Aire, intégration

Aire, intégration

Après avoir appris à calculer l’aire de formes géométrique simples, l’idée suivante est de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction

Cela servira, entre autres, à calculer des probabilités ayant une infinité d’issues.

En effet, au lieu de calculer le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues, la probabilité pourra être calculée grâce à une division entre deux aires.

1) intégrale d’une fonction positive Définition :

Soit 𝑓 une fonction positive et continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] (avec −∞ ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ +∞) alors

L’aire comprise entre la courbe de 𝑓, les droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏, et l’axe des abscisses s’appelle l’intégrale de la fonction 𝑓 entre les points 𝑎 et 𝑏 ou plus simplement

l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏. Elle se note

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏 𝑎

𝑎 𝑏

Remarque :

L’aire du rectangle de hauteur 𝑓(𝑥) et de largeur infinitésimale 𝑑𝑥 est égale à 𝑓(𝑥) × 𝑑𝑥. La somme des aires de tous ces rectangles infinitésimaux est égale à l’aire entre la courbe de 𝑓 et l’axe des abscisses.

La notation ∫ symbolise le S de Somme, c’est à dire que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎𝑏 signifie la somme des aires 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 pour les 𝑥 allant de 𝑎 jusqu’à 𝑏.

Exemple : ∫ 𝑥𝑑𝑥 2 0 =2 × 2 2 = 2

2) intégrale d’une fonction négative Définition :

Soit 𝑓 une fonction négative et continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] (avec −∞ ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ +∞) alors

L’opposé de l’aire comprise entre la courbe de 𝑓, les droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏, et l’axe des abscisses s’appelle l’intégrale de la fonction 𝑓 entre les points 𝑎 et 𝑏 ou plus simplement

l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏. Elle se note

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑎

c’est à dire

Soit 𝑓 une fonction continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] (avec −∞ ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ +∞) alors on pourra partager [𝑎, 𝑏] en intervalles où 𝑓 sera toujours positive ou toujours négative.

Par exemple la fonction 𝑓 dont la courbe est la suivante

est positive sur les intervalles [𝑎, 𝑥₁], [𝑥2, 𝑥3], [𝑥4, 𝑏]

et négative sur les intervalles [𝑥1, 𝑥2], [𝑥3, 𝑥4].

Ou bien la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥 est négative sur ] − ∞ ; 0] et positive sur [0 ; +∞[.

Dans le premier exemple, on définira l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏 de la manière suivante ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥1 𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥3 𝑥2 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥4 𝑥3 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑥4

Dans le deuxième, si 𝑎 < 0 < 𝑏, on définira l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏 de la manière suivante ∫ 2𝑥 𝑑𝑥𝑏 𝑎 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥0 𝑎 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥𝑏 0

Dans le cas général, si on a partagé l’intervalle [𝑎, 𝑏] en 𝑛 intervalles [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1], avec 𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖+1≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛−1≤ 𝑥𝑛= 𝑏

c’est à dire si

[𝑎, 𝑏] = ⋃ [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1] 𝑖=𝑛−1

𝑖=0

où 𝑓 est alternativement positive puis négative sur chaque [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1], on définira l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏 de la manière suivante

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏 𝑎 = ∑ ∫𝑥𝑖+1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥𝑖 𝑖=𝑛−1 𝑖=0

Soit 𝑓 une fonction continue sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] (avec −∞ < 𝑎 ≤ 𝑏 < +∞) et 𝐹 une fonction telle que 𝐹′_{(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] alors}

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏 𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

En général 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) se note [𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 de sorte que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= [𝐹(𝑥)]_𝑎𝑏 _{= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)}

La variable 𝑥 de ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎𝑏 est une variable muette, dans le sens où on peut noter ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑎

En effet, cette intégrale est un nombre fixé, elle ne dépend ni de 𝑥, ni de 𝑦, ni de 𝑡, ni de 𝑢… Une fonction 𝐹 qui vérifie

𝐹′_{(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]}

s’appelle une primitive de 𝑓

Si 𝑓 une fonction continue sur l’intervalle [𝑎, 𝑏], il existe une infinité de primitives 𝐺 qui vérifient

𝐺′_{(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]}

mais elles sont toutes égales à une constante près, c’est à dire que si 𝐺 et 𝐹 sont deux primitives de 𝑓 alors il existe une constante 𝜆 ∈ ℝ telle que

𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝜆 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] D’ailleurs, la fonction

