Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier

(1)

Analyse Numérique I

Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2020/10/16

2020/10/16 1 / 59

(2)

Chapitre IV

Résolution de systèmes linéaires

2020/10/16 2 / 59

(3)

Plan

1 Conditionnement

2 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

Factorisation LU

Résultats théoriques Utilisation pratique

Factorisation LDL ^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

Factorisation QR

La tranformation de Householder

2020/10/16 3 / 59

(4)

Soient A P M _n pKq une matrice inversible et b b b P K ⁿ . Résoudre

Axxx “ b b b

Le calcul de la matrice inverse A ^-1 revient à résoudre n systèmes linéaires.

Pour résoudre un système linéaire, on ne calcule pas la matrice inverse associée.

‚ Méthodes directes : On cherche M inversible tel que MA facilement inversible

Axxx “ b b b ðñ MAxxx “ Mb b b.

‚ Méthodes itératives : On cherche B et ccc,

xxx ^rk`1s “ Bxxx ^rk ^s ` ccc, k ě 0, xxx ^r0s donné en espérant lim _kÑ`8 xxx ^rks “ xxx .

2020/10/16 4 / 59

(5)

Conditionnement

Soient A P M _n pKq inversible et b b b P K ⁿ . Axxx “ b b b

De petites erreurs sur les données engendrent-elles de petites erreurs sur la solution?

Conditionnement 2020/10/16 5 / 59

(6)

Exemple de R.S. Wilson

Soient

A “

¨

˚

˝

10 7 8 7

7 5 6 5

8 6 10 9

7 5 9 10

˛

‹

‚

, ∆A “

¨

˚

˝

0 0 ₁₀ ¹ ¹ ₅

2 25

1 25 0 0

0 ´ ₅₀ ¹ ´ ₁₀₀ ¹¹ 0

´ ₁₀₀ ¹ ´ ₁₀₀ ¹ 0 ´ ₅₀ ¹

˛

‹

‚

et b b b ^t “ p 32, 23, 33, 31 q , p∆bq p∆bq p∆bq ^t “ ` ₁

100 , ´ ₁₀₀ ¹ , ₁₀₀ ¹ , ´ ₁₀₀ ¹ ˘

. Des calculs exacts donnent

Axxx “ b b b ðñ xxx

^t

“ p1, 1, 1, 1q Au u u “ pb b b ` ∆b ∆b ∆bq ðñ u u u

^t

“

ˆ 91 50 , ´ 9

25 , 27 20 , 79

100 ˙

« p1.8, ´0.36, 1.3, 0.79q pA ` ∆Aqvvv “ b b b ðñ vvv

^t

“ p´81, 137, ´34, 22q pA ` ∆Aqyyy “ pb b b ` ∆b ∆b ∆bq ðñ yyy

^t

“

ˆ

´ 18283543

461600 , 31504261

461600 , ´ 3741501

230800 , 5235241 461600

˙

« p´39.61, 68.25, ´16.21, 11.34q

(7)

Soient A P M _n pKq inversible et b b b P K ⁿ . Axxx “ b b b

De petites erreurs sur les données engendrent-elles de petites erreurs sur la solution?

Non, pas forcément!

Le système linéaire prédédent est mal conditionné.

On dit qu’un système linéaire est bien conditionné ou qu’il a un bon conditionnement si de petites perturbations des données n’entrainent qu’une variation raisonnable de la solution.

Est-il possible de "mesurer" le conditionnement d’une matrice?

(8)

Definition 1.1

Soit }.} une norme matricielle subordonnée, le conditionnement d’une matrice régulière A, associé à cette norme, est le nombre

cond pAq “ }A} ›

› A ^-1 ›

› . Nous noterons cond _p pAq “ }A} _p ›

› A ^-1 ›

› p .

(9)

Proposition:

Soit A une matrice régulière. On a les propriétés suivantes

1

@α P K ^˚ , condpαAq “ condpAq.

2

cond _p pAq ě 1, @p P v1, `8w.

