Td corrigé EXERCICE I - Math93 pdf

Le sujet comporte 13 pages numérotées de 1/13 à 13/13

EXERCICE I – (9 points)

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus ci-dessous Un constructeur automobile achète des pneus à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au second fournisseur, 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 90 % de pneus sans défaut, le second fournisseur fabrique 95 % de pneus sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 80 % de pneus sans défaut.

On note F1 l'événement "le pneu provient du premier fournisseur", F2 l'événement "le pneu provient du second fournisseur" et F3 l'événement "le pneu provient du troisième fournisseur".

1- On choisit un pneu au hasard dans la livraison. On note S l'événement "le pneu est sans défaut".

a- Calculer la probabilité P ( S ) que le pneu soit sans défaut.

b- Le pneu choisi étant sans défaut, quelle est la probabilité P_S(F₁) qu'il provienne du premier fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à

10 ^ 3

^{près, de PS(F1).}

2- On suppose que la probabilité qu'un pneu monté soit sans défaut est de 0,895.

Calculer la probabilité R, que sur un lot de 12 pneus montés, un pneu au plus soit défectueux.

On donnera une valeur approchée à

10 ^ 3

près de R.

3- La durée de vie en km d’un pneu est une variable aléatoire

T

qui suit une loi exponentielle de

paramètre :

2 10

⁵

50000

1  

_

 

.

Selon cette loi, pour tout

x

_de

_[

_{0 ; +}

 [

, on a :

^P  ^{T  x}  ^  ₀ ^x  ^{e   t dt}

^.

a- Quelle est la probabilité P₁ qu'un pneu dure moins de 50 000 km ? Donner la valeur exacte de P₁. b- Quelle est la probabilité P2 qu'un pneu dure plus de 50 000 km ? Donner la valeur exacte de P2. c- Quelle est la probabilité P3 qu'un pneu dure plus de 50 000 km, sachant qu'il a déjà duré 25000 km ?

Donner la valeur exacte de P3.

REPONSES A L’EXERCICE I I-1-a- P ( S ) = ^0,895

I-1-b- valeur exacte de P_S(F₁) _: 179

36

valeur approchée de P_S(F₁) : ^0,201 I-2- valeur approchée de R : ^0,636

I-3-a- P₁ = ^11_e

I-3-b- P2 = _e¹

I-3-c- P3 = ²

1

e 1  e

EXERCICE II – (11 points)

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 3

A - Préliminaires :

On considère deux points quelconques M et N du plan . 1- Déterminer la norme ^u , du vecteur ^_ ^_MN^

u MN1 .

2- Soit Q un point du segment

[

MN

]

et soit le vecteur : ^ ^ ^QN^

QM QN

w QM1 1 .

Justifier que le vecteur ^_west nul.

B - On considère un triangle ABC du plan dont les trois angles sont aigus.

On note de la façon suivante les mesures des angles géométriques de ce triangle : BAC =



, ABC =^ et ACB =  _.





A

B C



On désigne par A₁, le pied de la hauteur du triangle ABC, issue de

A

^.

1- a- Exprimer ^tan et ^tan , en fonction des longueurs des côtés de triangles judicieux de la figure donnée.

b- Montrer que A₁ est barycentre du système

 ⁽

^{B, tan}

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

^.

2- Justifier que le barycentre H du système



(A, tan) ; (B, tan ); (C, tan )



est l'orthocentre du triangle ABC .

3- Soit A’, B’ et C’ les milieux des côtés respectifs

[

BC

]

,

[

AC

]

et

[

AB

]

. a- Montrer que les médiatrices du triangle ABC sont les hauteurs du triangle A’B’C’.

b- En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre des points A’, B’ et C’ affectés de coefficients a’, b’ et c’ que l'on précisera.

