Caractérisation numérique d'un tronçon cylindrique traité avec écoulement

(1)

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Caractérisation numérique d’un tronçon cylindrique traité avec écoulement

Mohamed Taktak, Mohamed Ali Majdoub, Mabrouk Bentahar, Jean-Michel Ville, Mohamed Haddar

To cite this version:

Mohamed Taktak, Mohamed Ali Majdoub, Mabrouk Bentahar, Jean-Michel Ville, Mohamed Haddar.

Caractérisation numérique d’un tronçon cylindrique traité avec écoulement. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France. �hal-00538362�

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10ème Congrès Français d'Acoustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Caractérisation numérique d’un tronçon cylindrique traité avec écoulement

Mohamed Taktak¹, Mohamed Ali Majdoub¹, Mabrouk Bentahar², Jean Michel Ville², Mohamed Haddar¹

1Unité de Modélisation, Mécanique et Productique (U2MP), Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sfax, BP 1173 – 3038, Sfax, Tunisie, mohamed.taktak.tn@gmail.com

2Laboratoire Roberval UMR UTC – CNRS n°6253, Université de Technologie de Compiègne, BP 20529 F60205 Compiègne, cedex, France, mabrouk.bentahar@utc.fr

L’optimisation et le développement de nouvelles technologies visant à la réduction du bruit rayonné par les conduits ont été développés à l’Université de Technologie de Compiègne dans laquelle une caractérisation acoustique numérique d’un tronçon cylindrique traité a été effectuée en absence d’écoulement à l’aide de la matrice de diffusion multimodale qui est une caractéristique intrinsèque de ce tronçon. Dans la plus part des applications industrielles faisant intervenir des conduits traités comme les systèmes de ventilation ou les réacteurs d’avion, l’écoulement est présent et constitue un facteur influant sur la propagation acoustique dans ces conduits et qui doit être pris en compte lors de la caractérisation de ces conduits. C’est dans ce cadre que ce travail de développement d’une démarche numérique basée sur la méthode des éléments finis pour caractériser un tronçon traité par le calcul de sa matrice de diffusion en présence d’écoulement uniforme est présenté. Dans ce papier le développement d’un élément fini dont la formulation est basée sur l’équation d’Helmholtz convectée ainsi que la démarche d’obtention de la matrice de diffusion en présence d’écoulement sont détaillés. Les coefficients de la matrice de diffusion et l’atténuation de la puissance acoustique du conduit étudié calculés avec et sans écoulement sont comparés pour différentes vitesses d’écoulement pour évaluer l’effet d’écoulement sur ces paramètres.

1 Introduction

De nombreux travaux théoriques et expérimentaux [1-4]

sur la propagation et le rayonnement dans les conduits en présence de discontinuités géométriques ou d’impédance ont été menés afin de réduire le bruit rayonné par les systèmes composés d’une source et d’un guide d’ondes, tels que les compresseurs, les moteurs d’avion et d’automobiles et les systèmes de ventilation. Les éléments de type silencieux sont complètement caractérisés par leurs matrices de transfert, de mobilité ou de diffusion dont les coefficients dépendent de la fréquence, la structure spatiale du champ sonore incident, de la géométrie du conduit, des propriétés des matériaux absorbants et de l’implantation de ces matériaux.

A l’Université de Technologie de Compiègne la nation de la matrice de diffusion multimodale d’un conduit traité a été développée afin de caractériser ces guides d’ondes en absence d’écoulement. Dans Taktak [5] cette matrice a été utilisée pour déterminer l’efficacité de ces silencieux et pour caractériser les parois du conduit par la détermination de l’impédance acoustique de ces matériaux absorbants sans écoulement. Mais dans les applications industrielles, l’écoulement est présent et constitue un facteur influant.

C’est dans ce cadre que se situe le travail présenté dans ce papier. Il présente le développement d’une technique basée sur la méthode des éléments finis pour calculer la matrice de diffusion d’un conduit traité en présence d’un écoulement uniforme. Cette matrice est ensuite utilisée pour caractériser les performances du conduit étudié en calculant le bilan de la puissance acoustique de la part et d’autre du conduit étudié par le calcul de son atténuation de la puissance acoustique.

