L-S-Ibn khaldoun Prof : A - khaled

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Devoir de contrôle n°3 Mathématiques

Classe :4 sc1 Durée :2h EXERCICE N°1 (4 pts)

n

n n 1

n n n

n n

1 0

t - n n

nI de limite la déduire En

- - d

e.n I 1 1) e(n : 1 a on

* IN de n pour tout que

déduire En

- - c

I 1) e (n

1 I -

: a on IN de n pour tout que

Montrer -

- b

I suite la de monotonie la

Etudier

- - a 3/

I de limite la déduire En

- - b

1 n I 1 1) e(n 1 : n naturel entier

pour que Montrer -

- a 2/

0 I que et In de existance l'

Justifier 1/

dt e t I

Soit



 







 

 









EXERCICE N°2 (4 pts)

1/ Soit u( x ) = 2 sinx -1 définie sur I= _  _ ^ , 2 2





Etudier les variations de u sur I et montrer que u ( I )=   ^{ 3,1}

K de valeur la

déduire En

- - b

F(0) - 3 ) F(

K que Vérifier -

- a

t - 2t - 3 k dt

Soit 3/

- 6 x ) x ( F : I de x pour tout que

déduire En

- - b

1 ) x ( ' F que et I sur dérivable est

F que -Montrer -

a

t - 2t - 3 ) dt

x F(

Soit / 2

1 - 3

1 2

) x u(

0 2





















EXERCICE N °

Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x )= (x-1) e

^2-x

et soi C sa courbe Représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j  

).

1/ Etudier les variations de f et tracer C

2/ Soit  un réel de ]1,+ [ .Calculer A(  ) l’aire de la partie du plan limitée Par la courbe C et les droites d’équatios y = 0 ; x= 1 et x = 

3/ On pose

_n ^{2 n (2-x)}

1

J = 1 ( x -1 ) e dx ( n IN*)

n!  

a) interprèter graphiquement J

₁

b) par une intégration par parties , Montrer que

_{n+1 n}

1 J = J -

(n+1)!

c) En déduire que pour tout n de IN* ,

_n

1 1 1 1 J = e- ( + + ... )

0! 1! 2!   n!

d) Montrer que pour tout n de IN* ,

_n

e

_{n + n}

0 J puis calculer Lim J

n!

^

  

Calculer alors

₊

1 1 1 1 1

Lim ( ... )

0! 1! 2! 3! n!

n





    

EXERCICE N °

Dans l’espace munit d’un repère orthonormé ( O , i , j , k ) on considère les points A( 0 , -1, 0) ; B( 1 , -2 , 0) et C ( 1 , 0, 1)

1/ a--Montrer que les points A , B et C ne sont pas alignés b—Déterminer une équation cartésienne du plan P=(ABC) 2/ Calculer l’aire du tringle ABC et le volume du tétraèdre OABC 3/ Soit ^S  M(x ,y ,z ) de l'espace / x 

²

 y

²

 z -2x -4y +4z -7

²

 0 

a—Montrer que S est une sphère dont on précisera son centre I et le rayon R b—Etudier la position relative de S et P et déterminer S  P

4/ Montrer qu’il existe deux plans P et P qui sont paralleles à P et tangents à S

_{1 2}