Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
G´ eom´ etrie 15 Th` eme Calculs de volumes
L’exercice propos´e au candidat
Le but de l’exercice est de comparer le volume d’un t´etra`edre `a celui d’un octa`edre de mˆeme cˆot´e.
1. Consid´erez une pyramide `a base carr´ee de cˆot´e unit´e, un demi-octa`edre.
Nous l’appellerons la petite pyramide. D´eterminez son nombre de faces et son nombre de sommets.
(a) Quel est le rapport de son volume avec celui d’une pyramide `a base carr´ee de cˆot´e deux unit´es (la grande pyramide) ?
(b) Nous allons d´ecomposer cette grande pyramide en un certain nombre de petites pyramides et d’autres objets.
En chacun des sommets de la grande pyramide, se tient une petite pyramide, r´eduction de la grande pyramide d’un facteur deux. C’est mˆeme un octa`edre tout entier pour le sommet de la pyramide. Il y a donc six petites pyramides incluses dans la grande.
Caract´eriser les espaces restants en terme de formes et nombre des faces, des arˆetes et des sommets.
(c) Faire des patrons de la situation `a une ´echelle convenable.
(d) En d´eduire que le volume d’une pyramide ´equivaut `a celui de deux t´etra`edres de mˆeme cˆot´e.
2. De mˆeme, avec quatre t´etra`edres (des petits t´etra`edres) et un octa`edre de cˆot´e unit´e, recomposer un t´etra`edre de cˆot´e deux (un grand t´etra`edre).
3. En d´eduire une nouvelle fois que le volume d’une pyramide ´equivaut `a celui de deux t´etra`edres de mˆeme cˆot´e.
El´´ ements de r´eponse d’un ´el`eve.
La grande pyramide est deux fois plus grande en largeur, en profondeur et en hauteur donc son volume est six fois sup´erieur.
Un t´etra`edre est une pyramide `a base non pas carr´ee mais triangulaire, donc le volume d’un t´etra`edre est les 34 du volume de la pyramide `a base carr´ee. En effet, le volume d’une pyramide d´epend essentiellement de la surface de sa base
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etant donn´e que les cˆot´es d’un t´etra`edre et d’une pyramide sont les mˆemes : des triangles ´equilat´eraux.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en mettant en ´evidence ses r´eussites et l’origine de ses erreurs.
2. Pr´esenter une correction de la question comme devant une classe en pr´ecisant le niveaux et les comp´etences travaill´ees.
3. Pr´esenter diff´erents exercices sur le th`eme du calcul des volumes.
