Exemples d’introduction à l’analyse des données: De la statistique à la géométrie :

Analyse des données S6, Option : Gestion Prof. Mohamed El Merouani

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Exemples d’introduction à l’analyse des données:

De la statistique à la géométrie :

Soient X1 et X2 deux variables statistiques. Notons Y1 et Y2 les variables centrées construites à partir de X1 et X2 :

1 1

1 X X

Y = − Y² = X² −X²

Convenons d’écrire les données brutes associées à chacune de ces variables, sous la forme de n-uplets :

(Y1(ω₁),…, Y1(ω_i),…, Y1(ω_n)) (Y2(ω₁),…, Y2(ω_i),…, Y2(ω_n)) ou, si l’on pose yij= Yj(ω_i)

(y₁₁,…,y_i1,…,y_n1) (y₁₂,…,y_i2,…,y_n2)

Il est posible de considérer que ces n-uplets comme les composantes de deux vecteurs Y₁ et Y₂ éléments de IRⁿ (espace vectoriel de dimension n).

Exemple 1 :

Soit le tableau des données correspondant à deux variables statistiques X1 et X2 : X1 X2

ω₁ 1 6 ω₂ 3 2 On a

1 =2

X X₂ =4 D’où les variables centrées Y₁ et Y₂ :

Y1 Y2

ω₁ -1 2 ω₂ 1 -2 On a bien

Les vecteurs Y1(-1,1) et Y2(2,-2) de IR² ; le plan IR² est appelé espace des individus, car chaque axe du repère orthonormé est associé à un individu

1 =0

Y Y₂ =0

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2 2

,

=1

∀j

( ) ∑ ( )

=

−

= ⁿ

i

j ij

j y Y

Y n Var

1

1 2

( )

1

2 1

1

j n

i

ij Y

y n n

∑

=

=

= et

où est la norme euclidienne du vecteur , c’est-à-

dire, dans un langage plus courant, la longueur du vecteur Pour les vecteurs de l’exemple 1 ;

( ) (

)

2

1 2 2

1 = + =

Y

Var

( ) (

)

2 1

2 = + =

Y Var 2

1 1^{2 2}

1 = + =

Y

2 2 4

2 = 4+ =

Y

La longueur du vecteur associé à une variable statistique centrée est donc proportionnelle à l’écart-type de cette variable.

Calculons, maintenant, la covariance de (Y₁, Y₂) :

( ) ( )(

)

1

1 1 2

1

, 1 y Y y Y

Y n Y

Cov _i

n

i

i − −

=

∑

=

) 1(

1

2 1 2

1

1 Y Y

y n n y ⁱ

n

i

i = ⋅

=

∑

=

où (Y1.Y2) désigne le produit scalaire de Y1 et de Y2.

On rappelle que, si α est l’angle formé entre les vecteurs Y₁ et Y₂, alors :

) 1 ( cos

2 1

2 1

Y Y

Y Y ⋅ α =

Soit encore, compte tenu de ce qui précède,

( )

σ

α = σ = =

) ( ) (

, )

( ) (

) , cos (

2 1

2 1 2

1 2 1

Y Var Y Var

Y Y Cov Y

Y n

Y Y nCov

c’est le coefficient de corrélation linéaire entre Y₁ et Y₂.

Yj

Yj 2

2 2

1j ij nj

j y y y

Y = +L+ +L+ n

Y Y_j)= ^j σ(

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Dans l’exemple 1 précédent, on peut voir clairement que les vecteurs Y1 et Y2 sont colinéaires et de sens contraire, l’angle de Y1 et Y2 est donc égal à π ; or cos π = –1, résultat que l’on retrouve en utilisant la formule (1),

Lorsque les vecteurs sont linéairement dépendants (liés), il existe tel que Y1=λY2, donc cos α=±1 et réciproquement.

Quand on centre et on réduit des variables (par exemple ), on forme des vecteurs qui ont tous la même dimension. ( )

De ce fait, la variance est la distance commune à tous les vecteurs (ils se situent sur un cercle de rayon 1) et ils se positionnent les uns par rapport aux autres par le coefficient de corrélation linéaire que l’on déduit à partir de l’angle formé par les deux vecteurs.

Exemple 2 :

Soit le tableau de données suivant :

Variables Individus

X1 X2

1 4 5

2 6 7

3 8 0

















= 8 6 4

X1

















= 0 7 5

X2

,

Les moyennes : 6

3 4 6 8

1 = + + =

X et 4

3 0 7 5

2 = + + =

X Center les variables

(

)

4-6=-2 5-4=1

6-6=0 7-4=3

8-6=2 0-4=-4

Leur normes (écart-types

Xii

σ ^{) :}

( ) ( )

3 2 2 ] 4 4 3[ ] 1 2 2 3[

1 _{2 2}

1

1 = _X = − + = + =

X σ

et

( )

3 ] 26 4 3

1 3[

1 2 2 2

2

2 = _X = + + − =

X σ

avec

8 1 2

) 2 (

cosα = −2+ − =−

*

∈ IR

λ

) ( _j

j j

j Y

Y Z Y

σ

= − 1 ) (Zj = Var

et

























−

−

=

26 3 4 2

3

26 3 0 3

26 3 2

2 3 2

Z ^Xi

j ij ij

x z x

σ

= −

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1 0

1 = =

⇒Z C^∗ et Z₂ =C₂^∗ =0

2 , 1

;

1 =

= j

σyj

De plus

( )

( ) ( )

r Cov σ σ

= , entre deux variables X et Y, mais si σ

( ) ( )

(

)

Calcul du produit matriciel Z Z p '

1 :









−

= −

















−

−

=

















−

−

=

























−

−

















−

−

1 69 , 0

69 , 0 1

1 13 2

5

13 2 1 5 3

13 2

15

13 2 3 15 3 1

26 3 4 2 3

26 3 0 3

26 3 2 3

26 3 4 26

3 3 26

3

2 0 3

2 3 3 1

Le résultat de ce calcul est la matrice R des corrélations linéaires des variables. On l’appelle aussi la matrice d’information des variables.

R est une matrice symétrique, ayant des « 1 » sur la diagonale (les variances des variables) et tous ses éléments sont inférieurs ou égales à 1 en valeur absolue.

Calcul du produit matriciel ZZ’ :

V

ZZ =

























−

−

−

−

=

















−

−





























−

−

=

26 87 26

36 26

51

26 36 26

27 26

9 26

51 26

9 13 21

26 3 4 26

3 3 26

3

2 0 3

2 3

26 3 4 2

3

26 3 0 3

26 3 2

3

'

Cette matrice V n’est pas une matrice de corrélation, mais elle porte le nom de matrice d’information des individus. Elle est symétrique aussi.