Algorithme 8 Fonction RSLFactLU permettant de résoudre, par une fac-torisationLU, le système linéaire
Axxx “bbb
oùAune matrice deMnpRqdéfinie positive etbbbPRn. Données : A : matrice deMnpRqdont les sous-matrices
principales sont inversibles définie positive, bbb : vecteur de Rn.
Résultat : xxx : vecteur de Rn.
1: Fonctionxxx Ð RSLFactLU ( A,bbb )
2: rL,Us ÐFactLUpAq Ź FactorisationLU
3: yyy ÐRSLTriInfpL,bbbq ŹRésolution du système Lyyy “bbb
4: xxx ÐRSLTriSuppU,yyyq ŹRésolution du système Uxxx “yyy
5: Fin Fonction
Il nous faut donc écrire la fonction FactLU
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 34 / 59
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnede Uùñon peut calculer la deuxième colonnedeL car on connait la première colonne deL
‚ ...
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Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnede Uùñon peut calculer la deuxième colonnedeL car on connait la première colonne deL
‚ ...
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Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnede Uùñon peut calculer la deuxième colonnedeL car on connait la première colonne deL
‚ ...
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Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnede Uùñon peut calculer la deuxième colonnedeL car on connait la première colonne deL
‚ ...
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 35 / 59
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnedeUùñon peut calculer la deuxième colonnedeLcar on connait la première colonne de L
‚ ...
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 35 / 59
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait lapremière lignedeLùñon peut calculer lapremière lignedeU
§ On connait lapremière colonnedeUùñon peut calculer la première colonnedeU
‚ Etape 2 :
§ On connait ladeuxième lignedeL ùñon peut calculer ladeuxième lignedeUcar on connait la première ligne deU
§ On connait ladeuxième colonnedeUùñon peut calculer la deuxième colonnedeLcar on connait la première colonne de L
‚ ...
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 35 / 59
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
On connait lesi ´1 premières colonnes deL et lesi´1 premières lignes deU.
Peut-on calculer la colonne i deLet la ligne i deU?
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 35 / 59
Par récurrence, en supposant les i´1 premières colonnes deL et les i´1 premières lignes deU.
A“
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Par récurrence, en supposant les i´1 premières colonnes deL et les i´1 premières lignes deU.
A“
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 36 / 59
A“
Par récurrence, on suppose connues les i´1 premières colonnes deLet les i´1 premières lignes deU.
Peut-on calculer la colonne i deLet la ligne i deU?
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A“
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A“
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A“
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A“
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Algorithme 9 R0
1: Calculer les matricesLetU
Algorithme 9 R1
1: Pouri Ð1ànfaire 2: Calculer la lignei deU. 3: Calculer la colonnei deL. 4: Fin Pour
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Algorithme 9 R1
1: PouriÐ1ànfaire 2: Calculer la ligne i deU. 3: Calculer la colonne i deL.
4: Fin Pour
Algorithme 9 R2 1: PouriÐ1ànfaire
2: PourjÐ1ài´1faire
3: Upi,jq Ð0
4: Fin Pour
5: PourjÐiànfaire 6: Ui,jÐAi,j´
i´1
ÿ
k“1
Li,kUk,j 7: Fin Pour
8: PourjÐ1ài´1faire 9: Lj,iÐ0
10: Fin Pour 11: Li,iÐ1
12: PourjÐi`1ànfaire 13: Lj,iÐU1i,i
˜ Aj,i´
i´1
ÿ
k“1
Lj,kUk,i
¸
14: Fin Pour 15: Fin Pour
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 38 / 59
Algorithme 9 R2
10: Fin Pour 11: Li,iÐ1
14: Fin Pour 15:Fin Pour
Algorithme 9 R3
1:PouriÐ1ànfaire
11: Fin Pour 12: Li,iÐ1
16: Fin Pour 17:Fin Pour
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 38 / 59
Algorithme 9 R3
11: Fin Pour 12: Li,iÐ1
16: Fin Pour 17: Fin Pour
Algorithme 9 R4
1:PouriÐ1ànfaire 11: Fin Pour
12: PourjÐ1ài´1faire 13: Lj,iÐ0
14: Fin Pour 15: Li,iÐ1
16: PourjÐi`1ànfaire
17: S2Ð0
18: PourkÐ1ài´1faire 19: S2ÐS2`Lj,k˚Uk,i 20: Fin Pour
21: Lj,iÐ 1
Ui,ipAj,i´S2q.
22: Fin Pour 23:Fin Pour
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 38 / 59
Algorithme 9FonctionFactLU permet de calculer les matricesLetUdites matrice de factorisationLUassociée à la matriceA,telle que
A“LU
Données : A : matrice deMnpKqdont les sous-matrices principales sont inversibles.
