Mélange et circulation océanique : une approche par la physique statistique.

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Mélange et circulation océanique : une approche par la

physique statistique.

Antoine Venaille

To cite this version:

Antoine Venaille.

Mélange et circulation océanique : une approche par la physique statistique..

Physique [physics]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2008. Français. �tel-00347063�

Laboratoiredes É oulementsGéophysiques etIndustriels

Thèse

En vue d'obtenir le grade de

Do teur de l'Universtié de Grenoble 1  Joseph Fourier

Spé ialité :Géophysique

Au titre de l'é ole do torale Terre-Univers-Environnement

Présentée et soutenue publiquement le 1er dé embre 2008

par Antoine Venaille

Mélange et ir ulation o éanique : une

appro he par la physique statistique

Dire teurs de thèse : Freddy Bou het

Joël Sommeria

Après avis de : Xavier Carton

Alain Pumir

Devant la ommission d'examenformée de :

Freddy Bou het (membre/dire teur)

Xavier Carton (membre/rapporteur)

Henk Dijkstra (membre)

Bernard Legras (membre/président)

Alain Pumir (membre/rapporteur)

Joël Sommeria (membre/dire teur)

(pénible) tâ he d'être rapporteur de ette thèse,ainsi que Bernard Legras,

HenkDijkstraetHugoTou hettepour l'intérêtqu'ilsontportéà e travail.

Jene sauraisassezremer ier mesdeux dire teursde thèse,Freddy

Bou- het et Joel Sommeria, pour leur en adrement et leur soutien pendant es

trois années. Tout d'abord, ils m'ont proposé un sujet de thèse

parti uliè-rement stimulant.Ensuite, lesrésultats exposés dans e manus rit doivent

tout àl'a uitéetaure uldu regardqu'ilsportentsur lesphénomènes

phy-siques (et sur nos pratiques de physi iens). Sur le plan personnel, leurs

en ouragements,leur onan e et nos fréquentes dis ussions ont été

essen-tiels. Maissurtout, j'espère avoir étéà lahauteur de leur engagementdans

ette thèse en ayant appris àleur onta t à ne pas me satisfaire de  e qui

est bien onnu.

Des ours sur lessolitons (àl'ENS Lyon) aux onféren es sur lalongue

portée (àl'E ole d'été des Hou hes),le travailde Thierry Dauxoisa

ontri-bué de manière non négligeable à ma formation -outre l'immense plaisir

quej'ai toujours à leren ontrer. Je luidois de m'êtretourné vers les

é ou-lements géophysiques lorsde mon année de DEA : e sont ses onseils qui

ont déterminé le hoix de mon sujet de thèse.

Une grande partie des résultats théoriques présentés dans ette thèse

doivent beau oup aux al uls numériques réalisés ave ou par Eri

Simon-net, même s'ils n'apparaissent pas expli itement dans le manus rit. Je le

remer ie pour son aide etsa patien e, ainsi quepour toutes lesdis ussions

que nous avons eues.

Je remer ie Julien Le Sommer pour le temps qu'il a onsa ré à toutes

mesinterrogationssurlesmodèlesnumériquesd'o éans,etpourson a ueil

dans l'équipe MEOM. C'est de nos dis ussions qu'est né mon intérêt pour

lesappro hes réalistes.

Il m'est agréable de remer ier les divers membres de l'équipe Coriolis.

J'aibéni iédes onseilsdeChantalStaquet,A himWirthetJan-BertFlor,

quim'ontindiquédes référen es bibliographiquestoujours trèspertinentes.

Enn,l'enthousiasmede LouisGostiauxpourl'o éanographie

observation-nelle a été très ommuni atif. Je tiens à exprimer toute ma gratitude à

HenriDidelleetSamuelViboud;lesremer ierpour lapartieexpérimentale

de la thèse serait oublierles aides de toute sorte qu'ilsont pu m'apporter.

J'aibéné iéd'é hangesparti ulièrementri hesetimportantsave

Pierre-HenriChavanisetEmmanuelVillermeaux.Jeleuradressetousmessin ères

taillée de l'arti le sur la thermodynamique des é oulements 2D, dans la

suite de nos dis ussions sur l'inéquivalen e d'ensemble aux Hou hes. Une

autre le ture de e même arti le par Marianne Corvelle en a grandement

améliorél'anglais.

J'adresse mesremer iementsàJulienBarréetHugoTou hette,dontles

thèsesont été pour moiun modèlede larté etde pédagogie.

Je remer ie également Amélie Gagnaire etPhilippe Kramerqui ont

ef-fe tué leurs stages de Li en e sur les problèmes de mélange.Une partiedu

hapitre sur lemélange d'un tra eurpassifs'appuie sur leur travail.

Et je tiens enn à remer ier Sylvie Champavier à Grenoble, Nathalie

Hamel et Isabelle Potier à Ni e, ainsi que le personnel de la reprographie

du LEGI pour le volet administratifde ette thèse.

Les dis ussions ave Damien Sous sur l'o éanographie tière (et bien

plus) m'ont toujours passionné. Je le remer ie pour ses en ouragements et

onseils.Mer iaussiàPierreRe ouvreux,SebastienKawka,LionelJimenez,

Mattia Romani,Karim Bouadim, Laurent Beaudou,Damien Pous, et tout

eux qui m'ont a ompagné durant es trois années.

Enn,de SintraàAssise,de Swann àIgna io,nousavons dé ouvert des

possiblesetdes mondesquivontbien au-delàd'untravailde fourmiréalisé

pendant estroisannéesdethèse.Commentnepasremer ier ellequim'est

Table des matières iii

Nomen lature vi

Introdu tion générale 1

I Mé anique statistique d'é oulements o éaniques 15

1 Introdu tion 17

1.1 Modèles quasi-géostrophiques . . . 18

1.2 Études antérieures des modèles d'o éans QG . . . 28

1.3 Mé aniquestatistique des é oulementsquasi-géostrophiques 33

1.4 Motivationsetméthodepour l'étudedesjetsinertielsdirigés

vers l'est . . . 40

2 Jets intenses dirigés vers l'est dans un domaine fermé 45

2.1 Jets intenses pour un modèle équivalentbarotrope . . . 45

2.2 Équilibresstatistiques pour un modèle àdeux ou hes. . . . 54

2.3 Con lusionet perspe tives . . . 68

2.A Annexe : al uldes perturbations du jet . . . 70

2.B Annexe : l'algorithmede Turkingtonet Whitaker . . . 74

3.1 Classi al riteriafor stability, with anextension . . . 78

3.2 Appli ation: linear stabilityof an eastward jet ina hannel 92

3.3 Propagation of a PV front . . . 99

3.4 Con lusion . . . 108

3.A Annex : diagonalizationof

δ

2

_H

C

with the linear onstraint . 111

3.B Annex : asymptoti expansion of the stationarysolution . . 112

3.C Annex : omputationof the (generalized) eigenvaluesof

H

k

. 114 3.D Annex : linearized evolution of the PV front . . . 116

4 Inéquivalen ed'ensembleettransitionsdephasesdans les

é oulements bidimensionnels 117

4.1 Thermodynamique des systèmes à intera tion à longueportée118

4.2 Résultats antérieurset obje tifs . . . 128

4.3 Thermodynami s of two-dimensional and Fofonoows . . . 130

4.4 Con lusion . . . 164

II Appro he phénoménologique du mélange 165

5 Introdu tion 167

5.1 Résultats expérimentaux antérieurs . . . 168

5.2 Appro hes phénoménologiques du mélangeen uidestratié 172

5.3 Obje tifset méthode . . . 177

6 Lemélangeturbulent ommeunpro essusd'auto- onvolution179

6.1 Modèles . . . 180

6.2 Tests des modèles . . . 192

7 Uneappro he statistiquedu mélangedans lesuides

stra-tiés 203

7.1 Prols d'équilibre statistiquepour ladensité du uide . . . . 204

7.2 Equations de relaxation . . . 209

7.3 Ajout d'un terme de dissipation des u tuationsde laPDF . 214

7.4 Perspe tive :fermeturedu système ave une équation

d'évo-lution pour l'énergie inétique . . . 219

Nomen lature

Abréviations

QG quasi-géostrophique

PDF distribution de probabilité

PV vorti ité potentielle

RSM Robert-Sommeria-Miller(théoriestatistique)

Symboles, partie I

x

oordonnée spatiale dirigéevers l'est

y

oordonnées spatiale dirigéevers le nord

z

oordonnée spatiale dirigéevers lehaut

q(x, y, t)

hamp mi ros opique de PV

σ

niveau de PV

ρ(x, y, σ)

PDF de mesurer le niveau

σ

p(x, y)

idem pour un système àdeux niveaux

q(x, y)

hamp ma ros opique de PV

ψ(x, y)

fon tion ourant

h(x, y)

topographie

β

c

paramètre du plan bêta (variationde lafor e Coriolis)

R

rayonde déformationde Rossby

Γ

et

C[q]

ir ulation

E

et

E[q]

énergie

β

ou

C/R

2

paramètre de Lagrange asso ié à l'énergie

γ

paramètre de Lagrange asso ié à la ir ulation

x, y

oordonnées horizontales

z

oordonnée verti ale, dirigéevers le haut

σ

on entration en tra eur( olorant oudensité réduite)

ρ(z, σ, t)

PDF de mesurer leniveau

σ

p(z, t)

idem pour un système à deux niveaux

σ(z)

prol moyen de densitéréduite

e

énergie inétiqueturbulente

l

é helle ara téristiquede l'é oulement

La paramétrisation et la ompréhension de l'eet des petites é helles 

non résolues par les modèles numériques  sur les grandes é helles de la

ir ulation o éanique est un problème important, tant d'un point de vue

pratique que théorique.

