COURS À IMPRIMER, PUIS À COLLER DANS LE CAHIER DE COURS. DÉBUT DU COURS.

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3. Représentation graphique.

Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme connuu_aet de raisonr.

Pour toutn,u_n=ua+r(n−a)=u_a+rn−ar=rn+u_a−ar (la variable ici estn.u_aetrsont fixes.

Passons dansR.ndevientx). Donc pour toutn∈N,u_n=f(n) avecf :x7→rx+u_a−ar. Or, f est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite non verticale. Donc tous les (n;u_n) sont alignés sur une droite non verticale.

Réciproquement, si tous les (n;u_n) sont sur une droited(nécessairement non parallèle à l’axe des ordonnées). Soity=αx+β, l’équation de cette droite.

Pour toutn,M(n,u_n)∈d, doncu_n=αn+β(njoue le rôle duxetu_njoue le rôle duy).

Pour toutn,u_n+1=α(n+1)+β=αn+α+β=(αn+β)

| {z }

u_n

+α=u_n+α. Donc (un) est une suite arithmétique, car elle est du typeu_n+1=u_n+r. Sa raison estr=α.

(u_n) est une suite arithmétique si et seulement si sa représentation graphique est un ensemble de points alignés non verticalement.

u0=3 et pour toutn,un+1=un+5.

1) Donner la nature de la suite (u_n) ainsi que des éléments caractéristiques (premier terme et raison).

(u_n) est une suite arithmétique, car elle est du typeu_n+1=u_n+r. Sa raison estr=5 etu₀=3.

2) Donner l’équation de la droite sur laquelle se trouvent tous les points de coordonnées (n;un).

Pour toutn,u_n=u₀+r n=3+5n. Donc tous les (n;u_n) sont sur la droite d’équationy=3+5x.

Commentaires de monsieur MEBIROUK : Je vais récapituler. Si vous voulez trouver l’équation de la droite sur laquelle sont tous les(n;un), il vous suffit d’exprimerunen fonction dend’après l’une des deux formules du cours. Enfin, vous remplaceznparx. Rien de bien compliqué.

4. Prouver qu’une suite est une suite arithmétique.

Pour prouver qu’une suite est une suite arithmétique, on prouve que pour toutn,u_n+1−u_nvaut un réel indépendant den.

Commentaires de monsieur MEBIROUK : Rien de surprenant. Pour avoir une suite arithmétique, il faut et il suffit d’avoir un pas constant, un écart constant entre n’importe quel terme de la suite et son successeur, un écart qui ne varie pas selonn. Par exemple, si je donne(un)la suite définie par : pour toutn,u_n=n²+n. On va tout de suite voir si l’écart entreu_n+1etu_nest constant.

Pour toutn,u_n+1−u_n=(n+1)²+n+1−(n²+n)=n²+2n+1+n+1−n²−n=2n+2. Bon, ben, c’est perdu ! L’écart n’est pas fixe ! Il dépend den. Donc(un)n’est pas une suite arithmétique, carun+1−un

dépend den. Là, certains doivent se dire « Mais jusqu’à présent, dans les exercices, quand on avait une suite de ce type, c’est-à-dire une suite qui n’est pas définie par une relation de récurrence, on partait deun+1et on essayait de faire apparaîtreundans les calculs. Du coup, on fait quoi

maintenant ? » La réponse est « Comme vous voulez ! Mais je vous conseille vivement de partir de u_n+1−u_ndésormais. »

5. Monotonie.

Prenons (un) une suite arithmétique. Donc une suite définie par une relation du typeun+1=un+r. Donc pour toutn,u_n+1−u_n=r, donc :

Sir>0, la suite arithmétique est strictement croissante.

Sir<0, la suite arithmétique est strictement décroissante.

Si (u_n) est une suite arithmétique de raison strictement positive,alors elle est strictement croissante sur N.

Si (u_n) est une suite arithmétique de raison strictement négative, alors elle est strictement décroissante surN.

n,u_n=u_a+r(n−a)=u_a+r n−r a.

Sir=0, la suite est constante.

Sir,^{0, quandn}est au voisinage de+∞,u_n≈r n.

