RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Université Mohammed Seddik Ben Yahia - Jijel
FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET INFORMATIQUE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
Mémoire de fin d’études
Présenté pour l’obtention du diplôme de
Master
Spécialité : Mathématiques Appliquées. Option : EDP et applications.
Thème
Analyse a posteriori et ses applications
Présenté par :
Chahinaze Azizi Youssra Kerchoune
Devant le jury composé de
W. Chikouche Maître de conférences A Université de Jijel Président S. Maarouf Maître de conférences B Université de Jijel Encadreur H. Benhassine Maître de conférences B Université de Jijel Examinateur
Remerciements
N ous remercions tout d’abord ALLAH, le tout puissant et maître de l’univers qui nous a donné la capacité nécessaire, la forte volonté et la patience afin
d’accomplir ce travail, et qui nous a toujours guidé vers le bon chemin.
N ous tenons à exprimer notre gratitude à S.Maarouf maître de conférences B à l’université de Jijel, qui a encadré ce mémoire et nous a guidé tout au
Long de ce travail avec patience et beaucoup d’intérêt. Merci de nous avoir montré le bon exemple.
N ous remercions également les membres du jury : Madame W. Chikouche et Monsieur H.Benhassine,
pour nous avoir honoré par leur évaluation du travail en tant qu’examinateurs.
Enfin, nous n’oublions pas tous notre enseignant au département de mathématiques de l’université de Jijel, nos amis et nos collègues.
Dédicace
J e dédie ce travail de fin d’études
A mes chèrs parents ? Abdelhafid et Naima ? pour leur soutien moral
et pour leurs encouragements...
Que Dieu vous protège
A ma soeur Hadjer
A mon frère, Mostafa et Haroun
A mes amis de ma promotion.
A tous mes enseignants depuis le primaire jusqu’à maintenant.
Enfin, je dédie ce mémoire à ceux qui m’aiment et surtout ceux que j’aime.
Dédicace
A la mémoire de ma mère ? Noura ? qui a fait de moi ce que je suis aujourd’hui par ses sacrifices, qu’Allah te garde dans son vaste paradis.
A mon père ? Mohamed cherif ? pour son soutien moral et ses encouragements...
A mes frères : Yasser et Alaeddine.
A mes soeurs : Rayane, Nouha et Asmae.
A mes amis de ma promotion.
A tous mes enseignants depuis le primaire jusqu’à maintenant.
Enfin, je dédie ce mémoire à ceux qui m’aiment et surtout ceux que j’aime.
Table des matières
Introduction 1
1 Préliminaires 3
1.1 Espaces Fonctionnels . . . 3
1.2 Rappels sur le Lemme de Lax-Milgram . . . 6
1.3 Méthode des éléments finis . . . 6
1.4 Erreur d’approximation par éléments finis . . . 9
2 Introduction à l’analyse a posteriori 12 2.1 Principes généraux et propriétés . . . 12
2.2 Outils de l’analyse . . . 14
2.2.1 Fonctions bulles . . . 15
2.2.2 Inégalités inverses . . . 18
3 Analyse a posteriori du problème de Dirichlet pour le laplacien 23 3.1 Formulation variationnelle . . . 23
3.2 Analyse a posteriori du problème de Dirichlet . . . 25
3.2.1 Condition aux limites homogènes . . . 26
3.2.1.1 Discrétisation par éléments finis . . . 26
Table des matières
3.2.1.3 Analyse d’erreur a posteriori . . . 28
3.2.2 Condition aux limites non-homogène . . . 35
3.2.2.1 Discrétisation par éléments finis . . . 35
3.2.2.2 Analyse d’erreur a priori . . . 36
3.2.2.3 Analyse d’erreur a posteriori . . . 38
Conclusion 40
Appendice 41
Introduction
Les méthodes des éléments finis sont des méthodes numériques de résolution des équa-tions aux dérivées partielles. Elles reposent sur l’approximation des soluéqua-tions de ces der-nières par des fonctions dont la restriction à chaque élément d’une triangulation du do-maine de calcul est un polynôme de bas degré. Ces méthodes sont basées sur la formulation variationnelle d’une équation aux dérivées partielles elliptique et la résolution de celle-ci en se restreignant à un sous espace de dimension finie. Comme pour toute méthode numé-rique, la question de l’erreur commise entre la solution exacte du problème et la solution numérique se pose. Il y a deux façon d’estimer cette erreur, estimation a priori ou esti-mation a posteriori :
Estimation a priori : Cette estimation permet de connaître l’ordre de convergence de la méthode, mais ne donne qu’un indice global de l’erreur.
Estimation a posteriori : C’est une estimation calculée à l’aide de la solution numérique obtenue par la méthode, elle permet d’obtenir des informations globales sur l’erreur mais aussi locales (sur les éléments du maillage).
L’analyse d’erreur a posteriori est en quelques années devenue l’outil de base pour l’adaptation automatique de maillage en éléments finis. Elle consiste à majorer et à mi-norer l’erreur entre la solution approchée et la solution exacte par des quantités qui dépendent seulement de la solution discrète et des données du problème étudié. Ces quan-tités, appelées estimateurs d’erreur a posteriori, permettent de mesurer la qualité de la solution calculée et fournissent une information pour contrôler l’algorithme d’adaptation de maillage. Les estimations d’erreur a posteriori servent à raffiner certaines parties de la triangulation en fonction de la solution approchée. L’adaptation de maillage est donc devenu un outil important dans l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Il existe dans la littérature, plusieurs classes d’estimations d’erreur a posteriori. Dans ce mémoire, nous avons choisi de présenter parmi les nombreux types d’indicateurs
d’er-Introduction
reur existants, ceux dits "par résidu" et nous prouvons l’équivalence de leur somme avec l’erreur. Ce travail est basé sur le livre de Bernardi et al [10].
Ce mémoire est structuré de la façon suivante :
Dans le premier chapitre, nous rassemblons les notions et les résultats que nous utili-sons fréquemment tout au long de ce manuscrit. Nous donnons des brèves définitions de quelques espaces fonctionnels, notamment, les espaces de Sobolev. En effet, c’est dans ces espaces qu’on recherche la solution variationnelle et qu’on donne les résultats de régularité. Ensuite, on rappelle le Lemme de Lax-Milgram qui est à la base de l’étude des équations aux dérivées partielles. Puis, nous donnons des brèves descriptions de la méthode des éléments finis et les opérateurs d’approximations pour cette méthode.
Au deuxième chapitre, nous commençons par introduire l’analyse a posteriori résiduel et présenter ses propriétés, notamment, la fiabilité, l’adaptation de maillage et l’efficacité. Dans la deuxième partie nous regroupons les outils de l’analyse, c’est à dire, les fonctions bulles et les inégalités inverses locales qu’on utilise pour montrer l’efficacité de l’analyse. Le dernier chapitre est consacré à l’analyse a posteriori du problème de Dirichlet pour le laplacien. Dans un premier temps nous écrivons la formulation variationnelle et nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution. Dans un deuxième temps, nous nous in-téressons à l’analyse a posteriori du problème homogènes et non-homogènes. Dans les deux cas, nous proposons une discrétisation par éléments finis conforme, nous prouvons que le problème discret est uniquement résoluble et nous établissons l’analyse d’erreur a priori. Nous écrivons une équation dite du résidu et nous construisons ainsi une famille des indicateurs optimale. En outre, nous démontrons la fiabilité et l’efficacité de l’analyse a posteriori.
Chapitre 1
Préliminaires
Dans ce chapitre, on rappelle les notions de base utilisées tout au long du mémoire. En particulier les définitions et les propriétés fondamentales des espaces de Sobolev classiques et les outils de la méthode des éléments finis. Nous présentons aussi quelques concepts utilisés.
1.1
Espaces Fonctionnels
Les notations utilisées dans ce mémoire pour les espaces de Sobolev sont classiques. Les démonstrations des propriétés indiquées figurent en particulier dans les ouvrages de références suivants : Adams [1], Dautray et Lions [16], Grisvard [17] et Lions et Magenes [21].
Dans ce qui suit, d est un entier positif représentant la dimension de l’espace dans lequel on se place. Le symbole ∂ suivi d’un nom d’ouvert, désigne sa frontière. La définition suivante est nécessaire pour caractériser la géométrie des ouverts que l’on considère. Définition 1.1.1. En dimension d ≥ 2, un ouvert borné Ω de Rd est dit lipschitzien ou
à frontière lipschitzienne si pour tout point x de ∂Ω, il existe un système de coordonnées orthogonales (y1, ..., yd), un hypercube Ux =
d
Q
i=1
] − ai, ai[ et une application lipschitzienne
Φx de d−1Q
i=1
] − ai, ai[ dans ] − a2d,a2d[ tels que :
Ω ∩ Ux = {(y1, ..., yd) ∈ Ux; yd> Φx(y1, ..., yd−1)},
1.1. Espaces Fonctionnels
Cette propriété signifie que la frontière coïncide localement avec le graphe d’une fonction lipschitzienne. Elle sera satisfaite par tous les ouverts considérés dans ce mémoire. Tout ouvert borné convexe de Rd est également à frontière lipschitzienne (voir Grisvard [17,
Corollaire 1.2.2.3]).
Dans la suite, on note Ω un ouvert borné lipschitzien de Rd. On note x le point
géné-rique de Ω, et (x1, ..., xd) ses coordonnées. Finalement, on utilise la mesure de Lebesgue
dans Rd, que l’on écrit soit dx soit dx
1, ..., dxd.