D'une part,l'énergiedesu tuations de vitessepeut êtretransféréevers

lesgrandes é helles(horizontales)dela ir ulationo éanique,ets'organiser

en stru tures ohérentes. Dans e adre, nous nous demanderonsd'abord si

des modèles simples d'o éans peuvent rendre ompte de ette organisation

à grande é helle. D'autre part, la strati ation verti ale globale des o éans

dépend d'événements de mélanges lo aux, que nous tenterons de modéliser

en nous appuyant sur une appro he phénoménologique.

Dans lesdeux as,lenombrededegrés deliberté esttrès élevé. La

stru -ture ne de es é oulements ne peut être prédite en détail. Cela in ite à

étudier es deux problèmes par une appro he statistique.

De manièregénérale, l'étude des é oulements o éaniques peut être

abor-dée par : i) les observations, in situ ou par satellites, ii) les modèles

nu-mériquesréalistes de ir ulationgénérale,iii)lesidéalisations

expérimen-tales, théoriquesou numériques de pro essus physiques iblés,pris

indépen-damment des autres mé anismes. C'est e dernier point de vue que nous

avons hoisi d'adopter. Dans e adre, un petit nombre de paramètres est

isolé.Les modèles étudiésdonnentalors une imagetrès simpliée dela

réa-lité.Dans ertains as,des ingrédientsessentiels deladynamiqueo éanique

sontdélibérémentomis. Mais ettesimpli ationest requise sinousvoulons

Fig.0.1: Cartedes ourantso éaniquesdesurfa e[1℄

L'organisation des ourants o éaniques en stru tures

ohérentes à grande é helle

Lefait qu'ilsoitpossiblede tra er des artesde ourants o éaniquesde

surfa eimpliqueque esé oulementssontorganisésenstru tures ohérentes

àgrande é helle (voirgure 0.1). Malgré une importantevariabilité 1

, ette

organisation est robuste sur des é helles temporelles supérieures à la

en-tained'années. Ondispose par exemplede artesdu Gulf Streamdessinées

par Franklin au XVIIIe siè le. Aux moyennes latitudes, une parti ularité

remarquable de ette organisationest l'existen e de jets intenses

( 'est-à-direlo aliséset forts) de milieude bassin dirigésvers l'est: 'est

le as du Gulf Stream, du Kuroshio, et du ourant antar tique

ir umpo-laire.

PrenonsparexempleleGulfStream,dansl'Atlantiquenord(voirgure

0.2), oule Kuroshio, dans le Pa ique nord. Ce sont des ourants onnés

dans la partie supérieure des o éans, sur une profondeur

H

∼ 1000 m

. Ils sont ara térisésparune longueur

L

∼ 2000 km

,unelargeur

R

∼ 50km

,et des vitesses de l'ordrede

U

∼ 1 m.s

−1

.

1

L'énergie des ourantsmoyens est inférieureàl'énergie desu tuationsautour de

a)

INERTIAL

SVERDRUP

b)

~1000 km

Fig.0.2:a) Champdetempératuredesurfa e( onsidéréi i ommeétantreprésentatif

del'é oulement)dansl'Atlantiquenord,visualiséparimageriesatellite[2℄.Ondistingue

lairement un jet dirigé vers l'est (le Gulf Stream), et une forte variabilité autour de

ejet(lamentations,méandreset anneaux).b)lignesde ourantmoyennéesurunan,

pourunmodèlenumériquede omplexitéintermédiaire [3℄.Ondistinguedeuxrégions

(imbriquées):b-i)lesgyressubtropi aleset subpolaires,oùl'équilibre deSverdrupest

bien vériéb-ii)une zoneinertielle, ara tériséeun ourantfortdirigéversl'est.Dans

Estimons le débit de es ourants :

D = UHR

∼ 50 Sv

. Nous onsidé-ronsi ileSverdrup ommeunité demesuredesdébits:

1 Sv = 10

6

_m

3

_.s

−1

.

Pour omparaison, l'ensemble des rivières et euves du monde se jetant

dans l'o éan a un débit de

1Sv

. On voit que le débit de es jets vers

l'est est très élevé. Ces stru tures jouentde fait un rle important dans

la ir ulation o éanique globale, et dans les pro essus d'intera tion ave

l'atmosphère.

Ces é oulements sont turbulents : si l'on onsidère que la

dis-tan e ara téristiquede es é oulements est donnée par la largeur du Gulf

Stream (et du Kuroshio)

∼ 50km

, on obtient un nombre de Reynolds

Re = RU/ν

∼ 10

10

. L'observation de la dynamique ne de es

é oule-ments révèle toute une variété de stru tures inertielles (i.e. ne dépendant

pas du forçage et de la dissipation) : on distingue sur la gure 0.2-a) la

réationde laments à petite é helle, la formationde méandres autourdu

jet, etd'anneaux d'environ

200 km

de diamètre. Les é helles de temps a-ra téristiques de es stru tures sont de l'ordrede lasemaineou du mois.

Onreprésentegure0.2-bles ourantsdesurfa edansl'Atlantiquenord,

moyennés sur un an, obtenus par des simulationsnumériques d'un modèle

d'o éan quasi-géostrophique à trois ou hes, for é par les vents en surfa e.

Nous reviendrons ultérieurement sur la signi ation de es modèles. On

distingue lairement une zone inertielle où le Gulf Stream se déta he du

bord ouest, sous la forme d'un jet intense dirigé vers l'est ( adre en tirets

intitulé Inertial).

Departetd'autredu GulfStream(etdu Kuroshio),ilexiste degrandes

stru turesde ir ulationreferméessurelles-mêmes:legyresubtropi al(un

monopole anti y lonique) et le gyre subpolaire (un monopole y lonique).

Ces gyres ont des extensions horizontales de l'ordrede

∼ 5000 km

, etsont fortement asymétriques ( adre en tirets intitulé Sverdrup). Prenons par

exemple le gyre subtropi al : les vitesses sont faibles (

∼ 1 cms

−1

),

prin- ipalement dirigées vers le sud, sauf le long du bord ouest de l'o éan, où

a lieula majeure partie de la re ir ulation vers le nord sous la forme d'un

ourantintense.Demême,legyresubpolaireest ara térisépardes vitesses

dirigéesverslenord,sauflelongdu bordouestoùsetrouveunfort ourant

de re ir ulationdirigé vers le sud.

L'existen e des gyres est bien expliquée par les appro hes  lassiques

En revan he, lapartie inertielledu ourant ne peut être dé ritedans le

adrede es appro hes,quinégligentlestermesnon-linéairesdes équations

dumouvement,etquineprennentdon pas en omptelanatureturbulente

des o éans.

C'est pré isément ette partie inertielledes ourants qui nous

intéressera dans la première partie de ette thèse : nous

néglige-ronsl'eetduforçageetdeladissipation.Lamotivationprin ipale

de ette appro he est la des ription des jets intenses dirigés vers

l'est, et de la dynamique qui leur est asso iée.