Donc sir>0, on a lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞r n= +∞et sir<0, on a lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞r n= −∞. Donner à chaque fois la limite en+∞de la suite.

a)u₆=11 et pour toutn,u_n+1=u_n+4.

(u_n) est une suite arithmétique, car elle est du typeu_n+1=u_n+r. Sa raison estr=4 etu₆=11.

Pour toutn,un=u₆+r(n−6)=11+4(n−6)=11+4n−24=4n−13. Donc au voisinage de +∞,u_n≈4n. Donc lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞4n= +∞. b)u₀=1 et pour toutn,un+1=un−3.

(u_n) est une suite arithmétique, car elle est du typeu_n+1=u_n+r. Sa raison estr= −3 etu₀=1.

Pour toutn,u_n=u₀+r n=1−3n. Donc au voisinage de+∞,u_n≈ −3n. Donc

n→+∞lim u_n= lim

n→+∞−3n= −∞.

Commentaires de monsieur MEBIROUK : Là, beaucoup doivent se dire « J’ai compris tout ce qui a été fait, mais je dois être capable de refaire tout ça tout seul ? » Ne vous inquiétez pas. En pratique, je vous poserai des questions intermédiaires. 1) Quelle est la nature de la suite ? Donner des éléments caractéristiques. 2) Exprimeru_nen fonction den. 3) Donner une approximation deu_nquandnest au voisinage de+∞(le terme technique exact est un équivalent de la suite au voisinage de+∞). 4) En déduire lim

n→+∞u_n.

FIN DU COURS.

PARTIE 1 FAIRE LES EXERCICES SUIVANTS :

Qu’avez-vous besoin de savoir pour faire ces exercices ?

•Une suite (u_n) est une suite arithmétique si elle est du typeu_n+1=u_n+r (définition d’une suite arithmétique).

•Si (u_n) est une suite arithmétique de raisonr, alors on a pour toutn,u_n+1−u_n=la raison=r.

•Si (u_n) est une suite arithmétique de raisonr avecu₀connu, alors on a pour toutn,u_n=u₀+r n.

•Si (un) est une suite arithmétique de raisonr avecuaconnu, alors on a pour toutn,un=ua+r(n−a).

•Pour prouver qu’une suite (u_n) non définie par une relation de récurrence est une suite arithmétique, on calculeu_n+1−u_net on prouve que le résultat est indépendant den.

•Si (un) est une suite arithmétique, alors

u_a+u_a+1+...+u_n=(premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =(u_a+u_n)×(n−a+1)

2 .

•Pour connaître le nombre de termes dans la sommeu_q+u_q+1+...+u_p, on calculep−q+1.

Exercice 1 :

La suite (u_n) est arithmétique de raison 3 et de premier termeu₀=1.

1) Pour tout entier natureln, on pose :vn=1

2un+2.

Prouver que la suite (vn) est arithmétique.

2) Pour tout entier natureln, on pose :w_n=2u_n+3v_n. Prouver que la suite (w_n) est arithmétique.

Exercice 2 :

Calculer la somme 1+4+7+10+...+301.

Exercice 3 :

Sur un échiquier de 64 cases, on pose sur la première case, 5 grains de sable. D’une case à la suivante, on ajoute 8 grains de sable de plus que sur la précédente. On appelleu_nle nombre de grains de sable sur lan^èmecase. On a doncu₁=5.

1) Exprimeru_n+1en fonction deu_npour toutn≥1.

2) Exprimeru_nen fonction denpour toutn≥1.

3) Combien y a-t-il de grains de sable en tout sur l’échiquier ? Exercice 4 :

(u_n) et (v_n) sont deux suites arithmétiques de raisonr etr⁰respectivement. Soit (w_n) la suite définie par : pour toutn,wn=aun+bvnoùa,bsont deux réels fixés.

Prouver que (w_n) est une suite arithmétique.

+ 2 ⁺ 2 2 ⁺ 2 2 ⁺ 2 2 ⁺

Or, (un) est une suite arithmétique de raisonr =3, donc on a pour toutn,un+1−un=r=3. Du coup, pour toutn,v_n+1−v_n=1

2×3=3

2, résultat indépendant den. Donc (v_n) est une suite arithmétique de raison3

2. 2) Pour tout

n,w_n+1−w_n=2u_n+1+3v_n+1−(2u_n+3v_n)=2u_n+1+3v_n+1−2u_n−3v_n=2(u_n+1−u_n)+3(v_n+1−v_n).

