EM1a : Le champ électrostatique

ATS ATS

Jules Ferry

Partie 4 : Électromagnétisme EM1 : Électrostatique du vide

EM1a

EM1-a : Le champ électrostatique

Intro : les équations de Maxwell !

I. La charge électrique

1. Présentation

La charge électrique d’une particule est une grandeur scalaire, positive ou négative, intrinsèque à la particule chargée, qui caractérise les interactions électromagnétiques que la particule exerce ou subit.

Unité SI : le coulomb, de symbole C (1C=1A.s).

2. Propriétés de la charge électrique

• Quantifiée : q=k.e où k∈ℤ et e=1 ,602 .10⁻¹⁹C=charge élémentaire (Millikan en 1910) ;

• Extensive ;

• Conservative : la charge électrique d’un système ne peut évoluer que par échange de charges avec le milieu extérieur (et la charge totale d’un système isolé est constante) ;

• Invariante par changement de référentiel.

II. Définitions du champ électrique et des différentes distributions de charge

1. Loi de Coulomb

Par son expérience mécanique célèbre, appelée « balance de Coulomb » (équivalente à l’expérience de Cavendish pour la gravitation), ce dernier énonce la loi suivante :

Tout point matériel M₁ de charge électrique q₁ (> 0 ou < 0) exerce sur un point matériel M₂ de charge électrique q₂ situé à une distance r=M₁M₂ une force F_1/2 telle que ⃗F_1/2= 1

4π ϵ₀ q₁q₂

r² ⃗e_1→2 où ₀ est la permittivité électrique du vide (s'exprime en C²m⁻²N⁻¹=F.m⁻¹).

Remarques : 1. ⃗F_1/2= 1

4π ϵ₀ q₁q₂

M₁M₂²⃗e_1→2 et par la 3ème loi de Newton, ⃗F_2/1=−⃗F_1/2.

2. Dans un milieu matériel, on remplace ϵ₀ par la permittivité électrique du milieu ϵ =ϵ₀.ϵ_r (où ϵ_r est la permittivité relative du milieu, >1, sans unité).

3. Exemple : ϵ_r(air)=1 ,0006 ; ϵ_r(eauliquide)=80.

r

e_12

F_1/2 M₁q₁

M₂q₂

Cas où q₁ et q₂ sont de signes opposés

r

e_12

F_1/2

M₁q₁

M₂q₂

Cas où q₁ et q₂ sont de mêmes signes

2. Définition du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle Considérons une charge ponctuelle q située en un point P fixe dans le référentiel d’étude.

Si on considère une charge test q ' au point M alors cette dernière subit la force ⃗F_{q/q '}=q ' 1 4π ϵ₀

q

PM²⃗e_P→M .

Définition : le champ électrostatique créé en M, par la charge ponctuelle q est

⃗E_q(M)= 1 4π ϵ₀

q

PM²⃗e_P→M ; unité : V.m⁻¹.

Ainsi, la force de Coulomb subie par une charge q ' en M de la part de q est ⃗F_{q/q '}=q '.⃗E_q(M) . Ordre de grandeur :

• pour ce qu’on fait ‖⃗E‖#10²V.m⁻¹ ;

• pour ioniser l’air humide, ‖⃗E_disruptif‖∼10⁴V.cm⁻¹=10⁶V.m⁻¹

• pour ioniser l’air sec, ‖⃗E_disruptif‖∼3 ,6.10⁴V.cm⁻¹ Remarques :

1. ⃗E est un champ électrique. On parle ici de champ électrostatique car la charge q qui le crée est fixe.

2. ⃗E_q(M) existe si q ' est là ou non mais l’existence de ⃗E_q(M) n’est révélée que par la présence de q ' (on l’appelle charge test).

3. Étude aux limites :

• lim

r→ ∞

‖E‖→⃗ 0 : interaction électrostatique nulle à distance infinie ;

• lim

r→ ∞

‖⃗E‖→∞ : ⃗E n’est pas défini au point où se situe la charge ponctuelle qui le crée.

4. La définition du champ électrostatique, ainsi que l’ensemble des remarques, peuvent déstabiliser.

Pourtant, il s’agit d’une analogie totale avec la définition du champ gravitationnel créé par une masse (ponctuelle ou sphérique) :

La force gravitationnelle qu’exerce m fixe, située en P, sur m’ test située en M est

⃗F_{m/m '}= −Gm m'

PM²⃗e_P→M= −m' G m

PM²⃗e_P→M ; et la définition du champ de pesanteur ⃗g_m(M) créé en M par la masse m est ⃗F_{m/m '}=m'⃗g_m(M) .