On rappelle que D(Ω) désigne l’espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact dans Ω, et que D(Ω) désigne l’espaces des restrictions à Ω des fonctions indéfini-ment différentiables à support compact dans Rd. Le dual D0(Ω) de D(Ω) est l’espace des
distributions sur Ω. On introduit également C0(Ω) l’espaces des fonctions continues sur
Ω. On note maintenant L2(Ω) l’espace des fonctions v mesurables telles que Z
Ω
v2(x) dx < +∞. C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
(u, v) = Z Ω u(x)v(x) dx. On note k · kL2(Ω) la norme kvkL2(Ω)= Z Ω v2(x) dx 1 2 .
On sait que l’espace L2(Ω) contient les deux espaces D(Ω) et D(Ω) comme sous-espaces denses, et que l’espace L2(Ω) est contenu dans l’espace D0(Ω). Le produit de dualité entre les espaces D(Ω) et D0(Ω) étant alors une extension du produit scalaire dans L2(Ω). La
théorie des distributions (voir Schwartz [22]) permet de définir, pour les fonctions de L2(Ω), des dérivées d’ordre quelconque à valeurs dans D0(Ω).
Définition 1.1.2. Pour tout entier m ≥ 0, on définit l’espace de Sobolev Hm(Ω) de la
façon suivante : Hm(Ω) = {v ∈ L2(Ω), ∂αv ∈ L2(Ω), ∀α ∈ Nd, |α| ≤ m}, muni de la norme kvkHm(Ω)= Z Ω X |α|≤m (∂αv)2(x) dx 12 . (1.1)
Définition 1.1.3. Soit m un entier positif. On note Hm
0 (Ω) l’adhérence de l’espace D(Ω)
1.1. Espaces Fonctionnels
L’espace H0m(Ω) est donc un sous-espace fermé de Hm(Ω). On rappelle maintenant un résultat de base, connu sous le nom d’inégalité de Poincaré-Friedrichs (voir Adams [1, Thm 6.28]).
Lemme 1.1.1. (Inégalité de Poincaré-Friedrichs) Il existe une constante positive c ne dépendant que de la géométrie de Ω telle que toute fonction v de H1
0(Ω) vérifie kvk0,Ω ≤ c Z Ω d X j=1 (∂v ∂xj )2(x) dx 12 . (1.2)
Cette inégalité permet de démontrer facilement le résultat suivant : Corollaire 1.1.2. La semi norme
|v|H1(Ω)= Z Ω d X j=1 ∂v ∂xj 2 (x) dx 12 (1.3)
est une norme sur l’espace H1
0(Ω), équivalente à la norme k · kH1(Ω).
La caractérisation des espaces Hm
0 (Ω) s’effectue au moyen du théorème de traces, que
l’on trouve démontré dans Grisvard [17]. On rappelle que l’ouvert Ω étant lipschitzien, il existe en presque tout point de la frontière ∂Ω, un vecteur unitaire normal à ∂Ω et dirigé vers l’extérieur de Ω, que l’on note n. Si les composantes de n s’écrivent (n1, ..., nd), on
désigne par ∂n∂ l’opérateur de dérivée normale n1∂x∂1 + ... + nd∂x∂
d.
Théorème 1.1.3. L’application γ0 : u ∈ D(Ω) 7→ γ0(u) = u|∂Ω∈ L2(∂Ω) se prolonge de
manière unique, et de façon continue à l’espace de Sobolev H1(Ω). On appelle l’opérateur
γ0 ainsi obtenu : l’application de traces.
l’opérateur γ0 n’est pas surjectif sur L2(∂Ω). L’image de γ0 est un espace de Sobolev
fractionnaire appelé H12(∂Ω) et qui est un espace de Hilbert pour la norme
kvk
H12(∂Ω) = inf{kukH1(Ω), u ∈ H
1(Ω), γ
0u = v}.
Dans ces conditions, il existe un opérateur linéaire continu R0 : H
1
2(∂Ω) → H1(Ω), dit
de relèvement, qui vérifie γ0◦ R0 = Id∂Ω. De plus, il existe une constante positive c0 telle
que
∀v ∈ H12(Ω), kR0vk
H1(Ω) ≤ c0kvk
H12(∂Ω).
Corollaire 1.1.4. (Formule de Green) Soit Ω un ouvert borné régulier de classe C1.
Pour toute fonction u de H2(Ω) et toute fonction v de H1(Ω), on a la formule de Green :
− Z Ω ∆u(x)v(x) dx = Z Ω ∇u(x) · ∇v(x) dx − Z ∂Ω ∂u ∂n(x)v(x) dσ. (1.4)
1.2. Rappels sur le Lemme de Lax-Milgram
Définition 1.1.4. Soit m un entier positif. On note H−m(Ω) le dual de H0m(Ω) et on le munit de la norme dual :
kf k−m,Ω = sup v∈Hm 0 (Ω) < f, v > |v|m,Ω ,
où < ·, · > désigne le produit de dualité entre H0m(Ω) et son dual.
Lemme 1.1.5. Soit v ∈ L2(Ω). Pour 1 ≤ i ≤ d, on peut définir une forme linéaire continue ∂v
∂xi
dans H−1(Ω) par la formule
< ∂v ∂xi , φ >= − Z Ω v(x)∂φ ∂xi (x) dx, ∀φ ∈ H1 0(Ω). (1.5)
1.2
Rappels sur le Lemme de Lax-Milgram
On écrit tout de suite l’énoncé de ce Lemme, dû à Lax-Milgram [20] qui est à la base de l’étude des équations aux dérivées partielles.
Lemme 1.2.1. Soit V un espace de Hilbert réel de norme k · kV. On considère une forme
bilinéaire a(·, ·) continue sur V × V i.e.
∃M > 0, ∀u, v ∈ V, |a(u, v)| ≤ M kukVkvkV,
et on suppose qu’elle est elliptique sur V , c’est-à-dire qu’il existe une constante α > 0 telle que
∀v ∈ V, a(v, v) ≥ α kvk2V.
On considère ainsi, une forme linéaire continue L(·) sur V . Alors, le problème :
T rouver u dans V tel que : ∀v ∈ V, a(u, v) = L(v),
admet une solution unique u dans V . De plus cette solution vérifie kukV ≤
kLkV0
α .
1.3
Méthode des éléments finis
Dans cette section, on présente les notions de base et les principaux outils de la méthode des éléments finis. On réfère à [10] pour plus de détail.
1.3. Méthode des éléments finis
Définition 1.3.1. Un d-simplexe K de Rd est l’enveloppe convexe de d + 1 points aj,
1 ≤ j ≤ d + 1, appelés sommets de K qui ne sont pas contenus dans un même hyperplan de Rd.
Définition 1.3.2. Soit d et m des entiers positifs. Un élément fini est un triplet (K, PK, ΣK),
où
(i) K est un fermé borné de Rd d’intérieur non vide,
(ii) PK est un sous-espace de dimension finie de D(K)m,
(iii) ΣK est un ensemble de n formes linéaires continues σ1, ... et σn sur D(K)m qui
est PK-unisolvant, au sens suivant : pour tout n-uplet (c1, ..., cn) de Rn, il existe
une unique fonction p de PK telle que
σi(p) = ci, 1 ≤ i ≤ n.
On note que, si ΣK est PK-unisolvant au sens précédent, les σi, 1 ≤ i ≤ n, sont
linéai-rement indépendantes sur PK. Une condition nécessaire pour que ΣK soit PK-unisolvant
est que dim PK = card ΣK = n. En outre, on a la propriété suivante.
Lemme 1.3.1. Avec les notations de la Définition 1.3.2, l’ensemble ΣK est PK-unisolvant
si et seulement s’il existe un unique n-uplet de fonctions ϕ1, ...et ϕn de PK telles que
σi(ϕj) = δij, 1 ≤ i, j ≤ n,
où δ·· désigne le symbole de Kronecker.
Les fonctions ϕj, 1 ≤ j ≤ n, introduites dans le Lemme 1.3.1 forment une base de PK :
en effet, toute fonction p de PK s’écrit de façon unique
p =
n
X
j=1
σj(p)ϕj.
Dans tout ce qui suit, Ω est un intervalle (d = 1), un polygone borné connexe (d = 2) ou un polyèdre borné connexe à frontière lipschitzienne (d = 3).
Définition 1.3.3. Une triangulation de Ω est un ensemble fini Th de sous-ensembles K
de Ω vérifiant les propriétés suivantes (i) On a
Ω = [
K∈Th
1.3. Méthode des éléments finis
(ii) chaque élément K de Th est un polygone ou un polyèdre connexe fermé de Rd
d’intérieur non vide à frontière lipschitzienne,
(iii) l’intersection de deux éléments distincts de Th est soit vide soit un sommet, un côté
ou une face entière de ces deux éléments.
Dans la plupart des cas, les triangulations sont composées de triangles ou de quadri-latères convexes en dimension d = 2, de tétraèdres ou de parallélépipèdes rectangles en dimension d = 3.
Soit hK le diamètre de K. Il est d’usage que l’indice h de Th représente le maximum
des hK, K ∈ Th.
Définition 1.3.4. (Triangulation conforme) On suppose que le bord ∂Ω est polygonal (si N = 2) ou polyédral (si N = 3). On dit qu’une triangulation Th sur ∂Ω est admissible
ou conforme, si l’intersection entre deux éléments est soit vide, soit un sommet, soit un côté entier ou une face entière.
Définition 1.3.5. Une famille de triangulations (Th)h est dite régulière s’il existe une
constante positive c telle que, pour tout h
(i) en dimension d = 1, pour tous éléments K et K0 de Th ayant une extrimité commune,
le rapport hK
hK0 est inférieur à c,
(ii) en dimension d ≥ 2, pour tout élément K de Th, le rapport hρKK est inférieur à c, où
ρK désigne le diamètre de la plus grande sphère contenue dans K.