𝑥 ↦ ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑥 𝑎

est une primitive de 𝑓, c’est celle qui s’annule en 𝑎 car ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑎 𝑎 = 0 ou bien car ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑥 𝑎 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) Exemples : ∫ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 3 1 = [𝑥2_{+ 𝑥]} 1 3 _{= 3}2_{+ 3 − (1}2_{+ 1) = 10} ∫ 𝑥0 5_{+ 2𝑥 𝑑𝑥} −1 = [𝑥6 6 + 𝑥2]₋₁ 0 =06 6 + 02− ( (−1)6 6 + (−1)2) = − 7 6 On retiendra qu’une primitive de 𝑥𝑛 _est 𝑥𝑛+1

𝑛+1, ce que l’on notera simplement ∫ 𝑥𝑛_{𝑑𝑥 =} 𝑥𝑛+1 𝑛 + 1 ∫ 𝑒1 −𝑥_𝑑𝑥 0 = [−𝑒−𝑥_] 0 1 _{= −𝑒}−1_{− (−𝑒}−0_{) = −𝑒}−1_{+ 1} ∫ 𝑒2 5𝑥_𝑑𝑥 0 = [1 5𝑒5𝑥]₀ 2 = 1 5𝑒5×2− 1 5𝑒5×0= 1 5𝑒10− 1 5

∫ −𝑥𝑒−𝑥 2 2𝑑𝑥 10 0 = [𝑒−𝑥 2 2] 0 10 = 𝑒−10 2 2 − 𝑒−0 2 2 = 𝑒−50− 1

On retiendra qu’une primitive de 𝑒𝜆𝑥 _est 1

𝜆𝑒𝜆𝑥, ce que l’on notera simplement ∫ 𝑒𝜆𝑥_{𝑑𝑥 =}1

𝜆𝑒𝜆𝑥

ou de manière plus générale, une primitive de 𝑢′_(𝑥)𝑒𝑢(𝑥) _{est 𝑒}𝑢(𝑥)_{, ce que l’on notera}

simplement ∫ 𝑢′_(𝑥)𝑒𝑢(𝑥)_{𝑑𝑥 = 𝑒}𝑢(𝑥) ∫ 1 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 = [ln(𝑥)]₁𝑒_{= ln(𝑒) − ln(1) = 1 − 0 = 1} ∫ 3 3𝑥 + 1𝑑𝑥 2 0 = [ln(3𝑥 + 1)]₀2_{= ln(3 × 2 + 1) − ln(3 × 0 + 1) = ln(7) − 0 = ln(7)} ∫ 2𝑥 + 1 𝑥2_{+ 𝑥}𝑑𝑥 10 5 = [ln(𝑥2_{+ 𝑥)]} 5 10 _{= ln(10}2_{+ 10) − ln(5}2_{+ 5) = ln(110) − ln(30) = ln (}110 30 ) = ln (11 3 )

On retiendra qu’une primitive de 𝑢_𝑢(𝑥)′(𝑥) est ln(𝑢(𝑥)) lorsque 𝑢(𝑥) > 0 ce que l’on notera simplement ∫𝑢′(𝑥) 𝑢(𝑥)𝑑𝑥 = ln(𝑢(𝑥)) Mais si 𝑢(𝑥) < 0 alors ∫𝑢′(𝑥) 𝑢(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ −𝑢′_(𝑥) −𝑢(𝑥)𝑑𝑥 = ln(−𝑢(𝑥))

car – 𝑢(𝑥) > 0, et que la dérivée de – 𝑢(𝑥) est – 𝑢′(𝑥).

∫ 2 2𝑥 − 1𝑑𝑥 0 −2 = ∫ −2 −2𝑥 + 1𝑑𝑥 0 −2 = [ln(−2𝑥 + 1)]−20 = ln(1) − ln(5) = − ln(5) Exercice corrigé :

Calculer les intégrales suivantes à l’aide de primitives a) ∫ 𝑥 + 𝑥2 2 _𝑑𝑥 1 b) ∫ 1 + 4𝑥1 3_{+ 𝑒}𝑥 _𝑑𝑥 −1 c) ∫ 2𝑥1 3_{− 5𝑥 + 7 𝑑𝑥} −1 d) ∫ −_𝑥12+ 4𝑥2− 3 𝑑𝑥 2 1 e) ∫ 𝑒5 −3𝑥_{+ 2 𝑑𝑥} −5 Correction : ∫ 𝑥 + 𝑥2 2 _𝑑𝑥 1 = [𝑥 2 2 + 𝑥3 3]₁ 2 = 2 2 2 + 23 3 − ( 12 2 + 13 3) = 2 + 8 3− 1 2− 1 3= 3 2+ 7 3= 9 6+ 14 6 = 23 6 ∫ 1 + 4𝑥1 3_{+ 𝑒}𝑥 _𝑑𝑥 −1 = [𝑥 + 𝑥4_{+ 𝑒}𝑥_] −1 1 _{= 1 + 1}4_{+ 𝑒}1_{− (−1 + (−1)}4_{+ 𝑒}−1_{) = 2 + 𝑒 −}1 𝑒