Il vient donc ⃗g_m(M)= −G m

PM²⃗e_P→M . Tableau d’analogie :

Électrostatique Gravitation

Force ⃗F_{q/q '}= 1

4π ϵ₀ q q'

PM²⃗e_P→M ⃗F_{m/m '}= −Gm m' PM²⃗e_P→M Scalaire associé à la particule qui

crée le champ q m

Champ créé par la particule

⃗E_q(M)= 1 4π ϵ₀

q

PM²⃗e_P→M ;

⃗F_{q/q '}=q '.⃗E_q(M)

⃗g_m(M)= −G m

PM²⃗e_P→M ;

⃗F_{m/m '}=m'⃗g_m(M)

Constante universelle 1

4π ϵ₀ −G

effet en M dû à la présence de q en P

3. Principe de superposition

Principe de superposition : N charges q_i situées en P_i créent en M un champ électrostatique total

⃗E(M)=

∑

i=1 N

⃗E_q

i(M) .

Remarques :

1. Il s’agit de la propriété de linéarité du champ électrique, pour des raisons historiques, on parle de principe de superposition ;

2. Toujours pour des raisons historiques, on parle de principe, mais il est démontrable par la linéarité de l’équation de MG ainsi que par l’additivité des forces :

Supposons une charge test q ' située en M . Elle subit, par additivité des forces, une force totale de la part de l’ensemble des autres charges ⃗F=

∑

i=1 N

⃗F_{qi/q '}=

∑

i=1 N

q '.⃗E_qi(M)=q '

∑

i=1 N

⃗E_qi(M).

Par définition, F=⃗ q '.⃗E(M), on obtient donc le principe de superposition par identification.

4. Les différentes distributions de charge

Ce paragraphe utilise le principe de superposition afin de donner l'expression du champ électrostatique par sa définition. Le calcul direct du champ électrostatique à partir de sa définition n'est plus d'actualité dans les CPGE, on utilisera le théorème de Gauss …

a) Distribution volumique

• Présentation :

Le modèle précédent de la charge ponctuelle est acceptable si on observe une sphère chargée de rayon R , à une distance D éloignée de la sphère : D≫R. Dans le cas contraire, la matière est continue et la charge est répartie en volume

V .

On définit alors la densité volumique de charge en P∈V par ρ (P)=dQ_P dτ_P en C.m⁻³.

La charge totale contenue dans V est Q_V=

∭

P∈V

dQ_P=

∭

P∈V

ρ (P)dτ_P.

• Expression du champ électrostatique ⃗E(M) créé en un point M de l'espace :

⃗dE_dτ(M)= 1 4π ϵ₀

dQ_P

PM²⃗e_P→M donc par principe de superposition, ⃗E_V(M)= 1

4π ϵ₀

∭

P∈V

ρ(P)dτ_P

PM² ⃗e_P→M . q’

b) Distribution surfacique

• Présentation :

On définit la densité surfacique de charge en P∈S par σ (P)=dQ_P

d S_P en C.m⁻².

La charge totale contenue dans S est Q_S=

∬

P∈S

dQ_P=

∬

P∈S

σ (P)dS_P.

Remarque : l’approximation de distribution surfacique est vérifiée si :

•

√

• et la distance d’observation ≫e.

On a alors dτ_P=e dS_P soit dQ_P=ρ (P)dτ_P=ρ (P)e dS_P donc σ (P)=ρ (P)e .

• Expression du champ électrostatique ⃗E(M) créé en un point M de l'espace :

⃗dE_dS(M)= 1 4π ϵ₀

dQ_P

PM²⃗e_P→M donc par principe de superposition, ⃗E_S(M)= 1

4π ϵ₀

∬

P∈S

σ(P)d S_P

PM² ⃗e_P→M . c) Distribution linéique

• Présentation :

On définit la densité linéique de charge en P∈L par λ (P)=dQ_P

d L_P en C.m⁻¹.

La charge totale contenue dans L est Q_L=

∫

P∈L

dQ_P=

∫

P∈L

λ (P)dL_P

Remarque : l’approximation de distribution linéique est vérifiée si :

• L≫

√

• et la distance d’observation ≫

√

On a alors dτ_P=S dL_P soit dQ_P=ρ (P)dτ_P=ρ (P)S dL_P donc λ (P)=ρ (P)S.

dτ_P

• Expression du champ électrostatique :

⃗dE_dL(M)= 1 4π ϵ₀

dQ_P

PM²⃗e_P→M donc par principe de superposition, ⃗E_L(M)= 1

4π ϵ₀

∫

P∈L

λ(P)d L_P

PM² ⃗e_P→M .