Pré isons que les ourants o éaniques de surfa e, i.e. d'épaisseur

H

_{∼ 1000m}

,sont quasi-horizontaux. Lesvitesses ara téristiques verti- alesde es ourants

w

∼ 1.10

−3

_m.s

−1

sontbienplus faiblesquelesvitesses

horizontalesdes stru turesquenousvenonsdeprésenter. Celaest dûà

plu-sieurs eets :

1. La strati ation stable qui limite les mouvements verti aux et

onne l'é oulementen ou hes horizontales.On représentegure0.3

un prol verti al de densité, ara téristique de la partie supérieure

des o éans, issu d'observations in situ, et un s héma de la stru ture

verti ale des o éans gure0.4.

2. Le faiblerapportd'aspe tentreleslongueurs ara téristiques

ver-ti ales et horizontales des ourants. Par exemple, on distingue gure

0.4la ou he mélange(entre

10

et

300 m

),lathermo line(quidésigne une variation de la densité due à une diminution de la température,

autourde

1000 m

),etl'o éanprofond(

∼ 4 km

).Ces longueurssontà omparerave l'extensionlatéraledes ourantsreprésentés gure0.1.

3. La forterotation.Àgrandeé helle lesé oulementso éaniquessont

dominésparlafor edeCoriolis,quiest ompenséeparungradient

ho-rizontaldepression(équilibregéostrophique).Ce itendà orréler

ver-ti alement les mouvements des diérentes ou hes (eet

Proudman-Taylor).

Enn,lenombrede degrésdelibertéde esé oulementsesttrès

élevé:lerapportentre lesplusgrandesé hellesde l'é oulement

∼ 1000km

etlesé helles de dissipationvisqueuse oude diusivité molé ulaire

∼ 1mm

est de l'ordre de

10

9

taillede ellules élémentaires évoluant par une dynamique inertielle quasi

bidimensionnelle,on obtient un nombre de degré de liberté

∼ 10

18

.

L'existen e destru tures ohérentesà grandeé helle(i.e. lapartie

inertielledes jetsdirigésvers l'est),de ertainespropriétés de mélange

onféréesparlaturbulen e,etd'ungrand nombrede degrésde liberté,

in ite à étudier es problèmes du point de vue de la physique

statis-tique.

Une appro he par la mé anique statistique

D'après e quipré ède, lesé oulementso éaniquesde surfa esqui nous

intéressent peuvent être onsidérés àl'ordre leplus bas ommeétantquasi

2-D.Orlesé oulements2-Dturbulentsontlapropriétéde s'organiser

spon-tanément en stru tures ohérentes à grandes é helles,tout en réant

des laments de plus en plus ns à petite é helle. Il est dès lors possible

de distinguer un hamp ma ros opique dé rivant le ourant à grande

é helle,d'un hamp mi ros opiquedé rivant la stru ture ne de

l'é ou-lement. Étant donné le nombre élevé de degrés de liberté, ilserait illusoire

de her her à dé rire ladynamique du hamp mi ros opique.

Il existe en revan he une théorie statistique, proposée par Robert et

Sommeria[99℄, et indépendamment par Miller [81℄, qui explique et prédit

l'organisationdesgrandesé helles (i.e, de l'étatma ros opique)d'un

é ou-lement 2-D en stru tures ohérentes. Il s'agit d'une mé anique statistique

du mélangede lavorti ité 2

.

La spé i ité d'une telle appro he est de réduire un problème

initiale-ment ompliqué(ladynamique turbulented'un é oulement)àl'étude d'un

petitnombredeparamètresquigouvernentlastru turedesgrandesé helles

de l'é oulement.

Lepremier hampd'appli ationde esidéesfutl'organisationde

l'atmo-sphère jovienne. En parti ulier, la formede la tâ he rouge de Jupiter [19℄,

etsapositiondansl'hémisphèresud[123℄ontété expliquéesave su èspar

lamé anique statistique d'équilibre.

2

enjeu majeurdans e domaine. CommeleGulf Streamet leKuroshio sont

dominéspar ladynamique inertielle(dans lazone où es ourantssont des

jetsintenses dirigésvers l'est),ilest pertinentde se demanders'ilspeuvent

êtreinterprétés ommedesétatsd'équilibrestatistiquedelathéorie

Robert-Sommeria-Miller.

Uneétapepréalableà etteétudeest de trouverdessolutionsinertielles

qui présentent un jet intense de milieu de bassin dirigé vers l'est.

L'étudede ertaines solutionsstationnairesde modèlessimples inertiels

remonte à Fofono, en 1954, indépendamment du ontexte de la

mé- anique statistique [51℄. Ces solutions ont joué un rle historique dans e

domaine, et sont présentées dans de nombreux livres d'o éanographie[89℄.

Nouslesprésenterons plus en détail au hapitresuivant. Mentionnons

sim-plement que les é oulements dé rits par Fofono sont ara térisés par un

ourantfaibleet dirigévers l'ouestàl'intérieurdu bassino éanique, etdes

jets de re ir ulation dirigés vers l'est le long des frontières nord et sud du

bassin.Lastru turede esé oulementsestdon trèsdiérentedes ourants

inertielsobservés dans l'o éan.

La solution de Fofono est obtenue dans un as parti ulier (limite des

faiblesénergies,pourune relationlinéaireentrevorti itépotentielleet

fon -tion ourant). De manière surprenante, il n'existe à notre

onnais-san epas d'étudeayant her hé àgénéraliser e typede solutions,

notammentpour des relationsnon-linéaires entre la vorti ité potentielle et

lafon tion ourant.

L'obje tif de la première partie de ette thèse sera i) de déterminer

s'il existe des solutions inertielles présentant un jet dirigé vers

l'est ii) d'étudier la stabilité et la dynamique de es solutions iii)

de déterminer si e sont des états d'équilibre statistique.

Intérêt de la mé anique statistique pour paramétrer

l'eet des petites é helles

L'énergie inétique des ourants o éaniques de surfa e est dominée par

lavariabilitéautourdes ourantsmoyens: etteénergieesteneetportée

Fig. 0.3: Coupe verti alede lapartie supérieure de l'o éan pa ique ( ampagne de

mesure spi e), le long du méridien

140W

[47℄. On distingue la ou he supérieure de mélange(

∼ 100m

)audessusdelathermo line,plusstratiée(

1 dbar = 1 m

).Leslignes blan hes droites représentent les isobares à

50

et

200 dbar

. Les lignes noires épaisses sontlesisopy nesà

24.8

et

25.5kg/m

3

.Leslignesblan hesépaissessontdesmesuresde

densitépotentielle( 'est-à-direladensitéramenéeàunehauteurderéféren e)lelongde

esdeuxisopy nes.

variententre

20 km

et

200 km

.

Or ette variabilité ne peut être dé rite dans le adre de la mé anique

statistiqued'équilibre: ettethéoriepréditl'organisationdes é oulements

àgrandeé helle, mais ne donne pas d'indi ationsur la dynamiqueà petite

é helle. L'intérêt de la mé anique statistique d'équilibre des é oulements

2-D réside dès lors plus dans la ompréhension des mé anismes physiques

liésà l'organisationinertiellede es é oulements à grandeé helle que dans

lesparamétrisations qu'elle pourrait suggérer pour des modèles réalistes.

Enrevan he,lesidéesdemé aniquestatistiqueàl'équilibreontinspirées

des modèles phénoménologiques hors équilibre. Par exemple, Robert

et Sommeriaont proposé des équations de relaxation vers l'équilibre pour

lesé oulement2-D [100℄.Ces équationsmaximisentla produ tion

d'entro-pie du système, tout en onservant les ontraintes de la dynamique non

Mixed layer

Depth

Radiative heating and cooling

wind

Entrainment

convection

turbulence

Thermocline

Abyss

σ

(z)

Fig. 0.4: Représentations hématiquedes pro essusde mélangedans l'o éan, d'après

[77℄.Ondistinguetroisrégionsdansleproldedensité

σ

:i)la ou hedemélange, ho-mogèneetturbulente,dontl'épaisseurvarieenfon tiondesforçage(vent, onve tion...)

ii) lathermo line, ara tériséeparune brusque variationdela températureiii) l'o éan

profond.

Kazantsevetal [66℄.L'intérêtd'unedes riptionstatistiquepourdé rire

l'ef-fetdes stru turesméso-é hellessur l'organisationdesé oulementsàgrande

é helle avaitauparavant été soulignépar Holloway [58℄. Puisque es

stru -turesméso-é helles sontde mieux en mieux résoluespar lesmodèles

numé-riques d'o éans, leur paramétrisationprésente désormais moins d'intérêt.