Dans ce papier on commence par présenter le problème étudié dans la section 2, la formulation numérique du

problème est présentée dans la section 3. La section 4 présente la méthode numérique de calcul de la matrice de diffusion multimodale d’un conduit traité en présence d’écoulement. La section 5 présente la méthodologie de la détermination de l’atténuation de la puissance acoustique à partir de la matrice de diffusion. Les résultats sont présentés et discutés dans la section 6 afin d’évaluer l’effet de l’écoulement.

2 Présentation du conduit étudié

Le conduit étudié (Figure 1) est cylindrique et axisymétrique. Il ne présente pas de changement brusque de section mais une discontinuité d’impédance causée par le matériau absorbant supposé localement réactif et présenté par son impédance acoustique Z. Ce conduit est composé de trois parties : deux parties rigides (ȽCR) de part et d’autre d’une partie (ȽCT). Dans ce conduit est présent un écoulement uniforme caractérisé par le vecteur

0

0 0

M rG U c zG M zG

avec M0 est le nombre de Mach, U0 est la vitesse d’écoulement et c est la célérité du son.

nGD D

*

*CR

mnI

P nGG

nGR

nG^T

:

MG0

*G *^CT

I

Pmn

II

Pmn

mnII

P z

Figure 1 : Présentation du conduit étudié

ȽCR et ȽCT sont caractérisées respectivement par ses vecteurs normaux nG_R

etnG_T

. ȽG et ȽD sont respectivement les frontières transversales à gauche et à droite du conduit et définies par les vecteurs normaux nG_G

etnG_D

. représente le

(3)

domaine acoustique à l’intérieur du conduit. Le conduit étudié est axisymétrique, la pression acoustique dans le conduit est la solution du système contenant l’équation d’Helmholtz convectée ainsi que les conditions aux limites sur les frontières ȽCR et ȽCT :

2

0 0 0

2

0 0

2 0

0

T

R

p k p i M p M grad M p

c

Z p i U p

n i z

p n

Z

U Z

Z

'

°°

° w § w ·

°® w ¨© w ¸¹

°° w

°w

°¯

CT

CR

(ȍ)

(ī )

JG JJJJJG JG

G G G

(1)

ǻ est l’opérateur de Laplacien et r im r z T

w wG w w

est le terme du gradient modifié pour un problème axisymétrique avec m est le nombre d’onde azimutal.

Les champs de pression au niveau des sections ȽG et ȽD, présentant les frontières d’entrée et de sortie du conduit étudié, sont donnés par :

r

mn G mn G

r

mn D mn D

N

i k z z i k z z

G I I

mn mn mn mn

n

N i k z z i k z z

D II II

mn mn mn mn

n

p P e P e J r

p P e P e J r

F

°

°®

°

°¯

¦

(2)

Nr est le nombre des modes radiaux et P_mn^{I II}^, ^rsont les pressions modales à l’entrée et la sortie du conduit.

2

2 2

0 0

02

1 1

mn mn

M k k M

k a

M

F

r

§ ·

r ¨© ¸¹

(3)

kmn^r est le nombre d’onde axial associé au mode (n,m) : + dans le sens d’écoulement, í dans le sens opposé à l’écoulement, F_mnest le n^ième zéro de la dérivée de la fonction de Bessel d’ordre m et k Z c est le nombre d’onde total.

3 Formulation numérique

Pour résoudre le problème (1), la méthode des éléments finis est utilisée. La formulation variationnelle faible de ce problème s’écrit:

⁰ ⁰

2

0 0

2

1

1 0

i

i i

q p r d

i q U q i p U p rd c

q p U n q i U p r d

n c n

Z Z

Z

:

*

3 :

:

§ w § w · ·

¨¨© w ¨© w ¸¹ ¸¸¹ *

³

*³

G G

(4)

p et q sont respectivement la pression acoustique dans le conduit et la fonction test, d: dr dzest l’élément surfacique. **_iforment l’ensemble de frontières.