∫ 2𝑥1 3_{− 5𝑥 + 7 𝑑𝑥} −1 = [2 ×𝑥4 4 − 5 × 𝑥2 2 + 7𝑥]₋₁ 1 = 2 ×1 4 4 − 5 × 12 2 + 7 × 1 − (2 × (−1)4 4 − 5 × (−1)2 2 + 7 × (−1)) = 2 4− 5 2+ 7 − 2 4+ 5 2+ 7 = 14 ∫ − 1 𝑥2+ 4𝑥2− 3 𝑑𝑥 2 1 = [1 𝑥+ 4 × 𝑥3 3 − 3𝑥]₁ 2 =1 2+ 4 × 23 3 − 3 × 2 − ( 1 1+ 4 × 13 3 − 3 × 1) =1 2+ 32 3 − 6 − 1 − 4 3+ 3 = 1 2+ 28 3 − 4 = 3 6+ 56 6 − 24 6 = 35 6 ∫ 𝑒5 −3𝑥_{+ 2 𝑑𝑥} −5 = [ 1 −3𝑒−3𝑥+ 2𝑥]₋₅ 5 = 1 −3𝑒−3×5+ 2 × 5 − ( 1 −3𝑒−3×(−5)+ 2 × (−5)) = −1 3𝑒−15+ 1 3𝑒15+ 20 Remarque :

Lorsque 𝑎 = −∞, le théorème précédent devient

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

−∞

= [𝐹(𝑥)]−𝑏∞= 𝐹(𝑏) − lim

𝑥→−∞𝐹(𝑥) Lorsque 𝑏 = +∞, le théorème précédent devient

∫+ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 𝑎 = [𝐹(𝑥)]_𝑎+∞_{= lim} 𝑥→+∞𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) Exemples : ∫ 𝑒0 0,3𝑥_𝑑𝑥 −∞ = [ 1 0,3𝑒0,3𝑥]_−∞ 0 = 1 0,3𝑒0,3×0− lim𝑥→−∞ 1 0,3𝑒0,3𝑥 = 1 0,3× 1 − 1 0,3× 0 = 10 3 ∫ 𝑒−1 2𝑥_{+ 𝑥}−3 _𝑑𝑥 −∞ = [1 2𝑒2𝑥+ 𝑥−3+1 −3 + 1]_−∞ −1 = [1 2𝑒2𝑥+ 1 −2𝑥2] −∞ −1 = 1 2𝑒2×(−1)+ 1 −2 × (−1)2− lim_{𝑥→−∞}( 1 2𝑒2𝑥+ 1 −2𝑥2) = 1 2𝑒−2− 1 2− (0 + 0) = 1 2𝑒−2− 1 2 car 𝑥−3+1 −3 + 1= 𝑥−2 −2 = 1 −2× 𝑥−2= 1 −2× 1 𝑥2 = 1 −2𝑥2 ∫+∞𝑒−5𝑥_𝑑𝑥 0 = [ 1 −5𝑒−5𝑥]₀ +∞ = lim 𝑥→+∞ 1 −5𝑒−5𝑥− 1 −5𝑒−5×0= 0 + 1 5= 1 5 ∫ − 2 𝑥2𝑑𝑥 +∞ 1 = ∫ 2 ×−1 𝑥2 𝑑𝑥 +∞ 1 = [2 ×1 𝑥]₁ +∞ = [2 𝑥]₁ +∞ = lim 𝑥→+∞ 2 𝑥− 2 1= 0 − 2 = −2 ∫ 4𝑥 2𝑥2_{+ 7}𝑑𝑥 +∞ 1 = [ln(2𝑥2_{+ 7)]} 1 +∞_{= lim} 𝑥→+∞ln(2𝑥 2_{+ 7) − ln(2 × 1}2_{+ 7) = +∞ − ln(9)} = +∞

Remarque :

Si on doit calculer l’intégrale d’une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] sauf en un nombre fini de points 𝑥_𝑖, on partagera [𝑎, 𝑏] en intervalles [𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖+1] où 𝑓 est continue sur chaque [𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖+1] et on pourra alors appliquer le théorème fondamental de l’analyse sur chaque [𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖+1]

