire sa position exacte en éliminant le point donnant un résultat incohérent. (Figure 1.6).
Figure 1.6: la Triangulation
Donc : en théorie 3 satellites suffisent pour connaître la position exacte d’un point sur Terre.
Pourtant, nous verrons qu’en pratique il en faut 4 5.2 La Mesure De Distance
Toute la démonstration précédente reposait sur l’hypothèse que l’on connaissait exactement la distance séparant le satellite du récepteur, étudions comment calculer cette distance. Le principe est simple : le satellite envoie un signal vers le récepteur, celui ci détermine le temps de transmission de ce signal et ainsi peut déduire la distance le séparant du satellite grâce à l’équation :
Distance = vitesse x temps
La célérité des ondes transmises est proche de celle de la lumière : 300 000 km/s. Il reste donc à déterminer le temps de transmission du signal. Pour cela, le récepteur et le satellite émettent au même moment une trame pseudo-aléatoire identique (appelée ainsi car elle est générée par des équations très complexe, la rendant ainsi unique). Une fois que cette trame sera reçue par le récepteur, celui-ci pourra la décaler dans le temps de façon à la faire coïncider avec celle qu’il a généré, la mesure du temps de transmission est déduite de ce procédé, et ainsi on peut connaître la distance séparant le récepteur du satellite.
Après recherche de superposition de signal, on obtient donc :
Le Décalage entre le satellite et le récepteur = t
5.3 La Mesure Précise Du Temps
Pour valider tout le raisonnement qui précède, il faut que la mesure du temps soit extrêmement précise. En effet, si une erreur d’un millième de seconde est faite, cela produit une erreur de position de 300km ! A la vitesse de la lumière, une très grande précision est de rigueur. Les horloges internes des satellites sont très précises car il s’agit d’horloges atomiques au Césium, cependant celles des récepteurs l’est beaucoup moins.
La solution : utiliser un 4ème satellite...
Essayons de comprendre comment 4 mesures imprécises de satellites peuvent donner une mesure précise de positionnement, pour cela ramenons nous à un espace à 2 dimensions car le raisonnement est le même :
Etape n° 1 : Dans un espace 2D, il faudrait 2 satellites pour repérer un point
Le satellite A mesure 4 secondes, Le satellite B mesure 6 secondes, A l’intersection de ces deux mesures on obtient le point X
Etape n° 2 : Mais les satellites ont commis une erreur d’une seconde... Au lieu de
trouver le point X, c’est le point XX qui est calculé
Figure 1.8 erreur de position
Etape n° 3 : En utilisant un troisième satellite, sans erreur de mesure... Le 3ème
satellite confirme le résultat des 2 autres
Figure 1.9 : Position réelle
Etape n° 4 : Dans le cas d’une erreur d’une seconde de chaque satellite...
Le 3ème satellite permet de définir une zone dans laquelle se trouve le point exact.
En considérant que l’erreur commise par A, B et C sont les mêmes, il suffit de chercher quelle valeur enlever à chaque mesure (qui correspond à l’erreur commise) pour que les arcs de cercle se coupent en un même point. En raisonnant dans un espace 3D, on comprend donc pourquoi il faut recourir à un 4ème satellite.
Figure 1.11 : Erreurs de mesure du temps
5.4 Le Positionnement Des Satellites :
Tout cela semble donc être parfait et nous permet d’obtenir un positionnement exact, cependant un autre détail est à régler : la position des satellites. Effectivement, pour calculer précisément la distance séparant un satellite du point à déterminer, il faut que ce dernier connaisse parfaitement sa position dans l’espace. C’est le rôle des stations de contrôle :
Le satellite renvoie sa position théorique à la station de contrôle, qui calcule alors l’erreur de position commise par ce dernier afin de lui renvoyer la valeur de cette erreur. Le satellite peut donc informer le récepteur de l’erreur qu’il doit prendre en compte dans ses calculs.
5.5 La Correction D’erreurs :
Plusieurs autres sources d’erreurs doivent être prisent en compte afin d’obtenir une mesure très précise :
• Horloge interne du satellite : bien que très précise, elle est tout de même source d’erreur.
• Dégradation volontaire : c’est la principale source d’erreur, elle permet à l’armée américaine de préserver son avantage sur les civils.
• Ephémérides : bien qu’une mesure soit rapide, il faut prendre en compte le déplacement des satellites sur leur orbite (les calculs théoriques partent du principe qu’il est fixe...)
• Traversée atmosphérique : lorsque le signal traverse l’atmosphère il ralentit, provoquant une erreur sur le calcul de distance.
• Réverbération : le signal ne parvient pas toujours directement jusqu’au récepteur, il peut être dévié par des obstacles, faussant ainsi les calculs (en montagne notamment)
• Horloge du récepteur : peu fiable qui provoque aussi quelques erreurs.
Les mesures effectuées par le récepteur GPS, dépendent également de la configuration des satellites: le facteur à prendre en compte est le GDOP (geometric dilution of precision), variable calculée à partir des angles formés par le point et les satellites.
Figure 1.12: Positionnement du satellite
5.6 PRECISION :
Mode SPS (standard) : Théoriquement 100m et en Pratique (dans 95% des cas) 50 m Mode PPS (militaire) : Théoriquement 100m et en Pratique « Top secret » [2]
6. GPS DIFFERENTIEL:
On voit bien que pour certaines applications particulières, la précision obtenue dans le meilleur des cas n’est pas suffisante : navigation routière, ou arienne...il ne s’agit pas d’atterrir à 50 m de la piste ! Rapidement le besoin d’une précision de l’ordre du mètre s’est fait sentir, c’est ainsi qu’a été créé le GPS différentiel, dont voici le principe de fonctionnement :
Un récepteur est muni d’un dispositif qu’il lui permet de recevoir des informations provenant d’une borne. Des bornes ont été installées à travers le monde, qui connaissent exactement leur position.