3

cond ₂ pAq “ 1 si et seulement si A “ αQ avec α P K ^˚ et Q matrice unitaire

(10)

Théorème 2:

Soit A une matrice inversible. Soient xxx et x x x ` ` ` ∆x ∆x ∆x les solutions respectives de

Axxx “ b b b et A px x x ` ` ` ∆x ∆x ∆x q “ b b b ` ` ` ∆b ∆b ∆b.

Supposons b b b ‰ 0 0 0, alors l’inégalité }∆x ∆x ∆x}

}xxx } ď cond pAq }∆b ∆b ∆b}

}b b b}

est satisfaite, et c’est la meilleure possible : pour une matrice A donnée, on peut trouver des vecteurs b b b ‰ 0 0 0 et ∆b ∆b ∆b ‰ 0 0 0 tels qu’elle devienne une égalité.

(11)

Théorème:

Soient A et A ` ∆A deux matrices inversibles. Soient xxx et x x x ` ` ` ∆x ∆x ∆x les solutions respectives de

Axxx “ b b b et pA ` ∆Aq px x x ` ` ` ∆x ∆x ∆xq “ b b b.

Supposons b b b ‰ 0 0 0, alors on a }∆x ∆x ∆x}

}x x x ` ` ` ∆x ∆x ∆x} ď cond pAq }∆A}

}A} .

Remarque 2.1

Une matrice est donc bien conditionnée si son conditionnement est proche de 1.

(12)

Plan

1 Conditionnement

2 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

Factorisation LU

Résultats théoriques Utilisation pratique

Factorisation LDL ^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

Factorisation QR

La tranformation de Householder

Méthodes directes Matrices particulières 2020/10/16 12 / 59

(13)

Système diagonal

Soit A P M _n pKq diagonale inversible et b b b P K ⁿ .

x i “ b i {A i,i , @i P v 1, nw. (1)

Algorithme 1 Fonction _RSLMatDiag permettant de résoudre le système linéaire à matrice diagonale inversible

Axxx “ b b b.

Données : A : matrice diagonale de M

_n

pRq inversible.

b b b : vecteur de R

ⁿ

. Résultat : xxx : vecteur de R

ⁿ

.

1: Fonction xxx Ð _RSLMatDiag ( A,b b b ) 2: Pour i Ð 1 à n faire

3: x pi q Ð bpiq{Api , iq 4: Fin Pour

5: Fin Fonction

(14)

Système triangulaire inférieur

Soit A P M _n pKq triangulaire inférieure inversible (A _i,j “ 0 si i ă j )

Axxx “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A _1,1 0 . . . 0

.. . . .. ... .. .

.. . . .. 0

A _n,1 . . . . . . A _n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x ₁

.. . .. . x _n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b ₁

.. . .. . b _n

˛

‹

‚

A inversible ðñ

A _i,i ‰ 0, @i P v 1, nw Soit i P v 1, nw, pAxxx q i “ b _i , ðñ

n

ÿ

j “1

A _i,j x _j “ b _i .

b _i “

i ´1

ÿ

j “1

A _i,j x _j ` A _i _,i x _i `

n

ÿ

j“i`1

A _i,j lo omo on

“0

x _j “

i´1

ÿ

j“1

A _i _,j x _j ` A _i,i x _i

x i “ 1 A _i,i

˜ b i ´

i´1

ÿ

j“1

A i,j x j

¸

, @i P v 1, nw. (2)

(15)

Système triangulaire inférieur

Soit A P M _n pKq triangulaire inférieure inversible (A _i,j “ 0 si i ă j )

Axxx “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A _1,1 0 . . . 0

.. . . .. ... .. .

.. . . .. 0

A _n,1 . . . . . . A _n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x ₁

.. . .. . x _n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b ₁

.. . .. . b _n

˛

‹

‚

A inversible ðñ A _i,i ‰ 0, @i P v1, nw

Soit i P v 1, nw, pAxxx q i “ b _i , ðñ

n

ÿ

j “1

A _i,j x _j “ b _i .

b _i “

i ´1

ÿ

j “1

A _i,j x _j ` A _i _,i x _i `

n

ÿ

j“i`1

A _i,j lo omo on

“0

x _j “

i´1

ÿ

j“1

A _i _,j x _j ` A _i,i x _i

x i “ 1 A _i,i

˜ b i ´

i´1

ÿ

j“1

A i,j x j

¸

, @i P v 1, nw. (2)

(16)

Système triangulaire inférieur

Soit A P M _n pKq triangulaire inférieure inversible (A _i,j “ 0 si i ă j )

Axxx “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A _1,1 0 . . . 0

.. . . .. ... .. .

