Enoncé des exercices abordés en Travaux Dirigés Séries de Fourier Exercice Décomposition en série de Fourier le signal carré défini par : ++∈−+∈=[kTT,kT2/T[tpourA[kT2/T,0[tpourA)t(s

(1)

Enoncé des exercices abordés en Travaux Dirigés

Séries de Fourier Exercice

Décomposition en série de Fourier le signal carré défini par :





+ +

∈

−

+

= ∈

[ kT T , kT 2 / T [ t pour A

[ kT 2 / T , 0 [ t pour ) A

t ( s

Transformée de Fourier Exercice

Calculer la transformée de Fourier d’un signal porte, défini par :

Exercice

1) Calculer la matrice des facteurs de phase dans le cas d’un signal de 4 points.

2) Calculer la TFD du signal défini sur 4 points par : x(n), n=0,…,3 :

{0, 1, 0, -1}

3) Interpréter les résultats (en prenant en compte que ce signal peut être considéré comme une période de signal sinusoïdal)

4) Recommencer avec le signal suivant (sans faire de calculs, mais en prenant en compte la période d’échantillonnage Te et celle du signal T, ainsi que la signification des indices de la séquence d’entrée et de la séquence de sortie) :

-A

T/2 A

T

 1

 

= 

Π T

rect t T)

(t

(2)

{0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1}

Filtrage → Filtrage analogique → Transformée de Laplace Exercice

1) Calculer la transformée de Laplace de l’échelon unité u(t) (=1 pour t ≥ 0, 0 pour t<0) 2) Calculer la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac décalée : δ(t-t₀)

Exercice

On considère le système dont le fonctionnement est décrit par l’équation différentielle :

Déterminer la réponse impulsionnelle de ce système.

Exercice

Soit une fraction rationnelle définie par :

1) Déterminer sa transformée de Laplace inverse (en la décomposant préalablement en fonctions de transfert élémentaires).

2) En déduire la réponse impulsionnelle d’un système possédant F(p) pour transmittance.

3) Calculer la réponse de ce système à un signal échelon u(t), de 2 manières différentes : - transformée de Laplace inverse

- produit de convolution avec réponse impulsionnelle Représenter graphiquement cette réponse.

4) Représenter le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique correspondant à F(p).

Exercice

1) On considère un système linéaire et invariant dans le temps, caractérisé par l’équation différentielle suivante :

) t ( e ) t ( s 2 ) t ( ' s 3 ) t ( ''

s + + =

a) En supposant les conditions initiales nulles, déterminer sa transmittance de Laplace.

b) En déduire sa réponse impulsionnelle.

Solution

2 p 3 p ) 1 p (

F ₂

+

= +

) t ( e ) t ( dt s

) t (

RCds + =

(3)

) p ( E ) p ( S 2 ) p ( pS 3 ) p ( S

p² + + =

) p ( E ) 2 p 3 p )(

p (

S ² + + =

2 p 3 p

1 )

p ( E

) p ( S

2+ +

= C’est la transmittance de Laplace demandée :

) p ( ) T p ( E

) p (

S =

b) Pour connaître la réponse impulsionnelle, on doit factoriser cette transmittance puis la décomposer en éléments simples en utilisant la formule des résidus.

Le déterminant du dénominateur est égal à :

1 8 9 ac 4

b²− = − =

=

∆>0 donc le polynôme admet 2 racines réelles : ∆ 2 1

1 3 a

2

p₁=−b+ ∆ =− + =− et 2

2 1 3 a

2

p₂=−b− ∆ = − − =−

(

p p1

)(

p p2

)

1 )

p ( E

) p ( S

−

= −

Pour pouvoir calculer la transformée inverse de cette transmittance, on la décompose en éléments simples, c’est à dire sous la forme :

( ) (

2

)

2 1

1

p p

A p

p A )

p ( E

) p ( S

+ −

= −

Les coefficients A1 et A2 sont déterminés par la formule des résidus :

(

^p ^p

)

_E^S⁽₍^p_p⁾₎

(

^p ¹

)

_p¹₂ ¹

) p ( E

) p ( A S

1 p 1

p p

p 1 1

1

 =



 





= +



 



 +

 =



 



 −

=

−

=

−

=

et

(

^p ^p

)

_E^S⁽₍^p_p⁾₎

(

^p ²

)

_p¹₁ ¹

) p ( E

) p ( A S

2 p 2

p p

p 2 1

2

−

 =



 





= +



 



 +

 =



 



 −

=

−

=

−

=

d’où :

2 p

1 1 p

1 ) p ( E

) p ( S

− +

= +

On en déduit la réponse impulsionnelle du système, en remplaçant E(p) par la transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac, soit :

1 ) p (

E =

On a donc :

2 p

1 1 p ) 1 p (

S − +

= +

Enfin, on applique la transformée de Laplace inverse pour avoir la réponse impulsionnelle :

