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Énigme 2 : C’est mon dada

Le tiercé dans l’ordre est 19 ; 23 et 17.

Notons n₁ le numéro du cheval arrivé 1^er ; n₂ le numéro du cheval arrivé 2^ème et n₃ le numéro du cheval arrivé 3^ème.

Le journaliste nous donne les informations suivantes : n₁×n₂=437 n₂×n₃=391 n₃ ×n₁=323

En observant ses nombres, on se rend compte, qu’ils ne possèdent que peu de diviseurs.

437=19×23 391=17×23 323=17×19

On en déduit que n₁ = 19 ; n₂ = 23 et n₃ =17

Énigme 1 : Doc Malin

Notons n_i le nombre de cachets qu’il y a dans la boite le i^ème jour avant qu’Amal n’avale la dose prescrite et p_i le nombre de cachets qu’il reste le i^ème jour après sa prise de médicaments.

Amal a avalé les 62 cachets de la boîte.

p_i=n_i ÷2−1 n_i= (p_i +1) ×2

On peut donc écrire l’égalité : d’où :

Or, on sait que p₅= 0 donc n₅= (0+1)×2=2 n₄= (2+1)×2=6 p₄=2

n₃= (6+1)×2=14 p₃=6

n₂= (14+1)×2=30 p₂=14

n₁= (30+1)×2=62 p₁=30

M

Énigme 3 : Symetrox

On cherche l’aire de la partie noire du logo. Ce logo est constitué de 4 motifs identiques.

Pour calculer l’aire du carré RSTU, on doit déterminer la longueur RS. Or RS = EH

La partie noire du logo de base est composée de deux bandes qui sont des parallélogrammes superposables. Leur intersection est le carré RSTU.

A

A

A

A

3 cm

EH

AB = EB

AM EH

5 = 2 AM

Dans le triangle ABM, rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore  AM =

√

EH= 2×5

√

10

√

Donc et

A

( √

)

L’aire noire du motif de base est donc égale à :

A

17 = 290 17 cm² 290

17 ×4=1160 17 cm La valeur exacte de l’aire noire du logo est 2

De plus, les triangles EBH et ABM possèdent des angles de mêmes mesures, ils sont donc semblables.

soit

Énigme 4 : Que d’impairs ! ! !

Simplifions le problème. Si l’on ajoute les 6 nombres que l’on peut former avec uniquement les chiffres impairs 1, 3 et 5.

Un peu commutativité

Ainsi :

On peut étendre ce raisonnement au problème initial. On note S la somme des 120 nombres que l’on peut former avec tous les chiffres impairs.

S=

⏟

120termes

S =

⏟

24termes

+33333

⏟

24termes

+55555+

⏟

24termes

+

⏟

24termes

+99999+

⏟

24termes

135+153+315+351+513+531=111+111+333+333+555+555

S =24×(11111+33333+55555+77777+99999) =24×11111×(1+3+5+7+9) =24×11111×25=6 666 600

Belle propriété !

Dans la cellule C121, apparaît 6 666 600.

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Énigme 5 : Mastermaths

Vous avez reconnu le principe du Mastermind.

La solution :

Jeu en ligne

Énigme 6 : Il a du pot !

Si l’on observe attentivement la numérotation du confiseur, on s’aperçoit que les numéros correspondants aux pots de framboise sont des multiples de 7. La probabilité pour que le vœu de Noah soit exaucé est égale à :

Framboise

p(Le Voeu de Noah est exaucé) = nombre de pots de framboise restants 1533

nombre de pots de confiture restants

p(Le voeu de Noah est exaucé) = nombre de multiples de 7 compris entre 1001et2021 1021

1000=142×7 +6 2021=288×7+5

Or et

Il y a donc 288 – 142 = 146 multiples de 7 compris entre 1 001 et 2021.

p(Le Voeu de Noah est exaucé ) = 146

1021 ≈0,143

Énigme 7 : Enigma

On cherche les lettres les plus fréquentes et on essaie de trouver celle qui remplace le ‘e’, le ‘s’, les voyelles ‘a’ ; ’i’.

Pour décoder le mot, il faut utiliser plusieurs mots du texte.

Les petits mots du texte sont utiles.

Le mot à trouver était « cryptanalyse »

Énigme 8 : Deep blue

Le nombre de bactéries est multiplié par 7 chaque jour. On peut donc facilement écrire le nombre de bactéries sous la forme d’une puissance de 7 : le 2021^ème jour, il y a 7²⁰²⁰ bactéries.

Pour exprimer ce nombre sous la forme d’un entier, il est nécessaire d’utiliser un puissant calculateur. Cependant, si l’on observe les premières puissances du nombre 7, on s’aperçoit que les chiffres des unités sont cycliques.

Le cycle est [1 ; 7 ; 9 ; 3].

Regardons combien y a-t-il de cycles dans 2021 jours.

Effectuons la division euclidienne de 2021 par 4 :

Le chiffre des unités du nombre de bactéries le 2021^ème jour est 1.

2021=

⏟

2020

+ 1

[1;7;9;3] / [1;7;9;3] / …/ [1;7;9;3]

⏟

/ [1;7;9;3] /…

2021^ème valeur du cycle

Énigme 9 : Gobo Game

Clique ici Vidéo Lumni

Dans cette vidéo, Évariste étudie la situation avec deux dés.

Cherchons à établir les différentes combinaisons possibles avec trois dés.

La somme des 3 dés est comprise entre 3 et 18. Voici toutes les façons d’obtenir chacune de ces sommes. Il y a alors trois situations différentes :

→ il n’y a qu’une seule façon d’obtenir 3 dés identiques

→ si 2 dés sont identiques, il y a 3 façons d’obtenir le triplet

→ si les 3 dés sont différents, il y a alors 6 façons d’obtenir le triplet

La probabilité de gagner est égale à 54 216 = 1

4

Énigme 10 : Au large

Les rotations et les symétries sont plus coûteuses qu’une homothétie.

Dans une homothétie, les trois points (le centre, point de départ et son image) sont alignés.

Commençons par chercher les positions intermédiaires du voiliers pour arriver à l’île par une homothétie de rapport inférieur à 4.

Deux solutions à 8 €

Énigme 12 : L’as de la Rose

La rosace se décompose en 6 pétales identiques. Lorsqu’on soustrait l’aire de l’hexagone régulier BCDEFG à l’aire du disque, on obtient l’aire de 6 demi pétales. L’aire de l’hexagone régulier se calcule à partir de l’aire du triangle équilatéral ADC.

A

A

a

√

La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a est égale à 2

4,7 cm

3×4,7×

√

2 ×4,7=33,135

√

A

Calculons l’aire de l’hexagone :

π ×4,7²=22,09π cm² L’aire du disque est égale à 

22,09π−33,135

√

A

2×(^22,09π−33,135

√

A

Énigme 11 : Compte Rond

Chaque sinistré a reçu 564 € Les 3 247 sinistrés ont tous reçu la même somme (en €) que l’on notera S.

S est un nombre entier qui divise 1 _ 3 _ 3 _ 8 (la recette totale de la collecte en €).

Le cryptarithme (opération à trou) nous permet de déterminer le chiffre des unités de S. Il y a 31 valeurs possibles : 314 ; 324 ; 334 ; … ; 614. Il suffit d’effectuer les 31 multiplications.

3 247× 307=996 826 3 247× 308=1 000 076

Or et

donc

3 247×616=2 000 152 308< S <620

3 247×615=1 996 905