Échelles floues en métrologie

HAL Id: hal-00763645

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00763645

Submitted on 20 Feb 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Échelles floues en métrologie

Eric Benoit

To cite this version:

Eric Benoit. Échelles floues en métrologie. LFA 2012, Nov 2012, Compiègne, France. pp 19-25.

�hal-00763645�

Résumé :

La théorie représentationnelle de la mesure ou théorie du mesurage étend aux grandeurs qualifiables le mécanisme de mesure usuellement réservé aux grandeurs quantifiables. Dans le prolongement des échelles introduites avec cette théorie, nous proposons une famille d’échelles appelées échelles floues, et propageant une relation de similarité de l’ensemble des manifestations d’une grandeur vers son espace de représentation. Cet article propose une définition générale des échelles floues, et présente les échelles nominales floues et les échelles métricales floues.

Mots-clés:

échelle floue, mesure, théorie représentationnelle de la mesure. échelle nominale floue, échelle métricale floue.

Abstract:

The representational theory of measurement, also called measurement theory, extends to qualitative quan- tities the measurement process usually devoted to quan- titative quantities. Within the family of scales introduced by this theory, we introduce a new sub-fam- ily of scale called fuzzy scales. Given a quantity, these new scales link a similarity relation from the set of man- ifestation to the associated representation space. This paper proposes a general definition for fuzzy scales, and present the fuzzy nominal scales and the fuzzy metrical scales.

Keywords:

fuzzy scale, measurement, representational theory of measurement, fuzzy nominal scale, fuzzy metrical scale

1 Introduction

La première partie du XXème siècle a vu l’apparition du schisme autour de la notion de mesurabilité opposant la communauté des physiciens à la communauté des psychologues sur le concept de mesurabilité. Ce schisme, entériné en 1939 par l’émission d’un rapport

de la British Association for the Advancement of Science, perdure encore aujourd’hui entre les sciences dites dures et les autres sciences comme les sciences du comportement ou l’économie. Les principaux reproches fait au sciences dites molles, et notamment à la psychophysique sont l’incapacité à produire une référence universelle, c.a.d. un étalon, et l’impossibilité de représenter quantitativement certaines grandeurs. Depuis, les travaux de Stevens [1] ont étendu le concept de mesure aux grandeurs ne pouvant être associées à une amplitude absolue. Ainsi la théorie représentationnelle de la mesure, aussi appelée théorie du mesurage, définit l’acte de mesurer,le mesurage, comme un morphisme d’un système relationnel empirique vers un système relationnel abstrait. Le type d’échelle associé à un mesurage dépend de la nature des relations constituant les systèmes relationnels (Fig. 1). La théorie distingue ainsi les échelles nominales, ordinales, d’intervalle ou de ratio.

Après un bref rappel de cette théorie, nous montrerons comment elle peut être étendue par le biais de systèmes relationnels incluant des relations floues définissant ainsi une nouvelle famille d’échelles: les échelles floues.

2 Théorie représentationnelle de la mesure

Selon l’approche Aristotélicienne, l’univers physique constitue une réalité inaccessible que l’on ne peut appréhender qu’a travers un modèle mathématique. Ce modèle représente imparfaitement la réalité. La mesure consiste

Échelles floues en métrologie Fuzzy scales in metrology

Eric BENOIT

LISTIC, Polytech Annecy-Chambéry, Université de Savoie

Domaine universitaire, B.P. 806, 74016 Annecy Cedex, eric.benoit@univ-savoie.fr

alors à modifier les paramètres de ce modèle afin qu’ils représentent au mieux la réalité. La théorie représentationnelle de la mesure s’inscrit dans cette approche et distingue l’univers empirique de l’univers abstrait qui le représente. L’univers empirique est une réalité perceptible d’un monde concret composé d’objets concrets dont nous pouvons appréhender les manifestations des propriétés par le biais de notre perception, instrumentée ou non. L’univers abstrait, constitué d’un espace abstrait et d’une théorie, ne représente qu’une partie des entités du monde concret. En effet, selon la science utilisée pour structurer l’univers abstrait, seule une partie des propriétés est traitée, et les sous-parties d’un objet ne sont pas considérée sous forme individuelles. Par exemple, en Physique, les propriétés chimiques et gustatives d’une pomme seront ignorées, et ses atomes ne seront pas traités isolements, mais statistiquement par le biais de la température par exemple.