L’intégrale sur les frontières inclut les conditions aux limites. Cette intégrale est décomposée en trois parties : - Paroi traitée *_CT :

0 0

2

0 2 0 0

2 2

0 0 0 0

1

2

CT

CT CT

CT

T CT

T T

CT CT

L CT

q p U n q i U p r d

n c n

p p

q r d i U q r d

i Z z i Z

q p p

U r d U rq

z z i Z z i Z

Z

U Z ZU

Z Z

U U

Z Z

*

* *

*

§ w § w · ·

*

¨ ¨ ¸ ¸

¨ w © w ¹ ¸

© ¹

w § ·

* w ©¨ ¸¹ *

w w§ · ª w § ·º

w w ¨© ¸¹ * «¬ w ¨© ¸¹»¼

³

³ ³

³

G G

(5)

Avec LCT est la longueur axiale de la partie traitée.

- Frontière gauche *_G :

0 0

2

02

0

1

G

r

G

r

G

G G

N

I I

mn mn mn mn m mn G

n N

I I

mn mn m mn G

n

q p U n q i U p r d

n c n

q M i k P i k P J r r d

i M k q P P J r r d Z

F

*

§ w § w · · *

¨ ¨ ¸ ¸

¨ w © w ¹ ¸

© ¹

*

³

³ ¦

G G

(6)

- Frontière droite *_D :

0 0

2

02

0

1

D

r

D

r

D

D D

N

II II

mn mn mn mn m mn D

n N

II II

mn mn m mn D

n

q p U n q i U p r d

n c n

q M i k P i k P J r r d

i M k q P P J r r d Z

F

*

§ w § w · ·

*

¨ ¨ ¸ ¸

¨ w © w ¹ ¸

© ¹

*

³

³ ¦

G G

(7)

L’usage des décompositions modales aux frontières

*Get *_D introduit les amplitudes modales comme des degrés de liberté supplémentaires au modèle. Il est nécessaire de compléter les équations (5), (6) et (7) avec d’avantage d’équations pour obtenir un problème bien posé.

Cela est fait par l’hypothèse que les amplitudes à *_Get

*Dpeuvent être obtenues par la projection du champ de pression sur les fonctions propres :

2

G G

D D

I I

mn mn

m G mn mn m

II II

mn mn

m D mn mn m

p J r d P P J r rdr

a a

p J r d P P J r rdr

a a

F F

* *

§ · * § ·

¨ ¸ ¨ ¸

§ · * § ·

¨ ¸ ¨ ¸

³ ³

(8)

Pour résoudre l’équation (4) avec l’équation (8), le domaine ȍ est discrétisé avec des éléments finis triangulaires à trois nœuds alors que les bords sont discrétisés par des éléments à deux nœuds [6] approximés par une interpolation linéaire lors de l’intégration.

(4)

4 Calcul de la matrice de diffusion

L’arrangement du système (4) en tenant compte des pressions modales entrantes et sortantes au niveau des frontières *_Get*_D, aboutit au système matriciel suivant :

> @ > @ > @ > @ > @

> @ > @ > @ > @

> @ > @ > @ > @ > @

^ `^ `

^ `

1

1 2 1 2

1 2 3

1 2 2

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

M mnI

mnI

mnII mnII

p

K E E F F p

G G G P

P

H H H P

P

½½

°° °°

® ¾

° °

ª º °¯ ¿°

« ª º¬ ¼ » ° °

« » °° °°

« »® ¾

« » ° °

¬ ¼ ° °

° °

¯ ¿

#

(9)

M est le nombre de nœuds du maillage. Le premier ensemble d’équations contenant les matrices> @^K _{M M}_u ^,

> @1 M Nr

E _u , > @2 M Nr

E _u , > @1 M Nr

F _u et > @2 M Nr

F _u a comme

origine l’équation (4). Le second et le cinquième ensemble d’équations contenant les matrices > @G1 N N_r_u _r, > @G2 N N_r_u _r,

3 N N_r _r

G _u

ª º¬ ¼ , > @H1 N N_r_u _r, > @H2 N N_r_u _r, ₃

r r

H N N_u

ª º

¬ ¼ dérivent des équations (8). La matrice de diffusion pour un ordre azimutal m est définie comme la relation linéaire entre les modes entrants et sortants :

^ `^ ` ^{> @} ^ `

^ `

2 2

r r

I I

mn mn

N N

II II

mn mn

N N

P P

u

½ ½

° ° ' ° °

® ¾ ® ¾

° ° ° °

¯ ¿ ¯ ¿

(10)