Toutefois, es appro hes statistiques phénoménologiques

pour-raient être appliquées à la des ription du mélange turbulent (à

petite é helle) des masses d'eau de densités diérentes. Il ne s'agit

plus i i de dé rire l'organisation de la vorti ité potentielle dans un

é ou-lement 2-D, mais de s'intéresser à la stru ture verti ale des ou hes de

mélange o éanique, en dé rivant les distributions de densité du uide

à diérentes profondeurs. C'est e qui a motivé les travaux de la se onde

partie de ette thèse.

Mélange dans les uides stratiés

Comme les é helles de temps (entre la se onde et quelques jours) et

pro es-sus de mi ro-mélangesontbien plus petitesquelesrésolutions des modèles

réalistesde ir ulation o éanique, ilest né essaire de lesparamétrer. À es

é helles, les événements de mélange sont asso iés à des régimes turbulents

tridimensionnels, provoqués par divers types de forçages présentés gure

0.4.

Dansla se onde partiede ette thèse, nousnous intéresserons àdes as

idéalisés de mélange dans les uides stratiés. Par exemple, nous

suppo-serons que les é oulements sont statistiquement homogènes dans les plans

horizontaux,etnous onsidérerons des ongurationsde mélangeturbulent

en l'absen e de mouvement moyen.

L'obje tif sera d'obtenir une équation d'évolution temporelle

pour la distribution de probabilité (PDF) de densité du uide à

une profondeur donnée.

Nous supposerons dans un premier temps que la densité du uide est

purementadve téeparl'é oulementturbulent.Celanouspermettradefaire

uneanalogieave lemélangede lavorti ité(potentielle)enturbulen e2-D.

Nous nous appuierons sur ette analogie pour proposer des équations de

relaxationdes PDF de ladensité similairesà ellesobtenues par Robert et

Sommeriadans le ontexte des uides2-D.

Dans les é oulements réels, la diusivité 3

de la densité est non nulle.

L'eet ombinédes as ades turbulentes vers lespetitesé hellesetde ette

diusivité tend à lisser les u tuations de densité à petite é helle. Il sera

don né essaire de modéliser et eet et de l'in orporer aux équations de

relaxationsobtenues dans un as non visqueux.

Indépendammentdesproblèmesliésàlamodélisation,la ompréhension

dumélangeturbulentest unaspe t importantde ladynamiquedes ou hes

o éaniquessupérieures.Cespro essusdemélangemodientl'énergie

poten-tielledes é oulementso éaniques. Or ette énergiepotentielle domined'un

fa teur 100 l'énergie inétique des ourantsde surfa e (y ompris l'énergie

inétique des stru tures méso-é helles) [139℄. Même dans le adre de

mo-dèles simples d'o éans (où la dynamique de l'é oulement ne modie pas

la strati ation qui est xée une fois pour toute), les é helles

ara téris-3

Il'agitdeladiusivitéthermiquequand ladensitéestgouvernéeparlesvariations

de température, et de la diusivitémolé ulaire quand ladensité est gouvernée parles

le rayon de déformation baro line de Rossby). En e sens, mélange à

petiteé helle (de

10 cm

à

10 m

)et ir ulationà grande é helle (de

50 km

à

5000 km

) sont intimement liés.

Plan de la thèse

Danslepremier hapitre,nousprésenteronsleséquationsquasi-géostrophiques

à une ou he et demie. C'est le modèle d'o éan le plus simple qui prend

en ompte l'eet de la strati ation verti ale. Nous reviendrons sur les

é oulements inertiels de Fofono et sur les modèles for és et dissipés de

type Sverdrup. Nous introduirons ensuite la théorie statistique

Robert-Sommeria-Miller(RSM), quiprédit etexplique l'organisationinertielledes

é oulements bidimensionnelsturbulents.

Nous dé rirons au se ond hapitre une lasse de solutions inertielles

qui, ontrairement aux é oulements de Fofono, présentent un jet intense

dirigé vers l'est au milieu d'un bassin o éanique fermé, pour un modèle

d'o éan équivalent barotrope : les équations quasi-géostrophiques à une

ou he et demi. Il s'agit d'un résultat importantpour l'étude des modèles

inertiels d'o éans. En eet, une fois es solutions obtenues, de nombreuses

appro hes théoriques (ou numériques) sont possibles : études de stabilité,

des ription de l'évolution des perturbations... Le fait de dé rire un état

moyen permet de réduiregrandementla omplexitédu problème initial, et

d'envisager des études autourde quelques paramètres.

Nous montrerons que es solutions ne sont pas des états d'équilibre

statistiquede lathéorie RSM : ela n'avait jamaisété démontré.

Cesrésultatsmotiverontl'étudedemodèlesplus ompliqués,baro lines:

leséquationsquasi-géostrophiquesàdeux ou hes.Contrairementau asdes

modèles à une ou he et demie, e modèle autorise les transferts d'énergie

entre les ou hes inférieures et supérieuresdes o éans. On peut dès lors se

demandersi es transfertsd'énergieinduisentl'existen e d'étatsd'équilibre

diérents de eux observéspour lemodèle à une ou he et demi.

Nous verrons que lesétats d'équilibres statistiques de es modèles sont

en général dominéspar la omposantebarotrope (lamoyenne verti ale) de

l'é oulement. Cette barotropisation de l'é oulement montre que les

un rle importantdans la stru ture des états d'équilibrestatistique.

Nousmontreronsquelabarotropisationdesé oulementsestin omplète:

la omposantebaro line(ladiéren edevitesseentreles ou hesinférieures

et supérieures) peut dans ertains as présenter un jet intense dirigé vers

l'est.Cependant, e jetbaro line restenégligeable par rapportà la

ompo-santebarotrope,dirigéeversl'ouest.Ils'agitlàaussid'unrésultatnouveau.

Le fait que les jets intenses dirigés vers l'est ne soient pas des états

d'équilibre statistique ne signie pas pour autant que es solutions sont

instablesdynamiquement. La dis ussion de la stabilité de es jets intenses

est un problème stimulant dans la mesure où les ritères  lassiques de

stabilité ne s'appliquent pas à es solutions. Le troisième hapitre sera

onsa ré au as parti ulier d'un jet intense dirigé vers l'est, dans un anal

d'extension zonale innie (sans frontière à l'est et à l'ouest). Cette étude

est un préalable à des travaux plus ompliqués qui prendraient en ompte

lerle des frontières àl'ouest.

Nousmontreronsque esjetssontlinéairementstables,etnousdé rirons

l'évolution des perturbations. La méthode utilisée dans e hapitre a un

intérêt en soi, ar ellepermet de on lure à la stabilitédans un as oùles

ritères lassiques de stabilité ne sont pas satisfaits.

Nousmontreronsquelessolutionsquiprésententunjet intensesont des

points selles d'une fon tionnelle énergie-Casimir. Les ritères lassiques

permettent de on lure à la stabilité quand les solutions sont des extrema

de ettefon tionnelle [38℄.Cependant, nousverronsque lapriseen ompte

de ontraintes supplémentaires,fourniesparlesinvariantsde ladynamique,

permet de on lure à lastabilité.D'un point de vue théorique,nous

rédui-rons l'étude de stabilité à la re her he du maximum d'un problème

varia-tionnelquadratique sous ontrainte linéaire.

Lesé oulements 2-Dfontpartie d'une grande lasse de systèmes

ara -térisés par des intera tions non intégrables 4

. Qualitativement, ela signie

que les intera tions ne sont pas lo ales. La mé anique statistique

d'équi-libre des systèmes à intera tion àlongue portée a justement fait l'objet de

nombreuses études es dernières années, en raisondes propriétés physiques

remarquablesde etypede systèmes.Contrairementà e quelamé anique

4

Lepotentield'intera tionentreparti ulesuidesestlogarithmiquepourles

d'observer dans les systèmes à intera tion à longue portée des apa ités

thermiques négatives(l'énergiediminue quandla températureaugmente!).

Deplus,lesdiérentsensemblesstatistiques(mi ro anoniques, anoniques)

ne sont pas toujours équivalents. On verra au quatrième hapitre que

l'étude des états d'équilibre statistique RSM se révélera parti ulièrement

fé onde dans e ontexte.

D'une part, l'usagede méthodes théoriques lassiques dans e domaine

nouspermettrade al ulerdire tementlessolutionsdu problème

variation-nelfournipar lathéoriestatistiqueRSM (les étatsd'équilibres maximisent

une entropie de mélange sous ontraintes). Ces méthodes théoriques nous

permettrontenoutredeprouverlastabiliténonlinéaired'unegrandepartie

des états d'équilibres statistique dé rits. Il n'existe en eet pas de preuve

générale delastabilitédes étatsd'équilibres statistiques;ils'agit d'un

pro-blème théoriqueimportant.