Figure 1.13 Architecture du système DGPS
Considérons une borne à une position X et un récepteur à proximité : la borne calcule une position Y en utilisant un satellite elle déduit donc l’erreur commise par la mesure :
Erreur = Y-X
Figure 1.14 calcul d'erreur
Elle envoie au récepteur l’erreur que celui-ci devra prendre en compte dans son calcul .Ce dispositif très fiable permet d’obtenir une précision de 1 mètre environ !
7. AUTRE METHODE (CARRIER PHASE)
Dans des applications techniques très sensibles (tectonique des plaques par exemple), il est nécessaire d’obtenir une précision encore meilleure (de l’ordre du centimètre). Le système utilisé est le " Carrier Phase GPS " (GPS à décalage de porteuse). Nous avons vu que la précision de la mesure réside dans la comparaison entre le signal émit par le récepteur, et celui reçu du satellite. Comme il est difficile de savoir si les deux signaux se superposent exactement, le Carrier Phase GPS compare non pas ces signaux, mais leur porteuse (qui ont une fréquence 1000 fois supérieure), ce qui permet un ajustement 1000 fois plus précis. [3]
8. CONCLUSION
Dans cette approche non exhaustive du GPS, nous pouvons retenir l’immense champ d’action de ce système et ses multiples applications. Cependant son utilisation courante avec un matériel classique ne permet pas d’obtenir des précisions supérieures à 50m, suffisantes dans certains cas...mais pas dans tous. Pour cela l’Europe a décidé de lancer le projet GALILEO.
9. GALILEO : Le Projet Européen Pour Le Positionnement Par Satellite
Du randonneur en montagne au gestionnaire d'une flotte de camions ou de taxis, du conducteur égaré au pilote d'avion, tous ont besoin de connaître précisément une position. C'est aujourd'hui possible grâce au système de localisation par satellite GPS, géré par le ministère américain de la défense ou par GLONASS, son homologue russe.
Ceci dit, GLONASS sera prochainement obsolète ; et le GPS est géré par le ministère américain de la défense. Face à eux, GALILEO veut être le 1er système de navigation et de positionnement par satellite fonctionnant à des fins civiles. Cette volonté de servir le domaine civil s’affiche dans les performances et les garanties de fonctionnement proposées, et surtout dans les garanties sur le niveau de performance, proposées par GALILEO.
GALILEO, tout comme le GPS, est basé sur le principe d'un transfert de temps via un signal radio utilisant une forme d'onde CMDA (étalement de spectre avec accès multiple par code) envoyé par une constellation de 30 satellites sur trois plans d’orbite terrestre moyenne (MEO Medium Earth Orbit) dont 1 satellite en réserve par plan, à l’altitude de 23616 km, Inclinés de 56 degrés. Pour une révolution de 14 h 4 min et un survol d’une même zone tous les 10 jours.
Tous les satellites sont synchronisés sur un même temps, et envoient chacun un message différentiable par le code qui a servi à l'étaler. En mesurant dans le récepteur GALILEO la date d'arrivée d'un top horaire, on peut connaître sa distance à chaque satellite reçu. Des éphémérides, envoyés dans le message satellite, permettent de connaître les paramètres des orbites de tous les satellites et donc leur position à un instant donné. L'information de la position de chaque satellite reçu, ainsi que la distance à ceux-ci permet de déterminer sa propre position en X, Y et Z. Pour ce faire, il faut recevoir 3 satellites (triangulation) si on dispose du temps universel. Avec un 4ème satellite en visibilité, on peut acquérir position et temps sans information préalable.
Les applications principales identifiées pour GALILEO dans le secteur civil touchent différents domaines, mais le domaine principal susceptible de s’y associer, et notamment de permettre la rentabilité du système, est le domaine des transports (aérien, maritime ou même ferroviaire). Pour répondre aux besoins de ce secteur, une précision de la localisation meilleure que celle apportée à l’heure actuelle par le GPS (de l’ordre du décamètre) est souhaitable pour GALILEO qui va apporter une précision de l’ordre du mètre.
Un certain nombre de systèmes d’amélioration locaux du signal GPS, appelés systèmes d'augmentation, ont d’ores et déjà été lancés, notamment pour les applications exigeant une meilleure intégrité du service. On peut citer par exemple l’assistance à l’approche des aéroports pour la navigation aérienne. Ces systèmes, comme EGNOS (européen), WAAS (américain) ou MSAS (japonais) pourront également être utilisés en complément de GALILEO, conçu dès à présent pour fonctionner avec eux.
GALILEO doit être basé à terme sur une constellation de 30 satellites (27 + 3 en secours) de 850 kg en orbite, à laquelle s’ajoutera bien sûr l’infrastructure sol (stations de contrôle des satellites, centre de calcul, etc.).
Tous les satellites supporteront une charge utile d'une centaine de kilos, comprenant :
• des instruments de datation avec 2 types d’horloges atomiques ;
• des instruments de génération du signal chargés de transmettre les signaux de navigation ;
• des instruments de transmission afin d’amplifier les signaux de navigation et de les envoyer grâce à une antenne de transmission.
• des instruments de transmission afin d’amplifier les signaux de navigation et de les envoyer grâce à une antenne de transmission.
* La composante sol:
L’infrastructure terrestre de Galiléo comptera 2 centres de contrôle (GCC) situés en Europe, un réseau mondial de 30 stations de détection (GSS) dotées d’horloge au césium, et 10 stations de transmission de données satellitaires dites de « liaison montante ».
Ce dispositif terrestre permettra de gérer l’ensemble du système de navigation. La composante sol devra ainsi veiller à l’intégrité - la capacité à s'assurer que le service attendu n'est pas dégradé - du signal Galiléo, à la détermination des positions orbitales des satellites et à la synchronisation des horloges satellitaires et terrestres
GALILEO doit offrir 5 principaux services : open-access (gratuit, mais sans garantie),
commercial, safety-of-life, search and rescue, et PRS (orienté militaire).