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∑ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥𝑖+1 𝑥𝑖 𝑖=𝑛−1 𝑖=0 = ∑ (𝐹𝑖(𝑥𝑖+1) − 𝐹𝑖(𝑥𝑖)) 𝑖=𝑛−1 𝑖=0

où chaque 𝐹𝑖 est une primitive de 𝑓 sur [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1]

Exemples :

Soit 𝑓 définie de la manière suivante

𝑓(𝑥) = {3𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0_{−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0} alors ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3 −2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥0 −2 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3 0 = ∫ −𝑥 𝑑𝑥0 −2 + ∫ 3𝑥 + 1 𝑑𝑥3 0 = [−𝑥2 2]₋₂ 0 + [3 ×𝑥2 2 + 𝑥]₀ 3 = −02 2 − (− (−2)2 2 ) + 3 × 32 2 + 3 − (3 × 02 2 + 0) = 2 + 27 2 + 3 = 37 2 Soit 𝑔 définie de la manière suivante

𝑔(𝑥) = {𝑒−2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 5 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 5 alors ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 2 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 5 2 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 5 = ∫ 3 𝑑𝑥 5 2 + ∫+∞𝑒−2𝑥_𝑑𝑥 5 = [3𝑥]25+ [ 1 −2𝑒−2𝑥]5 +∞ = 3 × 5 − 3 × 2 + lim 𝑥→+∞ 1 −2𝑒−2𝑥 − 1 −2𝑒−2×5= 9 + 0 + 1 2𝑒−10= 9 + 1 2𝑒−10 Soit ℎ définie de la manière suivante

ℎ(𝑥) = { −1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥2 _{𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 𝑒−𝑥₊ 1 (𝑥 + 2)2 𝑠𝑖 𝑥 > 1 alors ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −3 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 0 −3 + ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 1 0 + ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 1 = ∫ −1 𝑑𝑥0 −3 + ∫ 𝑥1 2_𝑑𝑥 0 + ∫ 𝑒−𝑥₊ 1 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 +∞ 1 = ∫ −1 𝑑𝑥0 −3 + ∫ 𝑥1 2_𝑑𝑥 0 + ∫ 𝑒−𝑥_{− (−} 1 (𝑥 + 2)2 ) 𝑑𝑥 +∞ 1 = [−𝑥]₋₃0 _{+ [}𝑥3 3]₀ 1 + [−𝑒−𝑥₋ 1 𝑥 + 2]₁ +∞ = −0 − (−(−3)) +13 3 − 03 3 + lim𝑥→+∞(−𝑒 −𝑥₋ 1 𝑥 + 2) − (−𝑒−1− 1 1 + 2) = −3 +1 3+ (−0 − 0) + 𝑒−1+ 1 3= − 7 3+ 𝑒−1 Remarque :

Même si dans les exemples précédents, on a trouvé facilement des primitives, ce n’est pas toujours le cas. Par exemple, on ne connaît pas d’écriture algébrique d’une primitive de

𝑥 ↦ 1 √2𝜋𝑒

−𝑥₂2

Les ordinateurs ne savent calculer que des valeurs approchées de

∫ 1

√2𝜋𝑒

−𝑥₂2_𝑑𝑥 𝑡

−∞

grâce à certains algorithmes. Vous utiliserez ces valeurs approchées en probabilités, elles seront présentées sous la forme d’un tableau appelé table de la loi normale.

Parfois un changement d’écriture permettra de calculer des primitives Exemple : Pour calculer ∫ 3 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)𝑑𝑥 1 0 on pourra écrire 3 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 𝐴 𝑥 + 3+ 𝐵 𝑥 + 2 (∗) où 𝐴 et 𝐵 sont deux nombres à déterminer.

Cette technique s’appelle la décomposition en éléments simples.