D'autre part, nous montrerons que les états d'équilibres statistiques

RSM sont ara térisés par les propriétés thermodynamiques propres aux

systèmes à intera tion à longue portée : nous dé rirons l'existen e d'une

zoned'inéquivalen eentre lesensembles, etdetransitions dephase

dire te-mentliées à ette inéquivalen e. Nousverrons que es transitions de phase

orrespondent à des hangements importants dans la stru ture de

l'é ou-lement. Nous mettrons en éviden e ertaines parti ularités

thermodyna-miques (points bi ritiques,azéotropie) qui étaient prédites, mais n'avaient

en orejamais été observées dans un système physiqueà longue portée.

Les états que nous dé rirons sont ara térisés par une relation linéaire

entre vorti itéetfon tion ourant; ilsin luentdon lesé oulements de F

o-fono. Ces é oulements de Fofono sont des états à basse énergie. Nous

montreronsqu'àhauteénergie,lesé oulementspeuventavoirunestru ture

très diérentede elle dé ritepar Fofono.

Nous introduirons au inquième hapitre une autre lasse de

pro-blèmespourlesquelsune appro hestatistiquepourraitêtreintéressante:la

mélangedanslesuidesstratiés. Nousprésenterons lesobservations

expé-rimentales et les appro hes phénoménologiques antérieures, et montrerons

qu'il est né essaire de modéliser l'évolution temporelle des u tuations de

densitépour dé rire orre tement ertains aspe ts du mélange.

d'un tra eur qui n'interagit pas ave l'é oulement : le sixième hapitre

sera onsa ré au problème du s alaire passif. Il s'agira de dé rire par une

appro he phénoménologique l'évolution temporelle de la distribution d'un

tra eurmélangéparuné oulementturbulentànombredeReynoldsmodéré.

Qualitativement,lesu tuationsdu tra eursonttransférées vers lespetites

é helles par les pro essus de as ade turbulente, jusqu'à atteindre l'é helle

dediusionmolé ulaire,quilisse esu tuations.Ladistributiondutra eur

tendvers unpi étroit entré autourdelamoyenne,qui orrespond àl'état

mélangé.

Nous proposerons un modèle d'évolution de la distribution du tra eur

fondésurunmé anismed'auto- onvolutionde ettedistribution.Nous

om-parerons etteappro heàd'autresmodèles,ettesteronsleshypothèses

sous-ja entes grâ e à des expérien es de laboratoire. Ces expérien es onsistent

simplement à mesurer les distributions de on entration d'un olorant

ad-ve té par un é oulement turbulent dans une onduite.

Nousappliquerons es idéesau asdu mélanged'unuidestratiédans

leseptième hapitre. Dans e as, letra eur est ladensité du uide, qui

interagit ave l'é oulement (via la poussée d'Ar himède). A partir d'une

analogie ave le mélange de la vorti ité en turbulen e 2-D, nous

propose-rons un modèle d'évolution temporelle de la distribution de la densité du

uide qui omprendra i) un terme de diusion turbulente ii) un terme de

sédimentationiii)unmodèledemélangeparleseetsde as adeturbulente.

Les modèles  lassiques de diusion turbulente ne prennent pas en

ompte le rle des u tuations de densité du uide. Les termes de

sédi-mentation des parti ules uides de densité diérentes et la dissipation des

u tuationsautour de la moyenne (par le modèled'auto- onvolution)sont

don des aspe ts nouveaux qui n'ont jamaisété intégrés dans la

Mé anique statistique

Introdu tion

An de omprendre ertains aspe ts de la

dyna-miqueinertielledesjetsdirigésversl'estauxmoyennes

latitudes,nousétudieronsdesmodèlesidéalisésd'o éans.

Ces modèles sont trop simplespour dé rire un o éan

réel, mais permettent de omprendre l'organisation

des é oulements 2-D par des arguments théoriques,

desappro hes analytiques,oudes al ulsnumériques

peu oûteuxen temps.

Nousprésenterons dans lapremière se tionde e hapitre les modèles

d'o éans quasi-géostrophiques (QG)à une ou he et demi.Cesont

les modèles les plus simples qui prennent en ompte l'eet ombiné de la

strati ationdes o éans etde lafor e de Coriolis.

La se onde se tion sera onsa rée aux études antérieures des solutions

de es modèlesd'o éans.On distingueradeuxappro hes,qui orrespondent

àdeux limites opposées dans leséquations du mouvement :

 l'étuded'une lassedesolutionsstationnairesinertielles(où leforçage

etla dissipation sontnégligés), par Fofono.

 les études de solutions stationnaires en présen e de forçage et

dis-sipation (où les termes d'adve tion non-linéaires sont négligés), par

Sverdrup, StommeletMunk.

D'une part, les modèles de type Sverdrup ne peuvent rendre ompte

de Fofono ne présentent pas de jet dirigé vers l'est au entre d'un bassin

o éanique.

Nousexpliquerons que lesé oulementsde Fofonosont un as

parti u-lierde solutionsinertiellesparmitouteune variétéde possibilités,quin'ont

ànotre onnaissan epas été explorées.Ce i motivera lapremière étapede

notre étude : existe-t-il des solutions inertielles présentant un jet intense

dirigévers l'est?

Nousintroduironsdans latroisièmese tionlamé anique statistique

deRobert-Sommeria-Miller(RSM),quipréditl'organisationdesgrandes

é helles pour es modèles simples d'o éans turbulents et bidimensionnels.

Cette théorie séle tionne une des solutions stationnaires inertielles, et

donneune expli ation pour l'émergen e de ette solution.

Cela motivera la se onde étapede notreétude : lesjets intenses dirigés

vers l'est sont-ilsdes états d'équilibre statistique?

Ce hapitrene ontientpas de résultatsnouveaux, ilpré isele ontexte

etles enjeux des travauxprésentés par la suite.

1.1 Modèles quasi-géostrophiques

Lesé oulementso éaniquessontdominéspar l'équilibregéostrophique:

dansleséquationsdumouvement,letermedominantestlafor edeCoriolis,

ompenséeparungradienthorizontaldepression.Cetéquilibrelielavitesse

auxquantitésthermodynamiques( hampdedensitéetdepression),maisne

donneau uneindi ationsurladynamique.Andedé rire ettedynamique,

il faut étudier l'évolution temporelle de petites perturbations autour de

l'équilibregéostrophique.

On obtientainsi les équationquasi-géostrophiques, qui peuvent s'é rire

souslaformed'uneadve tiond'uns alaire,lavorti itépotentielle.Nous

verrons que es équations sont valables dans la limite d'un faible nombre

de Rossby, qui ompare l'eet des termes d'adve tion non-linéaires à eux

Les forçages de la ir ulation o éanique

Avant de présenter les équations quasi-géostrophiques, pré isons la

na-turedes ourantsquel'ondé rit,etleurlienave lesdeuxtypesdeforçages

de la ir ulation o éanique : i) Le forçage en densité, par la diéren e de

température entre les ples et l'équateur et ii) le forçage par l'a tion du

vent à la surfa e de l'eau.

Cesdeuxforçagesjouentunrleimportantdansla ir ulationo éanique

à grande é helle. Cependant, les ourants de surfa e peuvent en première

approximation être dé rits en onsidérant seulement l'a tion du vent [20,

139℄.

Le forçage en densité intervient prin ipalement dans le pro essus du

tapis roulant. C'estune ir ulation tridimensionnelleglobale quitraverse

tous les bassins o éaniques. Les ourants de surfa e sont parti ulièrement

ae téspar ette ir ulation dansl'o éan Atlantique, oùl'on remarqueune

déviation du Gulf Streamvers le Nord. Le forçage par les vents joue aussi

un rle importantdans es pro essus[139℄.

Les auses et les impli ations de es eets sont un sujet a tif de

re- her he, tant du point de vue des mesures in situ,que des appro hes

théo-riques, expérimentales etnumériques [97℄.

Danslesmodèlesnumériquesréalistesde ir ulationgénérale, lestemps

ara téristiques

t

c

né essaires pour que l'o éan atteigne un équilibre ave lesdiérents forçages varient onsidérablement suivantles quantités

onsi-dérées :

 Lesvariablesthermodynamiques xant lastrati ationatteignentun

état d'équilibreave lesforçages en un temps

t

c

∼ 1000 ans

 Les hamps de vitesse de surfa e atteignent un état d'équilibre ave

lesforçages en un temps

t

c

∼ 50 ans

.