Les études concernant GALILEO ont débuté en 1999. Elles ont été suivies par une phase de définition détaillée jusqu’en 2002. La phase de développement proprement dite se déroule maintenant sur la période de 2002 à 2006. La phase de déploiement de l’ensemble du système devrait avoir lieu, si tout se déroule normalement, sur le période 2006-2008. Un des objectifs de ce planning est notamment que GALILEO soit opérationnel avant le système GPS III (une évolution du GPS américain) prévu pour 2012. [4] [5]
10. CONCLUSION ET AVENIR
La radionavigation par satellites est en train de changer la façon de nous repérer sur terre. Déjà les camions, les bus (qui affichent le nom des arrêts en Europe bien sure), les bateaux et les avions sont dépendants de ces techniques. Les pilotes d’avions se fient au GPS pour établir leur route et dans certains aéroports, les places de parking des avions face aux bras articulés sont repérées en
latitude/longitude (en Europe).
La technologie évolue, et dans un proche avenir, des puces GPS miniatures seront incorporées dans des objets aussi divers que des téléphones cellulaires (GSM), des montres, des ordinateurs, des véhicules, des jouets et même peut être (sous forme de pouces biocompatibles) dans notre propre corps !
Donc, dans ce chapitre, nous avons cherché à décrire les principales caractéristiques de ce système ainsi que son principe de fonctionnement et les projets futurs dans ce domaine.
CHAPITRE II :
COORDONNEES ORBITALES
1. INTRODUCTION
Elle est bien finie l'époque où il fallait passer par une opératrice pour téléphoner simplement dans la ville voisine, celle où communiquer au-delà de l'Atlantique relevait presque d'une aventure. Les câbles sous-marins n'offraient alors qu'une capacité limitée. L'apparition des faisceaux hertziens a fait certes gagner du temps, mais seulement sur une courte distance puisqu'ils se déplacent en ligne droite… alors que la Terre est ronde. Pour relier deux personnes éloignées, il ne restait plus qu'une solution : passer par l'espace.
Ainsi, les divers progrès réalisés dans des domaines très variés tels que la météorologie, la téléphonie mobile, la télévision par satellite ou encore le GPS, sont conséquent et favorise le développement de notre niveau de vie sur Terre.
Cependant, lorsqu’on parle de satellites, on oublie souvent de mentionner tout le travail d’ingénierie qui doit être effectuer en arrière plan et les contraintes pour arriver à ce stade de développement et assurer un bon fonctionnement. C’est pourquoi il nous a semblé judicieux de se pencher plus sérieusement sur le fonctionnement global des satellites, à savoir le trajet qu’ils suivent dans l’espace, surtout la mise sur orbite d’une manière optimale pour une durée de vie plus longue.
Dans cette optique, nous verrons tout d’abord dans ce chapitre les différents systèmes de coordonnées orbitales puis dans un second temps nous étudierons les différentes orbites et couvertures parcourues par l’ensemble des satellites en gravitation autour de la Terre en donnant les différents type de constellations et on finalise ce chapitre par définir les paramètres orbitaux caractérisants une constellation de satellites et les perturbations venants affectées ces paramètres.
2. COORDONNEES ORBITALES [6]
Pour décrire la position d’un satellite sur une orbite terrestre, il faut un certain nombre de paramètres, appelés élément Képlériens, ainsi qu’un système de coordonnées :
2.1 Coordonnées Terrestres
Ce système a pour plan principal l'équateur terrestre et la ligne des pôles lui est perpendiculaire. On choisit comme méridien d'origine le méridien qui passe par l'observatoire de Greenwich. La latitude d'un lieu sera sa distance angulaire à l'équateur ; elle est égale à la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon. La longitude est l'angle que fait le méridien local avec celui de Greenwich.
Figure 2.1: Coordonnées terrestres
2.2. Coordonnées Equatoriales
La sphère céleste est le support de représentation de l'aspect du ciel le plus utilisé en astronomie, il est important de bien préciser sa définition et de spécifier les approximations utilisées. Le système de repérage des positions utilise les coordonnées sphériques et porte dans ce cas le nom de coordonnées équatoriales. Avec ces coordonnées, un objet céleste fixe (une étoile fixe) a des coordonnées fixes.
• L'axe des pôles de la sphère céleste est confondu avec l'axe des pôles de la terre.
• Le centre de la sphère est confondu avec le centre de la terre.
• Le point de référence sur le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles (l'équateur) est le point vernal (position du soleil à l'équinoxe du printemps)
• La déclinaison qui mesure l'angle perpendiculaire à l'équateur (équivalent à la latitude sur terre) est définie en degrés positifs vers le nord et s'étend de -90° à +90°
• L'ascension droite (équivalent aux méridiens sur terre) est mesurée en heure minute seconde, comptée positivement vers l'est à partir du point vernal de 0h à 24h avec comme équivalence : 1h = 360°/ 24 = 15°.
Dans ce qui va suivre nous négligerons :
• Les mouvements de l'axe de la terre qui sont la précession des équinoxes et la nutation.
• Comme le corps qui nous intéresse est le soleil nous négligerons le rayon de la terre par rapport à la distance terre soleil (6 378Km devant .149 600 000 Km), c'est-à-dire qu'un observateur à la surface de la terre peut être supposé au centre des coordonnées qui est aussi le centre de la terre.
• Le temps mis par la lumière pour aller du soleil à la terre (8mn 20s). Le soleil est supposé être dans la direction où on l'observe.
• Nous ne tiendrons pas compte de la réfraction de l'atmosphère dans les calculs (0°37' à l'horizon, 0°1'44" pour 30° au dessus de l'horizon, nulle au zénith)
Figure 2.2: Coordonnées équatoriales
2.3. Les Coordonnées Intermédiaires
Après la description des positions dans l'espace, attachons-nous à définir les positions vues par l'observateur à la surface de la terre.