REPONSES A L’EXERCICE II

II-A-1- ^  1 ^MN^ 1 u MN

II-A-2- Justification de : ^_w^₀

Comme Q [MN] les vecteurs ^_QM^ et ^_QN^ sont colinéaires et n’ont pas le même sens.

Les vecteurs ^QM^

QM

1 et ^QN^

QN

1 sont unitaires d’après la question II-A-1-. De plus, ils sont colinéaires et de sens opposés. Leur somme est donc nulle.

II-B-1-a- ^tan = B A AA

1

1 ^tan = C A AA

1 1

II-B-1-b- Justification de : ^A₁ barycentre du système

 ⁽

^{B, tan}

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

] [BC

A₁ donc d’après I-A-2-, on a : ^  A^C ^O

C B A

B A

A₁ ¹ ₁ ¹

1 1

En multipliant les deux membres de cette égalité par AA₁ on obtient :











A Btan . A C  O .

tan ₁  ₁

donc ^A₁ est barycentre de

 ⁽

^{B, tan}

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

II-B-2- Justification de : H orthocentre de ABC

H barycentre de

 ⁽

^A,tan

⁾

^;

⁽

^{B, tan}

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

donc par associativité des barycentres, H est barycentre de

 ⁽

^{A, tan}

⁾

^,

⁽

^A₁ ^{, tan  tan}

⁾ 

^{donc H} appartient à la droite (AA₁) , hauteur de ABC .

Soit B1 le pied de la hauteur de ABC issue de ^B . On a : B A tan BB

1



1

 _et

C B tan BB

1



1



Comme B₁[AC] , alors d’après I-A-2- ; ^  B^C ^O C

A B A B

B₁ ¹ ₁ ¹

1 1

En multipliant par BB1 cette égalité, on obtient : tan .^B^₁A  tan.^B^₁C _^O donc B1 est barycentre de

 ⁽

^A,tan

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

Ainsi par associativité des barycentres, le barycentre ^H de

 ⁽

^{A, tan}

⁾

^;

⁽

^{B, tan}

⁾

^;

⁽

^{C, tan}

⁾ 

est aussi le barycentre de

 ⁽

^{B, tan}

⁾

^,

⁽

^B1^{, tantan}

⁾ 

donc ^H appartient à la hauteur ^(BB₁⁾de ABC . Ainsi ^H est l’orthocentre de ABC . II-B-3-a- Justification de : les médiatrices de ABC sont les hauteurs de A’B’C’

Soit 1 la médiatrice de ^[BC] alors 1 passe par A' et ₁ (BC) . Or B' et C' sont les milieux de ^[AC] et de ^[BA] donc ^{(B'C' )} est parallèle à ^(BC) . Ainsi ₁^ (^{B'C' )} d’où

1 est la hauteur issue de A' du triangle A'B'C' . Même raisonnement pour montrer que les deux autres médiatrices de ABC sont hauteurs de A'B'C' .

II-B-3-b- a' = ^tan b' = ^tan c' = ^tan

II-B-3-c- a = ^{tantan} b = ^{tan tan} c =



 tan tan 

EXERCICE III – ( 9 points )

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 5

La réussite de certaines recettes de cuisine réside en un chauffage doux et homogène, que l’on réalise par l’intermédiaire d’un bain-marie.

On considère une préparation (un ramequin par exemple, de taille suffisamment petite pour qu’on puisse y considérer la température comme uniforme) dont la température initiale est 20 °C .

On la met dans un bain-marie, c'est à dire dans un récipient contenant de l'eau maintenue à température constante de 80 °C.

La température ^T(t) de cette préparation en fonction du temps suit la loi de Newton, décrite par l’équation différentielle suivante :

(E) : T’ ( t ) =

–

K

(

^{T ( t )}

^–

⁸⁰

)

(K est un réel, fixé, strictement positif) L’unité de temps est la minute !

1- Sans résoudre l’équation (E), donner le sens de variation de la fonction T. Justifier votre réponse.