Or, (u_n) est une suite arithmétique de raisonr =3, donc on a pour toutn,u_n+1−u_n=r=3. Et (v_n) est une suite arithmétique de raisonr=3

2, donc on a pour toutn,v_n+1−v_n=r=3 2. Donc pour toutn,w_n+1−w_n=2×3+3×3

2=6+9 2=21

2 , résultat indépendant den. Donc (w_n) est une suite arithmétique de raison 21

2 . Exercice 2 :

La suite 1; 4; 7; 10; ...; 301 est la suite arithmétique de raisonr=3 (on avance de trois à chaque fois) et de premier terme 1.

Le cours me dit que dans ce cas 1+4+7+10+...+301= (premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =(1+301)×nombre de termes

2 .

Par conséquent, il me faut connaître le nombre de termes !

Posonsu0=1. Le suite (un) est la suite arithmétique de raisonr=3 avecu0=1. D’après le cours, pour toutn,u_n=u₀+r n=1+3n.

Cherchons lentel queu_n=301.

u_n=301 équivaut à 3n+1=301 équivaut à 3n=301−1=300 équivaut àn=300

3 =100. Donc on a u₁₀₀=301. Par conséquent, on va deu₀àu₁₀₀. Il y a donc 100−0+1=101 termes en tout.

Donc 1+4+7+...+301=

k=100

X

k=0

u_k=(1+301)×101

2 =302×101

2 =15251.

Exercice 3 :

1) Pour toutn≥1,u_n+1=u_n+8.

2) (un) est une suite arithmétique, car elle est du typeun+1=un+r. Sa raison estr=8 etu1=5. Pour toutn,u_n=u₁+r(n−1)=5+8(n−1)=5+8n−8=8n−3.

3) Pour cela, on doit calculeru1+u2+...+u64=

k=64

X

k=1

u_k= (premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =(u₁+u₆₄)×(64−1+1)

2 .

Or,u₁=5 etu₆₄=8×64−3=509.

Doncu₁+u₂+...+u₆₄=

k=64X

k=1

u_k=(5+509)×64

2 =514×64

2 =16448. Il y a donc 16448 grains de sable sur l’échiquier.

Exercice 4 : Pour tout

n,w_n+1−w_n=au_n+1+bv_n+1−(au_n+bv_n)=au_n+1+bv_n+1−au_n−bv_n=a(u_n+1−u_n)+b(v_n+1−v_n).

Or, (u_n) est une suite arithmétique de raisonr, donc on a pour toutn,u_n+1−u_n=r et (v_n) est une suite arithmétique de raisonr⁰, donc on a pour toutn,vn+1−vn=r⁰. Par conséquent, on a pour tout

n,w_n+1−w_n=ar+br⁰, résultat indépendant den. Donc (w_n) est une suite arithmétique de raison ar+br⁰.

PARTIE 2 FAIRE LES EXERCICES SUIVANTS :

Exercice 1 :

(u_n) est la suite arithmétique telle queu₀=5 etu₁₀₀= −95.

1) Calculerr. 2) Calculeru₂₀.

3) Donner le sens de variation de la suite (u_n).

4) Donner lim

n→+∞un.

5) Calculeru₀+u₁+u₂+...+u₁₀₀. Exercice 2 :

(u_n) est la suite arithmétique telle queu₁₇=105 etr = −2.

1) Calculeru₁.

2) Calculeru₁+u₂+...+u₁₇. Exercice 3 :

(u_n) est la suite arithmétique telle queu₂+u₃+u₄=36 etu₉=48. Calculeru₀et la raisonr. Exercice 4 :

(u_n) est la suite arithmétique telle queu₁₀+u₁₂+u₁₄=33 etu₁₀₀=55. Calculeru₀et la raisonr. Exercice 5 :

(u_n) est la suite arithmétique de raison 3 avecu₀=10. (v_n) est la suite arithmétique de raison 5 avec v₇=9.