Pour déterminer 𝐴 et 𝐵, on pourrait choisir deux valeurs de 𝑥 au hasard (mais différentes de −3 et −2), puis résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Mais la méthode suivante est bien plus rapide :

On peut multiplier de part et d’autre de l’égalité (∗) par 𝑥 + 3 pour trouver 3(𝑥 + 3) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)= 𝐴(𝑥 + 3) 𝑥 + 3 + 𝐵(𝑥 + 3) 𝑥 + 2 c’est à dire, après simplification

3

(𝑥 + 2)= 𝐴 +

𝐵(𝑥 + 3) 𝑥 + 2 puis choisir la valeur 𝑥 = −3 pour trouver 𝐴

3 (−3 + 2)= 𝐴 + 𝐵(−3 + 3) −3 + 2 3 −1 = 𝐴 + 0 −3 = 𝐴

Puis reprendre l’égalité (∗), la multiplier de part et d’autre par 𝑥 + 2 pour trouver 3(𝑥 + 2) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)= 𝐴(𝑥 + 2) 𝑥 + 3 + 𝐵(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 c’est à dire, après simplification

3 (𝑥 + 3)=

𝐴(𝑥 + 2) 𝑥 + 3 + 𝐵 puis choisir la valeur 𝑥 = −2 pour trouver 𝐵

3 (−2 + 3)= 𝐴(−2 + 2) −2 + 3 + 𝐵 3 1= 0 + 𝐵 3 = 𝐵 Ainsi (∗) s’écrit maintenant

3 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)= −3 𝑥 + 3+ 3 𝑥 + 2 et

∫ 3 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)𝑑𝑥 1 0 = ∫ −3 𝑥 + 3+ 3 𝑥 + 2𝑑𝑥 1 0 = ∫ −3 × 1 𝑥 + 3+ 3 × 1 𝑥 + 2𝑑𝑥 1 0 = [−3 ln(𝑥 + 3) + 3 ln(𝑥 + 2)]01 = −3 ln(1 + 3) + 3 ln(1 + 2) − (−3 ln(0 + 3) + 3 ln(0 + 2)) = −3 ln(4) + 3 ln(3) + 3 ln(3) − 3 ln(2) = 3(− ln(4) + ln(3) + ln(3) − ln(2)) = 3 ln (3 × 3 2 × 4) = 3 ln ( 9 8) Exercices corrigés :

a) Trouver 𝐴 et 𝐵 tels que _{(2𝑥+1)(𝑥+4)}−2 =_2𝑥+1𝐴 +_𝑥+4𝐵 b) En déduire ∫₀1_{(2𝑥+1)(𝑥+4)}−2 𝑑𝑥 Notons (∗∗) l’égalité −2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)= 𝐴 2𝑥 + 1+ 𝐵 𝑥 + 4 On peut multiplier de part et d’autre de (∗∗) par 2𝑥 + 1 pour trouver

−2(2𝑥 + 1) (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)= 𝐴(2𝑥 + 1) 2𝑥 + 1 + 𝐵(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4 c’est à dire, après simplification

−2

𝑥 + 4= 𝐴 +

𝐵(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4

puis choisir la valeur qui annule 2𝑥 + 1, c’est à dire telle que 2𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 = −1₂ = −0,5 pour trouver 𝐴 −2 −0,5 + 4 = 𝐴 + 𝐵(2 × (−0,5) + 1) (−0,5) + 4 −2 3,5= 𝐴 + 0 −4 7= 𝐴

Puis reprendre l’égalité (∗∗), la multiplier de part et d’autre par 𝑥 + 4 pour trouver −2(𝑥 + 4) (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)= 𝐴(𝑥 + 4) 2𝑥 + 1 + 𝐵(𝑥 + 4) 𝑥 + 4 c’est à dire, après simplification

−2 2𝑥 + 1=

𝐴(𝑥 + 4) 2𝑥 + 1 + 𝐵

puis choisir la valeur qui annule 𝑥 + 4, c’est à dire, telle que 𝑥 + 4 = 0 ⇔ 𝑥 = −4 pour trouver 𝐵 −2 2 × (−4) + 1= 𝐴(−4 + 4) 2 × (−4) + 1+ 𝐵 −2 −7= 0 + 𝐵 2 7= 𝐵 Ainsi (∗∗) s’écrit maintenant

−2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)=2𝑥 + 1− 47 + 2 7 𝑥 + 4 ou bien

−2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)= − 4 7× 1 2𝑥 + 1+ 2 7× 1 𝑥 + 4 Pour calculer ∫₀1_{(2𝑥+1)(𝑥+4)}−2 𝑑𝑥, on se sert du résultat précédent :