Définition 1.3.6. On appelle coordonnées barycentriques λj, 1 ≤ j ≤ d + 1, d’un point
x = (xi)1≤i≤d de Rd par rapport aux d + 1 sommets aj non contenus dans un même
hyperplan, la solution (unique) du système linéaire suivant d+1 P j=1 aijλj = xi, 1 ≤ i ≤ d, d+1 P j=1 λj = 1,
où les aij sont les coordonnées du point aj.
Définition 1.3.7. Pour tout entier k ≥ 0, on appelle treillis principal d’ordre k d’un d-simplexe K, et on note Tk(K), l’ensemble des points de Rd ainsi défini
T0(K) = {x ∈ Rd; λj(x) = 1 d + 1, 1 ≤ j ≤ d + 1}, Tk(K) = {x ∈ Rd; λj(x) ∈ {0, 1 k, ..., k − 1 k , 1}, 1 ≤ j ≤ d + 1}, k ≥ 1.
1.4. Erreur d’approximation par éléments finis
Notation 1.3.2. Pour tout entier k ≥ 0, on définit Pk(Rd) comme l’espace des polynômes
sur Rd à valeurs dans R de degré total ≤ k et P
k(K) défini par l’espace des restrictions à
K des fonctions de l’ensemble Pk(Rd).
On introduit quelques notations suplémentaires.
Notation 1.3.3. À une triangulation Th, on associe l’ensemble Eh des côtés d = 2 ou
faces d = 3 des éléments de Th. On désigne par Eh0 l’ensemble des éléments de Eh qui ne
sont pas contenus dans ∂Ω. Dans ce qui suit, he désigne le diamètre de n’importe quel
élément e de Eh.
Notation 1.3.4. Pour une triangulation Th et tout élément K de Th, on note EK
l’en-semble des côtés d = 2 ou faces d = 3 de K et EK0 l’ensemble des éléments de EK qui ne
sont pas contenus dans ∂Ω.
On réfère à [10, Lemme 2.7, chap XI] pour la démonstration du lemme suivant.
Lemme 1.3.5. Pour tout élément K de Th et tout élément e de EK, il existe un opérateur
RK,e de l’espace Pk+d−10 (e) de polynômes de Pk+d−1(e) s’annulant sur ∂e dans Pk+d−1(K)
tel que, pour tout élément ϕ de Pk+d−10 (e), (i) RK,eϕ(x) = ϕ(x) dans e, 0 sur ∂K \ e, (ii) on ait l’estimation
|RK,eϕ|H1(K) + h−1K kRK,eϕkL2(K) ≤ c h
−12
e kϕkL2(e). (1.6)
1.4
Erreur d’approximation par éléments finis
Les propriétés des opérateurs de projection orthogonale et d’interpolation sont présen-tées et démontrées en détail dans [10].
Dans cette partie, l’espace d’éléments finis Xhassocié à la famille d’éléments finis (K, PK, ΣK),
K ∈ Th, est l’espace engendré par les fonctions de base ϕi 1 ≤ i ≤ Nh.
Notation 1.4.1. On note i∂Ωh l’opérateur d’interpolation de Lagrange aux nœuds de ΣK∩
1.4. Erreur d’approximation par éléments finis
Notation 1.4.2. On note Ih l’opérateur d’interpolation sur la grille ΣK : pour toute
fonction v suffisamment régulière sur Ω, Ihv appartient à Xh et vérifie
σi(Ihv) = σi(v), 1 ≤ i ≤ Nh.
De façon équivalente, la fonction Ihv s’écrit
Ihv = Nh
X
i=1
σi(v)ϕi. (1.7)
Théorème 1.4.3. On suppose tous les éléments finis (K, PK, ΣK)
(i) affine-équivalents à un même élément de référence ( ˆK, ˆP , ˆΣ), c’est à dire, il existe un élément de référence ( ˆK, ˆP , ˆΣ) et pour tout K, une transformation affine FK
qui envoie ˆK sur K et telle que PK = {p ◦ FK−1, p ∈ ˆP } et
ΣK = {σ, σ(p) = ˆσ(p ◦ FK), ˆσ ∈ ˆΣ},
(ii) tels que PK contienne l’espace Pk(K), k ≥ 0,
(iii) tels que tous les éléments de ΣK soient définis sur un espace W (K),
(iv) et tels que toute (d − 1)−face e de K, (e, Pe, Σe) est un élément fini.
Pour tout entier m, 0 ≤ m ≤ k + 1, tel que Hm(K) soit inclus dans W (K), il existe une constante c positive ne dépendant que de m telle que, pour toute fonction v de Hm(Ω), on
ait
kv − IhvkH1(Ω) ≤ c hm−1|v|Hm(Ω). (1.8)
Les opérateurs i∂Ω
h et Ih introduits précédemment vérifient des propriété
d’approxima-tion optimales, toutefois ils ne sont définis sauf excepd’approxima-tion que pour des foncd’approxima-tions continues, ce qui n’est pas le cas des fonctions de L2(Ω) et H1(Ω). Pour remédier à cet inconvénient,
nous allons introduire des opérateurs de projection orthogonale. On désigne par X0 h
l’es-pace Xh∩ H01(Ω).
Notation 1.4.4. On note Π1,0h l’opérateur de projection orthogonale de H1
0(Ω) sur l’espace
X0
h pour le produit scalaire associé à la semi norme | · |H1(Ω).
Théorème 1.4.5. Pour tout entier m, 1 ≤ m ≤ k + 1, il existe une constante c positive ne dépendant que de m telle que, pour toute fonction v de Hm(Ω) ∩ H01(Ω), on ait
|v − Π1,0h v|H1(Ω) ≤ c hm−1kvkHm(Ω). (1.9)
On désire finalement construire un opérateur de régularisation, appelé aussi opérateur de projection locale tel qu’introduit par P. Clément [15]. Dans ce but, on note ai, 1 ≤ i ≤ Nh0
1.4. Erreur d’approximation par éléments finis
Définition 1.4.1. On définit l’opérateur ˜Π0h par
˜ Π0hv = Nh0 X i=0 (πiv)(ai)ϕi,
à valeurs dans Xh0, où πi est un opérateur de régularisation dans un voisinage de ai
construit par projection locale (opérateur de projection orthogonale de L2(K
i) sur Pk(Ki)).
Notation 1.4.6. Pour tout triangle K de Th,
• on note ∆K l’union des éléments de Th partageant au moins un sommet avec K.
• l’ensemble ∆e désigne l’union des éléments de Th dont l’intersection avec e est non vide.
Théorème 1.4.7. Pour tout entier m, 1 ≤ m ≤ k + 1, il existe une constante c positive ne dépendant que de m telle que, pour tout élément K de Th et pour toute fonction v de
Hm(∆K) s’annulant sur ∆K∩ ∂Ω, on ait
kv − ˜Π0hvkL2(K) ≤ c hmK|v|Hm(∆ K),
et
|v − ˜Π0hv|H1(K) ≤ c hm−1K |v|Hm(∆ K).
Corollaire 1.4.8. Pour tout entier m, 1 ≤ m ≤ k + 1, il existe une constante c positive ne dépendant que de m telle que, pour tout élément K de Th et tout côté (d = 2) ou face
(d = 3) e de K non contenu dans ∂Ω, et pour toute fonction v de Hm(∆e) s’annulant
∆e∩ ∂Ω, on ait
kv − ˜Π0hvkL2(e)≤ c h
m−12
e |v|Hm(∆ e).
L’opérateur de régularisation permet de construire un opérateur de relèvement. L’idée de la construction de cet opérateur vient de [23]. On note Eb
h l’ensemble des côtés (d = 2)
ou faces (d = 3) des éléments de Th qui sont contenus dans ∂Ω.
Théorème 1.4.9. Soit Wh l’espace
Wh = {ϕh ∈C0(∂Ω); ∀e ∈ Ehb, ϕh|e∈ Pk(e)}.
Il existe un opérateur Rh de Wh dans Xh tel que, pour tout ϕh dans Wh, la trace de
Rh(ϕh) sur ∂Ω coïncide avec ϕh. Cet opérateur vérifie en outre la propriété de stabilité,
kRh(ϕh)kH1(Ω)≤ c kϕhk
Chapitre 2
Introduction à l’analyse a posteriori
Une phase délicate dans une simulation numérique est la construction du maillage. En effet, si le maillage est trop grossier, la durée des calculs sera courte, mais le résultat ne sera pas satisfaisant car trop approximatif. Par contre, si le maillage est très fin, il y a deux inconvénients : premièrement le calcul sera inutilement long car certaines zones ne nécessitent pas un maillage fin, deuxièmement, le processus lui-même risque de se terminer par une interruption extérieure par exemple limite de temps dépassée. Il faut donc trouver un bon compromis de manière à ce que le maillage soit fin uniquement là où cela est nécessaire.
Les outils permettant de déterminer les endroits où l’erreur locale est inférieure ou su-périeure à la moyenne sont appelés indicateur d’erreur. Leur étude repose sur une analyse a posteriori de la discrétisation, le sens de ce terme étant expliqué dans ce chapitre.
2.1
Principes généraux et propriétés
Supposons que l’on ait à résoudre numériquement le problème suivant : trouver u dans un espace de Banach X tel que A(u) = f . Si h désigne le paramètre de discrétisation on va donc chercher une solution uh de l’équation A(uh) = f dans un sous-espace de dimension
finie Xh de X.