2- a- Donner, en fonction de K, l’expression générale des solutions de l’équation (E).

b- En utilisant la donnée initiale, déterminer, en fonction de K et du temps t, la température )

(t T

du ramequin.

3- En plongeant un thermomètre culinaire dans la préparation, on constate qu’au bout de 10 minutes la température est de 42,2 °C.

En déduire la valeur exacte de K et justifier votre résultat.

Donner une valeur approchée de K à 10^4 près.

4- En choisissant cette valeur approchée pour K, déduire l’expression de la température ^T(t) du ramequin à l'instant t.

5- Dans un repère orthonormé _(O,^_{i ,}^_{j )}, on considère la courbe C_T représentative de la fonction T définie à la question III - 4 -.

Justifier que C_T admet une asymptote  quand t tend vers  et donner une équation de .

6- La préparation est cuite à point lorsque la température atteint 65 °C.

Pendant quelle durée d doit-on encore prolonger la cuisson après que l’on ait relevé la température de 42,2 °C . Justifier votre résultat.

REPONSES A L’EXERCICE III

III-1- Sens de variation de T : T est croissante Justification :

Pour tout t positif on a : ^{20T(t) 80} donc ^{T(t)  80  0} Comme ^{K  0} alors ^{ K ( T(t)80)  0} ainsi

0 soit

quelque ,

0

(t)  t 

T'

III-2-a- Les solutions de (E) sont de la forme :

 80

 C e  ^Kt (t)

T

_C ^{avec C} un réel quelconque

III-2-b- ^T(t)= ₆₀ e^Kt  ₈₀

III-3- Valeur exacte de

K

:

10 63 0, ) (

 ln  K

Justification :

42,2 80 60

42,2

10 )    e ^{ 10 K}   (

T

0,63 60

80 2

10 42, 



 

 e ^K

10 63) 63) (0,

(0,

10   

 

 K ln K ^ln

Valeur approchée de

K

: K ^0,0462 III-4- ^T(t)= 60 e^0,0462t  80

III-5- Equation de 



^y80

Justification :

80 ) 

 ^T(t

t lim car ^0,0462  0



 

^{e t} t lim

III-6- d = 20 minutes Justification :

65 80 60

65

T(t)    e^0,0462t  

0,25

60 80

0,0462 65 



 



^e ^t

^{ t }_^ln_0,0462^{(0,25) 30,0...} et ^{d (t10)minutes}

EXERCICE IV – (9 points)

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 7 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé _(O,^_u,^_{v ).}

Dans tout cet exercice, on désigne par ^z le complexe conjugué de

z

, par ^z le module du complexe z et par ^arg

 

^z un argument de z (défini à ^2k près où ^{k  Z} ).

Soit F la fonction qui, à tout point M du plan, d’affixe z non nulle, associe le point ^M' d’affixe z' définie par : ^z'1_z .

1- a- Déterminer ^z' en fonction de ^z .

b- Déterminer un argument de z' en fonction d’un argument ^arg

 

^{z de z.}

Que peut-on en déduire pour les points O, M et^M' ?

2 - On considère le cercle



de centre O et de rayon 1. Soit M un point de



d’affixe z.

a- Déterminer ^z' .

b- Quelle est l’image du cercle



par la fonction F ?

3 - On appelle A et B les points d’affixes respectives 1 et – 1 et C le cercle de centre A, contenant le point O. Soit M un point du plan d’affixe z.

a- Quelle relation doit vérifier z , pour que M appartienne à C ?

b- On suppose que M est un point du cercle C, différent de O. Calculer alors ^z'_z'^1 . On justifiera le résultat.

Comparer alors les longueurs ^BM' et ^OM'.

En déduire que ^M' appartient à une droite fixe D , qu’on précisera.

c- Construire sur la figure, les images ^M'₁ et ^M2^' des points ^M₁ et M2.