Il existe don une nette séparation d'é helle de temps entre les

mé a-nismes quimodientla strati ation,etles mé anismesqui modient

l'or-ganisationdes ourantsen surfa e. Celajustie qualitativementle hoix de

onsidérer des modèlessimples d'o éan àstrati ation xée.En

onsé-quen e, l'eet du forçage en densité ne sera pas abordé par la

suite.

La seule sour e d'énergie de es é oulements provient du forçage par

les vents, et l'on suppose que les ourants ainsi réés ne modient pas la

z

y

θ

Ω

x

y

D

Fig. 1.1: Idéalisation de la géométrie et approximation de plan bêta aux moyennes

latitudes

Approximations et équations

Ontrouveraune dérivationsystématiquedes équationsQGdanslelivre

de Pedlosky [89℄. On rappelledans les paragraphes suivants les diérentes

étapes de al uls et approximations menant au système nal d'équations.

Lesystème d'équation nal est résumé àla n de ettesous-se tion.

Nous supposons i i que le forçage et la dissipation sont négligeables

en tout point de l'é oulement, puisque nous voulons étudier l'organisation

inertielledes é oulementso éaniques.

Cettehypothèseest indépendantedes approximationsdu modèle

quasi-géostrophiques. Nousy reviendrons lorsde la présentation des modèles de

Sverdrup-Stommel-Munk.

La dynamique des é oulements est dé ritepar les équationsd'Euler en

présen e de rotation :

∂

t

v

+ v

∇v + 2Ω × v = −

1

ρ

∇P + g

Équilibrehydrostatiqueetgéostrophique. Nousavonsexpliquédans

l'introdu tionqueles ourantso éaniquesde surfa epeuventêtre

représen-tésparune ou hea tivedanslaquellel'é oulementesthorizontal,uniforme

laforterotation,etdufaiblerapportd'aspe tentrelesdimensionsverti ales

ethorizontales.

De fait,lesvitessesverti alesobservées dans l'o éansonttrès faibles, et

l'équilibrehydrostatique est bien vérié :

∂

z

P =

−ρg

(1.1)

oùl'axe

z

est déni par laverti ale(dirigé vers lehaut)en un pointdonné de la sphère. On suppose à e stade que la partie verti ale de la for e de

Coriolisest négligeable par rapport auxgradients verti auxde pression.

Lesmouvementshorizontauxsontdominésparlafor ede Coriolis,

équi-librés par les gradients de pression, dans dans la limite des faibles

nombres de Rossby

R

o

= U/LΩ sin θ

. Ce nombre ompare l'eet des

termesd'adve tionnon-linéairesàlafor ede Coriolis.DansleGulfStream

etleKuroshio,

Ro = 0.1

(ave

R = 10

5

_m

,

U = 1 ms

−1

et

Ω sin θ

∼ 10

−4

_s

−1

). Laproje tion des équationsdu mouvement sur l'horizontale donne alors

2 (Ω

_{× v) · e}

z

=

−∇

H

P

(1.2)

où

∇

H

désigne les gradients horizontaux. Cela dénit la vitesse géostro-phique. La rotation de la terre n'intervient que par sa proje tion sur la

verti ale, notée

f = Ω sin θ

, où

θ

est la latitude moyenne du bassin o éa-nique étudié (on prendra

θ

∼ 45

).

L'équilibre géostrophique est valable susamment loin de la surfa e

libre. L'a tion des vent intervient dire tement dans la ou he limite

d'Ek-man , dont l'épaisseur est estimée entre

50

et

100 m

[91℄, alors que les ourants géostrophiques de surfa e sont ara térisés par une épaisseur

va-riant entre

500

et

1000 m

. L'estimation des débits liés à es deux eets montre que l'é oulement est dominépar leux géostrophique.

L'approximationdeplanbêta. Lesé hellesverti ales(autourde

500 m

)

ethorizontales (autourde

1000 km

pour lazoneinertielledu Gulf Stream) des é oulements o éaniques sont petites par rapport au rayon de la terre

r

t

∼ 6000 km

. On suppose quela ir ulation sefaitdans un plantangentà unpointde référen ede latitudemoyenne

θ

0

∼ 45

.Lerepère artésien or-respondantest représentégure1.1.A l'ordreleplus bas, onaune relation

linéaireentre lalatitude

θ

et la oordonnée artésienne

y = (θ

− θ

0

)r

t

diri-géesvers lenord.Lasphéri ité de laterreintervientseulementvialeterme

µ

µ

η

η

ρ

ρ+∆ρ

ρ

H

H

0

z

a) 1 layer

b) 1−1/2 layer

Fig. 1.2: Représentation s hématique de deux modèles QG à une ou he a tive a)

H

_{≈ 4}

km,

η

est donnée par la bathymétrie b)

H

≈ 500

m, la ou he inférieure est supposéeaniméed'unmouvementstationnaire onnu,qui peutêtrenul.

surlaverti aleave lalatitude.Onlinéarise

f

autourde

θ

0

,àl'ordreleplus bas :

f

_{≈ 2Ω sin θ}

0

+

2Ω cos θ

0

R

T

y = f

0

+ β

c

y

(1.3) C'est l'approximation de plan bêta, initialement proposée par Rossby

[101℄,valabletantque

β

c

y

≪ f

0

.Comme

f

0

≈ 1 10

−4

_s

−1

et

β

c

≈ 1.6 10

−11

m

−1

s

−1

, la des ription de ourants d'extension

∼ 1000 km

est raisonnable dans le adre de ette approximation.

Modèles à une ou he a tive. On suppose queles ourants de surfa e

sont lo alisésdans une ou hede densitéhomogène

ρ

,d'épaisseurmoyenne

H

.Lasurfa elibre setrouveàunealtitude

µ(x, y, t)

≪ H

.Enl'absen ede mouvement,l'interfa e est horizontale (

µ = 0

). Ondistingue deux typesde modèles àune ou he a tive, représentés sur lagure 1.2:

 Le modèle barotrope (1 ou he) : la ou he a tive représente la

totalitéde l'o éan:

H = 4

km. Leseets dus àla strati ationssont omis. Cela revient à onsidérer la omposante barotrope de

l'é oule-ment, 'est-à-direlavitessemoyennéesurtoutelahauteur.L'interfa e

inférieuredela ou he a tive,d'altitude

−H +η

,estxée parla topo-graphiedufondo éanique(labathymétrie),quel'ona hoisietelleque

hηi = 0

, où

h·i

représente une moyenne sur tout le domaine (nous utiliserons souvent ette notation dans la suite du hapitre).

Onsuppose de plus

η

≪ H

.La onservation delamasse imposealors

hµi = 0

.

 Le modèle équivalent barotrope (1-1/2 ou he) : La ou he

a tiveestrestreinteàuneépaisseur

H

∼ 500

m(qui orrespond ee -tivementàl'épaisseur des ourants de surfa e observés dansl'o éan).

Cette ou he a tive est séparée d'une ou he d'eau profondeque l'on

suppose aussi homogène, de densité

ρ + ∆ρ

. C'est la manièrela plus simple de prendre en ompte la strati ation de l'o éan. L'ordre de

grandeur de l'é art relatif de densité est

∆ρ/ρ

∼ 0.5%

. L'interfa e entre lesdeux ou hes se situe à l'altitude

−H + η

, ave

η

≪ H

.La onservationdelamasseimpose

hµ−ηi = 0

.Onsupposequela ou he inférieureest soitaurepos,soitaniméed'un mouvementstationnaire

onnu etindépendant de la ou he supérieure.