(

^S⁽^p⁾

)

^e ^e ^h⁽^t⁾

L⁻¹ = ⁻^t− ⁻²^t = 2) On applique la formule de convolution :

∫

⁻^τ ^τ ^τ⁼ ^τ ⁻^τ ^τ

=

t

0 t

0

d ) t ( e ) ( h d ) ( e ) t ( h ) t )(

h

* e ( ) t ( s

(4)

On remplace h(t) par son expression, et u(t) par 1 puisque l’intervalle d’intégration est déjà [0,t[ :

( ) ( )

( )

∫

⁻ ^τ

=

= ⁻ ⁻^τ ⁻ ⁻^τ

t

0

t 2

t e d

e ) t )(

h

* e ( ) t ( s

( )

∫

( )

∫

^τ⁻ ^τ

= ⁻ ⁻^τ ⁻ ⁻^τ

t

0 t 2 t

0

t d e d

e

∫

^τ⁻ ^τ

= ⁻ ^τ ⁻ ^τ

t

0 t 2 t

0

t ed e ed

e

[ ]

^t⁰ ²^t

[ ]

² ^t⁰

t e

2 e e

e⁻ ^τ + ⁻ ^τ

−

=

[

^t ⁰

]

²^t

[

²^t ⁰

]

t e e

2 e e e

e − + −

−

= ⁻ ⁻

[

¹⁻^e⁻^t

] [

⁺ ₂¹ ¹⁻^e⁻²^t

]

−

=

2 e e 2

1 ₋_t ⁻²^t + +

−

= , t>0

Exercice : formule des résidus

Effectuer la décomposition en éléments simples de la fonction :

3

2 (p 1)

p )

1 p 2 p )(

1 p ( ) p p (

F = +

+ +

= + Solution

La décomposition en éléments simples donne :

) 1 p (

A )

1 p (

A )

1 p ( ) A p (

F ⁰ ₃ ¹ ₂ ²

+ + + +

= + avec

[

^F⁽^p^).(^p ¹⁾

] [ ]

³^p ¹

! 0

A₀ = 1 + ³ _p₌₋₁= _p₌₋₁= −

[ ]

¹ ¹

dp ) p ( d dp

) ) 1 p )(

p ( F ( d

! 1

A 1 _p ₁

1 1 p

p 3

1  = =



 



=



 



 +

= ₌₋

−

− =

=

[ ]

⁰ ⁰

dp

) ) 1 p )(

p ( F ( d

! 2

A 1 _p ₁

1 p 2

3 2

2  = =



 



 +

= ₌₋

−

=

d’où :

3 2 (p 1)

1 )

1 p ( ) 1 p (

F +

+ −

= +

(5)

Exercice

On considère le filtre passe-haut du 2^e ordre de fonction de transfert harmonique :

c c

j 1

j ) j ( T

ω + ω

ω ω

= ω 1) Tracez son diagramme de Bode.

2) Déterminer l’équation différentielle correspondante à sa fonction de transfert.

Solution

2) On remplace jω par p :

c c

c

p p 1 p

p ) p (

T = +ω

+ω

= ω

or

) p ( E

) p ( ) S p (

T =

donc

) p ( p E

) p p ( S

ωc

= +

) p ( pE ) p )(

p (

S +ω_c =

soit

dt ) t ( ) de t ( dt s

) t ( ds

c =

ω +

Filtrage → Filtrage analogique → Convolution Exercice

Démontrer la propriété d’associativité du produit de convolution, définie par la relation :

[

^x

( )

^t ⁺^y⁽^t⁾

]

^*^z⁽^t⁾⁼^x⁽^t⁾^*^z⁽^t⁾⁺^y⁽^t⁾^*^z⁽^t⁾

Solution

τ τ τ

−

= τ τ

− τ

=

=^x⁽^t⁾^*^z⁽^t⁾

∫

₋^+∞_∞^x⁽ ^).^z⁽^t ^).^d

∫

₋^+∞_∞^x⁽^t ^).^z⁽ ⁾^d

) t ( s

[

^x

( )

^t ⁺^y⁽^t⁾

]

^*^z⁽^t⁾⁼

∫

₋^+∞_∞

[

^x

( )

^t ⁺^y⁽^t⁾

]

^.^z⁽^t⁻^τ⁾^d^τ⁼

∫

₋^+∞_∞^x⁽^t^).^z⁽^t⁻^τ⁾⁺^y⁽^t^).^z⁽^t⁻^τ⁾^d^τ

) t ( z

* ) t ( y ) t ( z

* ) t ( x d ) t ( z ).

t ( y d

) t ( z ).

t (

x

∫

−^+∞∞

+∞

∞

− −τ τ+ −τ τ= +

= Exercice

(6)

Démontrer la propriété d’élément neutre du produit de convolution, définie par la relation :

) t ( x ) t (

* ) t (

x δ =

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

τ τ

− δ τ

= τ τ δ τ

−

=

δ(t) x(t ). ( )d x( ). (t )d

* ) t ( x

) t ( x d ) ( ) t ( x d ) ( ).

t (

x

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

= τ τ δ

=

Filtrage → Filtrage analogique → filtre de Butterworth Exercice : filtre de Butterworth

1) Montrer que la pente de décroissance d’un filtre de Butterworth passe-bas, définie par :

N 2

c 2

1 ) 1 ( H







 ω + ω

= ω

est - N×20 dB/décade

2) Montrer que la valeur du gain à la pulsation de coupure ωc est –3 dB.