Les estimations d’erreur a priori fournissent des bornes sur la différence entre la solution exacte u de X et la solution approchée uh dans la norme (ou semi-norme), k · kX sous la
2.1. Principes généraux et propriétés
forme,
ku − uhkX ≤ c hm−1kukHm(Ω), ∀m ∈ N∗. (2.1)
Ces estimations sont utilisées afin de justifier théoriquement la convergence de la méthode numérique employée. De plus, la constante générique c qui apparaît dans l’estimation (2.1) est soit inconnue, soit difficile à estimer. La difficulté la plus importante est que la norme k · kHm n’est pas calculable, simplement parce que la solution exacte u est inconnue
explicitement.
Pour pouvoir développer une méthode adaptative, on va avoir recours à des estimations d’erreur a posteriori.
Définition 2.1.1. On appelle estimation d’erreur a posteriori, une estimation de la forme, ku − uhkX ≤ c η(h, uh, f ), (2.2)
où c est une constante réelle positive indépendante du paramètre h caractérisant la pré-cision du maillage. La quantité η(h, uh, f ) est appelée estimateur d’erreur a posteriori, et
ne dépend que de la solution approchée uh du maillage Th et de la donnée f (le second
membre de l’équation).
On attribue à un estimateur d’erreur a posteriori, certaines propriétés qui attestent de sa qualité. Ainsi, il doit satisfaire les trois propriétés suivantes :
• Propriété de fiabilité. Une première propriété que doit vérifier un estimateur d’erreur a posteriori est de satisfaire l’estimation
ku − uhkX ≤ c1 η(h, uh, f ) + H1, (2.3)
où H1 est une quantité ne dépendant que du second membre et des conditions de bord
du problème.
L’estimation (2.3) s’interprète comme une propriété de fiabilité puisqu’elle garantit que l’erreur ku − uhkX est effectivement contrôlée par l’estimateur d’erreur a posteriori.
• Adaptation de maillage. Un estimateur d’erreur a posteriori doit donner des infor-mations sur la distribution locale de l’erreur. Il doit pouvoir être localisé, par exemple sur chaque élément du maillage sous la forme,
η(h, uh, f ) = X K∈Th η2K(h, uh, f ) 12 . (2.4)
2.2. Outils de l’analyse
Grâce aux estimateurs d’erreur a posteriori et notamment aux indicateurs d’erreur lo-caux, on connait la répartition de l’erreur et l’on sait atteindre uniquement les éléments où elle est la plus élevée. On introduit alors une procédure d’adaptation basée sur ces in-dicateurs pour raffiner (ou déraffiner) localement le maillage. Un algorithme relativement général d’adaptation de maillage est le suivant :
1. On choisit un maillage initial que l’on note T0
h. On pose i = 0.
2. On résout le problème discret sur Thi. On note uih la solution discrète. 3. Sur chaque élément K de Ti
h, on calcule un indicateur d’erreur local ηK associé à
K.
4. Si l’estimation d’erreur globale est inférieure à un seuil de tolérance, on arrête les calculs.
5. Sinon, sur la base de ces indicateurs d’erreur locaux, on décide de raffiner certaines mailles et d’en déraffiner d’autres. On note Thi+1le nouveau maillage ainsi construit. 6. On incrémente l’indice i de 1 et on revient à l’étape (2).
• Propriété d’efficacité. Pour qu’une procédure de raffinement adaptatif de maillage soit efficace, il faut que les indicateurs d’erreur locaux obéissent à l’estimation,
ηK(h, uh, f ) ≤ c2ku − uhk∆K + H2,K(h, f ), (2.5)
où ∆K désigne l’espace des restrictions des fonctions de X à un voisinage fixé de K
et H2,K(h, f ) ne fait intervenir que h et les valeurs du second membre f sur ce même
voisinage.
Définition 2.1.2. Une estimation de l’erreur a posteriori par une quantité η(h, uh, f )
dépendant du paramètre de discrétisation h, de la solution discrète uh et des données f
est dite optimale si elle satisfait la propriété de fiabilité (2.3) et la propriété d’efficacité (2.5).
Remarque 2.1.1. Le critère d’optimalité assure l’équivalence entre l’erreur et l’estima-teur d’erreur a posteriori. Ce critère permet donc d’assurer numériquement le bon com-portement des indicateurs d’erreur a posteriori.
2.2
Outils de l’analyse
Nous regroupons dans cette section, les outils d’analyse, notamment les fonctions bulles et inégalités inverses. Dans ce qui suit, on considère Ω un ouvert borné lipschitzien de Rd,
2.2. Outils de l’analyse
2.2.1
Fonctions bulles
Pour minorer localement l’erreur par les indicateurs d’erreur locaux, nous aurons besoin des fonctions bulles satisfaisant certaines propriétés.
Définition 2.2.1. On désigne d-simplexe ˆK le triangle de référence dont un sommet a toutes ses coordonnées nulles et les d autres ont une coordonnée égale à 1 et les autres nulles.
Définition 2.2.2. Une transformation FK : Rd −→ Rd est dite affine s’il existe une
matrice AK carrée de dimension d et un vecteur b de Rd tels que
x = FK(ˆx) = AKx + b.ˆ
Lemme 2.2.1. Soit FK une transformation affine bijective du d-simplexe de référence ˆK
sur un d-simplexe K, de la forme FK(ˆx) = AKx + b. Alors il existe des constantes c et cˆ 0
indépendantes de K telles que le déterminant de AK vérifie les bornes suivantes :
| det AK| ≤ c hd K ˆ ρd, | det A −1 K | ≤ c 0 ˆhd ρd K .
Preuve. La transformation FK est un changement de variable sur K, en rappelant que
det AK est constant sur ˆK, on obtient
mes(K) = Z K dx = Z ˆ K | det AK|dˆx = | det AK| Z ˆ K dˆx = | det AK|mes( ˆK).
On conclut en notant que mes(K) est inférieur à cdhdK et supérieur à cdρdK, où cd est
le volume de la sphère unité de Rd divisé par 2d et de façon analogue que, mes( ˆK) est
inférieur à cdˆhd et supérieur à cdρˆd, il en résulte
| det AK| = mes(K) mes( ˆK) ≤ cd hdK mes( ˆK) ≤ c hd K ˆ ρd, et | det AK|−1 = mes( ˆK) mes(K) ≤ cdˆhd mes(K) ≤ c 0 ˆhd ρd K . Ceci termine la preuve.
Par la suite, on note k · k à la foie la norme euclidienne de Rd et la norme de la matrice
subordonnée, c’est-à-dire ∀x ∈ Rd, kxk = d X i=1 x2i 1 2
et ∀A ∈ Rd×d, kAk = sup
x∈Rd,x6=0 Rd
kAxk kxk .
2.2. Outils de l’analyse
Lemme 2.2.2. Soit FK une transformation affine bijective du d-simplexe de référence ˆK
sur un d-simplexe K, de la forme FK(ˆx) = AKx + b. Alors la matrice Aˆ K satisfait les
bornes suivantes : kAKk ≤ hK ˆ ρ , kA −1 K k ≤ ˆ h ρK . (2.6) Preuve. On a kAKk = sup x∈Rd,x6=0 Rd kAKxk
kxk =y∈Rˆ supd,kˆyk= ˆρ
kAKykˆ
ˆ ρ . En écrivant ˆy = ˆy1− ˆy2 avec ˆy1 et ˆy2 appartenant à ˆK, on voit que
AKy = Aˆ Kyˆ1 − AKyˆ2 = FK(ˆy1) − FK(ˆy2).
Par définition, FK(ˆy1) et FK(ˆy2) appartiennent à K alors kFK(ˆy1) − FK(ˆy2)k ≤ hK car
hK = max
x,y∈Kkx − yk. D’où kAKyk ≤ hˆ K. D’où la première inégalité de (2.6) est prouvée.
La deuxième inégalité s’obtient en changeant les rôles de K et ˆK. En effet, soit x égal à x1− x2 ∈ K tel que x1, x2 ∈ K, on a
A−1K x = A−1K x1− A−1K x2 = FK−1(x1) − FK−1(x2).
Puisque FK−1(x1) et FK−1(x2) appartiennent à ˆK il en résulte
kA−1K xk = kFK−1(x1) − FK−1(x2)k ≤ ˆh.
On conclut en divisant par ρK et passant au supremum pour tout x ∈ Rd, kxk = ρK.
Pour simplifier, on considère la dimension d = 2. Soient ˆK le triangle de référence. Les trois coordonnées barycentriques par rapport aux sommets a1 de coordonnées (1, 0), a2
de coordonnées (0, 1), a3 de coordonnées (0, 0), sont
ˆ
λ1 = x, ˆλ2 = y, ˆλ3 = 1 − x − y.
La définition suivante fait appel aux coordonnées barycentriques ˆλj.
Définition 2.2.3. On définit la fonction bulle intérieure dans ˆK par : ˆ
ψK = 27ˆλ1ˆλ2λˆ3.
Lemme 2.2.3. La fonction ˆψK s’annule sur le bord de ˆK et max x∈ ˆK
ˆ
ψK(x) = 1.
Preuve. On a ∂ ˆK est l’union de trois arrêtes e1, e2 et e3 telles que
2.2. Outils de l’analyse
Donc il est clair que ˆψK est nul si x = 0, y = 0 ou y = 1 − x. Pour montrer que
max
x∈ ˆK
ˆ
ψK(x) = 1, on cherche les points critiques de ˆψK. Le gradient de ˆψK est donné par
∇ ˆψK = ∂ ˆψK ∂x ∂ ˆψK ∂y = 27 y − 2xy − y2 x − x2− 2xy
Il suffit de trouver les solutions (x, y) dans ˆK des équations y(1 − 2x − y) = 0 x(1 − x − 2y) = 0.
