Responsable : S. De Bièvre

UNIVERSITÉ LILLE 1 2014–2015

L2 S4 PF & PC – Mathématiques Appliquées

Responsable : S. De Bièvre

DS Mercredi 11 mars 2014 – 08h00-10h00

Il est important de donner des arguments complets, bien rédigés.

L’UTILISATION DE DOCUMENTS OU DE CALCULATRICES EST INTERDITE PENDANT L’ÉPREUVE

Le barême est donné à titre indicatif

I. [4 pts] Soit a > 0. On considère, pour tout n ∈ N , la fonction f n : x ∈ R ⁺ → x ⁿ exp(−ax) ∈ _R .

(i) [2 pts] Calculer f _n ⁰ (x), et montrer que pour chaque n ≥ 1, la fonction admet un unique maximum en un point x n que l’on déterminera. Calculer f n (x n ) et tracer qualitativement le graphe de f ₁ , f ₂ , f ₃ .

(ii) [2 pts] On considère, pour tout n ≥ 0, I _n =

Z +∞

0

f _n (x)dx.

Montrer que I _n+1 = _a ¹ (n + 1)I _n . Trouver une expression pour I _n valable pour tout n ∈ _N et calculer lim n→+∞ I _n . Expliquer en quelques mots le résultat obtenu en termes des ré- sultats du point (i) ci-dessus, et notamment en termes du graphe.

II. [4 pts] Calculer R π 0

1

1+sin(x) dx. Indication : On pensera à utiliser le changement de variables u = tan( ^x ₂ ) pour se ramener au calcul d’une intégrale de la forme R +∞

0 g(u)du, où g(u) est à déterminer. Puis on conclura.

III. [7 pts] Définitions

(i) [2 pts] Qu’est-ce “les sommes partielles d’une série de terme général u _n ” ? Que signifie

“la série de terme général u n converge” ? Qu’entend-on alors par “la somme de la série” ? (ii) [1 pt] Que signifie “la série de terme général u _n converge absolument” ?

(iii)[1 pt] Qu’est-ce une série entière ? Qu’est-ce le rayon de convergence d’une série en- tière ?

Vrai ou Faux (justifier ou donner un contre-exemple)

(iv) [1 pt] Une série est convergente si et seulement si elle est absolument convergente.

(v) [2 pts] Si la série de terme général a n converge, alors la série de terme général _n(ln(n)) ^a

converge absolument. Indication : On pourra, pour la dernière partie de la question, utiliser le critère de comparaison à une intégrale.

IV. [2 pts] Calcul de sommes

Déterminer les réels a pour que la série P

n≥2 u _n définie par

u n = 1

n + 1 − a 1

n + 1 n − 1 soit convergente. Calculer alors sa somme.

1

V. [3 pts] Étude de séries

(i) [1 pt] Étudier la nature de la série de terme général u _n = sinh((n ³ + ³ ₂ n ² + 1) ^−1/3 ) (ii) [1 pt] Étudier la nature de la série de terme général u _n = tan ² ( _n

ⁿ +4n+3

⁺² )

(iii) [1 pt] La série de terme général suivante, converge-t-elle : u _n = (−1) ⁿ _(2n)! ⁴

^n! ?

2