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Début en arithmétique

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Academic year: 2022

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TS spécialité Début en arithmétique 2012-2013

EXERCICE 1 Un entier naturel comporte 73 chiffres tous égaux à 1. Ce nombre se divise-t-il par 18 ?

EXERCICE 2 Soit n un nombre entier de deux chiffres et n

′

le nombre écrit avec les mêmes chiffres mais dans l’ordre inverse.

Prouver que la différence n − n

′

est divisible par 9.

Que peut-on dire de la différence de deux nombres de trois chiffres où le premier et le dernier chiffre sont permutés ?

EXERCICE 3 On construit un nombre entier naturel de 9 chiffres en répétant trois fois le même triplet de chiffres.

Quel est le quotient de ce nombre par le nombre composé du triplet de chiffres ?

EXERCICE 4 Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n

2

− 1 est divisible par 8.

EXERCICE 5 Trouver tous les couples d’entiers relatifs (x; y) tels que x

2

− y

2

= 13.

S’interroger sur les couples de réels solutions de l’équation.

EXERCICE 6 Trouver tous les couples d’entiers naturels (a; b) tels que a

2

− 4b

2

= 20.

EXERCICE 7 Démontrer que, pour tout a ∈ Z , le nombre a(a

2

− 1) est un multiple de 6.

EXERCICE 8 1. Démontrer que pour tout n ∈ N , 3n

4

+ 5n + 1 est impair.

2. En déduire que 3 n

4

+ 5 n + 1 n’est pas divisible par n ( n + 1)

EXERCICE 9 Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que n − 3 divise 2n + 1.

Outil : a, b, c des entiers relatifs. Si c divise a et c divise b, alors pour tout couple (u, v) d’entiers relatifs, c divise au + bv.

Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que n + 1 divise n

2

− n + 3.

EXERCICE 10 Considérons le nombre 7 + 7

2

+ 7

3

+ 7

4

+ ... + 7

4n−1

+ 7

4n

. Est-il divisible par 400 ?

EXERCICE 11 Montrer que la somme des cubes de trois entiers consécutifs est divisible par 9.

EXERCICE 12 Tout nombre qui s’écrit dans le système décimal abcabc est-il un multiple de 7 ? de 11 ? de 13 ?

EXERCICE 13 Montrer que pour tout entier naturel n : 1. 5

n

− 1 et 13

n

− 1 sont divisibles par 4.

2. Pour tout k ∈ N , (4 k + 1)

n

− 1 est un multiple de 4.

EXERCICE 14 A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n : 3

n+5

− 3

n

est un multiple de 11.

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