Les solutions dont x = 0 ou y = 0 sont rejetées car ils appartiennent à ∂ ˆK et annulent ˆ
ψK. Si y = 1 − 2x ou y = 1−x2 on trouve (13,13) est un point critique de ˆψK et on a :
ˆ
ψK(13,13) = 1.
Encore grâce aux coordonnées barycentriques on donne la définition des fonctions bulles sur ∂K.
Définition 2.2.4. On définit les fonctions bulles de bord : ˆ
ψe1 = 4ˆλ2λˆ3, ˆψe2 = 4ˆλ1λˆ3, ˆψe3 = 4ˆλ1λˆ2.
Lemme 2.2.4. Les fonctions ˆψei, 1 ≤ i ≤ 3, sont définies telles que max
x∈ ˆK
ˆ
ψei(x) = 1 et
ˆ
ψei est différent de 0 sur ei (i-ième bord de ˆK) et 0 sur les autres bords de ˆK.
Preuve. Similairement à la preuve précédente, pour déterminer le max
x∈ ˆK
ˆ
ψei on détermine
les points critiques de ˆψei, i = 1, 3. On remarque que ˆψe1 qui est définie sur e1 par
ˆ
ψe1 = 4y(1 − y) admet le seul point critique (0,
1
2) et vérifie ˆψe1(0,
1
2) = 1. De manière
similaire, les seuls points critiques de ˆψe2 et ˆψe3 sont (
1 2, 0) et ( 1 2, 1 2) respectivement et on a ˆψe2( 1 2, 0) = 1 et ˆψe3( 1 2, 1 2) = 1.
On peut généraliser les définitions des fonctions bulles (Définitions 2.2.3 et 2.2.4) et ses propriétés (Lemmes 2.2.3 et 2.2.4) en dimension quelconque de la façon suivante.
Définition 2.2.5. Soit ˆλj, 1 ≤ j ≤ d + 1, les coordonnées barycentriques associées à ˆK.
1. La fonction bulle ˆψK est un élément de Pd+1( ˆK), définie sur une maille ˆK par :
ˆ ψK = (d + 1)d+1 d+1 Y j=1 ˆ λj.
2.2. Outils de l’analyse
2. Pour tout élément e de Eh, on désigne par ˆψe la fonction bulle sur e égale au produit
des d coordonnées barycentriques associées aux sommets de e ˆ ψe= dd d Y j=1 ˆ λj.
La preuve du Lemme suivant s’effectue par les mêmes arguments que pour les Lemmes 2.2.3 et 2.2.4.
Lemme 2.2.5. Les fonctions bulles vérifient les propriétés suivantes : ˆ ψK = 0 sur ∂ ˆK, ˆ ψe = 0 sur ∂Wˆe = ∂( ˆK ∪ ˆK0), k ˆψKkL∞( ˆK) = k ˆψekL∞(W ˆ e) = 1, 0 ≤ ˆψK ≤ 1, 0 ≤ ˆψe ≤ 1.
Grâce à la Définition 2.2.2 on donne la définition des fonctions bulles sur une maille K d’une triangulation Th.
Définition 2.2.6. Soit FK une transformation affine bijective du d-simplexe de référence
ˆ
K à un d-simplexe K de la forme FK(ˆx) = AKx + b. On définit les fonctions bulles surˆ
K par :
• ψK = ˆψK◦ FK−1 fonction bulle intérieure,
• ψe= ˆψe◦ FK−1 fonction bulle de bord, telle que e est une arête de K.
2.2.2
Inégalités inverses
Nous donnons à présent certaines inégalités inverses, lesquelles sont systématiquement utilisées pour établir la minoration locale de l’erreur, c’est-à-dire une estimation locale du type (2.5). L’idée principale consiste à majorer successivement chacun des termes intervenant dans la définition de l’indicateur local ηK(h, uh, f ).
Lemme 2.2.6. Soient ˆP un sous-espace de dimension finie de H1( ˆK) et ˆψK la fonction
bulle intérieure sur l’élément de référence ˆK. Alors, il existe une constante c ne dépendant que de ˆK telle que : pour tout ˆv dans ˆP
c kˆvk2L2( ˆK) ≤
Z
ˆ K
2.2. Outils de l’analyse et c kˆvkL2( ˆK) ≤ k ˆψ 1 2 Kvkˆ H1( ˆK) ≤ c 0 kˆ vkL2( ˆK).
Preuve. On va montrer que les applications :
v 7→ Z ˆ K ( ˆψKvˆ2)(ˆx) dˆx 12 et v 7→ k ˆψ 1 2 Kvkˆ H1( ˆK)
définissent des normes sur ˆP . Il suffit de vérifier si k ˆψ
1 2 Kvkˆ L2( ˆK) = k ˆψ 1 2 Kvkˆ H1( ˆK) = 0 alors ˆ v = 0. En effet, on a k ˆψ 1 2 Kvkˆ L2( ˆK) = 0 alors ˆψ 1 2
Kˆv = 0. Comme ˆψK n’est pas nul dans ˆK,
ˆ
v = 0. Or en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, d’où le résultat.
Lemme 2.2.7. Soit ˆe une arête ou face de ∂ ˆK et ˆψe la fonction bulle correspondante
( ˆψe 6= 0 sur ˆe). Soit ˆP (ˆe) un espace de dimension finie des fonctions définies sur ˆe de
H1( ˆK). Alors, il existe une constante c ne dépendant que de ˆe telle que : pour tout ˆv dans ˆ P (ˆe) c kˆvk2L2(ˆe) ≤ Z ˆ e ( ˆψevˆ2)(ˆτ ) dˆτ ≤ c0 kˆvk2L2(ˆe), et k ˆψ 1 2 eˆvkH1(ˆe) ≤ c0 kˆvkL2(ˆe).
Preuve. Puisque ˆψe ne s’annule pas sur ˆe, k ˆψ
1 2
evkˆ L2(ˆe) et k ˆψ 1 2
eˆvkH1(ˆe) sont des normes sur
ˆ
P (ˆe) qui est de dimension finie. On conclut grâce à l’équivalence des normes dans les espaces de dimension finie.
Proposition 2.2.8. Soit (Th)h>0une famille régulière de triangulations sur Ω et conforme
dans le sens de la Définition 1.3.4. Alors pour tous vK ∈ Pk(K) et ve∈ Pk(e), avec e ∈ EK,
on a les inégalités suivantes :
c kvKkL2(K) ≤ kψ 1 2 KvKkL2(K) ≤ c0 kvKkL2(K), (2.7) c kvekL2(e) ≤ kψ 1 2 evekL2(e) ≤ c0 kvekL2(e). (2.8)
Preuve. On commence par montrer la première inégalité. Pour toute fonction ψKvKégale
à ˆψKvˆK◦ FK−1 continue sur K, on a Z K (ψKv2K)(x) dx = Z ˆ K ( ˆψKˆvK2)(ˆx)| det AK| dˆx.
D’après le Lemme 2.2.6, on trouve c | det AK| Z ˆ ˆ vK2(ˆx) dˆx ≤ Z (ψKvK2)(x) dx ≤ c 0 | det A K| Z ˆ ˆ v2K(ˆx) dˆx,
2.2. Outils de l’analyse
en effectuant encore le changement de variable x = FK(ˆx), on obtient
c kvKk2L2(K) ≤ kψ 1 2
KvKk2L2(K) ≤ c0 kvKk2L2(K).
La deuxième inégalité se démontre par les mêmes arguments. Pour toute fonction ψeve
égale à ˆψeˆve◦ FK−1 continue sur e, on a
Z e (ψeve2)(τ ) dτ = Z ˆ e ( ˆψevˆ2e)(ˆτ )| det AK| dˆτ .
D’après le Lemme 2.2.7, on trouve c | det AK| Z ˆ e ˆ ve2(ˆτ ) dˆτ ≤ Z e (ψeve2)(τ ) dτ ≤ c 0 | det A K| Z ˆ e ˆ ve2(ˆτ ) dˆτ , en effectuant encore le changement de variable τ = FK(ˆτ ), on obtient
c kvek2L2(e) ≤ kψ 1 2
evek2L2(e) ≤ c0 kvek2L2(e).
Ceci termine la démonstration.
Lemme 2.2.9. Soit FK une transformation affine bijective du d-simplexe de référence
ˆ
K sur un d-simplexe K. Pour tout entier positif ou nul m, une fonction v appartient à Hm(K) si et seulement si la fonction ˆv = v ◦ F
K appartient à Hm( ˆK). En outre, il existe
une constante ˆc telle que l’on ait les estimations suivantes ∀v ∈ Hm(K), |ˆv|Hm( ˆK) ≤ ˆc h m K ρ −d 2 K |v|Hm(K), (2.9) ∀ˆv ∈ Hm( ˆK), |v|Hm(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m K |ˆv|Hm( ˆK). (2.10)
Preuve. On démontre la première inégalité par récurrence sur m : 1. pour m = 0, on a kˆvk2L2( ˆK) = Z ˆ K |ˆv(ˆx)|2dˆx = | det AK|−1 Z K |v(x)|2dx = | det A K|−1kvk2L2(K). On a du Lemme 2.2.1, | det A−1K | ≤ c0 ˆh d ρd K , on trouve kˆvkL2( ˆK) ≤ ˆc ρ −d 2 K kvkL2(K).