.. . . .. 0

A _n,1 . . . . . . A _n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x ₁

.. . .. . x _n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b ₁

.. . .. . b _n

˛

‹

‚

A inversible ðñ A _i,i ‰ 0, @i P v1, nw Soit i P v 1, nw, pAxxx q i “ b _i , ðñ

n

ÿ

j “1

A _i,j x _j “ b _i .

b _i “

i ´1

ÿ

j “1

A _i,j x _j ` A _i _,i x _i `

n

ÿ

j“i`1

A _i,j lo omo on

“0

x _j “

i´1

ÿ

j“1

A _i _,j x _j ` A _i,i x _i

x i “ 1 A _i,i

˜ b i ´

i´1

ÿ

j“1

A i,j x j

¸

, @i P v 1, nw. (2)

(17)

x _i “ 1 A _i,i

˜ b _i ´

i´1

ÿ

j“1

A _i,j x _j

¸

, @i P v 1, nw.

Algorithme 2 R

₀

1:

Résoudre A xxx “ b b b en calculant successivement x

1

, x

2

, . . . , x

n

.

Algorithme 2 R

₁

1:

Pour i Ð 1 à n faire

2:

x

_i

Ð 1

A

_i,i

˜ b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

¸

3:

Fin Pour

(18)

x i “ 1 A _i,i

˜ b i ´

i´1

ÿ

j“1

A i,j x j

¸

, @i P v 1, nw.

Algorithme 2 R ₁ 1: Pour i Ð 1 à n faire

2: x i Ð 1

A i,i

˜ b i ´

i´ 1

ÿ

j“ 1

A i,j x j

¸

3: Fin Pour

Algorithme 2 R ₂ 1: Pour i Ð 1 à n faire

2: S Ð

i´ 1

ÿ

j“ 1

A i,j x j 3: x i Ð pb i ´ Sq{A i,i

4: Fin Pour

(19)

x i “ 1 A i,i

˜ b i ´

i´1

ÿ

j“1

A i,j x j

¸

, @i P v1, nw.

Algorithme 2 R ₃ 1: Pour i Ð 1 à n faire

2: S Ð

i´ 1

ÿ

j“ 1

A i,j x j

3: x i Ð pb i ´ Sq{A i,i 4: Fin Pour

Algorithme 2 R ₄ 1: Pour i Ð 1 à n faire

2: S Ð 0

3: Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire 4: S Ð S ` Api , jq ˚ x pjq 5: Fin Pour

6: x i Ð pb i ´ Sq{A i,i 7: Fin Pour

(20)

x _i “ 1 A _i,i

˜ b _i ´

i´1

ÿ

j“1

A _i,j x _j

¸

, @i P v 1, nw.

Algorithme 2 Fonction RSLTriInf permettant de résoudre le système linéaire triangulaire inférieur inversible

Axxx “ b b b.

Données : A : matrice triangulaire de M

_n

p K q inférieure inversible.

b b

b : vecteur de K

ⁿ

. Résultat : xxx : vecteur de K

ⁿ

.

1:

Fonction xxx Ð RSLTriInf ( A, b b b )

2:

Pour i Ð 1 à n faire

3:

S Ð 0

4:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

5:

S Ð S ` Api, j q ˚ xpjq

6:

Fin Pour

7:

xpiq Ð pbpiq ´ Sq{Api, iq

8:

Fin Pour

9:

Fin Fonction

(21)

Système triangulaire supérieur

Soit A P M _n pKq triangulaire supérieure inversible (A _i,j “ 0 si i ą j )

Axxx “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A _1,1 . . . . . . A _1,n

0 . .. .. .

.. . . .. ... .. .