Fig. 1 Théorie représentationnelle de la mesure.

Une définition formelle des échelles a été donnée par Finkelstein [2] et est reprise comme base dans ce document.

Définition 1: Une échelle est définie par un symbolisme< X, S, R, R_X, R_S, F> tel que

• X désigne l’ensemble des manifestations d’une propriété du monde empirique,

• S désigne un ensemble de valeurs de propriété virtuelle du monde de représentation. S est appelé espace de symbolisation, et ses éléments sont appelés entités d’information.

• R_X est un ensemble de relations sur X.

• R_S est un ensemble de relations sur S.

• R, appelé représentation, est une application de X dans S,

• F est une application bijective ayant R_X comme domaine, et R_S comme image.

Les échelles les plus simples sont les échelles nominales. Elles associent une relations d’équivalence sur les manifestations d’une grandeur à une relation d’équivalence, en général une égalité, sur les valeurs de la propriété virtuelle associée.

Elles sont simplement représentées par le symbolisme

<X,S,R,{~_X},{=_S},{(~_X,=_S)}> (1) Où {(~,=)} désigne l’application bijective Les échelles nominales sont caratérisées par la partition de l’ensemble X des manifestations définie par les classes d’équivalences de ~_X.

Les échelles ordinales préservent une relation d’ordre entre le monde empirique et le monde de représentation. Par exemple, l’échelle d’intensité macro-sismique européenne EMS- 98 est typiquement une échelle ordinale.

<X,S,R,{~_X,<_X},{=_S,<_S},{(~_X,=_S),(<_X,<_S)}> (1) Où {(~,=),(<_X,<_S)} désigne l’application

bijective telle que

f(~_X) = =_S et f(<_X) = <_S.

Enfin les échelles d’intervalle qui préservent l’égalité entre intervalles et les échelles de ratio qui préservent l’égalité des rapports.

Une catégorie d’échelle relativement peu connue et encore moins utilisée est celle des échelles métricales introduite par Coombs [3].

Dans cette catégorie, une échelle est constituée

univers empirique (ou concret) propriété

propriété

possède

possède

représentée représentée valeur

manifestation

mesurage échelle relation

relation représentée relie

relie

1 1

1 1

1 1 1

1

n n

n n (grandeur)

univers abstrait (ou virtuel)

par par par

1

1

système relationel empirique

f: ~({ }→{ }= )

f: ~({ _X,<_X}→{=_S,<_S})

d’une échelle sur les manifestations et d’une échelle sur une quantité appelée distance entre manifestations. Dans cette famille, une échelle metrico-ordinale est constituée d’une échelle nominale sur les manifestations, et d’une échelle ordinale sur ces distances entre manifestations.

En supposant l’existence d’une métrique sur l’espace des manifestations et donc d’une distance au sens strict du terme, c’est à dire possédant toutes les propriétés mathématiques d’une distance, on peut donner comme nouvelle définition de l’échelle métricale, que nous appellerons échelle métricale stricte:

Définition 2: Une échelle métricale stricte est définie par un symbolisme < X, S, R,{~_X, d_X}, {=_S, d_S}, {(~_X, =_S), (d_X, d_S)}> tel que

• < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, =)}> est une échelle nominale,

• d_X est une distance sur X,

• dest une distance sur S.

3 Les échelles floues

Le mécanisme de description lexicale floue (voir [4]) est similaire au mécanisme de mesure et nos travaux ont porté sur le rapprochement de ces deux mécanismes. Nous avons principalement tenté de répondre aux questions suivantes:

• La description floue peut-elle être interprétée dans le formalisme des échelles?

• Si oui quel est ce type d’échelle?

