Etudes des ondes mécaniques

Etudes des ondes mécaniques

PC/PC*

I – Chaîne infinie d’oscillateurs et approximation des milieux continus : a) Equation d'onde de d'Alembert :

Propagation d’ondes sonores dans les solides :

• Le solide est constitué d’une chaîne infinie d’atomes ponctuels, de masse m, reliés entre eux par des ressorts de raideur k et de longueur à vide d (correspondant à la distance inter-atome à l’équilibre).

• Le mouvement de l’ensemble se fait sans frottements le long de l’axe (Ox).

Les atomes se déplacent légèrement autour de leurs positions d’équilibres respectives, que l’on peut repérer sous la forme x_éq,n = nd.

k k k

m m m

n-1 n n+1

x

On repère les positions des atomes hors équilibre par leurs abscisses : )

( )

(t nd u t x_n = + _n

où les déplacements u_n(t) restent faibles vis-à-vis de d.

k k k

m m m

n-1 n n+1

x

La force exercée par la masse n + 1 sur la masse n est :

n 1 n n 1 n n 1 n

F

= k( x

( t ) x ( t ) d ) − − = k( u

( t ) u ( t )) −

Approximation des milieux continus :

La distance d inter-atome est de l’ordre de ^{d ≈10−10m}, distance très inférieure aux distances caractéristiques des phénomènes de propagation que l’on étudie (d << λ).

On va ainsi définir une fonction continue de la manière suivante :

( _{éq n}, , ) ( , ) _n( ) u x t = u nd t = u t

Dans l'approximation des milieux continus :

u( x,t ) u( x,t ) F( x ) k( u( x d ,t ) u( x,t )) k d kd

x x

∂ ∂

= + − = =

∂ ∂

Obtention l’équation de d’Alembert par une étude mésoscopique : Présentation du modèle de solide :

d

d d

x

La force exercée par la partie de solide située à droite de la surface S sur la partie située à gauche s'écrit :

n 1 n

2

dF S k( u ( t ) u ( t ))

d ⁺

 

=   −

  Dans l'approximation des milieux continus :

2

k u( x,t ) k u( x,t )

dF d S S

d x d x

∂ ∂

 

=  ∂  = ∂

C’est la loi de Hooke :

u( x,t )

dF Y S

x

= ∂

∂

où Y désigne le module de Young (homogène à une pression) :

d

Y = k

L’ordre de grandeur de l’énergie de liaison par atome est l’ev et cette énergie est de la forme élastique ₂ ²

1 kd .

Avec d ≈10⁻¹⁰m :

. 1

10 ⁻

≈ N m

k

L’ordre de grandeur du module de Young est alors :

k 11

Y 10 Pa

= d ≈

On prend une tranche de matériau d’épaisseur au repos dx, de surface S et donc de masse ρSdx.

Le PFD appliqué à cette tranche donne :

2 2

2 2

( , ) ( ) ( , )

( , ) ( , )

u x t dF u x t

Sdx dF x dx t dF x t dx YS dx

t x x

µ ^∂ = + − = ^∂ = ^∂

∂ ∂ ∂

d’où l’équation d’onde (appelée équation d’onde de d’Alembert) :

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )

u x t u x t 0 Y

avec c

x c t µ

∂ ∂

− = =

∂ ∂

Pour Y = 10 ¹¹ Pa et µ = ^{3 10.10à 3 kg m. −3} :

3 000 5 000 . 1

c ≈ à m s⁻

ordre de grandeur des vitesses des ondes acoustiques dans un solide.

II – Vibrations transversales d’une corde ; équation d’onde de d’Alembert :

On considère une corde inextensible, de masse linéique µ, tendue horizontalement avec une force constante F.

A l’équilibre, la corde est horizontale. On supposera dans la suite que la pesanteur n’intervient pas (sinon, la forme de la corde serait une chaînette).

x x+dx x

y Brin de

corde

α(x)

α(x+dx)

) (x T_g

) (x dx T_d +

On se propose d’étudier les petits mouvements au voisinage de cet équilibre, avec le modèle suivant :

• L’élément de corde situé au point de coordonnées (x,0) à l’équilibre se trouve au point de coordonnées (x,y(x,t)) hors équilibre ; autrement dit, on néglige son déplacement le long de (Ox).

• L’angle α(x,t) que fait la tangente à la corde au point d’abscisse x à l’instant t est un infiniment petit (cos

α

α

α

α

• Si on considère une coupure fictive au point d’abscisse x, l’action exercée par la partie gauche de la corde sur la partie droite se réduit à une force

T

( x )

tangente à la corde ; de même, l’action exercée par la partie droite sur la partie gauche se réduit à une force ^{Td (x)}

.