A

1

B

1 2

1 O

M2

M1

C

d- Quelle est l’image du cercle C privé de O, par la fonction F ?

REPONSES A L’EXERCICE IV

IV-1-a- ^z' = ¹_z

IV-1-b- ^{arg z'}= ^argz  ⁽² ⁾ Déduction pour O, M et

M'

^{: O,M et M'} sont alignés et O appartient au segment ^{[M M']}

IV-2-a- ^z' = 1

IV-2-b- L’image de



par F est le cercle  lui-même.

IV-3-a- ^{M  C} si et seulement si ^{z1 1}

IV-3-b- ^z'_z'^1 = 1

Justification : ^z'_z'^{1  1}_z'^{1  1z  1z  1z  1}

Comparaison de BM' ^{et OM' : BM'OM'}

D est la droite d’équation

2

1



y . D est la médiatrice du segment ^[OB] . IV-3-c-

A

1

B

1 2

1 O

M2

M1

C

M'2

M'1

IV-3-d- L’image de C privé de O par F est la droite D .

EXERCICE V – (22 points)

Donner les réponses aux questions de la partie A et aux questions 1 et 2 de la partie B

dans les cadres prévus à la page 9 PARTIE A

Soit la fonction ^f définie sur

]

^{_ ; 1}

[



]

^{1; }



par

x (x) e

f

^x

 





1

1 .

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,^i ,^j ).

1- a- Déterminer ^f'(x) et donner le tableau de variation de ^f en précisant les limites aux bornes de l’ensemble de définition de^f .

Donner, dans ce tableau, la valeur de f(_1). Les valeurs données dans le tableau seront exactes.

b- Donner les équations des droites asymptotes de la courbeCf . 2- Soit a un réel distinct de 1 et M le point de la courbe Cf d’abscisse a.

Déterminer, en fonction de a, une équation de la tangente T_M à la courbeCf , au point M.

PARTIE B

On considère l’intégrale suivante :

J ^ 

_⁰₁

f (t) dt

^.

L’objet de cette partie est d’encadrer l’intégrale J et non d’en calculer la valeur exacte.

1- Utiliser le tableau de variation de ^f vu à la question V - A - 1 - a - pour justifier que l’on a : 2

1 1  J 

e .

2- On pose, pour tout entier naturel n :

^{u n }  _ ⁰ ₁ ^{t n e  t  1 dt}

^.

a- Calculer u0.

b- Etablir une relation de récurrence entre ^{un 1} et un , à l’aide d’une intégration par parties dans

u

n 1 où l’on posera :

g (t)  t ⁿ 

1 ^et

h' (t)  e ^{ t }

^1.

On donnera le détail des calculs.

c- Calculer alors successivement u1, u2, u3, u4 et u5

sous la forme : u_i  p_i



q_i e^1

où pi _et q_i sont deux entiers relatifs que l’on précisera, pour chaque ui, dans le tableau prévu à cet effet. (On utilisera le résultat de la question V - B - 2 - a - pour u0).

REPONSES A L’EXERCICE V – PARTIE A – PARTIE B

V-A-1-a- ^f'(x) ₂

1

1 x) (

e x ^x







x

_

 1

^{0 1}

 

(x) '

f

_ _

_{ }

(x) f

 

½

1

e

 

⁰

_ V-A-1-b- Les asymptotes de C^f ont pour équation : x1 et ^y0

V-A-2- Equation de TM :

a a) ae a) (x ( y aae

 







 1 1

1 2

1

V-B-1- Justification de 2 1 1 J 

e : D’après le tableau de variation de f vu en V-A-1-a-, on a pour tout

t

_de

[  1 ; 0 ]

: 2

1 1 f (t)  e

donc



_⁰₁ ^{ }



_⁰₁2 1

1dt dt

e J ainsi

0 1 0

1 2

1 1



  

[ ] ]