Remarque : rappelons que ce paragraphe 4) permet de définir le champ électrostatique créé par les distributions de charge volumique, surfacique ou linéique mais le calcul direct à partir de ces définitions est délicat !

Dans le cadre du programme d’ATS, nous réaliserons un calcul indirect, plus simple, via le théorème de Gauss (provenant de Maxwell-Gauss).

III. Topographie du champ électrostatique

Comme tout champ vectoriel, on se représente le champ électrostatique ⃗E par un ensemble de lignes de champ électrostatique.

Propriété : les lignes de champ ⃗E convergent vers les charges négatives et divergent des charges positives.

Démonstration : MG div⃗E=ρ ϵ₀ ! Exemples :

• Représentation du champ électrostatique à l'aide de l'informatique pour une charge +5C au point O et une charge -1C au point A (le point particulier C indique l'annulation du champ) :

• Représentation des lignes du champ électrostatique pour la distribution de charge précédente :

• Visualisation des lignes de champs pour d'autres distributions :

IV. Propriétés de symétrie et d’invariance

1. Symétries et invariances d’une distribution de charge a) Plans de symétrie et d’antisymétrie

• (Π) est un plan de symétrie pour la distribution de charge si et seulement si ∀ (P , P ') symétriques par rapport à (Π), « ρ (P')=sym_{(Π )}(ρ (P)) » (où ρ représente ici n’importe quel type de répartition des charges : ponctuelle, volumique, surfacique ou linéique).

Exemple :

• (Π^∗) est un plan d’antisymétrie pour la distribution de charge si et seulement si ∀ (P , P ') symétriques par rapport à (Π^∗), ρ (P')=−sym_{( Π}^∗₎(ρ (P)).

Exemple :

b) Invariances par translation ou rotation

• La distribution de charge est invariante par translation suivant l’axe (Oz) si et seulement si

« ∀z ,ρ (x , y , z)=ρ (x , y) » (où ρ représente ici n’importe quel type de répartition des charges : ponctuelle, volumique, surfacique ou linéique).

Exemples :

• La distribution de charge est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) si et seulement si

∀θ,ρ (r ,θ, z)=ρ (r , z). Exemple :

2. Principe de Curie

Énoncé général : les éléments de symétrie et d’invariance des causes d’un phénomène physique se retrouvent dans les effets.

En électrostatique : si la distribution de charge présente des symétries ou invariances, le champ électrostatique ⃗E qu’elle crée présente les mêmes.

3. Conséquences sur le champ électrostatique

a) Plans de symétrie ^(Π) de la distribution de charge

Par principe de Curie, (Π) est aussi un plan de symétrie pour ⃗E. ( ⇔ ∀ (M , M ') symétriques par rapport à (Π), ⃗E(M ')=sym_{(Π )}(⃗E(M))).

Propriété : en tout point du plan de symétrie (Π), le champ électrostatique est contenu dans le plan de symétrie (Π).

Exemple/démonstration :

Retour sur les exemples de topographie.

b) Plans d’antisymétrie (Π^∗) de la distribution de charge

Par principe de Curie, (Π^∗) est aussi un plan d’antisymétrie pour ⃗E ⇔ ∀ (M , M ') symétriques par rapport à (Π^∗), ⃗E(M ')=−sym_{( Π}^∗₎( ⃗E(M)).

Propriété : en tout point du plan d’antisymétrie (Π^∗), le champ électrostatique est orthogonal au plan d’antisymétrie (Π^∗).

Exemple/démonstration :

Retour sur les exemples de topographie.

c) Invariances

Par principe de Curie, le champ électrostatique possède les mêmes invariances que la distribution de charge.

Exemples :

Retour sur les exemples de topographie.

V. Théorème de Gauss

Le calcul direct du champ ⃗E est très délicat (et hors programme en ATS) … Si la distribution de charge présente de hautes symétries, le théorème de Gauss permet un calcul plus simple.