Dans la ou he a tive, l'équilibre hydrostatique (1.1) donne la pression

P

que l'on inje te dans l'expression de lavitesse géostrophique (1.2).

v

= e

z

× ∇ψ

ave

ψ =

g

f

0

µ

(1.4)

oùl'onanégligélesgradientshorizontauxdepressionatmosphérique

P

0

.La fon tion ourant

ψ(x, y, t)

de la ou he a tive est don indépendante de

z

, proportionnelleà lahauteur de lasurfa e libre.Cette propriété est utilisée

pour visualiser les ourants de surfa e par imagerie satellite. Dans le as

du modèle QG à 1-1/2 ou he, on al ule de même la pression

P

, puis la

vitesse géostrophique de la ou he inférieure:

v

b

= e

z

× ∇ψ

b

ave

ψ

b

=

g

f

0

µ +

g

′

f

0

η

où

g

′

₌

∆ρ

ρ

g

(1.5)

La dynamique quasi-géostrophique. L'équilibre géostrophique lie le

hampdevitesse

v

auxvariationshorizontalesdu hampdepression

P

.Ces variationshorizontalene dépendentpasde

z

dansune ou he donnée.Pour déterminer la dynamique de

v

, il est né essaire de onsidérer l'évolution

temporelle d'une petite perturbation agéostrophique. On onsidère à et

eet le rotationnel de l'équation (1.1), que l'on projette sur l'axe verti al

Oz

:on élimineainsi les termes dominantsde l'équilibre géostrophique, en ne gardant que les termes d'ordre le plus bas. Cela fournit une équation

dynamique:

∂

t

q + v

∇q = 0

(1.6)

q = ∆ψ + β

c

y +

f

0

H

η

(1.7)

Laquantité

q

estappelée vorti itépotentielle, arelle ontientun terme provenantdelavorti itérelative(

∆ψe

z

=

∇×u

),untermedûàlavariation de la vorti ité planétaire (

β

c

y

), et un terme d'étirement de la olonne de uide(vialesvariationsdehauteur

η

).Ils'agitd'unequantité entraledans lestravaux quenous présenterons. Il est remarquable quela dynamiquede

es modèles simples s'exprime sous la forme d'une équation de transport

d'uns alaire,purement adve té par le hamp de vitesse. Soulignonsque e

s alaire,lavorti ité potentielle,est a tif: ondéterminela fon tion ourant

(et don le hamp de vitesse) en inversant l'équation (1.7). On distingue

deux as selon le modèle :

 modèle barotrope (1 ou he) :

η

est la bathymétrie, supposée

onnue.

 modèle équivalent barotrope (1-1/2 ou he) : d'après (1.4) et

(1.5),

η = f

0

(ψ

2

− ψ

b

) /g

′

. On suppose que le ourant de la ou he

profonde (donné par

ψ

b

) est onnu. Ce ourant a l'eet d'une topo-graphie.Lavorti ité potentielles'é rit alors

q = ∆ψ

−

ψ

R

2

+ β

c

y +

ψ

b

R

2

où

R =

√

g

′

_H

f

0

(1.8)

On remarque qu'une distan e ara téristique (

R =

√

g

′

_H/f

₀

) apparaît

dans es équations. Il s'agit du rayon de déformation de Rossby

in-terne (ou baro line). C'est une dimension ara téristique des

déforma-tions de l'interfa e

η

, et don de l'é oulement

ψ

dans la ou he a tive. Il

varie entre

20

et

80km

aux moyennes latitudes. Comme

ψ

xe ensuite les

variationsde hauteur de surfa e libre

µ

, il sut de regarder ette quantité surdesimagessatellitesd'o éanspourremarquerl'existen ede etteé helle

et estimer son ordre de grandeur. Le rayon de déformationde Rossby

a-ra térise la ompétition entre les eets de gravité, qui tendent à ramener

lesé artsd'interfa evers l'horizontale,etleseets de rotation,quitendent

à in urver l'interfa e en présen e d'un ourant à ause de l'équilibre

Dans e qui pré ède, on a négligé l'eet des variations de hauteur de

la surfa e libre dans l'évolution des perturbations agéostrophiques. C'est

l'approximation de toit rigide. Les variations de la surfa e libre auraient

apporté une ontribution supplémentaire

f

0

/Hµ = ψ/R

2

bt

dans l'équation (1.7), où

R

bt

=

√

Hg/f

0

est une autre é helle ara téristique d'é rantage, lerayonde déformationde Rossby barotrope.Dans le adredu modèle

ba-rotrope (

H = 4 km

), on évalue sa valeur à

R

bt

≈ 2000 km

. Comme ette longueurd'é rantage est supérieureàlatailledudomainelui-même,on

né-glige e terme.Dansle adredumodèleéquivalentbarotrope(

H

∼ 500 m

), on évalue

R

bt

≈ 500 km

. Dans lamesure où ette longueur ara téristique est bien plus grande que le rayon de déformation de Rossby baro line

in-troduit pré édemment, onnéglige làaussi lesvariationsde lasurfa e libre.

Conservation de la masse. Dans le as du modèle à 1-1/2 ou he, la

onservation de la masse donne

R

ψdxdy =

_{hψi = 0}

. En eet, la fon tion ourantest proportionnelleà

η

, quidoitêtre de moyenne nullesil'onafait l'approximationdetoitrigide.Dansle asdumodèlebarotrope,la

onser-vationde lamassenefournitpas de ontraintesil'onafaitl'approximation

de toit rigide.

Conditionsauxbords. Lesbassinso éaniquesétudiésdansles hapitres

suivantssontdes domainesfermés quel onquesoudes  anaux d'extension

inniesuivantxetlimitéspardesfrontièresnordetsud.Nous onsidérerons

la ondition d'imperméabilité aux bords du domaine :

v

· n = 0

, où

n

désigne lanormale aux frontières

∂

D

. Dire que la vitesse est tangente à la frontièredudomainerevientàdirequelafrontièreestunelignede ourant:

la ondition aux bords onsiste don à onsidérer

ψ

onstante sur

∂

D

. Le hampdevitessenedépendpasdu hoixde ette onstante.Pourlemodèle

1-1/2 ou he, la ontrainte de onservation de la masse impose néanmoins

la ondition

hψi = 0

, qui xe la valeur de la fon tion ourant aux bords.

Ce hoix restant arbitraire pour le modèle à une ou he, on gardera la

ontrainte

hψi = 0

.

Rle des ou hes limites. Dans un é oulement réel , lavis osité

ν

in-tervient pro he des bords du domaine, sur une é helle proportionnelle à

ν

1/2

. Tant que ette ou he limite reste le long des bords, elle n'inuen e

numériques à nombres de Reynolds modérés (

∼ 2000

) ont montré que es ou hes limites se dé ollent parfois, inje tant de la vorti ité dans

l'é oule-ment entralinertiel[29℄[30℄:laparoise omportealors ommeunesour e

de vorti ité. Le omportement de es ou hes limites pour des nombres de

Reynolds plus élevés n'est ependant pas onnu.

Résumé :

lesmodèlesinertielsQGs'é riventsouslaformed'uneéquationde

trans-portpour lavorti itépotentielle (PV) dans un domaine

D

:

∂

t

q + v.

∇q = 0

(1.9)

q = ∆ψ

−

ψ

R

2

+ h(x, y)

(1.10)

v

= e

z

× ∇ψ

ψ = ψ

f r

sur

∂

D, hψi = 0

(1.11) Le as

h = 0

,

R = +

∞

orrespond aux équationsd'Euler bidimension-nelles,que l'on obtientindépendamment des é oulementsgéostrophiques.

Invariants du modèle QG

Leséquations(1.9)d'évolutiontemporelledesé oulements2Dadmettent

uneinnitéd'invariants,quenousprésentons danslesparagraphessuivants.

Nousverronsensuitequel'existen ede esinvariantsjoueunrleimportant

dans l'organisationdes é oulements 2-D en stru tures ohérentes à grande

é helle.

Conservationdel'énergie L'énergie inétiqueetpotentielledela ou he

a tives'é rivent

E

c

=

ρH

2

Z

D

v

2

dr

(1.12)

E

p

= ∆ρg

Z

D

Z

η

0

zdz



dr =

g

′

_ρ

2

Z

D

η

2

dr

(1.13)

L'énergie potentielle est al ulée en retran hant l'énergiepotentielle de

enmouvement.Andesimplierlesnotations,onintroduitl'énergietotale

par unité de masse,

E = (E

c

+ E

p

)/m

tot

, où

m

tot

= ρH

|D|

. C'est une quantité onservée par l'équationde transport(1.9). Al'aide des équations

(1.4) et(1.5), onmontre qu'elle s'é ritsous laforme

E =

1

2



(

_∇ψ)

2

+

ψ

2

R

2



=

₋

1

2

h(ψ − ψ

f r

) (q

− h)i

(1.14)

Conservation des Casimirs En plus de l'énergie, l'équation de

trans-port(1.9) onserve une innitéde fon tionnelles Casimirs,déniespar

C

f

[q] =

Z

D

f (q)dr =

_{hf(q)i ,}

(1.15)

où

f

est n'importequellefon tion ontinue. La ir ulation

Γ

etl'enstrophie

Z

sont des exemples de Casimirs :

Γ =

Z

∂

D

vdl =

_hqi

_{Z =}

1

2

q

2



(1.16)

Commele hampdevorti itépotentielle

q(r, t)

estadve téparun hamp devitesseàdivergen enulle,l'aire

g(σ)

asso iéeà haqueniveaudevorti ité potentielle

σ

est onservée au ours de l'évolution temporelle de

l'é oule-ment. On al ule aisément ette aire pour un hamp onnu de vorti ité

potentielle :

g(σ) =

Z

D

δ (q(r, t)

− σ) dr .