Le système de coordonnées équatoriales décrit précédemment est très pratique pour définir des positions d'objets célestes dans l'absolu. Mais pour un observateur sur la terre, il n'y a rien de fixe dans ce dispositif de coordonnées, mais au contraire une espèce de manège infernal où le soleil et le système de coordonnées tournent par rapport à lui. Les astronomes ont défini deux autres systèmes de coordonnées pour se faciliter la vie. Cette apparente complexité cache en fait une habile combinaison entre les dispositifs d'observations, de mesure, et de calcul. N'oublions pas que les ordinateurs ne sont d'un usage courant que depuis peu de temps.
Ces deux systèmes sont de type coordonnées sphériques et portent les noms de :
• Coordonnées azimutales
Ils forment avec les coordonnées équatoriales un trio qui est accompagné des outils mathématiques pour les transformations suivantes :
• azimutales -> horaires -> équatoriales
• équatoriales -> horaires -> azimutales
2.4. Coordonnées Horaires
Les coordonnées horaires ont comme éléments de références :
• Le centre de la sphère est le centre de la terre, l'observateur est confondu avec le centre de la terre
• L'équateur terrestre.
• L'axe des pôles de la terre
• Le zénith de l'observateur
Les coordonnées sont définies comme suit :
• La déclinaison d mesure l'angle par rapport à l'équateur 0° à l'équateur, 90° au pôle nord, -90° au pôle sud (idem : coordonnées équatoriales).
• Les demis grands cercles dont les extrémités sont aux pôles s'appellent les cercles horaires.
• Le cercle horaire qui contient le zénith de l'observateur s'appelle méridien.
• L'angle horaire est l'angle dièdre entre le méridien du lieu et le cercle horaire de l'astre qui contient l'objet à définir, il est compté positivement du sud vers l'ouest à partir du méridien. Il est gradué en heures de 0h à 24h.
(N.B: le temps sidéral est l'angle horaire du Point vernal. Le jour sidéral est la durée nécessaire pour que le temps sidéral augmente de 360° soit 23 h 56 mn 4 sec).
2.5 Coordonnées Azimutales
Le système de coordonnées azimutales représente le mieux le ciel de l'observateur. Il est construit à partir des éléments terrestres que sont le plan horizontal de l'observateur et son zénith (direction verticale orientée vers le haut). Les principaux éléments du système sont :
• le centre de la sphère est sur l'observateur, il est confondu avec le centre de la terre.
• La hauteur au-dessus de l'horizon en degré, de 0° à 90° au zénith, appelé hauteur.
• La direction de l'objet amené dans le plan horizontal est l'azimut. Il est compté de 0° à 360° positivement vers l'est. 0° (ou 360°) est dans la direction du nord.
• Le système de coordonnées est fixe par rapport à l'observateur L'analogie avec les coordonnées terrestres donne :
• équateur -> horizon
• pôle -> zénith
• latitude -> hauteur
• méridien -> azimut
Le grand cercle qui passe par les pôles et le zénith de l'observateur s'appelle méridien. Il contient la direction nord sud.
Hauteur h : comptée positivement au dessus de l'horizon, négativement en dessous (la distance
zénithal z tel que z = 90° -h. Si d est la déclinaison d'un astre on a z = j - d (en valeur absolue).
Azimut a : mesure de l'angle formé par la verticale du point et la verticale nord pris comme
origine. L'azimut est compté positivement dans le sens rétrograde du nord vers l'Est de 0° à 360°.
2.6 Formules De Conversion En Coordonnées Azimutales
Ces formules sont tirées de la démonstration de trigonométrie sphérique pour la conversion des coordonnées astronomiques. Ses démonstrations ne seront pas reprises ici.
sin h = sin f * sin d + cos f * cos d cos H (2.1) cos h * cos A = - cos f * sin d + sin f * cos d * cos H (2.2) cos h * sin A = cos d * sin H (2.3)
L'équation (2.1) est la formule effectuant le calcul de la hauteur. Quand on remplace l'équation (2.3) dans la (2.2), on trouve, en simplifiant, la formule permettant de calculer l'azimut.
Et dans l’autre sens:
sin d = sin f * sin h - cos f * cos h * cos A (2.4) cos d * cos H = sin h * cos f + cos h * sin f * cos A (2.5) cos d * sin H = cos h * sin A (2.6)
3. ORBITES ET COUVERTURES [7] [8]
Les satellites utilisent la force gravitationnelle de notre planète afin de se maintenir à une position et à une distance déterminées de la terre. Il est ainsi possible de définir à tout moment quelles sont les caractéristiques du satellite pour établir des transmissions. Nous allons voir dans cette partie quels sont les types d’orbites utilisées et comment celles ci fixent certaines limites ou contraintes dans les transmissions ou les équipements.
• L'orbite est la trajectoire idéale que suit un satellite en l'absence de perturbations.
• Les orbites sont habituellement classées en fonction de leurs altitudes moyennes et de leurs synchronisations avec la terre ou le soleil.
On peut ainsi distinguer trois types d’orbites différentes : l’orbite géostationnaire, les orbites moyennes altitude et les orbites basses altitude, chacune ayant des caractéristiques différentes des autres.
On peut aussi classer ces orbites selon leurs formes ; dans ce cas on distingue deux types : les orbites circulaires et les orbites elliptiques.
3.1 Orbite Circulaire
Il existe une infinité d’orbites circulaires, chacune correspondant à une inclinaison par rapport au plan orbital, mais on peut en distinguer 2 sortes : l’orbite circulaire polaire et les orbites circulaires inclinées:
A) Orbite Circulaire Polaire:
L’orbite polaire est une orbite circulaire qui passe par-dessus les deux pôles de la Terre. L’inconvénient principal, pour les satellites inscrits dans ce type de trajectoire, est la lenteur de leur couverture mais cette faible vitesse permet tout de même au satellite de couvrir une grande partie de la surface du globe, voire la totalité de la terre, compte tenu de la rotation de la terre sur elle-même. On peut citer l’exemple des satellites d’observation français " Spot ", situés à 800 km d’altitude, qui assurent la couverture de la surface totale du globe en 21 jours.