∫ −2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)𝑑𝑥 1 0 = ∫ −4 7× 1 2𝑥 + 1+ 2 7× 1 𝑥 + 4𝑑𝑥 1 0 = ∫ −2 7× 2 2𝑥 + 1+ 2 7× 1 𝑥 + 4𝑑𝑥 1 0 = [−2 7× ln(2𝑥 + 1) + 2 7× ln(𝑥 + 4)]₀ 1 = −2 7× ln(2 × 1 + 1) + 2 7× ln(1 + 4) − (− 2 7× ln(2 × 0 + 1) + 2 7× ln(0 + 4)) = 2 7(− ln(3) + ln(5) + ln(1) − ln(4)) = 2 7ln ( 5 × 1 3 × 4) = 2 7ln ( 5 12)

c) Trouver 𝐴 et 𝐵 tels que _{(2𝑥+3)(3𝑥+1)}−5 =_2𝑥+3𝐴 +_3𝑥+1𝐵 d) En déduire ∫₀1_{(2𝑥+3)(3𝑥+1)}−5 𝑑𝑥 Notons (∗∗∗) l’égalité −5 (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)= 𝐴 2𝑥 + 3+ 𝐵 3𝑥 + 1 On peut multiplier de part et d’autre de (∗∗∗) par 2𝑥 + 3 pour trouver

−5(2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)= 𝐴(2𝑥 + 3) 2𝑥 + 3 + 𝐵(2𝑥 + 3) 3𝑥 + 1 c’est à dire, après simplification

−5

3𝑥 + 1= 𝐴 +

𝐵(2𝑥 + 3) 3𝑥 + 1

puis choisir la valeur qui annule 2𝑥 + 3, c’est à dire telle que 2𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = −3₂ = −1,5 pour trouver 𝐴 −5 3 × (−1,5) + 1= 𝐴 + 𝐵(2 × (−1,5) + 3) 3 × (−1,5) + 1 −5 −3,5= 𝐴 + 0 10 7 = 𝐴

Puis reprendre l’égalité (∗∗∗), la multiplier de part et d’autre par 3𝑥 + 1 pour trouver −5(3𝑥 + 1) (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)= 𝐴(3𝑥 + 1) 2𝑥 + 3 + 𝐵(3𝑥 + 1) 3𝑥 + 1 c’est à dire, après simplification

−5 2𝑥 + 3=

𝐴(3𝑥 + 1) 2𝑥 + 3 + 𝐵

puis choisir la valeur qui annule 3𝑥 + 1, c’est à dire telle que 3𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 = −1₃ pour trouver 𝐵 −5 2 × (− 13) + 3= 𝐴 (3 × (− 13) + 1) 2 × (− 13) + 3 + 𝐵 −5 7 3 = 0 + 𝐵

−15

7 = −5 × 3 7= 𝐵 Ainsi (∗∗∗) s’écrit maintenant

−5 (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)= 10 7 2𝑥 + 3 + − 15₇ 3𝑥 + 1 ou bien −5 (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)= 10 7 × 1 2𝑥 + 3− 15 7 × 1 3𝑥 + 1 Pour calculer ∫₀1_{(2𝑥+3)(3𝑥+1)}−5 𝑑𝑥, on se sert du résultat précédent :

∫ −5 (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 1)𝑑𝑥 1 0 = ∫ 10 7 × 1 2𝑥 + 3− 15 7 × 1 3𝑥 + 1𝑑𝑥 1 0 = ∫ 5 7× 2 2𝑥 + 3− 5 7× 3 3𝑥 + 1𝑑𝑥 1 0 = [5 7× ln(2𝑥 + 3) − 5 7× ln(3𝑥 + 1)]₀ 1 =5 7ln(2 × 1 + 3) − 5 7ln(3 × 1 + 1) − ( 5 7ln(2 × 0 + 3) − 5 7ln(3 × 0 + 1)) =5 7ln(5) − 5 7ln(4) − 5 7ln(3) + 5 7ln(1) = 5 7(ln(5) − ln(4) − ln(3) + ln(1)) =5 7ln ( 5 × 1 4 × 3) = 5 7ln ( 5 12)

e) Trouver 𝐴 et 𝐵 tels que _{(−5𝑥+1)(3𝑥−2)}4 = _−5𝑥+1𝐴 +_3𝑥−2𝐵 f) En déduire ∫₁2_{(−5𝑥+1)(3𝑥−2)}4 𝑑𝑥 Notons (𝑒) l’égalité 4 (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 𝐴 −5𝑥 + 1+ 𝐵 3𝑥 − 2 On peut multiplier de part et d’autre de (𝑒) par −5𝑥 + 1 pour trouver

4(−5𝑥 + 1) (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)= 𝐴(−5𝑥 + 1) −5𝑥 + 1 + 𝐵(−5𝑥 + 1) 3𝑥 − 2 c’est à dire, après simplification