[

^{t J t}

e et ¹_e ^{ J } ₂¹

V-B-2-a- u₀  _1e^1

V-B-2-b- ^{g(t)tn  1 g'(t) (n 1)tn}

1

e^t (t)

h' h(t)

1

e^t

d’où ^{un 1 tn 1e t 1 (n 1)tn e t 1 dt}

0 1 0

1









   



 





donc

n n

n n u

u _

₁

 (  ¹ ) ^

¹

 (  ¹ )

0

V-B-2-c-

n un ^p_n ^q_n

0 u0 ^ 1e^1 p₀  1 ^q₀ ^ 1

1 u₁  _e^1 p₁  0 ^q₁ ^ 1

2 u₂  12 e^1 p₂  1 q2 ^ 2

3 u₃  ₂₆ e¹ p₃  2 ^q₃ ^ 6

4 u₄  ₉₂₄ e¹ p₄  9 ^q₄ ^ 24

5 u₅  ₄₄₁₂₀ e^1 p₅  44 ^q₅ ^ 120

EXERCICE V – PARTIE B (SUITE)

Donner les réponses aux questions 3 et 4 de la partie B dans les cadres prévus à la page 11

3- Soit pour tout entier n, la somme :

n  uS ₀  uu ₂₁  u... n

^.

a- Exprimer Sn sous forme d’une intégrale du type : ⁰

e t

¹

P _n ( t ) d t

1





_



où P_n

( t )

est un polynôme que l’on précisera.

b- Justifier alors que l’on peut écrire :

  ^{uJ uu  u...} _n ^{  RSJ} _nn

 _{0 21}

avec

R _n

⁰

f ( t ) t ⁿ

¹

d t

1



_





.

t

t d

I ^  ^{0 n  1}

4- a- En utilisant le tableau de variation de f, obtenu à la question V - A - 1 - a - ,

justifier que si n est impair, pour tout

t  [  1, 0 ]

on a :

1 1

1 2

1 1 t ⁿ _  f t)t( ⁿ _  t ⁿ _

e

^,

puis montrer que : _e(n¹_2) ^{ Rn } _2(n¹_2) .

b- Justifier que si n est pair, pour tout

t  [  1, 0 ]

on a :

1 1

1 1

2

1 t ⁿ _  f t)t( ⁿ _  _e t ⁿ _

^,

puis montrer que :

2) (

1 2)

(2 1

 

 

 R ne

n ⁿ

^.

REPONSES A L’EXERCICE V – PARTIE B (SUITE)

V-B-3-a- P_n( t ) =

¹  ttt ³²  t.... n

V-B-3-b- Justification de

J S _n ⁰ f ( t ) t ^{n 1} d t

1

 _ 





^:

dtt...t

edte t t....tt

fSJ ( ⁿ )() ^{tt n} )(

n  





 





 

    

 ^{ 0 1 1  1}  _ ⁰ ₁ ^{ 1 1 1 1}

or

t

t...t ⁿ t ⁿ



 

 1

1 1 ¹

car ^{t 1} pour tout

t  [  1 ; 0 ]

d’où

dt t edt t t t

eSJ t ^{t n}

t n

n   





 







 



 

 _ ⁰ ₁ ^{ 1 1 1 1 1}  ¹  _ ⁰ ₁ ^{ 1 1 1}

t ⁿ

¹

f ( t ) dt

0 1



_





V-B-3-c- In =

2 1 )

¹

(







n

n

V-B-4-a- Pour n impair et ^{t  [1,0]}

1 1 1

2 1 1 t ⁿ _  f t)t( ⁿ _  t ⁿ _

e

^{car :}

D’après le tableau obtenu en V-A-1-a-, on a, pour tout

t  [  1 ; 0 ]

: 2 1 1  f(t)  e

Comme n est impair ^{n  1} est pair et

t n  1

est positif

donc

1 1 1

2 1

1 t ⁿ  t)t(f ⁿ  t ⁿ 

e

Justification de

2) ( 2

1 2)