B) Orbite Circulaire Inclinée:
Les orbites circulaires inclinées décrivent également un cercle autour de la Terre, mais chaque trajectoire est inclinée d’un certain angle par rapport au plan équatorial. Cependant, cette inclinaison présente un inconvénient majeur : étant donné que la plus haute latitude desservie par les satellites, dont les orbites sont inclinées, correspond à la déviation angulaire par rapport au plan de l’Equateur, ces satellites ne peuvent pas couvrir la totalité de la surface du globe. Par contre, cette orbite possède un avantage : selon l’altitude du satellite, il est possible de cibler les zones du globe, c’est à dire que l’on peut desservir les parties intéressantes d’un point de vue économique, militaire, ou autres applications…
Par exemple, le projet français " Globalstar " prévoit de lancer 48 satellites en orbite circulaire inclinée à 50° par rapport à l’équateur, afin d’assurer des communications mobiles dans la plupart des pays.
Ces deux types de trajectoires ont chacun des caractéristiques différentes, des usages propres suivant les inconvénients et les avantages. Néanmoins ils ne sont que très peu utilisés par rapport à l’orbite géostationnaire, qui possède actuellement le plus d’avantages aussi bien économiques que pratiques.
Figure 2.4: les orbites circulaires
3.2. Orbite Elliptique (HEO):
Comme son nom l’indique, un satellite placé dans une orbite de ce type décrit une trajectoire en forme d’ellipse autour de la terre. La principale caractéristique de ce type d’orbite est la grande variation en vitesse que subissent les satellites. En effet, plus un satellite est loin de la terre, plus sa vitesse est faible car la vitesse " v " est inversement proportionnelle à son altitude " h " selon la relation :
(2.7)
Où G est la constante gravitationnelle, m la masse du satellite et a le demi grand axe de l’orbite.
Figure 2.5: orbite elliptique
Cependant, comme l’altitude varie énormément pendant sa période et que la trajectoire décrit une ellipse, la position du satellite pour un observateur terrestre n’est pas fixe. Par conséquent, le suivi de chaque satellite nécessite un équipement de stations d’émission et de réception avec des
antennes mobiles, ce qui est considéré au point de vue financier et qualitatif comme un inconvénient. Néanmoins, les satellites en orbites elliptiques présentent l’avantage de pouvoir desservir des zones éloignées de l’équateur, ce qui n’est pas forcement le cas pour les orbites circulaires et géostationnaire. En effet, avec une inclinaison élevée, il est possible de survoler des territoires à la périphérie des hémisphères. La couche d’atmosphère étant plus étroite, la qualité des signaux est donc un peu meilleure.
Par exemple, dans le système " Molnya " utilisé par la Russie , 3 satellites dont les orbites sont inclinées de 63° par rapport au plan équatorial, couvrent totalement la Sibérie car leur partie lente correspondent au deux tiers de leur période et ils se situent alors à la verticale du territoire sibérien.
Les orbites elliptiques présentent des avantages, comme la couverture des zones éloignées de l’Equateur, mais également des inconvénients tels que les aspects qualitatif et financier des équipements mobiles sur Terre. Cependant pour les orbites circulaires ce type d’inconvénients n’apparaît presque pas.
4. LES CONSTELLATIONS DE SATELLITES : [9] 4.1 Intérêts Des Constellations
Avec la libéralisation des télécoms depuis plus de dix ans, des initiatives privées ont proposé de nouveaux services, engendrant elles-mêmes la conception et l'application de nouveaux systèmes de satellites, comme pour la téléphonie mobile.
Actuellement, le réseau GSM utilisé par les téléphones portables ne permet pas de couvrir l'ensemble de la planète : le passage par l'espace reste indispensable pour relier un marin ou un arpenteur du désert par un simple mobile. Dans ce cas précis, le satellite géostationnaire s'avère moins efficace qu'une constellation (ensemble de petits satellites placés à seulement quelques centaines de kilomètres de hauteur). Ces constellations ont l'avantage d'offrir une couverture permanente et totale de la Terre, une réception au sol plus performante et un temps de transmission moins long.
La téléphonie mobile a déjà entraîné la création de trois constellations de satellites. Le premier, Iridium, lancé en novembre 1998, regroupe 66 satellites placés à 781 km d'altitude. Les derniers des 58 satellites du système Globalstar ont été mis sur orbite début février 2000 et enfin Le système SkyBridge qui utilise une constellation de 64 satellites.
4.2 Définition :
Après avoir vue son intérêt, une constellation de satellite peut être définie comme plusieurs satellites semblables de même type et ayant la même fonction et qui sont conçus pour être similaires, complémentaires et orbités pour un but commun sous un contrôle partagé.
On distingue trois types de constellation selon leurs altitudes d’orbites : a) Constellations Basse Orbite
Les satellites en orbite basse décrivent des orbites elliptiques ou (plus souvent) circulaires à moins de 2.000 kilomètres de la terre. La période orbitale à ces altitudes est comprise entre 90 minutes et deux heures. Quant au rayon de la zone de couverture, il est compris entre 3000 et 4000 kilomètres.
Un satellite LEO peut rester visible jusqu'à 20 minutes pour un observateur sur la terre.
Un système de transmissions global en utilisant ce type d'orbite exige un grand nombre de satellites, dans un certain nombre de plans orbitaux différents. Lorsqu'un satellite en charge d'un utilisateur donné n'est plus visible pour cet utilisateur (il passe sous l'horizon visible), le satellite doit être capable de transférer les services dont il avait la charge à un autre satellite parcourant une orbite identique ou adjacente : c'est la gestion du hand-over.
Les constellations LEO offrent en tout cas des retards de propagation particulièrement faibles, de l'ordre d'une vingtaine de ms, ce qui leur permet d'assurer des services de même type que ceux des réseaux filaires terrestres en fibres optiques.
b) CONSTELLATIONS MOYENNE ORBITE
Les satellites en orbite moyenne -Intermediate Circular Orbits (ICO), ou Medium Earth Orbits (MEO)- décrivent des orbites circulaires à une altitude d'environ 10.000 kilomètres. La période orbitale est d'environ 6 heures et un observateur terrestre peut avoir une visibilité d'un satellite de quelques heures.