Filtrage → Filtrage numérique → Convolution Exercice

On considère le signal échantillonné e défini par :

et un autre signal h représentant la réponse impulsionnelle d’un système, défini par : 1) Calculer le signal résultant de la convolution définie par :

avec M=10 et N=2.

2) Donner l’expression explicite de s3.

Exercice

On définit une expression de convolution discrète par :

i 2 k N

i k k

k

k h *e h e

s = =

∑

⁺ ⁻ − , k=0,1,…, M-1

i 2 k N

1 k i

i k k

k

k h *e h e

s

∑

⁺ ⁻

−

= −

=

(7)

On considère les 2 séquences suivantes :

e={0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1} et h={0.33, 0.12, 0.04}

Calculer la séquence s en précisant le calcul pour s4. Exercice

Dans la convolution d’image représentée ci-dessous, calculer explicitement l’élément de l’image résultante s_2,2 (ordonnées croissante vers le bas), et compléter l’image résultat.

Filtrage → Filtrage numérique → Suites géométriques Exercice : rappels sur les suites géométriques

1) Montrer que la suite définie par :

∑

^∞

=

∞ =

0 n

5n

, 0 S

est une suite géométrique et si oui déterminer sa raison.

2) Déterminer sa raison, la somme des 2 premiers termes et la somme de tous les termes.

Exemple

∑

^∞

∞ = + + + + = =

0 n

n 3

2

1 0,5 0,5 ... 0,5

5 , 0 1 S 1) On a :

5 , 0 u 5 , 0 5 , 0 5 , 0

u_n₊₁= ⁿ⁺¹ = ⁿ× = _n× Il s’agit donc d’une suite géométrique de raison 0,5.

2) La somme des 2 premiers termes est égale à :

5 , 5 1 , 0

75 , 0 5 , 0 1

25 , 0 1 5 , 0 1

5 , 0 1 1 r 1

r u 1

S₂ ₀ ² ² = =

−

= −

−

× −

− =

= −

La somme de tous les termes est égale à :

5 2 , 0

1 5 , 0 1

5 , 0 lim1 r 1

r lim1 u

S ⁿ

n n

0n = =

−

= −

−

= −

∞

→

∞

∞ →

Filtrage → Filtrage numérique → Transformée en Z Exercice

(8)

Calculer la transformée en Z de la fonction exponentielle échantillonnée, définie par : e anT

) nT (

s = ⁻

en précisant la condition d’application sur |z|.

Solution

On applique la définition :

∑

^∞

=

= − 0 n

z n

) nT ( s )

z ( S

∑

^∞

=

−

∞ −

=

−

− =

=

0 n

n 1 aT 0

n

anTz (e z )

e )

z ( S

Il s’agit d’une suite géométrique de raison r =e⁻^aTz⁻¹. On peut donc l’écrire :

aT 1

n aT 1 n

n

0n 1 z e

) e z ( lim1 r 1

r lim1 u ) z (

s ⁻₋ ⁻₋

∞

→

∞

→ −

= −

−

= −

La convergence de cette suite dépend d’une condition sur la raison. Il faut avoir : 1

e z⁻¹ ⁻^aT <

soit

e aT

z > ⁻ . On a alors

aT aT

1 z e

z e

z 1 ) 1 z (

s ₋ ₋ ₋

= −

Exercice

1) Déterminer l’équation aux différences d’un filtre passe-bas du 2^e ordre de fonction de transfert harmonique :

2

0 0

j j

2 1 ) 1 j(

H







 ω + ω ω ξ ω +

= ω

en utilisant la transformée bilinéaire.

2) Déterminer la réponse impulsionnelle de ce filtre par application de l’équation de récurrence à la séquence :

h={1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

(les éléments situés en dehors de la séquence seront pris nuls).

3) En déduire une 2^e expression de l’équation aux différences, purement transversale (c’est à dire sans partie récursive).

4) Montrer que ce filtre est stable dans tous les cas, à partir de sa fonction de transfert harmonique, puis à partir de sa fonction de transfert en Z.

Exercice

(9)

Déterminer les coefficients d’un filtre RIF de type passe-bas avec fc=4410Hz et N=10 (la fréquence d’échantillonnage est fe=44100Hz), par la méthode de la décomposition du spectre d’amplitude en série de Fourier.