2. On suppose l’inégalité vraie pour m − 1 |ˆv|Hm−1( ˆK) ≤ ˆc h m−1 K ρ −d 2 K |v|Hm−1(K).
2.2. Outils de l’analyse On a |ˆv|Hm( ˆK) = X |α|=m k∂αˆvk2 L2( ˆK) 12 = d X i=1 X |β|=m−1 k∂ˆxi(∂ βˆv)k2 L2( ˆK) 12 = d X i=1 |∂xˆiv|ˆ 2 Hm−1( ˆK) 12 ≤ c d X i=1 |∂xˆiˆv|Hm−1( ˆK), et de l’hypothèse de récurrence |ˆv|Hm( ˆK) ≤ ˆc hm−1K ρ −d 2 K d X i=1 |(∂xˆiv) ◦ Fˆ −1 K |Hm−1(K).
On observe que, si l’on note Aij, 1 ≤ i, j ≤ d, les coefficients de la matrice AK,
(∂ˆxiv) ◦ Fˆ −1 K = d X j=1 Aji ∂v ∂xj , on obtient |ˆv|Hm( ˆK) ≤ ˆc hm−1K ρ −d2 K kAKk d X i=1 |∂xiv|Hm−1(K).
Du Lemme 2.2.2 on a kAKk ≤ hρˆK, d’où l’estimation (2.9).
l’inégalité (2.10) s’obtient par les mêmes arguments que pour l’inégalité (2.9). On dé-montre par récurrence sur m.
1. pour m = 0, on a grâce au Lemme 2.2.1 kvk2
L2(K) = | det AK|kˆvk2L2( ˆK) ≤ ˆc h d 2
KkˆvkL2( ˆK).
2. On suppose l’inégalité vraie pour m − 1 |v|Hm−1(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m+1 K |ˆv|Hm−1( ˆK). On a de l’hypothèse de récurrence |v|Hm(K) ≤ c d X i=1 |∂xiv|Hm−1(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m+1 K d X i=1 |(∂xiv) ◦ FK|Hm−1( ˆK).
2.2. Outils de l’analyse
On observe que, si l’on note Bij, 1 ≤ i, j ≤ d, les coefficients de la matrice A−1K ,
(∂xiv) ◦ FK = d X j=1 Bji ∂ ˆv ∂ ˆxj , on obtient |v|Hm(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m+1 K kA −1 K k d X i=1 |∂xˆiv|ˆHm−1( ˆK). Du Lemme 2.2.2 on a kA−1K k ≤ ˆh
ρK, on trouve l’estimation cherchée.
Proposition 2.2.10. Pour tout entier m positif ou nul, il existe une constante c ne dépendant que de k telle que l’on ait pour tout d-simplexe K
∀v ∈ Pk(K), |v|Hm(K) ≤ c ρ −m−d2 K h d 2 KkvkL2(K). (2.11)
Preuve. En posant ˆv = v ◦ FK, d’après le Lemme 2.2.9, on a
∀v ∈ Pk(K), |v|Hm(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m K |ˆv|Hm( ˆK).
Sur l’espace de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Il existe donc une constante ˆc ne dépendant que de k et de ˆK telle que
|ˆv|Hm( ˆK) ≤ kˆvkHm( ˆK) ≤ ˆc kˆvkL2( ˆK). donc |v|Hm(K) ≤ ˆc h d 2 K ρ −m K |ˆv|Hm( ˆK) ≤ c h d 2 K ρ −m K kˆvkL2( ˆK).
On utilise de nouveau le Lemme 2.2.9,
kˆvkL2( ˆK) ≤ ˆc ρ −d 2 K kvkL2(K), on trouve |v|Hm(K) ≤ c0 ρ−mK ρ −d2 K h d 2 KkvkL2(K).
D’où le résultat cherché.
Corollaire 2.2.11. On suppose la triangulation Th régulière dans le sens de la Définition
1.3.5. Pour tout entier m positif ou nul, il existe une constante c ne dépendant que de k telle que l’on ait pour tout d-simplexe K
∀v ∈ Pk(K), |v|Hm(K) ≤ c h−m
K kvkL2(K). (2.12)
Preuve. En vertu de la Définition 1.3.5, il existe c > 0 tel que hK ρK ≤ c. De façon équivalente 1 ρK ≤ c hK ou encore 1 ρm+ d 2 K ≤ c m+d2 hm+ d 2 K .
Chapitre 3
Analyse a posteriori du problème de
Dirichlet pour le laplacien
Par analogie au Chapitre 2, on s’intéresse ici à l’analyse a posteriori de l’équation de Laplace muni aux conditions aux limites de Dirichlet.
Sur un ouvert borné lipschitzien Ω de Rd, on considère le problème de Dirichlet pour
l’opérateur de Laplace ∆ = d P i=1 ∂2 ∂x2 i −∆u = f dans Ω, u = g sur ∂Ω. (3.1)
où l’inconnue est la fonction u. Les données sont les fonctions f et g.
3.1
Formulation variationnelle
On considère la distribution f dans H−1(Ω) et la donnée sur la frontière g dans H12(∂Ω).
Grâce au théorème de trace Théorème 1.1.3 pour g ∈ H12(∂Ω) on peut trouver un
relève-ment de cette trace que l’on note g de H1(Ω), il vérifie donc par définition γ
0g = g.
Proposition 3.1.1. Le problème (3.1) admet la formulation variationnelle suivante : Trouver u dans H1(Ω), avec u − g dans H01(Ω) tel que
∀v ∈ H1 0(Ω),
Z
Ω
∇u(x) · ∇v(x) dx =< f, v >, (3.2) où < ·, · > désigne les crochets de dualité entre H−1(Ω) et H01(Ω).
3.1. Formulation variationnelle
Preuve. En prenant comme nouvelle fonction inconnueu = u − g, nous voyons quee u este solution du problème −∆eu = f + ∆g dans Ω, e u = 0 sur ∂Ω. (3.3)
Par construction,u ∈ He 01(Ω), on multiplie la première ligne de (3.3) par une fonction test v de H1
0(Ω), on voit que
< −∆eu, v >=< f + ∆g, v >=< f, v > + < ∆g, v > . Grâce au Lemme 1.1.5, on trouve
Z Ω ∇u(x) · ∇v(x) dx =< f, v > −e Z Ω ∇g(x) · ∇v(x) dx,
finalement, on rajoute le dernier terme du membre de droite dans les deux membres on obtient le problème variationnel (3.2).
Nous vérifions que la formulation variationnelle (3.2) admet une solution unique. Pour cela nous utilisons le Lemme de Lax-Milgram dont nous vérifions les hypothèses avec les notations
a(u, v) = Z
Ω
∇u(x) · ∇v(x) dx et L(v) =< f, v > .
Théorème 3.1.2. Pour toute distribution f de H−1(Ω) et toute fonction g de H12(∂Ω)
le problème (3.1) admet une solution unique u dans H1(Ω). Cette solution vérifie
kukH1(Ω) ≤ c (kf kH−1(Ω)+ kgk
H12(∂Ω)).
Preuve. Revenons au changement d’inconnueu = u − g. La fonctionu appartient à He 1 0(Ω)
et vérifie
∀v ∈ H1
0(Ω), a(u, v) = L(v) − a(g, v).e (3.4) On voit facilement en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz que a(·, ·) est une forme bilinéaire continue sur H1
0(Ω) × H01(Ω) et que L(·) − a(g, ·) est une forme linéaire continue
sur H01(Ω). En vertu de l’inégalité de Poincaré-Friedrichs (1.2), la forme bilinéaire a(·, ·) est coercive dans H1
0(Ω), c’est à dire qu’il existe α > 0 tel que
a(v, v) = Z
Ω
(∇v)2(x) dx ≥ α kvk2H1(Ω), ∀v ∈ H01(Ω).
Comme H1
0(Ω) est un espace de Hilbert, on peut conclure qu’il existe une unique solution
e u ∈ H1
0(Ω) de
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
ce qui implique l’existence et l’unicité de u dans H1(Ω) solution de (3.2). En prenant v égale à eu dans (3.4), on déduit que
kuke H1(Ω)≤
1
α (kf kH−1(Ω)+ kgkH1(Ω)).
On a g est une fonction de H1(Ω) dont la trace sur ∂Ω coïncide avec g et vérifie
kgkH1(Ω) ≤ c kgk
H12(∂Ω).
On combine ces deux dernières inégalités on voit que kuke H1(Ω) ≤ c (kf kH−1(Ω)+ kgk
H12(∂Ω)).
Finalement, grâce à l’inégalité triangulaire, on obtient kukH1(Ω) ≤ c (kf kH−1(Ω)+ kgk
H12(∂Ω)).
Ceci achève la démonstration.
On peut interpréter le problème variationnel et retourner au problème aux limites. Proposition 3.1.3. Le problème variationnel (3.2) et le problème aux limites (3.1) sont équivalents au sens où
(i) toute solution u dans H1(Ω) de (3.1) est solution de (3.2).
(ii) toute solution u de (3.2) est solution de (3.1) au sens des distributions.
Preuve. (i) est déjà démontré dans la Proposition 3.1.1. Pour prouver (ii), on prend v ∈ D(Ω) ⊂ H1
0(Ω) dans (3.2), en appliquant la formule (1.5), on obtient
< −∆u, v >=< f, v >, ∀v ∈ D(Ω).
Ce qui implique que −∆u = f au sens des distributions. Comme eu = u − g ∈ H1 0(Ω) ce
qui veut dire que eu = 0 sur le bord de Ω, on en déduit que u = g sur ∂Ω.
3.2
Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
Dans ce qui suit, le domaine Ω dans le quel on travaille est soit un polygone de R2 soit un polyèdre de R3 à frontière lipschitzienne. On considère une famille régulière de
triangulations (Th)h de Ω par des triangles ou tétraèdres, au sens indiqué dans la Section
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
3.2.1
Condition aux limites homogènes
Désormais on traitera le cas de conditions aux limites homogènes où la valeur de g sur la frontière est nulle et on suppose f dans L2(Ω).