Le mécanisme de description floue peut être interprété en terme d’échelle de 2 façons:

En considérant que l’espace de symbolisation est l’ensemble des parties floues d’un ensemble lexical, nous obtenons un espace de symbolisation de taille infinie. Un espace de symbolisation de taille infinie est fréquent dans les échelles dites fortes comme les échelles de ratio. Mais, dans ce cas, de nombreuses relations permettent une

manipulation aisée des entités d’information.

Dans le cas de la description floue, l’ensemble de relations est a-priori limité au relations dérivées d’une relation d’équivalence floue.

En considérant que l’espace de symbolisation est un ensemble lexical fini. La relation entre les manifestations et les valeurs est alors une relation floue. L’avantage de cette approche est de travailler sur un nombre d’entités d’information réduit.

Dans [5] nous montrons que la description peut être interprétée comme une échelle nominale.

Nous montrons que la définition des significations floues sur l’espace de discours inclue une connaissance sur la similarité entre 2 manifestations et cette similarité est propagée dans l’espace de symbolisation. De fait cette échelle est plus forte qu’une simple échelle nominale. Nous l’avons appelé échelle nominale floue.

En conséquence, cette nouvelle façon de voir le mécanisme de description floue définit clairement l’ensemble des relations et des opérateurs pouvant être utilisés pour manipuler des ensembles linguistiques flous.

Rappelons que ces ensembles flous représentent des manifestations de propriétés d’objets concrets, et qu’ils sont liés à ces manifestations par une échelle. Ceci signifie que seules quelques relations entre manifestations sont représentées par des relations entre ensembles linguistiques flous.

En pratique, les ensembles linguistiques flous obtenus à l’aide d’une échelle ne peuvent être manipulés que par les relations autorisées par le type de l’échelle et par les opérateurs qui en découlent. Ainsi, pour un échelle donnée, l’usage d’un opérateur ne figurant pas dans l’ensemble des opérateurs autorisés est symptomatique, soit d’une identification erronée de l’échelle, soit d’une erreur dans le choix du traitement appliqué.

3.1 Définition générale

Avant d’aborder les différents type d’échelles floue, voici la définition générale que nous

proposons:

Définition 3: Une échelle floue est définie par un symbolisme< X, S, R, R_X, R_S, F> tel que

• X désigne l’ensemble des manifestations d’une propriété du monde empirique,

• S désigne un ensemble de termes, valeurs de propriété virtuelle du monde de représentation. S est aussi appelé espace lexical.

• R est une relation floue dans le produit cartésien XxS. On note respectivement D(x) la description d’une manifestation x, et M(s) la signification d’un terme s:

(2) (3)

• R_X est un ensemble de relations floues sur X.

• R_S est un ensemble de relations strictes sur S.

• F est une application bijective ayant R_X comme domaine, et R’_S comme image, où R’_S est un ensemble de relations floues sur D(X) respectant chacune la coïncidence sur les singletons avec une relation de R_S.

(4) La particularité de cette échelle réside dans la nature de la valeur de mesure produite. En effet, chaque entité d’information est un ensemble flou de termes, que nous appelerons ensemble flou lexical. Ainsi D(X), l’ensemble des descriptions est un sous-ensemble de l’ensemble F(S) des parties floues de S.

Une définition plus générale omettant la contrainte de coïncidence avec des relations strictes est envisageable mais elle écarte les échelles floues du principal intérêt que l’on attend des échelles, en l’occurrence, la simplification de la réalité en vue de la manipuler sous forme abstraite. De fait,

l’ensemble relationnel R_S, doit contenir des relations simplifiées dont l’extension floue est représentative la réalité.

D’un point de vue pratique, la détermination d’une échelle floue ne peut être réalisée directement à partir de l’ensemble des manifestations. Nous proposons donc d’utiliser un ensemble de représentation intermédiaire obtenu avec une échelle de ratio mono ou multi-dimensionnelle. L’échelle floue est alors définie sur cette représentation numérique. Dans la suite de ce chapitre, l’ensemble X désignera donc un ensemble des valeurs de mesures obtenue par l’utilisation d’une échelle de ratio.