0 . . . 0 A n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x ₁

.. . .. . x n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b ₁

.. . .. . b n

˛

‹

‚

Exercice

Ecrire la fonction _RSLTriSup permettant de résoudre le système triangulaire supérieure Axxx “ b b b.

(22)

Plan

1 Conditionnement

2 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

Factorisation LU

Résultats théoriques Utilisation pratique

Factorisation LDL ^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

Factorisation QR

La tranformation de Householder

Méthodes directes Exercices et résultats préliminaires 2020/10/16 17 / 59

(23)

Lemme 3.1:

Soit pi , jq P v1, nw ² . On note P ^ri,js n P M n pRq la matrice identitée dont on a permuté les lignes i et j. Alors la matrice P ^ri,js n est symétrique et orthogonale.

Pour toute matrice A P M n pKq,

1

la matrice P ^ri,js n A est matrice A dont on a permuté les lignes i et j,

2

la matrice AP ^ri,js n est matrice A dont on a permuté les colonnes i et j,

Lemme 3.2:

Soit A P M n pCq avec A _1,1 ‰ 0. Il existe une matrice E P M n pCq triangulaire inférieure à diagonale unité telle que

EAeee ₁ “ A _1,1 eee ₁ (3) où eee 1 est le premier vecteur de la base canonique de C ⁿ .

(24)

Théorème 4: Décomposition de Schur

Soit A P M _n pCq. Il existe une matrice unitaire U et une matrice triangulaire supérieure T telles que

A “ UTU ^˚ (4)

(25)

Plan

1 Conditionnement

2 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

Factorisation LU

Résultats théoriques Utilisation pratique

Factorisation LDL ^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

Factorisation QR

La tranformation de Householder

Méthodes directes Méthode de Gauss-Jordan 2020/10/16 20 / 59

(26)

Algorithme de Gauss-Jordan

Axxx “ b b b ðñ Uxxx “ fff où U matrice triangulaire supérieure.

Opérations élémentaires sur les matrices :

‚ L _i Ø L _j permutation lignes i et j

‚ L _i Ð L _i ` αL _j combinaison linéaire

A l’aide d’opérations élémentaires, on va transformer successivement en n ´ 1 étapes le système. A l’étape j , on va s’arranger pour annuler les termes sous-diagonaux de la colonne j de la matrice sans modifier les j ´ 1 premières colonnes.

(27)

¨

˚

˝

‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ 0 . .. ... ... ... .. . .. . . .. ... ‚ .. . .. .

0 . . . 0 ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ .. . .. . .. . .. .

0 . . . . . . 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

˛

‹

‚ xxx “

¨

˚

˝

‚ .. .

‚

‚ .. .

‚

˛

‹

‚

j ´ 1

Etape j ðñ

¨

˚

˝

‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ 0 . .. ... ... ... .. . .. . . .. ... ‚ .. . .. .

0 . . . 0 ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ .. . .. . .. . .. .

0 . . . . . . 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

˛

‹

‚ xxx “

¨

˚

˝

‚ .. .

‚

‚ .. .

‚

˛

‹

‚ j

(28)

Algorithme 3 Algorithme de Gauss-Jordan formel pour la résolution de Axxx “ b b b

1: Pour j Ð 1 à n ´ 1 faire

2: Rechercher l’indice k de la ligne du pivot (sur la colonne j , k P vj , nw)

3: Permuter les lignes j (L _j ) et k (L _k ) du système si besoin.

4: Pour i Ð j ` 1 à n faire

5: Eliminer en effectuant L i Ð L i ´ ^A _A

^i,j

j,j

L j 6: Fin Pour

7: Fin Pour

8: Résoudre le système triangulaire supérieur par la méthode de la remon- tée.

(29)

Algorithme 4 Algorithme de Gauss-Jordan avec fonctions pour la résolution de Axxx “ b b b

Données : A : matrice de M

_n

p K q inversible.

b b

b : vecteur de K

ⁿ

. Résultat : xxx : vecteur de R

ⁿ

.