1) Calculeru₀+u₁+...+u_n=

k=nX

k=0

u_k. 2) Calculerv₀+u₁+...+v_n=

k=nX

k=0

v_k. 3) Calculer lim

n→+∞

u₀+u₁+...+u_n

v₀+u₁+...+v_n (on commencera par donner une approximation du numérateur et une du dénominateur quandnest au voisinage de+∞).

En faisantn=100, on au₁₀₀=5+100r= −95 équivaut à 100r= −5−95= −100 équivaut à r=−100

100 = −1.

2) On a donc, pour toutn,un=5+(−1)×n=5−n. u₂₀=5−20= −15.

3) (u_n) est une suite arithmétique de raison strictement négative, donc elle est strictement décroissante.

4) Au voisinage de+∞,u_n≈ −n. Donc lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞−n= −∞.

5)u₀+u₁+u₂+...+u₁₀₀=(premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =

(u₀+u₁₀₀)×(100−0+1)

2 =(5−95)×101

2 =−90×101

2 = −4545.

Exercice 2 :

1) Pour toutn,u_n=u₁₇+r(n−17)=105−2(n−17).

n=1 dans cette relation donneu₁=105−2×(1−17)=105−2×(−16)=137.

2)u1+u2+...+u17=(premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =(u₁+u₁₇)×(17−1+1)

2 =

(137+105)×17

2 =242×17

2 =2057.

Exercice 3 :

u₉est connu. Donc pour toutn,u_n=u₉+r(n−9)=48+r(n−9).

n=2 donneu2=48+r(2−9)=48−7r. n=3 donneu₃=48+r(3−9)=48−6r. n=4 donneu₄=48+r(4−9)=48−5r.

Doncu2+u3+u4=48−7r+48−6r+48−5r= −18r+144=36 équivaut à−18r=36−144= −108 équivaut àr=−108

−18 =108 18 =6.

Donc pour toutn,u_n=48+6(n−9). Doncu₀=48+6×(0−9)=48−54= −6.

Exercice 4 :

u₁₀₀est connu. Donc pour toutn,u_n=u₁₀₀+r(n−100)=55+r(n−100).

n=10 donneu₁₀=55+r(10−100)=55−90r. n=12 donneu₁₂=55+r(12−100)=55−88r. n=14 donneu₁₄=55+r(14−100)=55−86r.

Doncu₁₀+u₁₂+u₁₄=55−90r+55−88r+55−86r= −264r+165=33 équivaut à

−264r= −165+33= −132 équivaut àr=−132

−264=132 264=0.5.

Donc pour toutn,u_n=55+0.5(n−100).

Doncu0=55+0.5×(0−100)=55−50=5.

Exercice 5 :

1) Pour toutn,u_n=u₀+r n=10+3n.

u₀+u₁+...+u_n=

k=nX

k=0

u_k=(premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =

(u₀+u_n)×(n−0+1)

2 =(10+10+3n)×(n+1)

2 =(20+3n)(n+1)

2 =20n+20+3n²+3n

2 =

3n²+23n+20

2 =1.5n²+11.5n+10.

2) Pour toutn,v_n=v₇+r(n−7)=9+5(n−7)=9+5n−35=5n−26.

v₀+v₁+...+v_n=

k=n

X

k=0

v_k=(premier terme + dernier terme)×nombre de termes

2 =

(v₀+v_n)×(n−0+1)

2 =(5×0−26+5n−26)×(n+1)

2 =(5n−52)(n+1)

2 =5n²+5n−52n−52

2 =

5n²−47n−52

2 =2.5n²−23.5n−26.

3) Au voisinage de+∞,u₀+u₁+...+u_n=

k=n

X

k=0

u_k≈1.5n²etv₀+v₁+...+v_n=

k=n

X

k=0

v_k≈2.5n².

Donc au voisinage de+∞,u₀+u₁+...+u_n

v₀+u₁+...+vn ≈1.5n² 2.5n²≈1.5

2.5≈0.6.

Donc lim

n→+∞

u₀+u₁+...+u_n

v₀+u₁+...+v_n = lim

n→+∞0.6=0.6.