(1.17)

La onservation de

g(σ)

est équivalente à la onservation des Casimirs.

Selonl'usage quel'on souhaitera fairede es invariants,ilsera parfois utile

de onsidérer les loisde onservation sous une formeplutt qu'une autre.

Invariants supplémentaires Quand le domaine

D

possède des

symé-triesparti ulières,ilfaut onsidérerdes quantités onservées additionnelles.

Hormis es ontraintes géométriques, les seules quantités onservées sont

Etats stationnaires du modèle QG : relation

q

− ψ

Un al ul rapide montre que les solutions stationnaires du modèle QG

sont lesétats oùleslignesde niveaude vorti itépotentielle

q

sontaussi des lignesde ourant (i.e. des lignes de niveau de la fon tion ourant

ψ

):

∂

t

q = 0

⇔

v

∇q = 0

⇔

∇ψ × ∇q = 0

(1.18) Enparti ulier, tout état déni par une relation

q = f (ψ)

(1.19)

est une solution stationnaire de l'équation QG. Ces états sont dégénérés :

il en existe une innité, paramétrés par l'ensemble des fon tions

f

. Il est en outre possible que plusieurs solutions stationnaires orrespondent à la

mêmefon tion

f

.

On peut à e stade pré iserla motivation de notre étude : il s'agira de

trouver une relation

q = f (ψ)

telle qu'il existe une solution ara térisée parun jet intense dirigévers l'est. Ilfaudra ensuite justierl'émergen ede

ettesolution.On disposeà eteet de plusieurs ritères: et étatsera-t-il

un équilibre statistique? Sera-t-ilstable ouinstable?

1.2 Études antérieures des modèles d'o éans

QG

Avant d'introduire la mé anique statistique des équations QG,

présen-tons deux modèles historiques d'o éan :l'é oulementinertielde Fofono,

etles é oulements for és par les vents de Sverdrup, StommeletMunk.

La solution stationnaire inertielle de Fofono

Fofono est le premier à s'être intéressé à la limite inertielle des

équa-tionsQGquenousvenonsdeprésenter[51℄.Ila al uléunesolution

station-naire de es modèles, qui est maintenant dé rite dans de nombreux livres

d'o éanographie[89℄.

Des ription de la solution (voir gure 1.3). Fofonosuppose  par

ou-Fig. 1.3: Solution de Fofono. Les è hes donnent la dire tion et la valeur de

la vitesse. Les ouleurs haudes et froides orrespondent respe tivement aux valeurs

positiveset négativesdelafon tion ourant

ψ(x, y)

.

rant

ψ

est linéaire, pour trouver une solution inertielle du modèle quasi géostrophique àune ou he a tive :

q = aψ

_{− b = ∆ψ −}

ψ

R

2

+ β

c

y

Il faitde plusl'hypothèse

a +

1

R

2

≫ 1

, equi revient à onsidérerune li-mitede faibleénergie(lasolutiontendvers0).LeLapla ienestnégligeable

loindes bords, au-delàd'une distan e

l

c

∼ (a + R

−2

₎

−1/2

. Lafon tion

ou-rantest alors donnée par

ψ =

β

c

y + b

a + R

−2

Ainsi,lafon tion ourantne dépendpasde

x

endehorsdes ou hes limites; la vitesse est purement zonale (

v

y

= 0

), onstante, faible, et dirigée vers l'ouest (

v

x

=

−∂

y

ψ

). On peut al uler la solutiondans les ou hes limites,

etmontrerl'existen ede jetsdere ir ulationdirigésvers l'estauxfrontières

nord etsud.

Intérêt historique de ette solution. Les é oulements de Fofono

ont joué un rle important dans l'étude des modèles idéalisés de

ir ula-tion o éanique, en raison, notamment, des travaux de

Salmon-Holloway-Hendershott [106, 57℄. Ces auteurs ont généralisé aux modèles barotropes

d'o éanlamé anique statistique proposée par Krai hnandans le adre des

équationsd'Euler tronquées [70℄.

Ilsprédisentl'organisationde l'é oulementenun étatstationnairedéni

parunerelationlinéaireentrevorti itépotentielleetfon tion ourant,pour

une tron aturespe trale des modèlesQG. Cela justie l'émergen e

d'é ou-lements de Fofono. Ce type d'é oulements ont ee tivement été observés

dans des simulationsnumériquesde [135,66℄.

Cependant, la dynamique de es modèles tronqués ne onserve que

l'énergie et l'enstrophie parmi l'innité d'invariants de la dynamique non

tronquée. Nous présenterons dans la se tion suivante une autre appro he,

lathéoriestatistiqueRobert-Sommeria-Miller(RSM),qui prenden ompte

tous les invariants de la dynamique (non tronquée). La théorie requiert

la onnaissan e de la distribution initiale des niveaux de vorti ité

g(σ)

, et de l'énergie

E

. Elle séle tionne ensuite la solution stationnaire d'entropie maximale,étant données es ontraintes, et fournit la forme de la relation

q = f (ψ)

.

Nous verrons qu'il existe en fait une grande variété de relations

q

− ψ

asso iées à es états d'équilibrestatistique. Nous on luons que le hoixa

priori d'unerelation

q

− ψ

linéairen'a pas de justi ationphysique. Ilest don pertinentdesedemanders'ilexistedesétatsd'équilibrestatistiquequi

ontunestru turetrès diérentedes solutionsde Fofono,quand larelation

q

− ψ

est non-linéaire.

L'appro he  lassique : les modèles for és et dissipés

Lesappro hes lassiquesdela ir ulationo éanique onsistentàprendre

en ompte la forçage et la dissipation dans les équation QG (1.9), qui

s'é rivent alors [91,89℄ :

∂

t

q + v

∇q =

1

où

H

est la profondeur de la ou he a tive,

ρ

la densité de l'eau, et

τ

représentelafri tiondesventsàlasurfa e.Cetermepeutêtregrossièrement

approximé par un forçage double gyre (

τ

≈ τ sin(2πy/L

gyre

)e

z

, où

τ

∼

0.1 N.m

−1

et

L

gyre

∼ 5000km

).

L'eet du frottement du vent à la surfa e des o éans a d'abord été

ob-servé, puis expliqué qualitativement par Nansen, en 1898, et dé rit plus

quantitativement en 1902 par Ekman. Celui- iamontré lerle joué par

larotationterrestre en onsidérant un modèle simpled'o éan.

Qualitative-ment, l'é oulement pro he de l'interfa e est donné par un équilibre entre

for es de fri tion(dans la dire tiondu vent),et for es de Coriolis

(perpen-di ulaires à la vitesse), le tout étant ompensé par un gradient horizontal

de pression.Loinde l'interfa e,seul subsistel'équilibregéostrophiqueentre

vitesse et gradients horizontaux de pression. Après es travaux, plusieurs

modèlessimplesd'o éans ontété proposés(voirlelivrede Pond etPi kard

[91℄ pour une présentation qualitativede es modèles).Donnons une brève

hronologie des prin ipales ontributions :

 Sverdrup (1947 [117℄) propose une estimation de la vitesse

mé-ridionale 1

v

y

en onsidérant un équilibre entre le forçage dû aux vents, et le terme provenant de la variation de la for e de Coriolis

ave lalatitude( e qui revientà prendre

∂

t

q = 0

,

Dissipation = 0

et

v

_{∇q = v}

y

∂

y

(β

c

y))

dans l'équation pré édente) :

β

c

v

y

=

1

ρH

∇ × τ .

Ce modèle prédit une organisation des ourants raisonnable à

l'inté-rieur des bassins o éaniques, mais n'explique pas les ourant forts de

re ir ulation sur les bords ouest des o éans, omme le Kuroshio le

long du Japon oule GulfStream lelong de laFloride.

 Stommel (1948 [116℄) explique l'intensi ation de bord ouest des

ourants aux moyennes latitudes, par des simulations numériques du

modèlede Sverdrupauquelil ajouteun termede fri tion de Rayleigh

(unterme linéaireen lavitesse dans l'équationd'Euler)justié par le

pompaged'Ekman sur lefond o éanique.A l'équilibre,

βv =

1

ρH

∇ × τ + Dissipation

1