D’après le principe des actions réciproques, T_d (x) T_g (x)

= − .

x x+dx x

y Brin de

corde

α(x)

α(x+dx)

) (x T_g

) (x dx T_d +

) (

1 0

2 2 2 2

2 2

2 2

2

µ

µ

t y c

x soit y

x F y t

y = =

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

Dans le cas de la corde, l’onde est dite transversale (le déplacement a lieu selon Oy). Dans le cas de la chaîne infinie d’atomes, l’onde était longitudinale (le

déplacement se faisait selon (Ox)).

Dans chacun des deux exemples (chaîne d’atomes et corde vibrante), on constate : La célérité est une fonction croissante de la raideur du milieu (Y ou F)

et décroissante de l’inertie du milieu (µµµµ).

On peut retenir, plus généralement que :

« Des ondes mécaniques se propagent d’autant plus mal que le milieu est plus mou et plus inerte. »

2 - Ondes progressives harmoniques :

2 2

2 2 2

s 1 s

x c t 0

∂ ∂

− =

∂ ∂

On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert, c’est-à- dire des solutions de la forme :

( , ) cos ( x) cos( )

s x t A t A t kx

ω c ω

 

=  −  = −

 

s(x,t) vérifie bien l’équation de d’Alembert :

2 2 2

2

2 2 2

s s

s et s

t x c

ω ω

∂ ∂

= − = −

∂ ∂ donc

2 2

2 2 2

s 1 s

x c t 0

∂ ∂

− =

∂ ∂

Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH) qui se propagent dans le sens > 0 de l’axe (Ox).

Relation de dispersion :

k 2

c

ω π

= =

λ

On définit le vecteur d’onde

k

tel que :

k k uz avec k

c

= =

ω

Période temporelle :

ω π

= 2 T

Période spatiale (appelée longueur d’onde) : π ω λ = cT = 2 ^c

3 - Ondes stationnaires :

On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) :

) ( ) ( )

,

( x t f x g t

s =

En substituant dans l’équation de d’Alembert : 1 0

2 2 2 2

2

∂ =

− ∂

∂

∂

t s c

x s

( ^{− ψ} ) ( ^{ω − ϕ} )

= C kx t

t x

s ( , ) cos cos

Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire, est très différent d’une onde plane progressive :

Les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance spatiale intervient dans l’amplitude de l’oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.

L’allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante.

Certains points de la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations.

D’autres ont une amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations.

Position des nœuds :

Position des ventres :

IV – Applications :

1 - Etude des petits mouvements libres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités, modes propres :

On considère une corde de longueur L fixée à ses extrémités d’abscisses x = 0 et x = L :

0 )

, ( )

, 0

( t = y L t =

y

Les CI sont les suivantes :

A t = 0 : ( ,0) ( ) (x,0) (x) t

et y x

x

y

α

β

∂

= ∂

La corde évolue ensuite librement (régime libre).

On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert sous la forme d’ondes stationnaires :

(

^ψ ) ( ^ω

^ϕ )

= C kx t

t x

y( , ) cos cos

n = 3

n = 2

n = 1

s(x,t)

s(x,t)

s(x,t)

x

x

x

Trois premiers modes propres d’une corde fixée à ses extrémités.

2 - Corde de Melde ; ondes stationnaires et résonances :

Dans l’expérience de Melde, l’extrémité d’abscisse x = L d’une corde est fixée (y(L,t)=0) et un opérateur impose en x = 0 un déplacement harmonique

t a

t

y(0, ) = cosω , de pulsation ω.

On s’intéresse au régime forcé, obtenu après disparition du régime transitoire.

On cherche ainsi une solution de l’équation de d’Alembert correspondant à une onde stationnaire de même pulsation que l’excitation :

( ^{− ψ} ) ( ^{ω − ϕ} )

= C kx t

t x

y ( , ) cos cos

Exercice d'application :

Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, on trouve les résultats ci- dessous :

a) Pour une même longueur de la corde L et une même masse M accrochée à celle-ci, on obtient les résultats suivants :

* Fréquence de résonance 19 Hz pour deux fuseaux.

* Fréquence de résonance 28 Hz pour trois fuseaux.

Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ? Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

b) La longueur de la corde est L = 117 cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbation sur cette corde ?

c) La masse M accrochée à cette corde est égale à M=25 g. Quelle est la tension de la corde ? En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique de la corde.

V) Prise en compte des frottements, dispersion et d'absorption : 1) Nouvelle équation d'onde : (retour à la chaîne d’atomes)

On suppose que chaque atome est soumis à une force de frottement fluide (proportionnelle à sa vitesse).