3.2 Echelle nominale floue

Quand R_S contient uniquement une relation d’équivalence floue ~_S, alors l’échelle < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, ~_S)}> est une échelle nominale floue:

Définition 4: Une échelle nominale floue est définie par un symbolisme< X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, ~_S)}> tel que

• < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, ~_S)}> est une échelle floue,

• ~_X est une relation d’équivalence floue sur X,

• =est une relations d’équivalence sur S,

• ~_S est une relation d’équivalence floue sur D(X), respectant la coïncidence sur les singletons avec =

(5) A l’image de l’échelle nominale qui caractérise une opération de classification, l’échelle nominale floue caractérise un processus de classification floue. Nous proposons d’utiliser des symbolisations floues basées sur des T_#-équivalence de type (Σ-T) [6][7][8].

Définition 5: Pour être une T_#-équivalence, une relation r doit vérifier les propriétés

D: X→F S( ) s∈S

∀ ,∀x∈X D x( )( )s = R x s( , ) M: S→F X( )

s∈S

∀ ,∀x∈X M s( )( )x = R x s( , )

a b, ( )∈S²

∀ ,r'_S∈R'_S⇔∃r_S∈R_S,r'_S({ }a ,{ }b )

a b, ( )∈S²

∀ ,~_S({ }a ,{ }b ) = 1⇔a = b

suivantes:

être une relation floue, être réflexive,

être symetrique,

être T_#-transitive, c.a.d. vérifier (6) pour une t-norme T_#.

(6) A l’instard des échelles usuelles, la définition des échelles floues repose sur celle d’une partition floue. Les φ-partitions constituent une famille de partitions floues qui généralise la partition de Ruspini [9]. Une φ-partition respecte la propriété:

(7) Définition 6: Soit T une t-norme stricte de section diagonale φ et à générateur additif strictement convexe, soit une φ-partition.

On note (Σ-T) la T_#-équivalence définie par

(8)

Proposition 1: Toute symbolisation basées sur une T_#-équivalence de type (Σ-T) définit une échelle nominale floue.

Soit < X, S, R> une symbolisation basées sur une

T_#-équivalence de type (Σ-T) et notée<X,S,T,

,M>. Soit le symbolisme < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X , ~_S)}> défini par la symbolisation < X, S, R> et les relations floues ~_X , ~_S.

La relation ~_X est simplement définie par la T_#- équivalence (Σ-T) .

La relation ~_S est définie par la mise en correspondance ~_S(D(x),D(y)) = ~_X(x,y):

(9)

Avec la disparition de la référence à la partition

floue, la relation ~_S est simplement notée (Σ-T) et est définie par:

(10) La coïncidence avec = sur les singletons est simplement vérifiée. le symbolisme < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, ~_S)}> est donc bien une échelle nominale floue.

Comme toute similarité, les deux relations d’équivalence floue ~_X et ~_S peuvent servir à définir chacune une fonction à valeurs dans [0,1] ayant les propriétés d’une distance dont la valeur ne peut dépasser 1 [10]. d_X(x,y) = 1 -

~_X(x,y) et d_S(a,b) = 1 - ~_S(a,b).

Cette propriété nous permet de conclure qu’une échelle nominale floue est aussi une échelle métricale.

3.3 Echelle ordinale floue

La définition d’une échelle ordinale floue constitue une extension immédiate de celle d’une échelle nominale floue.

Définition 7: Une échelle ordinale floue est définie par un symbolisme < X, S, R,{~_X,<_X}, {=,<}, {(~_X , ~_S), (<_X,<_S)}> tel que

• < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, ~_S)}> est une échelle nominale floue,

• <_X est une relation d’ordre floue sur X,

• < est une relation d’ordre sur S,

• <_S est une relation d’ordre floue sur D(X), respectant la coïncidence sur les singletons avec < .

(11) Ce type d’échelle n’a pas été étudié en détail, et n’est pas développé dans cet article.