( 1

 

  R n

n

e ⁿ

^:

D’après l’inégalité

1 1 1

2 1

1 ^{t n}  ^{t)t(f n}  ^{t n} 

e

on a

dtt dtt)t(f

e dtt

n n

n 1

0 1 1 0 1 1 0

1 2

1

1   

 _{  }

et d’après V-B-3-c-,

on a comme

(  1 ) n  ¹  1

car ^{n  1} est pair : _{e(n )} n 2_(n 2₎ R 1

2 1

 

 

V-B-4-b- Pour n pair et t  [1,0]

1 1 1 1

2

1 t ⁿ _  f ( t)t ⁿ _  _e t ⁿ _

^{car :}

Comme n est pair ^{n  1} est impair donc

t n  1

est négatif

ainsi

1 1 1 1

2

1 ⁿ  ⁿ  t ⁿ 

t)t(f e

t

d’où

dtt

dtt)t(f e

dtt ^{n n}

n 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 2

1   

 _{  }

Justification de

2) (

1 2)

(2 1



  

 R ne

n ⁿ

^:

D’après V-B-3-c-

2 1 2 1)( ¹

1 0

1  

 _ ^  _

 _ ^{t n dt} _n ⁿ _n

1 1 1

1

EXERCICE V – PARTIE B (SUITE)

Donner les réponses à la question 5 de la partie B dans les cadres prévus à la page 13

5-a- En détaillant le calcul, résoudre l’inéquation suivante, dans l’ensemble des entiers naturels N :

50 1 2) (

1 2)

( 2 : 1 )

(

₁





 

n e E n

et donner le plus petit entier naturel ⁿ⁰ qui vérifie (E₁)_.

b- Justifier que l’on a : ^S4 ₁₂¹  ^J  ^S4 ₆¹_{e .}

Préciser les réels V et W de l’encadrement suivant, obtenu de façon similaire :

S W V J

S 1 1

5

5    

^.

En utilisant le tableau de la question V - B - 2 - c -, calculer

43 21

04  uuS  uuu



^et

^S ₅ ^  ^uuu ₂₁₀  ^uuu ₅₄₃

^,

sous forme : 1

4

 A  B e 

S

et

1

5  C  eD 

S

^,

où A, B, C et D sont des entiers relatifs que l’on précisera.

e- En déduire un encadrement de J , d’amplitude inférieure à 50

1 , par deux nombres décimaux.

Expliquer la démarche.

REPONSES A L’EXERCICE V – PARTIE B (SUITE)

V-B-5-a- Résolution de(E₁) _:

50 1 2) (

1 2) (2

1 

 

 ne

n

50 1 2 1 1

2

1



 



_



 



 e n





 



 



 e

n 1

2 50 1

 2

...

e ,

n 1 2 460

2

50 1  

 



  





d’où n₀ 5

V-B-5-b- Justification de

S e J

S 6

1 12

1 4

4    

En utilisant l’encadrement vu en V-B-4-b- pour ^{n  4}

On a : ₁₂^{1  JS4  }₆¹_e d’où ^S4₁₂^{1  J  S4}₆¹_e

V-B-5-c- V = 7e

W = 14

V-B-5-d- A = 13

B =

 34

V-B-5-e- Encadrement de J à 1/50 ^e près, par deux nombres décimaux : 0,399  J  0,418

Justification : ⁴ ₆^{1 4} ₁₂¹  ^{ 0,0220....} ₅₀¹

 



 

 



 



  S

S e

et ⁵ ₁₄^{1 5} ₇¹  ^{ 0,0188....} ₅₀¹



 



 

 



 



 

S e S

d’où l’encadrement suivant est à _e 50

1 près :

0,4179... 0,418

14 S 1 7 J

S 1 . 0,39912...

0,399   ₅    ₅   

e

et ^{0,418  0,399  0,019 } ₅₀¹