Finalement :

2 2 2

2 2 2

1 0

u u u kd

h avec c

x t c t m

∂ ∂ ∂

− − = =

∂ ∂ ∂

C'est une nouvelle équation d'onde qui diffère de celle de d'Alembert.

2) Résolution (analyse harmonique du système) : Cette dernière équation reste linéaire.

k x2

u( x,t ) = Ae⁻ cos( t

ω

x u(x,t)

(Elongation en fonction de x, à t fixé) 3) Vitesse de phase, dispersion :

La vitesse de phase de l'onde (c'est-à-dire la vitesse avec laquelle la phase de l'onde varie) est :

)

1

e ( k

v k

= ℜ

= ω ω

ϕ

Cette vitesse de phase dépend de la pulsation car ici l'expression de k₁ en fonction de ω est compliquée.

Par conséquent, le milieu de propagation sépare progressivement des ondes de pulsations différentes : c'est le phénomène de dispersion.

On dit que la propagation de l'onde est dispersive (Voir chapitre sur les ondes EM)

Quelques exercices importants :

Un modèle de propagation du son dans l’air :

Un tuyau calorifugé de section S est partagé en une infinité de compartiments (C_n) par des pistons calorifugés Π_n et Π_n+1 de section S et de masse m.

Piston Π_n Piston Π_n+1

P_n P_n+1 P_n-1

P_n-2

xn = na + un(t) x

Dans chaque compartiment se trouve une mole d’air, assimilé à un GP évoluant de manière isentropique selon la loi de Laplace ^{PV γ = cste}.

A l’équilibre ; l’abscisse du piston (n) vaut ^xn_,éq = ^na et la pression a la même valeur P₀ dans chaque compartiment.

Hors équilibre, l’abscisse du piston (n) vaut ^xn = ^na +^un^(t) , avec ^un(^t) << ^a et la pression dans le compartiment (n) vaut P_n.

a) Etablir l’expression de la pression P_n en fonction de P₀, γ, a, u_n et u_n+1 et la linéariser.

En déduire l’équation différentielle linéaire déterminant le mouvement du piston Π_n.

b) On fait l’approximation des milieux continus en définissant une fonction u(x,t) variant peu à l’échelle de a, telle que ^u(na,t) = ^un^(t) . Etablir l’équation aux dérivées partielles dont est solution u(x,t).

Définir une célérité c et commenter son expression.

c) Evaluer la célérité c du son dans l’air en supposant que les pistons de masse m du modèle sont en réalité constitués par le volume d’air V = Sa compris entre deux pistons dans le modèle.

On donne : γ =1,4; P0 =1bar ; µ0 =1,3 kg.m⁻³ (masse volumique de l’air dans les CNTP).

Réflexion sur une masse libre :

Equation des télégraphistes :

On se propose de représenter un câble coaxial réel par le schéma :

adx

u(x,t)

u(x+dx,t)

i(x+dx,t)

i(x,t) λdx

b/dx γdx

i(x+dx,t) i(x,t)

A₀

B₀

A₁

B₁ A

a) Relier ∂ ∂u / x, i et ∂ ∂i / t ; relier de même ∂ ∂i / x , u et ^{∂ ∂u/ t} .

b) Etablir finalement deux équations aux dérivées partielles vérifiées l'une par i(x,t) et l'autre par u(x,t) (équation des télégraphistes).

c) On cherche de solutions de la forme i(x,t)=I_me^-αxe^j(kx-ωt).

* En déduire deux relations liant α, k et ω à (a,b,λ,γ).

* Exprimer α en fonction de ω/k, aγ et λ/b. Obtenir ainsi une équation bicarrée donnant k en fonction de ω.

Corde de guitare :

Une corde de guitare de longueur L et de masse linéique µ est tendue (tension T₀) entre deux points O et A.

A l’instant t = 0, la corde est abandonnée dans la position de la figure (corde pincée) sans vitesse initiale.

[ ]

[ ]

a L

x h L

x f et a x

a pour h x

x f avec

x f x

y( ,0) ( ) ( ) 0, ( ) ∈ 0,

−

= −

∈

=

=

O y

x h

a

A L

∑

 





= −



 



= 

1

2 2

2 sin

) (

2 2 2

sin

() n

L n a

a L a B hL

L où n x

B

fx _{n n}

π π π

Donner l’équation y(x,t) représentant la forme de la corde à un instant t.

La fonction 2L – périodique impaire se confondant avec f(x) sur l’intervalle [0,L] est développable en séries de Fourier selon :