1. Énoncé

Le flux du champ électrostatique ⃗E à travers une surface fermée (S_f) est égal à la somme des charges Q_int à l’intérieur de (S_f) divisée par la permittivité du vide ϵ₀ :

M

∯

E⃗(M).dS⃗_M=Q_int ϵ₀

Démonstration :

Par le théorème d’Ostrogradski,

∯

M∈S_f

⃗E(M).dS⃗_M=

∭

P∈V

(div_PE⃗).dV_P. Par l’équation de Maxwell-Gauss, div_PE=⃗ ρ(P)

ϵ₀ donc il vient

M

∯

⃗E(M).dS⃗_M=

∭

P∈V

ρ(P)

ϵ₀ .dV_P=1 ϵ₀

∭

P∈V

ρ(P).dV_P=Q_int ϵ₀ . Remarques :

1. La démonstration étant réalisée sans utiliser l’hypothèse « statique », le théorème de Gauss est vérifié même en régime variable.

2. La surface fermée (S_f) choisie pour calculer ⃗E est appelée surface de Gauss.

3. Le calcul de

∯

M∈Sf

⃗E(M).dS⃗_M est simple dans les cas suivants :

• ⃗E(M)⊥ ⃗dS_M

• ⃗E(M)//dS⃗ _M et ‖⃗E‖=cte.

2. Méthodologie du calcul du champ électrostatique en ATS

1. Étude des symétries et invariances de la distribution de charge : on connaît la direction et les variables de ⃗E ;

2. Recherche de la surface de Gauss : telle qu’en tout point dS⃗_M est soit orthogonale à ⃗E, soit colinéaire à ⃗E avec ‖⃗E‖=cte ;

3. On applique le théorème de Gauss.

3. HP : le théorème de Gauss gravitationnel Rappelons le tableau d’analogie :

Électrostatique Gravitation

Force ⃗F_{q/q '}= 1

4π ϵ₀ q q'

PM²⃗e_P→M ⃗F_{m/m '}= −Gm m' PM²⃗e_P→M Scalaire associé à la particule qui

crée le champ q m

Champ créé par la particule

⃗E_q(M)= 1 4π ϵ₀

q

PM²⃗e_P→M ;

⃗F_{q/q '}=q '.⃗E_q(M)

⃗g_m(M)= −G m

PM²⃗e_P→M ;

⃗F_{m/m '}=m'⃗g_m(M)

Constante universelle 1

4π ϵ₀ −G

Réécriture de la constante 1

ϵ₀ −4πG

Théorème de Gauss

∯

M∈S_f

⃗E(M).dS⃗_M=Q_int

ϵ₀

∯

M∈S_f

⃗g(M).dS⃗_M=−4πG.M_int

C’est par le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel que l’on peut démontrer l’intuition de Newton : sa loi de la gravitation universelle pour les masses ponctuelles est vérifiée pour les masses non ponctuelles si elles sont de géométrie sphérique et homogènes …

VI. Relation de passage du champ électrique

On considère une surface chargée S, séparant l’espace en 2 domaines 1 et 2. En tout point M de S, on peut appliquer la relation de passage : E⃗₂(M)− ⃗E₁(M)=σ (M)

ϵ₀ ⃗n_1→2(M) .

Remarques :

1. On peut dissocier cette relation de passage en 2 :

• la composante tangentielle de ⃗E à la traversée de S est continue ;

• la composante normale de ⃗E à la traversée de S est discontinue telle que E⃗₂(M).⃗n_1→2− ⃗E₁(M).⃗n_1→2= σϵ₀ :

2. La démo provient directement de MG et MF mais longue et délicate.

3. La relation de passage est vérifiée même en régime variable.

VII. Densité volumique d'énergie électrique

Le champ électrique contient une énergie de type électrique.

Étant un champ, l'énergie qu'il contient est présente dans tout l'espace où ⃗E est non nul !

L'énergie volumique électrique (ou densité volumique d'énergie électrique) associée en M à l'instant t est w_élec(M , t)=1

2ϵ₀⃗E²(M , t) en J.m⁻³.

L'énergie électrique présente dans un volume V est donc E_élec(t)=

∭

M∈V

1

2ϵ₀E⃗²(M , t)dτ_M . Remarque : on montrera la cohérence de cette définition avec le condensateur plan en TD !

VIII.Surfaces et volumes à connaître (pour le théorème de Gauss)

Disque de rayon R Cylindre de rayon R et hauteur H Sphère de rayon R

P_cercle=2πR Slatérale cylindre=2πR H S_sphère=4πR²

S_disque=πR² V_cylindre=πR²H

V_sphère=4 3πR³