Un système de transmission global utilisant ce type d'orbite exige un nombre plus modeste de satellites par rapport aux constellations LEO. Il suffit de 2 à 3 plans orbitaux pour réaliser une couverture globale.
Une constellation de type MEO fonctionne de manière très semblable aux systèmes LEO; toutefois, par structure, il est bien évidemment moins souvent besoin de faire appel à un système de hand-over.
Le retard de propagation est plus important que dans les constellations LEO, mais reste très inférieur à celui constaté dans les systèmes GEO.
c) CONSTELLATION GEO :
Les satellites les plus couramment utilisés aux fins de télécommunication sont des satellites géostationnaires. L'altitude de ces satellites équatoriaux, telle que leur période d'orbite soit synchrone de la terre, soit une rotation en 23h 56mn 4s , sera de 36000 km environ. Trois satellites disposés à 120° sur l'orbite géostationnaire, permettent "de voir" quasiment toute la terre, à part une petite zone polaire située aux des extrêmes (figure 2.6). Le retard de propagation est plus important que dans les constellations LEO et MEO.
La figure ci-dessous montre les différentes orbites décrites par les différentes constellations :
Figure 2.7: Types de constellations
4.3. Les constellations de Walker:
La constellations de Walker est l'optimale des constellations elle est basé sur des orbites circulaires (e = 0), les satellites sont homogènes et phasés donc la constellation est symétrique. La constellation de walker est définie par 3 paramètres :
• Le nombre de satellite de la constellation N.
• Le nombre de plans P.
• Le facteur de phase F.
Des fois on ajoute l'inclinaison des orbites i.
On distingue deux types de constellation de walker selon la géométrie: a) Les Walker delta : elles ont un triangle centré sur le pôle
b) Les Walker polaires : basées sur un jeu d'orbites passant toutes par les deux pôles
Walker delta Walker polaire
Prenant l'exemple de la constellation Galiléo: c'est une constellation walker ayant (N,P,F) égales à (27,3,1) inclinés de 56° plus 3 satellites de secours en orbite moyenne à une altitude de 23616 Km.
0 120 240
Figure 2.9: répartition des satellites de la constellation Galiléo
40 280 320 80 120 160 200 240
Figure 2.10 : Constellation GALILEO
5. BASES DE MECANIQUE SPATIALE: [10] [11]
On considère l’évolution d’un mobile assimilé à un point matériel au voisinage d’un corps céleste. On suppose que :
• Les seules forces prises en compte sont les forces d’attraction newtonienne
• Le corps céleste est supposé à symétrie sphérique et de répartition massique constante. Dans ces conditions, l’étude du mouvement du mobile est assimilable en première approximation à un problème à 2 corps : une particule de masse m attirée par une particule de masse M.
5.1 Les Lois De Kepler
5.1.1. Première Loi Ou Loi Des Orbites : Dans le référentiel héliocentrique, l'orbite de chaque planète est une ellipse dont l'un des foyers est occupe par le soleil.
Figure 2.11 : L’ellipse
En fait la première loi établit que toutes les orbites ont la forme d'une ellipse. Cette loi n'interdit pas les orbites circulaires, en effet ces dernières sont considérées comme des ellipses dont les deux foyers sont confondus.
5.1.2. Deuxième loi ou loi des aires : Le mouvement de chaque planète est tel que le segment
de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Figure 2.12 : Loi des aires
5.1.3. Troisième loi ou loi des périodes : Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du
demi grand axe (a) de la trajectoire et le carré de la période (T) est le même.
Cte a T = 3 2 (2.8)
Cela signifie que l'on peut calculer le temps qu'il faudra au satellite pour effectuer une orbite (période) à partir de la moitié de la dimension du demi grand axe.
La loi indique que le satellite aura une vitesse plus lente aux altitudes les plus hautes et inversement une vitesse plus rapide aux altitudes plus basses.
5.2 Le problème de deux corps: [12] [13]
Considérons un point P de masse négligeable m représentant un satellite attiré par un point situé à l'origine O d'un système d'axe et de masse M. on suppose qu'a un instant t0 le point P et sa vitesse
Vrsont situés dans le plan OXY.
L'accélération γr de P est donnée par : 3 . r P O GmM m r r − = γ (2.9) Le théorème de conservation du moment cinétique permet d'écrire :
op v c op(t0) v(t0) r r r ∧ = = ∧ (2.10)
Cr Est situé sur l'axe Oz. Sont amplitude est C. D'après (2.10) on peut écrire :
C dt d
r2 θ = (2.11) C, est appelée constante des aires.
Le théorème de l'énergie cinétique permet d'écrire : 0 2 1 2 − = V m mV dt d γrr (2.12) Par intégration on a :
∫
= + ' 2 1 2 2 C dt dt dr r GmM mV (2.13)C', est une constante. On pose :
m C h= ' En intégrant (2.13) on a :
∫
− = − Cte r dr mGM mV2 2 2 1 h r GM V2 −2 = (2.14) h : constante (dite des forces vives)On peut éliminer dt entre (2.11) et (2.14) sachant que 2
2 2 2 2 dt d r dr V = + θ . On obtient : + + = = r GM h d r dr d r C dt 2 1 1 2 2 2 2 4 2 2 θ θ
Ou encore : h r GM d r rd dr C 4+ 2 −2 = 2 2 2 θ θ (2.15) C'est l'équation différentielle des trajectoires possibles .Pour la résoudre, on constate qu'elle peut s'écrire sous la forme :
0 2 1 2 2 2 2 4 2 = − − + C h rC GM r d r dr θ On pose : 1 2 C GM r u= −
( )
0 2 4 2 2 2 = + − + C h C GM u d du θLes solutions sont réelles si la quantité entre parenthèses est >0.