1: Fonction xxx Ð RSLGauss ( A,b b b )

2: Pour j Ð 1 à n ´ 1 faire

3: k Ð ChercheIndPivot pA, jq Ź à écrire

4: rA,b b bs Ð PermLignesSys pA,b b b, j, k q Ź à écrire

5: Pour i Ð j ` 1 à n faire

6: rA,b b bs Ð CombLignesSys pA,b b b, j,i , ´Api, jq{Apj, jqq Ź à écrire

7: Fin Pour

8: Fin Pour

9: xxx Ð RSLTriSup pA,b b bq Ź déjà écrite

10: Fin Fonction

(30)

Algorithme 5Recherche d’un pivot pour l’algorithme de Gauss-Jordan.

Données : A : matrice deMnpKq.

j : entier, 1ďjďn.

Résultat : k : entier, indice ligne pivot

1:FonctionkÐ ChercheIndPivot (A,j) 2: kÐj,pivotÐ |Apj,jq|

3: PouriÐj`1ànfaire 4: Si|Api,jq| ąpivotalors

5: kÐi

6: pivotÐ |Api,jq|

7: Fin Si 8: Fin Pour 9:Fin Fonction

Algorithme 6Permutte deux lignes d’une matrice et d’un vecteur.

bbb : vecteur deKⁿ. j,k : entiers, 1ďj,kďn.

Résultat : Aetbbbmodifiés.

1:FonctionrA,bbbs Ð PermLignesSys(A,bbb,j,k )

2: PourlÐ1ànfaire 3: tÐApj,lq 4: Apj,lq ÐApk,lq 5: Apk,lq Ðt 6: Fin Pour

7: tÐbbbpjq,bbbpjq Ðbbbpkq,bbbpkq Ðt 8:Fin Fonction

Algorithme 7Combinaison linéaireLiÐLi`αLjappliqué à une matrice et à un vecteur.

bbb : vecteur deKⁿ. j,i : entiers, 1ďj,iďn.

alpha : scalaire deK Résultat : Aetbbbmodifiés.

1:FonctionrA,bbbs Ð CombLignesSys (A,bbb,j,i, α) 2: PourkÐ1ànfaire

3: Api,kq ÐApi,kq `α˚Apj,kq 4: Fin Pour

5: bbbpiq Ðbbbpiq `αbbbpjq 6:Fin Fonction

(31)

Exercice 4.1: Méthode de Gauss, écriture algébrique

Soit A P M

n

pCq inversible.

Q. 1

Montrer qu’il existe une matrice G P M

_n

pCq telle que | detpGq| “ 1 et GAeee

1

“ αeee

1

avec α ‰ 0 et eee

1

premier vecteur de la base canonique de C

ⁿ

.

Q. 2

1

Montrer par récurrence sur l’ordre des matrices que pour toute matrice

A

n

P M

n

p C q inversible, il existe une matrice S

n

P M

n

p C q telle que |det S

n

| “ 1 et S

_n

A

_n

“ U

_n

avec U

_n

matrice triangulaire supérieure inversible.

2

Soit b b b P C

ⁿ

. En supposant connue la décompostion précédente S

_n

A

_n

“ U

_n

, expliquer comment résoudre le système A

_n

xxx “ b b b.

Q. 3

Que peut-on dire si A est non inversible?

Indication : utiliser les Lemmes 3.1 et 3.2.

(32)

On a donc démontré le théorème suivant Théorème 5

Soit A une matrice carrée, inversible ou non. Il existe (au moins) une matrice inversible G telle que GA soit triangulaire supérieure.

(33)

Plan

1 Conditionnement

2 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

Factorisation LU

Résultats théoriques Utilisation pratique

Factorisation LDL ^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

Factorisation QR

La tranformation de Householder

Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 28 / 59

(34)

Exercice: Factorisation LU

Soit A P M _n pCq une matrice dont les sous-matrices principales d’ordre i , notées ∆ _i , i P v1, nw (voir Definition B.48, page 188) sont inversibles.

Montrer qu’il existe des matrices E ^rks P M _n p C q, k P v1, n ´ 1w, triangulaires inférieures à diagonale unité telles que la matrice U définie par

U “ E ^rn´1s ¨ ¨ ¨ E ^r1s A

soit triangulaire supérieure avec U i,i “ det ∆ i {pU 1,1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ U i´1,i´1 q,

@i P v 1, nw.