4

(3𝑥 − 2)= 𝐴 +

𝐵(−5𝑥 + 1) 3𝑥 − 2

puis choisir la valeur qui annule −5𝑥 + 1, c’est à dire telle que −5𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 =−1₋₅= 0,2 pour trouver 𝐴 4 (3 × 0,2 − 2)= 𝐴 + 𝐵(−5 × 0,2 + 1) (3 × 0,2 − 2) 4 −1,4= 𝐴 + 0 −20 7 = 𝐴

Puis reprendre l’égalité (𝑒), la multiplier de part et d’autre par 3𝑥 − 2 pour trouver 4(3𝑥 − 2) (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)= 𝐴(3𝑥 − 2) −5𝑥 + 1 + 𝐵(3𝑥 − 2) 3𝑥 − 2 c’est à dire, après simplification

4 −5𝑥 + 1=

𝐴(3𝑥 − 2) −5𝑥 + 1 + 𝐵

puis choisir la valeur qui annule 3𝑥 − 2, c’est à dire telle que 3𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 =2₃ pour trouver 𝐵 4 −5 × 23 + 1= 𝐴 (3 × 23 − 2) −5 × 23 + 1 + 𝐵 4 −7 3 = 0 + 𝐵 −12 7 = 4 × 3 −7= 𝐵 Ainsi (𝑒) s’écrit maintenant

4 (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = − 20₇ −5𝑥 + 1+ − 12₇ 3𝑥 − 2 ou bien 4 (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)= − 20 7 × 1 −5𝑥 + 1− 12 7 × 1 3𝑥 − 2 Pour calculer ∫₁2_{(−5𝑥+1)(3𝑥−2)}4 𝑑𝑥, on se sert du résultat précédent :

∫ 4 (−5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 2 1 = ∫ −20 7 × 1 −5𝑥 + 1− 12 7 × 1 3𝑥 − 2𝑑𝑥 2 1 = ∫ 4 7× −5 −5𝑥 + 1− 4 7× 3 3𝑥 − 2𝑑𝑥 2 1 = ∫ 4 7× 5 5𝑥 − 1− 4 7× 3 3𝑥 − 2𝑑𝑥 2 1 = [4 7× ln(5𝑥 − 1) − 4 7× ln(3𝑥 − 2)]₁ 2 =4 7ln(5 × 2 − 1) − 4 7ln(3 × 2 − 2) − ( 4 7ln(5 × 1 − 1) − 4 7ln(3 × 1 − 2)) =4 7(ln(9) − ln(4) − ln(4) + ln(1)) = 4 7ln ( 9 × 1 4 × 4) = 4 7ln ( 9 16)

5) Intégration par parties

Chercher une primitive d’un produit de deux fonctions n’est pas aisé car la dérivée d’un produit de fonctions n’est pas égale au produit des dérivées.

Autrement dit,

(𝑢𝑣)′_{(𝑥) ≠ 𝑢}′_{(𝑥)𝑣′(𝑥)}

Mais

(𝑢𝑣)′_{(𝑥) = 𝑢}′_{(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)}

donc on va pouvoir se servir de cette formule pour trouver parfois la primitive d’un produit : ∫(𝑢𝑣)′_{(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢}′_{(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣}′_{(𝑥)𝑑𝑥}

donc

[(𝑢𝑣)(𝑥)] = ∫ 𝑢′_{(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑢(𝑥)𝑣}′_{(𝑥)𝑑𝑥}

donc

[(𝑢𝑣)(𝑥)] − ∫ 𝑢′_{(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢(𝑥)𝑣}′_{(𝑥)𝑑𝑥}

∫ 𝑢(𝑥)𝑣′_{(𝑥)𝑑𝑥 = [(𝑢𝑣)(𝑥)] − ∫ 𝑢}′_{(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥}

Parfois, la primitive de 𝑢′_{(𝑥)𝑣(𝑥) sera plus facile à trouver que la primitive de 𝑢(𝑥)𝑣}′_{(𝑥), en}

particulier si 𝑢 est une fonction affine. D’où l’énoncé suivant :