3.2.1.1 Discrétisation par éléments finis
On s’intéresse à la discrétisation par éléments finis du problème variationnel : Trouver u dans H01(Ω) tel que
∀v ∈ H01(Ω), a(u, v) = Z Ω f (x)v(x) dx. (3.5) On introduit l’espace Xh = {vh ∈ H1(Ω); ∀K ∈ Th, vh|K ∈ Pk(K)}
et on considère l’espace Xh0 = Xh∩ H01(Ω), l’espace des fonctions de Xh à trace nulle sur
∂Ω. Le problème discret suivant est simplement construit par la méthode de Galerkin qui consiste à remplacer H1
0(Ω) par Xh0 :
Trouver uh dans Xh0 tel que
∀vh ∈ Xh0, a(uh, vh) = L(vh). (3.6)
Théorème 3.2.1. Pour toute fonction f dans L2(Ω), le problème admet une solution
unique. De plus, cette solution vérifie
kuhkH1(Ω) ≤ c kf kL2(Ω), (3.7)
telle que c est une constante positive indépendante de h.
Preuve. Vu que X0
h est un sous espace de dimension finie de H01(Ω), il est fermé muni
du produit scalaire de H1
0(Ω), Xh0 est un espace de Hilbert. La restriction de la forme
bilinéaire a(·, ·) à Xh0 × X0
h est continue et coercive, et la restriction de L(·) à Xh0 est
linéaire et continue. D’après le Lemme de Lax-Milgram on a l’existence et l’unicité de uh.
Pour montrer (3.7) on prend vh égal à uh dans la formulation variationnelle (3.6) et on
utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve
k∇uhk2L2(Ω)d ≤ kf kL2(Ω)kuhkL2(Ω).
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
3.2.1.2 Analyse d’erreur a priori
On prouve dans cette section le résultat fondamental pour l’estimation de l’erreur a priori.
Lemme 3.2.2. (Lemme de Céa) On a la majoration d’erreur a priori entre la solution u du problème (3.5) et la solution uh du problème (3.6)
ku − uhkH1(Ω) ≤
M α vhinf∈Xh0
ku − vhkH1(Ω),
où M et α sont les quantités qui interviennent de la continuité et la coercivité de a(·, ·).
Preuve. on prend v égal à vhdans (3.5) on déduit en soustrayant (3.6) de (3.5) la relation
appelée relation d’orthogonalité de Galerkin
a(u − uh, vh) = 0, ∀vh ∈ Xh0.
Puisque a(·, ·) est coercive, il en résulte
α ku − uhk2H1(Ω)≤ a(u − uh, u − uh)
≤ a(u − uh, u) − a(u − uh, uh), ∀vh ∈ Xh0.
On a a(u − uh, uh) égal à 0 car uh ∈ Xh0, donc
α ku − uhk2H1(Ω) ≤ a(u − uh, u) − a(u − uh, vh)
≤ a(u − uh, u − vh), ∀vh ∈ Xh0.
La continuité de a(·, ·) implique que
α ku − uhk2H1(Ω) ≤ M ku − uhkH1(Ω)ku − vhkH1(Ω), ∀vh ∈ Xh0. Par conséquent, ku − uhkH1(Ω)≤ M α ku − vhkH1(Ω), ∀vh ∈ X 0 h, et donc ku − uhkH1(Ω) ≤ M α vhinf∈Xh0 ku − vhkH1(Ω).
Ceci termine la preuve.
Théorème 3.2.3. On suppose la solution u du problème (3.5) dans Hm(Ω) pour un entier
m, 1 ≤ m ≤ k + 1. Alors, pour le problème discret (3.6), on a la majoration d’erreur ku − uhkH1(Ω) ≤ c hm−1kukHm(Ω). (3.8)
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
Preuve. D’après le Lemme de Céa (Lemme 3.2.2) ku − uhkH1(Ω)≤
M
α ku − vhkH1(Ω), ∀vh ∈ X
0 h.
On choisit vh l’image de u par l’opérateur de projection orthogonale Π 1,0
h sur X 0
h donné
dans la Notation 1.4.4 et vérifiant (1.9), ku − uhkH1(Ω) ≤
M
α ku − Π
1,0
h ukH1(Ω) ≤ c hm−1kukHm(Ω).
3.2.1.3 Analyse d’erreur a posteriori
On rappelle que grâce à la coercivité de a(·, ·) ku − uhkH1(Ω) ≤ 1 α v∈Hsup1 0(Ω)\{0} a(u − uh, v) kvkH1(Ω) . (3.9)
D’après le principe énoncé dans la section 2.1, nous allons chercher à éliminer u dans la borne supérieure de (3.9).
On a la relation d’orthogonalité de Galerkin suivante a(u − uh, vh) = 0, ∀vh ∈ Xh0,
et donc, pour toutes fonctions v ∈ H01(Ω) et vh ∈ Xh0
a(u − uh, v) = a(u − uh, v − vh). (3.10)
De l’égalité (3.10) et la définition de a(·, ·)
a(u − uh, v) = (∇(u − uh), ∇(v − vh)) = (∇u, ∇(v − vh)) − (∇uh, ∇(v − vh))
= (f, v − vh) − (∇uh, ∇(v − vh)). (3.11)
À cette étape une première idée importante est à retenir : l’élimination de la solution exacte u dans (3.11). Maintenant on fait une décomposition sur les éléments de la trian-gulation Th : a(u − uh, v) = X K∈Th Z K f (x)(v − vh)(x) dx − Z K ∇uh(x) · ∇(v − vh)(x) dx . (3.12)
On applique la formule de Green (1.4) sur le deuxième terme du membre de droite pour obtenir a(u−uh, v) = X K∈Th Z K (f +∆uh)(x)(v−vh)(x) dx− Z ∂K ∂uh ∂nK (τ )(v−vh)(τ ) dτ . (3.13)
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
Où nK désigne le vecteur normal unitaire extérieur à K.
À cette étape, une seconde idée importante est à retenir : l’application de la formule de Green à RK∇uh· ∇(v − vh) dx dans l’équation (3.12) pour éliminer l’opérateur gradient
”∇” agissant sur (v − vh).
Dans (3.13), l’intégrale sur ∂K peut s’écrire comme une somme d’intégrales sur les éléments e de EK. On note que ces éléments se répartissent en deux parties :
• ou bien e est contenu dans ∂Ω et l’intégrale sur e est nulle car v et vh s’annulent sur
∂Ω ;
• ou bien e est contenu dans la frontière de deux éléments K et K0 et, au total, la quantité
à intégrer sur e dans le second membre de (3.13) s’écrit
(∂nKuh)(τ )(v − vh)(τ ) + (∂nK0uh)(τ )(v − vh)(τ ) = [∂nKuh](τ )(v − vh)(τ ), (3.14)
où [∂nKuh] désigne le saut ∂nKuh+ ∂nK0uh. Les relations (3.13) et (3.14) conduisent à
a(u − uh, v) = X K∈Th Z K (f + ∆uh)(x)(v − vh)(x) dx − 1 2 X e∈E0 K Z e [∂nKuh](τ )(v − vh)(τ ) dτ . (3.15) À partir de cette équation, on peut majorer l’erreur en fonction de normes appropriées de f + ∆uh et de [∂nKuh]. Une difficulté est que, la fonction f pouvant être compliquée, la
norme de f + ∆uh n’est pas forcément simple à calculer. Pour remédier à cet inconvénient,
on fixe un entier ` ≥ 0, on introduit l’espace
Zh = {th ∈ L2(Ω); ∀K ∈ Th, th|K ∈ P`(K)},
et on introduit une approximation fh de la donnée f dans Zh.
a(u − uh, v) = X K∈Th Z K (f − fh)(x)(v − vh)(x) dx + Z K (fh+ ∆uh)(x)(v − vh)(x) dx −1 2 X e∈EK0 Z e [∂nKuh](τ )(v − vh)(τ ) dτ . (3.16)
Définition 3.2.1. On définit la famille d’indicateurs d’erreur de la façon suivante, pour tout K dans Th, ηK = hKkfh+ ∆uhkL2(K)+ 1 2 X e∈E0 K h 1 2 ek[∂nKuh]kL2(e). (3.17)
Remarque 3.2.1. Dans le cas où k est égal à 1, on aura tendance à prendre ` égal à zéro. Dans ce cas l’indicateur s’écrit simplement
ηK = hK(mes K) 1 2|f h|K| + 1 2 h 1 2 e(mes e) 1 2|[∂ nKuh]|e|,
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
On est alors en mesure de prouver l’estimation a posteriori suivante.
Théorème 3.2.4. On suppose la donnée f du problème (3.5) dans L2(Ω). Alors, pour le problème discret (3.6), il existe une constante positive c indépendante de h telle qu’on ait la majoration d’erreur ku − uhkH1(Ω) ≤ c X K∈Th ηK2 + h2Kkf − fhk2L2(K) 12 . (3.18)
Preuve. Pour tout v ∈ H01(Ω) et tout vh dans Xh0, on utilise l’équation (3.16), combinée
avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz, a(u − uh, v) ≤ X K∈Th kf − fhkL2(K)+ kfh+ ∆uhkL2(K)kv − vhkL2(K) +1 2 X e∈E0 K k[∂nKuh]kL2(e)kv − vhkL2(e) .