3.4 Echelles métricales floues

Les ensembles de manifestations de certaines propriétés concrètes sont manifestement des espaces métriques et ne sont pas dotés de

T_#(r x y( , ),r y z( , ))≤r x z( , )

x∈X

∀ φ(A x( ))

A∑∈ ^{= 1}

x y, ( )∈X²

∀ ,(Σ–T) (x y, ) T A x( ( ),A y( ))

A∑∈

=

x y, ( )∈X²

∀ ,~_S(D x( ),D y( )) T A x( ( ),A y( ))

A∑∈

=

T M s( ( )( )x,M s( )( )y )

s∑∈S

=

T D x( ( )( )s,D y( )( )s )

s∑∈S

=

a b,

( )∈D X( )²

∀ ,(Σ–T)(a b, ) T a s( ( ),b s( ))

s∑∈S

=

a b, ( )∈S²

∀ ,<_S({ }a ,{ }b ) = 1⇔a<b

relations d’ordre. En effet, il est par exemple universellement reconnu qu’il existe une métrique sur l’espace de manifestations de propriétés telles que la couleur. Dans ce cas précis, on ne peut pas considérer que cet espace puisse posséder une structure linéaire ou afine qui permettrai d’utiliser une échelle numérique classique. La multiplicité des définitions d’espaces colorimétriques confirme d’ailleur cette hypothèse. Par contre, si la définition d’une distance entre couleurs n’est pas unanime, sont existence l’est. Les propriétés comme la couleur ou l’odeur constituent ainsi de parfaits candidats pour l’utilisation d’échelles métricales. Dans nos travaux, nous avons choisi de doter une échelle nominale floue d’une distance pour en faire une échelle métricale. Nous l’appelons par abus de langage une échelle métricale floue, bien que la terminologie exacte soit une échelle métricale construite sur une échelle nominale floue.

Définition 8: Une échelle métricale floue est définie par un symbolisme < X, S, R,{~_X, d_X}, {=, d_S}, {(~_X, ~_S), (d_X, d_S)}> tel que

• < X, S, R, {~_X}, {=}, {(~_X, =)}> est une échelle nominale floue,

• d_X est une distance sur X,

• dest une distance sur S,

• d_S est une distance sur D(X), respectant la coïncidence sur les singletons avec d.

(2) Etant donnée une échelle nominale floue, la construction d’une échelle métricale consiste à définir la distance d sur S puis à choisir une distance d_S respectant la coïncidence sur les singletons avec d.

Avant de choisir un type de distance sur les ensemble flous lexicaux, nous précisons les propriétés attendues d’une distance d sur l’ensemble de symbolisation [11].

• La coïncidence avec les singletons est déjà imposée: equ. (4).

• La propriété de continuité: d est une fonction continue

• La cohérence:

• La précision: d est une fonction à valeur dans .

En l’absence de distance sur les ensembles flous lexicaux satisfaisant ces 4 propriétés, Thomas Allevard a proposé une nouvelle distance, appelée distance de transport [12].

Elle est définie comme le coût de la solution d’un problème de transport de masse, où les quantités transportées sont des degrés d’appartenance, les sites producteurs et consommateurs sont les éléments de S, les coûts de transport élémentaires entre 2 sites sont définis par la distance d sur S.

4 Utilisation

Dans le cadre de la théorie représentationnelle de la mesure, le mécanisme de description floue est interprété comme un mesurage basé sur une échelle floue. Rappelons que le mesurage projette les manifestations d’une grandeur mesurée dans un ensemble d’ensembles flous lexicaux, qui constitue ainsi l’espace de symbolisation, partie de l’univers abstrait de représentation. Dans le cas d’utilisation d’une échelle nominale floue, cet espace de symbolisation est doté d’une relation d’équivalence floue, ou similarité, représentative d’une similarité de l’espace empirique. Dans le cas d’utilisation d’une échelle métricale floue, il est de plus doté d’une métrique elle aussi image d’une métrique de l’espace des manifestations.