(35)

Théorème 6: Factorisation LU

Soit A P M _n pCq une matrice dont les sous-matrices principales sont inversibles alors il existe une unique matrice L P M _n pCq triangulaire inférieure (lower triangular en anglais) à diagonale unité et une unique matrice U P M _n pCq triangulaire supérieure (upper triangular en anglais) inversible telles ques

A “ LU.

preuve :

‚ Existence : exercice précédant U “ E ^rn´1s ¨ ¨ ¨ E ^r1s A L “

´

E ^rn´1s ¨ ¨ ¨ E ^r1s

¯ -1

‚ Unicité : A “ L 1 U 1 “ L 2 U 2 ...

(36)

Corollaire 6.1:

Si A P M _n pCq est une matrice hermitienne définie positive alors elle admet une unique factorisation LU.

preuve : A hermitienne définie positive alors toutes ses sous-matrices principales sont définies positives et donc inversibles.

(37)

Remarque 6.2

Si la matrice A P M _n pCq est inversible mais que ses sous-matrices principales ne sont pas toutes inversibles, il est possible par des permutations préalables de lignes de la matrice de se ramener à une matrice telle que ses sous-matrices principales soient inversibles.

Théorème 7: Factorisation LU avec permutations

Soit A P M _n pCq une matrice inversible. Il existe une matrice P, pro- duit de matrices de permutation, une matrice L P M _n pCq triangulaire inférieure à diagonale unité et une matrice U P M _n pCq triangulaire supérieure telles ques

PA “ LU. (5)

(38)

Utilisation pratique de la factorisation LU

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU Trouver xxx P K ⁿ tel que

Axxx “ b b b ðñ LUxxx “ b b b (6) est équivalent à

Trouver xxx P K ⁿ solution de

Uxxx “ yyy (7)

avec yyy P K ⁿ solution de

Lyyy “ b b b. (8)

(39)

Utilisation pratique de la factorisation LU

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU Trouver xxx P K ⁿ tel que

Axxx “ b b b ðñ LUxxx “ b b b (6)

est équivalent à

Trouver xxx P K ⁿ solution de

Uxxx “ yyy (7)

avec yyy P K ⁿ solution de

Lyyy “ b b b. (8)

(40)

Algorithme de résolution de systèmes linéaire par LU

Algorithme 8 Fonction RSLFactLU permettant de résoudre, par une factorisation LU, le système linéaire

Axxx “ b b b

où A une matrice de M _n p R q définie positive et b b b P R ⁿ . Données : A : matrice de M n p R q dont les sous-matrices

principales sont inversibles définie positive, b b b : vecteur de R ⁿ .

Résultat : xxx : vecteur de R ⁿ .

1: Fonction xxx Ð _RSLFactLU ( A, b b b )

2: rL, Us Ð _FactLU pAq Ź Factorisation LU

3: yyy Ð _RSLTriInf pL, b b bq Ź Résolution du système Lyyy “ b b b

4: xxx Ð _RSLTriSup pU, yyy q Ź Résolution du système Uxxx “ yyy

5: Fin Fonction

Il nous faut donc écrire la fonction _FactLU

(41)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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‹

‚

“

¨

˚

˝

1 0 . . . 0

L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ...

... ... . .. . .. 0

Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

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‚

¨

˚

˝

U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

On connait A, on cherche L et U

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(42)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ...

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Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

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U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(43)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ...

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Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

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U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(44)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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L2,1 1 0 . . . 0

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U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

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0 0 . . . 0 Un,n

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‹

‚

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(45)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ... ... ... . .. . .. 0

Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

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‚

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˝

U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(46)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ... ... ... . .. . .. 0

Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

˛

‹

‚

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U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

‚ Etape 1 :

§ On connait la première ligne de L ùñ on peut calculer la première ligne de U

§ On connait la première colonne de U ùñ on peut calculer la première colonne de U

‚ Etape 2 :

§ On connait la deuxième ligne de L ùñ on peut calculer la deuxième ligne de U car on connait la première ligne de U

§ On connait la deuxième colonne de U ùñ on peut calculer la deuxième colonne de L car on connait la première colonne de L

‚ ...