Résultat : L : matrice deMnpKqtriangulaire inférieure avecLi,i“1,@iP v1,nw
U : matrice deMnpKqtriangulaire supérieure.
1:FonctionrL,Us ÐFactLU(A)
2: UÐOn Ź Onmatrice nullenˆn
3: LÐIn Ź Inmatrice identitéenˆn
4: PouriÐ1ànfaire
5: PourjÐiànfaire ŹCalcul de la ligneideU
6: S1Ð0
7: PourkÐ1ài´1faire 8: S1ÐS1`Lpi,kq ˚Upk,jq 9: Fin Pour
10: Upi,jq ÐApi,jq ´S1
11: Fin Pour
12: PourjÐi`1ànfaire ŹCalcul de la colonneideL
13: S2Ð0
14: PourkÐ1ài´1faire 15: S2ÐS2`Lpj,kq ˚Upk,iq 16: Fin Pour
17: Lpj,iq Ð pAj,i´S2q {Upi,iq.
18: Fin Pour 19: Fin Pour 20: Fin Fonction
Méthodes directes FactorisationLU 2020/10/16 39 / 59
Plan
1 Conditionnement
2 Méthodes directes Matrices particulières
Matrices diagonales
Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures
Exercices et résultats préliminaires
Méthode de Gauss-Jordan
Ecriture algébrique
FactorisationLU
Résultats théoriques Utilisation pratique
FactorisationLDL˚ Factorisation de Cholesky
Résultats théoriques
Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky
FactorisationQR
La tranformation de Householder
Méthodes directes FactorisationLDL˚ 2020/10/16 40 / 59
Soit APMnpCqhermitienne inversible admettant une factorisationLU.
On pose
D“diagUetR“D-1U.
R est alors triangulaire supérieure à diagonale unité. On a alors A“LU“LDD-1U“LDR.
A hermitienneA˚“A ùñ A“R˚pD˚L˚q “LpDRq Par unicité de la factorisationLU:
R˚“L etD˚L˚ “DR ùñ R˚“Let D˚ “D
Méthodes directes FactorisationLDL˚ 2020/10/16 41 / 59
Théorème 8: Factorisation LDL˚
Soit A P MnpCq une matrice hermitienne inversible admettant une factorisation LU.AlorsAs’écrit sous la forme
A“LDL˚ (9)
où D“diagUest une matrice à coefficients réels.
Corollaire 8.1:
Une matrice A P MnpCq admet une factorisation LDL˚ avec L P MnpCqmatrice triangulaire inférieure à diagonale unité etDPMnpRq matrice diagonale à coeffcients diagonaux strictement positifs si et seulement si la matrice Aest hermitienne définie positive.
Méthodes directes FactorisationLDL˚ 2020/10/16 42 / 59
Plan
1 Conditionnement
2 Méthodes directes Matrices particulières
Matrices diagonales
Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures
Exercices et résultats préliminaires
Méthode de Gauss-Jordan
Ecriture algébrique
FactorisationLU
Résultats théoriques Utilisation pratique
FactorisationLDL˚ Factorisation de Cholesky
Résultats théoriques
Résolution d’un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky
FactorisationQR
La tranformation de Householder
Méthodes directes Factorisation de Cholesky 2020/10/16 43 / 59
Definition
Une factorisation régulière de Cholesky d’une matrice APMnpCq est une factorisation A “ BB˚ où B est une matrice triangulaire in-férieure inversible.
Si les coefficients diagonaux de B sont positifs, on parle alors d’une factorisation positive de Cholesky.
Théorème: Factorisation de Cholesky
La matrice APMnpCq admet une factorisation régulière de Cholesky si et seulement sila matrice Aest hermitienne définie positive. Dans ce cas, elle admet une unique factorisation positive.
Méthodes directes Factorisation de Cholesky 2020/10/16 44 / 59
Soit APMnpCqhermitienne définie positive etbbbPCn.On note B la matrice de factorisation positive de Cholesky deA.
Trouverxxx PCntel que
Axxx “bbb pðñ BB˚xxx “bbbq (10) est équivalent à
Trouverxxx PCnsolution de
B˚xxx “yyy (11) avecyyy PCnsolution de
Byyy “bbb. (12)
Méthodes directes Factorisation de Cholesky 2020/10/16 45 / 59
Soit APMnpCqhermitienne définie positive etbbbPCn.On note B la matrice de factorisation positive de Cholesky deA.
Trouverxxx PCntel que
Axxx “bbb pðñ BB˚xxx “bbbq (10)
est équivalent à
Trouverxxx PCnsolution de
B˚xxx “yyy (11) avecyyy PCnsolution de
Byyy “bbb. (12)
Méthodes directes Factorisation de Cholesky 2020/10/16 45 / 59