L’espace de symbolisation ne sert pas seulement à représenter les manifestations mais aussi à définir des entités abstraites et à réaliser des raisonnements. Par exemple, une couleur peut être représentée par un ensemble flou de termes de l’ensemble lexical {rouge, vert, bleu, jaune, cyan, magenta, orange, noir, blanc}. Cette représentation est unique et ne porte aucune sémantique liée à la gestion des incertitudes.

a b, ( )∈S²

∀ ,d_S({ }a ,{ }b ) = d a b( , )

ℜ

Des entités plus complexes comme des ensembles ou des distributions peuvent être définies sur l’espace de symbolisation, c’est à dire comme des ensembles ou des distributions de sous-ensembles flous lexicaux. La nécessité de les définir sur l’espace de symbolisation plutôt que sur un espace de représentation numérique intermédiaire, comme c’est le cas de l’espace rvb pour la couleur, vient de la nécessité de définir les entités abstraites dans l’univers dans lequel les raisonnements doivent être réalisés, en l’occurrence un univers doté de la théorie adaptée. Par exemple, dans le cas de la couleur, l’espace de symbolisation peut être doté d’une théorie relativement simple par laquelle les différents concepts de couleur, leur similarité et leur distance peuvent être exprimés. Il est en effet admis qu’il existe une relation de similarité en les couleurs et qu’un espace colorimétrique empirique supporte une métrique, même si celle-ci n’est pas clairement définie vu la multiplicité des espaces numériques pour la représentation de la couleur.

La présentation du mécanisme de description floue dans le formalisme des échelles laisse peu de place à l’interprétation des ensembles lexicaux flous comme vecteurs d’une représentation de l’incertitude. En fait, le formalisme des échelles floues est totalement dénudé de sémantique liée à la gestion de l’incertitude, ce qui n’empêche toutefois pas de l’en doter.

Enfin, les premiers test de traitement de signaux constitués d’ensembles flous lexicaux ont été menés [13]. Nous avons par exemple défini une méthode de ré-échantillonage de trajectoire basée sur la comparaison de distances entre ensembles flous lexicaux et appliquée à la reconnaissance de gestes dynamiques.

5 Conclusion

L’acceptation du formalisme des échelles floues impose une rigueur dans la définition des descriptions floues. En effet, la relation

floue caractéristique d’une échelle floue contraint l’utilisation des représentations lexicales floues, mais aussi la partition floue associée à l’échelle. Ce type d’échelle est particulièrement adaptée à la mesure de grandeurs qualitatives dont nous pouvons avoir une représentation mentale. Dans ce cas, l’espace de symbolisation que nous proposons permet l’expression conjointe de connaissances expertes et de résultats de mesure.

Références

[1] S.S. Stevens, On the theory of the scales of measurement, Science, 103:677–680, 1946.

[2] L. Finkelstein, Representation by symbol systems as an extension of the concept of measurement, Kybernetes 4:215-223, 1975.

[3] C. H. Coombs, A theory of psychological scaling, Engineering Research Institute, University of Michigan, 1952.

[4] L.A. Zadeh, Quantitative fuzzy semantics, Information Science, 3:159-176, 1971.

[5] E. Benoit, L. Foulloy, Towards fuzzy nominal scales, Measurement, 34(1):49-55, 2003.

[6] L. Foulloy, E. Benoit, Building a class of fuzzy equivalence relations, Fuzzy Sets and Systems 157:

1417-1437, 2006.

[7] L. Foulloy, E. Benoit, Construction d'une classe de relations d'équivalence floues - I, Rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA), 2004, pp. 9-16.

[8] L. Foulloy, E. Benoit, Construction d'une classe de relations d'équivalence floues - II, Rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA), 2004, pp. 19-24.

[9] B. De Baets, R. Mesiar, Fuzzy partitions and their entropy, IPMU’96, 1996, pp.1419-1424.

[10]R. Zwick, E. Carlstein, D.V. Budescu, Measures of similarity among fuzzy concepts: a comparative analysis, International Journal of Approximate Reasoning, 1:221-242, 1987.

[11]T. Allevard, E. Benoit, L. Foulloy, Distances entre descriptions linguistiques floues, Rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA), 2004, pp. 33-42.

[12]T. Allevard, E. Benoit, L. Foulloy, The transportation distance for fuzzy descriptions of measurement, Metrology and Measurement Systems, 14(1):25-35, 2007.

[13]T. Allevard, E. Benoit, L. Foulloy, Signal processing on fuzzy nominal scales, IMEKO TC7 Symposium, 2004, pp. 478-483.