dé…nies par: f(x

Université Ibn Khaldoun de Tiaret. Département d’Informatique.

F iche de T :D N⁰ 3 (Algèbre 2 )

Exercice 1: Soient les matricesA= 1 1 2

0 4 1 etB = 0 1 3

1 2 2

1) Caluler, si c’est possible,(A+B)^t(A B); A²; ^tBB; ^tBB A^tA

2) Trouver les matrices inverses de ¹₄(A+B)^t(A B)et ^tBB (si elles existent).

Exercice 2: Donner les matrices associées à chacune des applications linéaires suivantes, relativement aux bases canoniques de leurs espaces de départ et d’arrivée.

f :: R³ !R²; etf₁ : C² !C²; (C² étant un R espace vectoriel ),

dé…nies par: f(x; y; z) = ( x+y+z; x y+z)etf₁(z₁; z₂) = (z₁+z₂; z₂) Exercice 3: Soit = (e₁; e₂; e₃) la base canonique deR³

Soit h l’endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique est

A = 0

@

1 2 2 2 1 2 2 2 3

1 A

1) Montrer queE₁ =fv 2R³; h(v) =vgest un sous-espace vectoriel de R³ dont on donnera une basea.

2) Soientb= (0;1;1)etc= (1;1;2). Montrer que ⁰ = (a; b; c) est une base de R³: 3) Déterminer la matrice de passage P de à ⁰, puis calculerP ¹:

4) Déterminer la matrice D deh dans la base ⁰.

Exercice 4: Soitf l’endomorphisme de R²[X]dé…ni par: f(P) = (1 +X)P⁰

1) Déterminer la matriceBassociée àfrelativement à la bases ⁰ = 1;1 +X;(1 +X)² . 2) Déterminer la matrice B associée àf f f relativement à la bases ⁰.

3) Calculer le rang def: Est ce quef est un automorphisme? (justi…er)

Exercice 5: SoientA= 2 1

3 1 ; B = 0

@

0 5 5 1 4 3 1 1 2

1 A,C =

0

@

2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 A CalculerdetA; detB; detC; det (2A);det (2C); det (BC); det (B+C);

Exercice 6 (supplémentaire): Soit E = a b

b c : a; b; c2R :

1) Montrer queEest un sous espace vectoriel deM^(2;2)(R) et donner une base de E:

2) Soitf : E !E dé…nie parf a b

b c = a+c b

b a+b+c ;

Montrer que f est un endomorphisme de E et déterminer sa matrice suivant la base trouvée, la dimension de son noyau et son rang.

Est-ce que la matrice de f est inversible?

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