Puis on choisit vh égal à l’image de v par l’opérateur ˜Π0h et on utilise le théorème 1.4.7,
on trouve kv − ˜Π0hvkL2(K) ≤ c hKkvkH1(∆ K), et le corollaire 1.4.8, on obtient kv − ˜Π0hvkL2(e) ≤ c h 1 2 ekvkH1(∆ e). Donc a(u − uh, v) ≤ c X K∈Th hK kf − fhkL2(K)+ kfh+ ∆uhkL2(K)kvkH1(∆ K) + 1 2 X e∈E0 K h 1 2 ek[∂nKuh]kL2(e)kvkH1(∆e) ,
où les ∆K et ∆e sont introduits dans la Notation 1.4.6. Par une inégalité de Hölder, on
obtient a(u − uh, v) ≤ c X K∈Th h2K kf − fhkL2(K)+ kfh+ ∆uhkL2(K) 2 12 X K∈Th kvk2 H1(∆ K) 12 + 1 4 X K∈Th X e∈E0 K hek[∂nKuh]k 2 L2(e) 12 X K∈Th X e∈E0 K kvk2H1(∆ e) 12 , et comme kf − fhkL2(K) + kfh+ ∆uhkL2(K) 2 ≤ 2 kf − fhk2L2(K) + kfh+ ∆uhk2L2(K).
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet On obtient, a(u − uh, v) ≤ c X K∈Th h2Kkfh+ ∆uhk2L2(K)+ h2Kkf − fhk2L2(K) +1 4 X e∈E0 K hek[∂nKuh]k 2 L2(e) 12 X K∈Th kvk2 H1(∆ K) 12 ,
et en rappelant qu’un même élément de Th n’est contenu que dans un nombre fini (borné
indépendamment de h) de ∆K, on obtient alors
a(u − uh, v) ≤ c X K∈Th ηK2 + h2Kkf − fhk2L2(K) 12 kvkH1(Ω).
En combinant cette estimation avec (3.9), on obtient la majoration cherchée.
La majoration (3.18) conforme également la propriété de fiabilité énoncé dans (2.3). Pour prouver la propriété d’efficacité, on s’appuie sur l’équation dite du "résidu" qui s’obtient en prenant vh égal à 0 dans (3.16)
∀v ∈ H1 0(Ω), a(u − uh, v) = X K∈Th Z K (f − fh)(x)v(x)dx + Z K (fh+ ∆uh)(x)v(x)dx − 1 2 X e∈E0 K Z e [∂nKuh](τ )v(τ )dτ . (3.19)
En effet, par deux choix appropriés de la fonction v, on peut déduire de cette équation une majoration des deux termes figurant dans chaque ηK. On a besoin de la notation
suivante.
Notation 3.2.5. Pour tout élément K de Th, ωK désigne l’union des éléments de Th qui
partagent au moins un côté (d = 2) ou une face (d = 3) avec K.
Théorème 3.2.6. On suppose la donnée f du problème (3.5) dans L2(Ω). Pour tout
élément K de Th, l’indicateur d’erreur ηK défini en (3.17) vérifie la majoration suivante
ηK ≤ c |u − uh|H1(ω
K)+ hKkf − fhkL2(ωK). (3.20)
Preuve. On prouve la majoration en deux étapes
1. Dans une première étape, on choisit tout d’abord la fonction v dans (3.19) égale à
vK = (fh+ ∆uh)ψK dans K, 0 dans Ω \ K, (3.21)
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
tel que ψK est la fonction bulle introduit dans la Définition 2.2.6. On note que la
fonction vKest à support contenu dans K et s’annule sur ∂K et donc
R
e
[∂nKuh](τ )vK(τ )dτ
égale à 0. On en déduit de (3.19) que a(u − uh, vK) = X K∈Th Z K (f − fh)(x)vK(x)dx + Z K (fh + ∆uh)(x)vK(x)dx . Donc Z K (fh+∆uh)(x)vK(x)dx = Z K ∇(u−uh)(x)·∇vK(x)dx− Z K (f −fh)(x)vK(x)dx.
On écrit explicitement vK dans le membre de gauche,
Z K (fh+∆uh)2(x)ψK(x)dx = Z K ∇(u−uh)(x)·∇vK(x)dx− Z K (f −fh)(x)vK(x)dx,
et en passant à la norme de L2(K), on obtient k(fh+ ∆uh)ψ 1 2 Kk 2 L2(K) = Z K ∇(u − uh)(x) · ∇vK(x)dx − Z K (f − fh)(x)vK(x)dx.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne k(fh+ ∆uh)ψ 1 2 Kk 2 L2(K) ≤ |u − uh|H1(K)|vK|H1(K)+ kf − fhkL2(K)kvKkL2(K),
On utilise l’inégalité inverse (2.7)
c kfh+ ∆uhkL2(K) ≤ k(fh+ ∆uh)ψ 1 2 KkL2(K), et donc c k(fh+ ∆uh)k2L2(K) ≤ |u − uh|H1(K)|vK|H1(K)+ kf − fhkL2(K)kvKkL2(K).
Encore une fois l’inégalité inverse (2.12)
|vK|H1(K) ≤ c h−1K kvKkL2(K).
En notant que la fonction ψK prend ses valeurs entre 0 et 1 sur K (voir Lemme
2.2.5), on en déduit kvKkL2(K) = k(fh+ ∆uh)ψKkL2(K) ≤ c0 kfh+ ∆uhkL2(K), alors |vK|H1(K) ≤ c h−1K kfh+ ∆uhkL2(K). On trouve c k(fh+ ∆uh)k2L2(K) ≤ c h−1K |u − uh|H1(K)kfh+ ∆uhkL2(K) + c0 kf − fhkL2(K)kfh+ ∆uhkL2(K),
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
ce qui implique
kfh+ ∆uhkL2(K) ≤ c h−1K |u − uh|H1(K)+ kf − fhkL2(K).
En multipliant cette dernière relation par hK, on obtient
hKkfh+ ∆uhkL2(K) ≤ c |u − uh|H1(K)+ hKkf − fhkL2(K). (3.22)
2. Dans une deuxième étape, pour tout élément e de EK0, soit K0 l’autre élément de Th contenant e. On choisit ici la fonction v dans (3.19) égale à
ve = RK,e([∂nKuh]ψe) dans K, RK0,e([∂n K0uh]ψe) dans K 0, 0 dans Ω \ (K ∪ K0), (3.23)
où les opérateurs RK,e et RK0,e sont introduits dans le Lemme 1.3.5. En utilisant
cette fonction dans (3.19), on voit que 1 2 X κ∈{K,K0} X e∈E0 κ Z e [∂nKuh](τ )ve(τ ) dτ = −a(u − uh, ve) + X κ∈{K,K0} Z κ (f − fh)(x)ve(x) dx + Z κ (fh+ ∆uh)(x)ve(x) dx . (3.24) On a par définition de ψe, la fonction [∂nKuh]ψe s’annule sur ∂e de sorte que ve
s’annule sur ∂(K ∪ K0) et donc 1 2 X κ∈{K,K0} X e∈E0 κ Z e [∂nKuh](τ )ve(τ ) dτ = 1 2 Z e [∂nKuh](τ )ve(τ ) dτ.
On combine cette égalité avec (3.24), on obtient Z e [∂nKuh] 2(τ )ψ e(τ ) dτ = −a(u − uh, ve) + X κ∈{K,K0} Z κ (f − fh)(x)ve(x) dx + Z κ (fh+ ∆uh)(x)ve(x) dx . Alors k[∂nKuh]ψ 1 2 ek2L2(e)= X κ∈{K,K0} − Z κ ∇(u − uh)(x)∇ve(x) dx + Z κ (f − fh)(x)ve(x) dx + Z κ (fh+ ∆uh)(x)ve(x) dx .
3.2. Analyse a posteriori du problème de Dirichlet
On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve k[∂nKuh]ψ 1 2 ek2L2(e) ≤ X κ∈{K,K0} |u − uh|H1(κ)|ve|H1(κ)+ kf − fhkL2(κ)kvekL2(κ) + kfh+ ∆uhkL2(κ)kvekL2(κ) . On utilise l’inégalité inverse (2.8),
c k[∂nKuh]kL2(e)≤ k[∂nKuh]ψ 1 2 ekL2(e), ce qui entraîne c k[∂nKuh]k 2 L2(e)≤ X κ∈{K,K0} |u − uh|H1(κ)|ve|H1(κ)+ kf − fhkL2(κ)kvekL2(κ) + kfh+ ∆uhkL2(κ)kvekL2(κ) . On utilise l’inégalité (1.6), |ve|H1(κ)+ h−1K kvekL2(κ) ≤ c h −1 2 e k[∂nKuh]ψekL2(e). On obtient k[∂nKuh]k 2 L2(e) ≤ c X κ∈{K,K0} h− 1 2 e |u − uh|H1(κ)k[∂n Kuh]ψekL2(e) + hKh −1 2 e kf − fhkL2(κ)k[∂n Kuh]ψekL2(e) + hKh −1 2 e kfh+ ∆uhkL2(κ)k[∂n Kuh]ψekL2(e) . Du Lemme 2.2.5, ψe est inférieur à 1, on aura
k[∂nKuh]ψekL2(e) ≤ c 0 k[∂ nKuh]kL2(e). On trouve k[∂nKuh]k 2 L2(e) ≤ c X κ∈{K,K0} h− 1 2 e |u − uh|H1(κ)k[∂n Kuh]kL2(e) + hKh −1 2 e kf − fhkL2(κ)k[∂n Kuh]kL2(e) + hKh −1 2 e kfh+ ∆uhkL2(κ)k[∂n Kuh]kL2(e) . En multipliant par h 1 2 e, on obtient h 1 2 ek[∂nKuh]kL2(e) ≤ c X κ∈{K,K0} |u − uh|H1(κ)+ hKkf − fhkL2(κ) + hKkfh+ ∆uhkL2(κ) .