Cette matrice est obtenue par l’écriture du système d’équation (9) comme suit :

> @^ ` > @ ^ `

^ ` ^{> @} ^ `

^ ` ^{^ `}

> @^ ` > @ ^ `

^ ` ^{> @} ^ `

^ ` ^{^ `}

0

I I

mn mn

II II

mn mn

I I

mn mn

II II

mn mn

P P

K p A B

P P

C p U V

P P

½ ½

° ° ° °

° ® ¾ ® ¾

° ° ° ° °

°° ¯ ¿ ¯ ¿

® ½ ½

° ° ° ° °

° ® ¾ ® ¾

° ° ° ° °

° ¯ ¿ ¯ ¿

¯

(11)

^ `^p est le vecteur des pressions nodales, et on introduit les notations suivantes :

> @ > @ > @ > @ > @ > @

> @ > @ > @ > @ > @

> @ > @

1 2 2 1

1 1 2 3

3 2

;

A E F B E F

C G H U G H

V G H

ª º ª º

¬ ¼ ¬ ¼

ª º

¬ ª¬ º¼¼

ª º

ª º¬¬ ¼ ¼

(12)

La matrice de diffusion azimutale pour un nombre m s’écrit à la fin sous la forme :

> @'²Nr_u²Nr > @ > @> @ > @V C K ¹ B¹> @ > @> @ > @U C K ¹ A¹(13)

La répétition de ce calcul pour chaque m permet d’obtenir la matrice de diffusion > @^D₂_N_u₂_N par l’assemblage des matrices > @₂ ₂

r r

Nu N

' obtenues séparément pour chaque m.

5 Atténuation de la puissance acoustique

L’intensité acoustique axiale en un point M (r,ș,z) situé dans une section droite localisée à z est donnée par [7] :

2 *

0

* *

0 0 0

0 02

, , 1 1 Re

2

2 Re 2

z z

I r z M PV

V V

V V P P

c T

U

(14)

La puissance acoustique est donnée par :

, 0

z mn mn

m n

W z I z N

f f

¦ ¦ f (15) S Sa2est la section droite du conduit, Nmn est le coefficient de normalisation associé au mode (m,n)

²

2

1 2

mn m mn

mn

N S J F m

F

§ ª º·

¨ « »¸

¨ «¬ »¼¸

acoustique axiale associée au mode (m,n) :

2 *

, 0 ,

* *

0 0 0

, , 2

0 0

1 1 Re

2

Re Re

2 2

z mn mn z mn

z mn z mn mn mn

I z M P V

V V

V V P P

c U

U

(16)

Les intensités incidente, réfléchie, transmise et rétrograde sont données par :

2 2

0 ,

0 0 0

2 2

0 ,

0 0 0

2 2

0 ,

0 0 0

2 2

0 ,

0 0 0

1 2 1

2 1

2

I mn mn I

z mn mn

mn

I mn mn I

z mn mn

mn

II mn mn II

z mn mn

mn

II mn mn II

z mn mn

mn

M N k

I P

c k M k

M N k

I P

c k M k

M N k

I P

c k M k

M N k

I P

c k M k U

U

ª º

« »

¬ ¼

ª º

« »

¬ ¼

ª º

« »

¬ ¼

ª º

« »

¬ ¼

(17)

L’atténuation de la puissance acoustique, Watt, d’un conduit à deux ports est définie comme le rapport entre la puissance des ondes entrantes de deux côtés W^enet la puissance acoustique des ondes sortantes de deux côtés W^so:

10log10 en

att so

W dB W

W

§ ·

¨ ¸

(5)

2 2 2

0

0 0 0 0

0

2 2 2

0

0 0 0 0

0

1 2 1

2

P Q mn

en mn I mn II

mn mn

m P n

P Q mn

so mn I mn II

mn mn

m P n

M N k k

W P P

c k M k k M k

M N k k

W P P

c k M k k M k

U U

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦ ¦

(19)

Ces puissances peuvent être écrites sous la forme suivante :

^ ` ^ `

*

2 2

*

2 2

en en T en

N N

so so T so

N N

W W

3 3

(20)