La solution générale de cette équation différentielle est obtenue en résolvant par rapport à dθ et en intégrant:
( )
∫
+ = − + = − ± 2 2 4 2 2 2 2 4 2 0) arccos ( C h C GM u u C h C GM du θ θ Ou encore :( )
− + + = 1 1 cos( ) 1 0 2 2 2 θ θ GM h C C GM r (2.16) C'est l'équation d'une conique de foyer O. On pose : 0 2 2 2 1 ) ( 1 θ θ − = + = + = = v GM hp GM h C e GM C p (2.16) devient alors : v e e a v e p r cos . 1 ) 1 ( cos . 1 2 + − = + = (2.17)b
a On appelle:
a : demi grand axe. b : demi petit axe. e : excentricité.
p : paramètre focal de l'ellipse (ou constante de la conique) p= a.(1-e2) = b2/a v : anomalie vraie.
θ0 : angle polaire par rapport à la direction joignant le foyer O au périgée (le point le plus proche du foyer).
On notera µ = GM la constante de gravitation. Pour la Terre, µ = 398600,47 km3.s-2 De la définition de e on déduit : µ ) 1 ( 1 2 2 ha e e = + − D’où : a h=−µ et − = a r v2 µ 2 1 (2.18) L'équation de la conique est donnée par (2.17).on voit que la nature de la conique dépend du signe de h:
• si h=0 => (e=1) : la conique est une parabole.
• Si h>0 =>(e>1) : c'est une hyperbole.
• Si h<0 => (e<1) : c'est une ellipse.
Pour un satellite artificiel on est dans le 3eme cas.
Figure 2.15 Trajectoire d’un satellite artificiel
6. PARAMETRES ORBITAUX [14]
Une trajectoire elliptique est caractérisée par six éléments orbitaux (correspondant à six degrés de liberté). Deux définissent la forme de l’ellipse : a et e qui sont respectivement le demi-grand axe et l’excentricité. Trois éléments orbitaux servant à orienter la position de l’ellipse dans l’espace :
w, Ω, i, respectivement L'argument du périgée, l’ascension droite du nœud ascendant
et l'Inclinaison.
Figure 2.16 Paramètres orbitaux d’un satellite :
(a) vue tridimensionnelle (b) vue dans le plan d’orbite a)
a) Axes de référence
L’orbite du satellite coupe le plan de l’équateur en 2 points appelés nœud descendant ND au point de passage du satellite de l’hémisphère nord à l’hémisphère sud, et nœud ascendant NA au point de passage du satellite de l’hémisphère sud à l’hémisphère nord. La ligne (NA, ND) est la ligne des nœuds.
b) Paramètres définissants la position du plan de l’orbite
On sait par la première loi de Kepler que le mouvement est plan et que la trajectoire a la forme d’une ellipse.
Figure 2.17: Position du plan de l’orbite
On peut donc définir 2 angles permettant de positionner le plan de l’orbite par rapport à un repère initial équatorial :
i = l’inclinaison par rapport à l’équateur
Ω = l’ascension droite du nœud ascendant c’est-à-dire l’angle entre l’axe X et la ligne
d’intersection du plan de l’orbite avec l’équateur (longitude)
La ligne des nœuds (NA,ND) partage en deux le plan de l’équateur et le plan de l’orbite.
• L’angle i formé par le demi-plan de l’orbite contenant la trajectoire du satellite de NA vers ND et le demi-plan de l’équateur contenant la trajectoire d’un point sur l’équateur de NA vers ND, est l’inclinaison qui va de 0° à 180°. L’orbite est dite directe quand i est inférieur à 90° et rétrograde quand i est supérieur à 90°.
• L’angle Ω que forment, dans le plan de l’équateur, la ligne des nœuds et la direction du point vernal, définit l’orientation de la ligne des nœuds. C’est l’ascension droite du nœud ascendant qui se mesure de 0° à 360°, du point vernal vers le nœud ascendant, dans le sens de rotation de la Terre ou sens direct.
c) Forme et position de l'orbite
Dans le plan de l’orbite, l’ellipse elle-même est caractérisée par deux paramètres : a : le demi grand axe.
On remplace très souvent b par l’excentricité e, sachant que b
2=
a2
(
1 - e2)
. (2.19) Ensuite on définit une origine sur l’ellipse ; conventionnellement, on a l’habitude de la situer au périgée (le point le plus proche de la terre) de l’orbite.La position du grand axe dans le plan de l’orbite est définie par l’angle ω, formé par la ligne joignant le centre de la Terre au périgée d’une part et la ligne des nœuds d’autre part. C’est l’argument du périgée ω qui est mesuré de 0° à 360°, du nœud ascendant vers le périgée dans le sens de révolution du satellite.
d) Position du satellite sur l’orbite
Il faut maintenant savoir où le satellite est positionné exactement sur l’ellipse.
Figure 2.18: Position du satellite sur l’orbite
L’angle déterminant la position du satellite par rapport au périgée peut s’exprimer de différentes manières :
V= l’anomalie vraie correspond en fait à une coordonnée polaire
E= l’anomalie excentrique en projetant le satellite sur le cercle principal de l’ellipse
M=l’anomalie moyenne définie par l’équation de Kepler : M =E−esinE
Cet angle fictif M permet de définir simplement le mouvement képlérien en fonction du temps par :
Où n est le moyen mouvement égal à
3
a
n= µ (2.21) Et constant du fait de la 3ème loi de Kepler.
On a donc obtenu 6 paramètres orbitaux :
(
a,e,i,ω,Ω,Vou Eou M)
Le principal avantage des paramètres képlérien est, si les perturbations ne sont pas prises en compte, les cinq premiers sont constants dans le temps tandis que le sixième (V,E ou M) varie linéairement avec le temps.
7. RESULTATS NUMERIQUES
7.1 Définition d’une ellipse en coordonnées polaires
(c) e = 0.5
Figure 2.19: orbite d’un satellite avec différentes valeurs de l’excentricité
On prend l’équation (2.17), qu’il s’agit de l’équation d’une section conique (ou simplement d’une conique) en coordonnées polaires, avec l’origine au foyer.