Si 𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions dérivables et à dérivées continues sur un intervalle [𝑎, 𝑏] (avec −∞ < 𝑎 ≤ 𝑏 < +∞) alors ∫ 𝑢(𝑥)𝑣𝑏 ′_{(𝑥)𝑑𝑥} 𝑎 = [(𝑢𝑣)(𝑥)]_𝑎𝑏_{− ∫ 𝑢}𝑏 ′_{(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥} 𝑎 Exemples : ∫ (𝑥 + 3)𝑒1 𝑥_𝑑𝑥 0 = [(𝑥 + 3)𝑒𝑥_] 0 1_{− ∫ 1 × 𝑒}1 𝑥_𝑑𝑥 0 = (1 + 3)𝑒1_{− (0 + 3)𝑒}0_{− [𝑒}𝑥_] 0 1 = 4𝑒 − 3 − (𝑒1_{− 𝑒}0_{) = 4𝑒 − 3 − 𝑒 + 1 = 3𝑒 − 2} ∫ 𝑥𝑒1 2𝑥_𝑑𝑥 0 = [𝑥 ×1 2𝑒2𝑥]₀ 1 − ∫ 1 ×1 2𝑒2𝑥𝑑𝑥 1 0 = 1 ×1 2𝑒2×1− 0 × 1 2𝑒2×0− [ 1 2× 1 2𝑒2𝑥]₀ 1 =1 2𝑒2− 0 − ( 1 4𝑒2×1− 1 4𝑒2×0) = 1 2𝑒2− 1 4𝑒2+ 1 4= 1 4𝑒2+ 1 4 Exercice corrigé :

Calculer à l’aide d’une intégration par parties ∫ (2𝑥 + 1)𝑒1 3𝑥_𝑑𝑥 0 ; ∫ 𝑒3 2𝑥_{(−3𝑥 − 1)𝑑𝑥} 0 ; ∫ 𝑒1 −5𝑥_{(𝑥 − 1)𝑑𝑥} −1

et à l’aide d’une double intégration par parties

∫ (3𝑥2 2_{− 𝑥 + 2)𝑒}−𝑥_𝑑𝑥 0 Correction : ∫ (2𝑥 + 1)𝑒1 3𝑥_𝑑𝑥 0 = [(2𝑥 + 1)1 3𝑒3𝑥]0 1 − ∫ 2 ×1 3𝑒3𝑥𝑑𝑥 1 0 = (2 × 1 + 1)1 3𝑒3×1− (2 × 0 + 1) 1 3𝑒3×0− [ 2 3× 1 3𝑒3𝑥]₀ 1 = 𝑒3₋1 3− ( 2 9𝑒3− 2 9𝑒0) =7 9𝑒3− 1 9 ∫ 𝑒3 2𝑥_{(−3𝑥 − 1)𝑑𝑥} 0 = ∫ (−3𝑥 − 1)𝑒3 2𝑥_𝑑𝑥 0 = [(−3𝑥 − 1)1 2𝑒2𝑥]₀ 3 − ∫ −3 ×1 2𝑒2𝑥𝑑𝑥 3 0 = (−3 × 3 − 1)1 2𝑒2×3− (−3 × 0 − 1) 1 2𝑒2×0+ [ 3 2× 1 2𝑒2𝑥]0 3 = −5𝑒6₊1 2+ 3 4𝑒2×3− 3 4𝑒2×0= −4,25𝑒6− 0,25 ∫ 𝑒1 −5𝑥_{(𝑥 − 1)𝑑𝑥} −1 = ∫ (𝑥 − 1)𝑒1 −5𝑥_𝑑𝑥 −1 = [(𝑥 − 1) 1 −5𝑒−5𝑥]−1 1 − ∫ 1 −5𝑒−5𝑥𝑑𝑥 1 −1 = (1 − 1) 1 −5𝑒−5×1− (−1 − 1) 1 −5𝑒−5×(−1)+ [ 1 5× 1 −5𝑒−5𝑥]−1 1 = 2 −5𝑒5− 1 25𝑒−5+ 1 25𝑒5 = −9 25𝑒5− 1 25𝑒−5

∫ (3𝑥2 2_{− 𝑥 + 2)𝑒}−𝑥_𝑑𝑥 0 = [(3𝑥2_{− 𝑥 + 2)(−𝑒}−𝑥_)] 0 2_{− ∫ (6𝑥 − 1)(−𝑒}2 −𝑥_)𝑑𝑥 0 = (3 × 22_{− 2 + 2)(−𝑒}−2_{) − (3 × 0}2_{− 0 + 2)(−𝑒}−0₎ − ([(6𝑥 − 1)(−(−𝑒−𝑥_))] 0 2 − ∫ 6(−(−𝑒2 −𝑥_))𝑑𝑥 0 ) = −12𝑒−2_{+ 2 − ((6 × 2 − 1)𝑒}−2_{− (6 × 0 − 1)𝑒}−0_{− [6(−𝑒}−𝑥_)] 0 2₎ = −12𝑒−2_{+ 2 − 11𝑒}−2_{− 1 − 6𝑒}−2_{+ 6𝑒}−0 _{= −29𝑒}−2_{+ 7}