^ ` _{> @} ^{> @} ^ `

2 2 2

0 0

en mn en

mn N N N

so mn so

mn N N N

diag XE

diag XE P diag XS

diag XS P

u

ªª¬ º¼ º

3 « »

ª º

« ¬ ¼»

¬ ¼

ªª¬ º¼ º

3 « »

ª º

« ¬ ¼»

¬ ¼

(21)

02 0

2 0

0 0 0 0

02 0

2 0

0 0 0 0

1 2

mn mn mn

mn

mn mn

mn mn mn

mn

mn mn

M k

N k M

XE M

c k M k k M k

M k

N k M

XS M

c k M k k M k

U

ª º

§ · « »

¨ ¸ « »

ª º

§ · « »

¨ ¸ « »

(22)

L’atténuation de la puissance acoustique peut s’écrire sous la forme suivante [8]:

2 2

1

10 10 2

2 1

10log 10log

N i en

i

att so N

i i i

W d W dB

W O d

§ ·

¨ ¸

§ · ¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹

¦

¦ ⁽²³⁾

Oisont les valeurs propres de la matrice > @^H définie par:

> @^H ₂_N_u₂_N ^{ª º}_{¬ ¼}^D^' ₂^T^*_N_u₂_N^{ª º}_{¬ ¼}^D^' ₂_N_u₂_N (24)

> @ > @ > @¹

'

2 2 2 2 2 2

2N 2N N N N N N N

D _u XS _u D _u XE _u

ª º

¬ ¼ (25)

^ `2 > @2^* 2 ^ `2

T en

N N N N

d U _u 3 (26)

> @^U est la matrice des vecteurs propres de> @^H 6 Résultats Numériques

6.1 Conduit étudié

L’élément de conduit à caractériser dans ce papier est un conduit de longueur de 1m composé de 3 parties : 0.35 m conduit rigide, 0.3 conduit traité et 0.35 m conduit rigide.

Le calcul de la matrice de diffusion et de l’atténuation de la puissance acoustique est effectué en utilisant un matériau absorbant de type résonateur d’Helmholtz composé d’une plaque perforée d’épaisseur e = 0.8 mm avec des trous de diamètre D = 1mm avec un taux de perforation V 5%,

d’une structure de nid d’abeille d’épaisseur de 20 mm et d’une plaque rigide. Ce matériau est caractérisé par son impédance acoustique Z. Dans ce travail, le modèle d’impédance acoustique d’Elnady [9] est utilisé comme entrée pour le calcul numérique de la matrice de diffusion et l’atténuation de la puissance acoustique du conduit étudié.

Ce modèle donne une fréquence d’accord au nombre d’onde adimensionnel ka = 2.22. Les calculs sont effectués sur la bande de fréquence ka = [0 – 3.8]. Afin d’évaluer l’effet de l’écoulement, les calculs sont effectués pour différents nombres de Mach (M0 = 0 , 0.1 et 0.2).

6.2 Coefficients de la matrice de diffusion en présence d’écoulement

Les figures 2 et 3 présentent les modules des coefficients de diffusion en transmission T_00,00 et

10,10

T dans le même sens de l’écoulement en fonction du nombre d’onde adimensionnel ka pour différentes vitesses d’écoulement. La courbe du module du coefficient

00,00

T montre que ce module est proche de 1 dans l’intervalle ka = [0 – 0.8] ; à partir de ka = 0.8, ce module décroît en fonction de la fréquence jusqu’à devenir nul dans l’intervalle ka = [2.4 – 2.8] proche de la fréquence d’accord théorique du traitement. Ensuite, une croissance du module est observée sur le reste de la bande de fréquence jusqu’à atteindre 0.4 en ka = 3.8. Pour le module du coefficientT_10,10 , une croissance en fonction de la fréquence est observée à partir de ka =2.8 jusqu’à atteindre 0.4 en ka=3.8.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.63.83.8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ka

Module

M₀=0 M₀=0.1 M₀=0.2

Figure 2 : Modules du coefficient de diffusion T_00,00 en fonction de ka pour les vitesses d’écoulement étudiées

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.83.8 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ka

Module

M₀=0 M₀=0.1 M₀=0.2

Figure 3 : Modules du coefficient de diffusion T_10,10 en fonction de ka pour les vitesses d’écoulement étudiées