Rappelons qu’une conique est la courbe d’intersection d’un cône avec un plan. Le demi grand axe et l'excentricité déterminent la forme de l'ellipse.
Selon la troisième loi de Kepler, la période orbitale est liée uniquement au demi grand axe, L'excentricité e, nulle dans le cas limite d'un cercle et comprise entre 0 et 1 pour une ellipse. On voit sur la figure (2.19) que le couple de valeurs demi grand axe et excentricité donne la forme de l'ellipse et fixe en particulier les altitudes au périgée et à l'apogée.
7.2 L'effet de changer l'excentricité dans une conique
e = 1.13 e = 2.0
Figure 2.20: Effet de changer l’excentricité dans une conique
L’équation de la courbe correspond bien à celle d’une ellipse centrée à l’origine.
On peut voir sur la courbe que si e >1 : l’équation de la courbe correspond à une hyperbole à deux branches centrées.
On peut remarquer que l’énergie de l’objet détermine bien le type de trajectoire comme suit : 1. Si l’énergie de l’objet est négative (E < 0), alors l’excentricité e est plus petite que 1 et la trajectoire de l’objet est elliptique avec le centre d’attraction à l’un des foyers. C’est précisément la première loi de Kepler.
2. Si l’énergie est positive, alors l’excentricité est plus grande que 1 et la trajectoire est hyperbolique.
3. Si l’énergie est nulle, la trajectoire est parabolique. Il est clair que ce cas est une singularité mathématique mais on dit qu’une comète a une trajectoire parabolique si la mesure des paramètres de son orbite amène à une excentricité compatible avec e = 1.
8. LA THEORIE DES PERTURBATIONS ORBITALES [12]
Les paramètres orbitaux, tels qu’ils ont été définis précédemment, sont représentatifs du mouvement Képlérien non perturbé. La seule accélération prise en compte est la gravitation générée par une sphère idéale de masse uniforme.
Dans le cas d'un satellite artificiel, les forces ne sont pas uniquement centrales (problème à deux corps) de sorte que le mouvement résultant n'est pas une ellipse Képlérienne mais une courbe déformée.
En réalité, deux types de perturbations sont à prendre en considération :
• Perturbations Gravitationnelles : ne font intervenir que les forces de gravitation.
• Perturbations Non gravitationnelles : contiennent notamment le frottement atmosphérique, la pression de radiation solaire ….etc
Figure 2.21: Somme des perturbations
A coté de la force principale centrale 2
r GM
, s'ajoute des forces plus faibles appelées forces perturbatrices.
Les équations différentielles du mouvement Képlérien sont les suivantes :
3 2 2 r x GM dt x d − = 3 2 2 r y GM dt y d =− (2.22) 3 2 2 r z GM dt z d =−
Supposant à pressent que le point P (figure 2.11) subit en plus de la force centrale, une force supplémentaire F dite force perturbatrice, de composantes Fx , Fy , Fz .
Les équations du mouvement deviennent, en coordonnées rectangulaires : ) , , , , , , ( 3 2 2 t dt dz dt dy dt dx z y x F r x GM dt x d x + − = ) , , , , , , ( 3 2 2 t dt dz dt dy dt dx z y x F r y GM dt y d x + − = (2.23) ) , , , , , , ( 3 2 2 t dt dz dt dy dt dx z y x F r z GM dt z d x + − =
En terme d'éléments d'orbite, ce système s'écrit : ) , , , , , , (a ei M t F dt da a Ω = ω ) , , , , , , (a ei M t F dt de e Ω = ω ) , , , , , , (a e i M t F dt di i Ω = ω (2.24) ) , , , , , , (a ei M t F dt dΩ = Ω Ω ω ) , , , , , , (a e i M t F dt d Ω = ω ω ω ) , , , , , , (a e i M t F dt dM M Ω = ω
Les six nouvelles variables : a(t), e(t), i(t), Ω(t), ω(t) et M(t) s'appellent les éléments Osculateurs. L'orbite correspondante est appelée orbite osculatrice à l'instant t. l'ellipse osculatrice est la trajectoire que l'on obtiendrai si on supprimait à l'instant t, les forces perturbatrices : il resterait donc un mouvement elliptique décrit par les lois de Kepler.
L'orbite osculatrice à l'instant t, a même vecteur, même vecteur vitesse - donc même moment cinétique – que la trajectoire réelle.
Les éléments a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t), M(t) sont solutions du système de 6 équations différentielles appelées équations de Gauss. L'intégration de ce système fournit les 6 paramètres d'orbite en fonction du temps.
Pour une force perturbatrice F , de composantes R, S, W R : le long du rayon vecteur.
S : perpendiculaire au rayon vecteur dans le plan d'orbite. W : perpendiculaire au plan d'orbite.
Figure 2.22: Repère local au satellite (R,S,W)
Les équations de Gauss s'écrivent :
[
Re v e v S]
e n dt da ) cos . 1 ( sin . . 1 2 2 + + − =[
R v E vS]
a n e dt de ) cos (cos sin . . 1 2 + + − = W e i a n v r dt di 2 2 1 . sin . . ) cos( . − + = ω (2.25) W e a n v r dt d 2 2 1 . . ) sin( . − + = Ω ω W i e a n v i r v S v e v R e a n e dt d sin . 1 . . ) sin( . cos . sin . ) cos . 1 1 1 ( cos . . . 1 2 2 2 − + − + + + − − = ω ω + + − + + − − + = S v v e v v e e R e a n e n dt dM sin . ) cos . 1 1 1 ( ) cos cos . 1 2 ( . . 1 2L’accélération perturbatrice γr est exprimée dans le repère local lié au satellite (R,S,W). Son centre est fixé au centre de masse du satellite. L’axe R pointe dans la position centre attracteur du système-centre de masse du satellite. L’axe W est parallèle au moment cinétique de l’orbite et donc perpendiculaire au plan orbital. L’axe S complète le trièdre.
En appliquant la méthode de variation des constantes, on peut expliciter la variation des paramètres osculateurs en fonction du temps. On obtient les formules de perturbations de Gauss :