(47)

Soit A P M _n pKq admettant une factorisation LU.

¨

˚

˝

A1,1 A1,2 . . . A1,n

A2,1 A2,2 . . . A2,n

... ... . .. ...

An,1 An,2 . . . An,n

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1 0 . . . 0

L2,1 1 0 . . . 0

L3,1 L3,2 . .. . .. ... ... ... . .. . .. 0

Ln,1 Ln,2 . . . Ln,n´1 1

˛

‹

‚

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˚

˝

U1,1 U1,2 . . . U1,n

0 U2,2 . . . U2,n

0 0 U3,3 ...

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 0 Un,n

˛

‹

‚

‚ Etape i :

On connait les i ´ 1 premières colonnes de L et les i ´ 1 premières lignes de U.

Peut-on calculer la colonne i de L et la ligne i de U?

(48)

Par récurrence, en supposant les i ´ 1 premières colonnes de L et les i ´ 1 premières lignes de U.

A “

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.. . .. . .. . . .. ... ‚

0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 U

n,n

˛

‹

‚

(49)

Par récurrence, en supposant les i ´ 1 premières colonnes de L et les i ´ 1 premières lignes de U.

A “

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(50)

A “

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0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 U

n,n

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‹

‚

Par récurrence, on suppose connues les i ´ 1 premières colonnes de L et les i ´ 1 premières lignes de U.

Peut-on calculer la colonne i de L et la ligne i de U?

(51)

A “

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(52)

A “

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i,i

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On cherche U _i,j @j P vi, nw.

A i,j

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n

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k“1

L i,k U k,j “

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k“1

connus hkkikkj L i,k U k,j `

“1

hk kik kj L i,i U i ,j `

i`1

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k“1

“0

hk kik kj L i,k U k,j

U _i,j “ A _i,j ´

i ´1

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k“1

L _i,k U _k,j , @j P vi , nw.

(53)

A “

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i,i

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(54)

A “

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0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 U

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‚

On cherche L _j _,i @j P vi ` 1, nw, (L _i,i “ 1)

A _j,i

^def

“

n

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L _j,k U _k,i “

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connus hkkikkj L _j _,k U _k,i `L _j,i

connu hk kik kj

U _i _,i `

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L _j _,k

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hk kik kj U _k _,i

L j ,i “

˜ A j,i ´

i´1

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k“1

L j,k U k,i

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{U i,i , @j P vi ` 1, nw.

(55)

Algorithme 9 R ₀

1: Calculer les matrices L et U

Algorithme 9 R ₁

1: Pour i Ð 1 à n faire 2: Calculer la ligne i de U . 3: Calculer la colonne i de L . 4: Fin Pour

(56)

Algorithme 9 R

1

1:

Pour i Ð 1 à n faire

2:

Calculer la ligne i de U .

3:

Calculer la colonne i de L.

4:

Fin Pour

Algorithme 9 R

2 1:

Pour i Ð 1 à n faire

2:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

3:

Upi, jq Ð 0

4:

Fin Pour

5:

Pour j Ð i à n faire

6:

U

i,j

Ð A

i,j

´

i´1

ÿ

k“1

L

i,k

U

k,j 7:

Fin Pour

8:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

9:

L

j,i

Ð 0

10:

Fin Pour

11:

L

i,i

Ð 1

12:

Pour j Ð i ` 1 à n faire

13:

L

j,i

Ð

_U¹_i,i

˜ A

j,i

´

i´1

ÿ

k“1

L

_j,k

U

_k,i

¸

14:

Fin Pour

15:

Fin Pour

(57)

Algorithme 9 R

₂

1:

Pour i Ð 1 à n faire

2:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

3:

Upi, jq Ð 0

4:

Fin Pour

5:

Pour j Ð i à n faire

6:

U

i,j

Ð A

i,j

´

i´1

ÿ

k“1

L

i,k

U

k,j

7:

Fin Pour

8:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

9:

L

j,i

Ð 0

10:

Fin Pour

11:

L

i,i

Ð 1

12:

Pour j Ð i ` 1 à n faire

13:

L

j,i

Ð

_U¹_i,i

˜ A

j,i

´

i´1

ÿ

k“1

L

j,k

U

k,i

¸

14:

Fin Pour

15:

Fin Pour

Algorithme 9 R

₃

1:

Pour i Ð 1 à n faire

2:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

3:

Upi, jq Ð 0

4:

Fin Pour

5:

Pour j Ð i à n faire

6:

S

1

Ð

i´1

ÿ

k“1

L

i,k

U

k,j 7:

U

i,j

Ð A

i,j

´ S

1

8:

Fin Pour

9:

Pour j Ð 1 à i ´ 1 faire

10:

L

j,i

Ð 0

11:

Fin Pour

12:

L

i,i

Ð 1

13:

Pour j Ð i ` 1 à n faire

14:

S

2

Ð

i´1

ÿ

k“1

L

j,k

U

k,i

15:

L

j,i

Ð 1

U

i,i

pA

j,i

´ S

2

q .

16:

Fin Pour

17:

Fin Pour

(58)

Algorithme 9 R3

1:PouriÐ1ànfaire 2: PourjÐ1ài´1faire 3: Upi,jq Ð0 4: Fin Pour 5: PourjÐiànfaire

6: S1Ð

i´1 ÿ

k“1 Li,kUk,j

7: Ui,jÐAi,j´S1 8: Fin Pour

9: PourjÐ1ài´1faire 10: Lj,iÐ0

11: Fin Pour 12: Li,iÐ1

13: PourjÐi`1ànfaire

14: S2Ð

i´1 ÿ

k“1 Lj,kUk,i

15: Lj,iÐ 1

Ui,i pAj,i´S2q.

16: Fin Pour 17: Fin Pour

Algorithme 9 R4

1:PouriÐ1ànfaire 2: PourjÐ1ài´1faire 3: Upi,jq Ð0 4: Fin Pour 5: PourjÐiànfaire

6: S1Ð0

7: PourkÐ1ài´1faire 8: S1ÐS1`Li,k˚Uk,j 9: Fin Pour

10: Ui,jÐAi,j´S1 11: Fin Pour

12: PourjÐ1ài´1faire 13: Lj,iÐ0

14: Fin Pour 15: Li,iÐ1

16: PourjÐi`1ànfaire

17: S2Ð0

18: PourkÐ1ài´1faire 19: S2ÐS2`Lj,k˚Uk,i 20: Fin Pour

21: Lj,iÐ 1

Ui,ipAj,i´S2q.

22: Fin Pour 23:Fin Pour

(59)

Algorithme 9 Fonction

FactLU

permet de calculer les matrices L et U dites matrice de factorisation LU associée à la matrice A, telle que

A “ LU

Données : A : matrice de M

n

pKq dont les sous-matrices principales sont inversibles.

Résultat : L : matrice de M

n

pKq triangulaire inférieure avec L

i,i

“ 1, @i P v1, nw

U : matrice de M

n

pKq triangulaire supérieure.

1:

Fonction rL,Us Ð

_FactLU

( A )

2:

U Ð O

_n

Ź O

_n

matrice nulle n ˆ n

3:

L Ð I

_n

Ź I

_n

matrice identitée n ˆ n

4:

Pour i Ð 1 à n faire

5:

Pour j Ð i à n faire Ź Calcul de la ligne i de U

6:

S

₁

Ð 0

7:

Pour k Ð 1 à i ´ 1 faire

8:

S

₁

Ð S

₁

` Lpi, kq ˚ Upk,jq

9:

Fin Pour

10:

Upi, jq Ð Api ,jq ´ S

₁

11:

Fin Pour

12:

Pour j Ð i ` 1 à n faire Ź Calcul de la colonne i de L

13:

S

2

Ð 0

14:

Pour k Ð 1 à i ´ 1 faire

15:

S

2

Ð S

2

` Lpj, kq ˚ Upk, iq

16:

Fin Pour

17:

Lpj, iq Ð pA

_j,i

´ S

2

q {U pi, iq.

18:

Fin Pour

19:

Fin Pour

20:

Fin Fonction

Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier