A propos...
de quelques figures de la physique
par Vincent BOURGES Agrégé de physique IPEST B.P. 51 - 2070 La Marsa - Tunisie
On peut faire dire beaucoup de choses à une figure. En voici cinq exemples commentés.
1. HYSTÉRÉSIS
La courbe proposée donne la tension de sortie du montage ci-dessus (appelé comparateur à hystérésis ou «trigger de Schmitt») utilisant un amplificateur opérationnel fonctionnant en régime non linéaire entre deux valeurs + Vsat et – Vsat correspondant à la saturation. Si la tension de sortie est + Vsat, l’entrée v+ se trouve portée à une tension égale à V1= Vsat
.
R2⁄(R1+ R2) (montage diviseur de tension). Le système reste dans cet état tant que v– est inférieure à cette valeur. Dès que v– atteint cette valeur, la différence v+– v– devient négative et lasortie bascule de + Vsa t à –Vsat. v+ est alors portée à – V1= – Vsat
.
R2⁄(R1+R2) et le système reste dans cet état tant que v– reste supérieure à cette valeur. Si v– atteint cette valeur, alors v+ – v– devient positive et la sortie bascule sur Vsat, et ainsi de suite.Ce système ne suit donc pas le même chemin au retour qu’à l’aller ; on dit qu’il y a hystérésis. A une valeur de la tension d’entrée peuvent correspondre deux états de sortie suivant l’état antérieur du système ; celui-ci a donc la mémoire de l’état antérieur, il est devenu un système historique.
Commentaire
L’hystérésis se retrouve fréquemment en physique, et c’est typique- ment un phénomène non linéaire. Un phénomène est linéaire si les conséquences sont proportionnelles aux causes : si je double la cause, je double l’effet. La physique classique, que l’on enseigne au lycée et à l’université est le plus souvent une physique linéaire au sens du principe de superposition de l’électricité ou de la mécanique : les effets dus à plusieurs causes sont la superposition des effets dus à chacune des causes. Dans un phénomène non linéaire, une petite cause peut avoir un effet nul, ou au contraire un grand effet. Les lois qui gouvernent les phénomènes naturels sont rarement linéaires et la nature procède souvent par bond. (Ceci ne s’applique pas aux machines fabriquées par l’homme qui ont souvent un comportement linéaire, sauf quand elles se détraquent ou se brisent, auquel cas elles sont, elles aussi, typiquement non linéaires !) La physique non linéaire, si l’on excepte le cas de l’électronique, en est encore à ses débuts, et il y a là matière pour de futurs prix Nobel !
2. CHAOS
Cette courbe (ci-dessous) décrit le comportement de l’équation logistique, y=r x (1 – x). Elle peut servir de modèle pour décrire, par exemple, l’évolution d’une population animale.
Si la population est xn à la nième génération, elle sera xn + 1 à la génération suivante. La population va augmenter d’autant plus vite que
pas dépasser un certain seuil, ici fixé à 1, qui est le maximum possible compte tenu de l’environnement. Si elle s’approche du seuil, des épidémies ou des massacres surviennent, c’est le rôle du terme 1 – xn, qui devient petit lorsque xn s’approche de 1 et abaisse alors la population.
(Il s’agit d’une rétroaction ; on utilise couramment la rétroaction en électronique) On prend donc xn + 1 = r xn(1 – xn).
On peut suivre l’évolution de la façon suivante : on part d’un point de l’axe des abscisses, noté x1 ; le point correspondant de la courbe, sur la verticale de x1, est y = rx1 (1 –x1) = x2 ; l’horizontale passant par ce point coupe la droite y = x, la première bissectrice, au point d’abscisse x2 ; on trace la verticale qui coupe la courbe en x3, et ainsi de suite. Si les points successifs tendent vers une limite, celle-ci représente l’optimum stable de population.
Si r < 1, le point fixe est 0 ; si 1 < r <3, la population atteint une population fixe différente de 0. Lorsque r atteint la valeur 3, un phénomène curieux se produit : la population oscille entre deux valeurs fixes, l’une étant atteinte à la génération n, l’autre à la génération n + 1.
Lorsque r augmente encore, le même phénomène de dédoublement se reproduit, on passe à 4, puis à 8 solutions atteintes à tour de rôle, et l’on finit par atteindre pour r > 3,57 un état chaotique où l’évolution devient imprévisible. (On peut réaliser des phénomènes semblables en électronique, passant d’un état stable à des oscillations périodiques, puis au chaos).
Commentaire
Ce comportement est caractéristique d’une des façons dont la nature atteint le chaos, par dédoublement. On retrouve le chaos dans de nombreuses situations, depuis le mouvement brownien des petites poussières dans l’air jusqu’aux fluides turbulents. A noter que les équations de la mécanique classique, même appliquées à des systèmes aussi simples qu’un pendule simple forcé à trois degrés de liberté, peuvent engendrer un mouvement chaotique appelé chaos «détermi- niste» et ce fait détruit l’hypothèse du déterminisme de la mécanique classique.
Ce chaos déterministe est en fait la conséquence d’une extrême sensibilité aux conditions initiales. Deux systèmes identiques avec des conditions initiales extrêmement proches peuvent diverger exponentiel- lement. Rappelons nous l’histoire du papillon de Lorentz, l’inventeur des attracteurs étranges, dont le battement d’ailes provoque un cyclone quinze jours plus tard à l’autre bout du globe ! Dans l’espace des phases (vitesse en ordonnée et position en abscisse pour un mouvement à une dimension), le point représentatif du système tend vers un attracteur, qui peut être un point (attracteur unique), une courbe fermée (attracteur périodique) ou un attracteur étrange, lié au chaos déterministe.
3. PERCOLATION
Considérons un réseau carré, avec un certain nombre de sites occupés par des boules. Soit p la concentration de sites occupés (nombre
indique jusqu’à quelle distance les boules sont corrélées sur un amas.
Pour une certaine concentration (p ≥ pc = 0,59 pour un réseau carré), apparaît un amas percolant (ou infini) tel qu’il existe un chemin continu permettant de passer d’un côté du réseau au côté opposé. Si l’on désigne par P la probabilité pour un site d’être sur l’amas percolant, P, qui est nul pour p = pc (dans le cas d’un réseau infini), croît très rapidement au dessus du seuil et se comporte comme (p – pc)β, où β où est un exposant universel, ne dépendant pas de la forme du réseau (carré, triangulaire, en nids d’abeille...) et égal à 5/36 pour un réseau plan. D’où la courbe représentant P en fonction de p. La longueur de corrélation tend aussi vers l’infini au point critique comme (p – pc)– ν (avec ν= 4⁄3) ; ν est également un exposant universel, commun à toute une classe de phénomènes.
Commentaire
La percolation se retrouve dans la propagation des épidémies ou des incendies de forêt, qui, au dessus d’un certain seuil, envahissent tout et ne peuvent plus être repoussés.
Ce comportement se retrouve fréquemment aussi lors des transi- tions de phase. Il y a un paramètre d’ordre, (l’équivalent de P), qui est nul pour les valeurs p du paramètre de contrôle inférieures au paramètre de contrôle critique pc, et qui croît très rapidement au dessus du seuil critique. Ce paramètre d’ordre, qui n’existait pas dans l’état désordonné du système lui confère une propriété nouvelle. Si l’on admet par exemple que le courant peut passer entre des boules voisines, le réseau devient «conducteur» et il y a eu transition de phase, le réseau passant de l’état isolant à l’état conducteur. Cette propriété «conducteur» est une propriété nouvelle, macroscopique; il faudra, pour étudier cette nouvelle propriété, de nouvelles lois, qui n’ont rien à voir avec les lois élémentaires des boules. La physique a donc plusieurs niveaux de connaissances, nécessitant des lois différentes. C’est la raison pour laquelle on fait de la physique des particules, de la physique nucléaire, de la physique des milieux condensés, de la chimie ou de la biologie, et que ces différentes disciplines n’ont pas grand chose en commun ! Le paramètre de contrôle est souvent la température du système, et lors d’une transition de phase, le système passe d’un état désordonné à haute température à un état plus ordonné à basse température. Il y a compétition entre la température, qui mesure l’agitation thermique désordonnée des molécules, et un principe d’ordre qui est souvent une interaction à courte portée tendant à aligner les molécules. Pour une certaine température, l’interaction domine et le changement de phase se passe très brusquement. C’est le cas du ferromagnétisme (voir ci-dessous 5.).
4. FRACTALES
morceau, d’une falaise ou d’une montagne ! Une structure fractale a le même aspect quelle que soit l’échelle. On dit qu’elle est invariante par dilatation, alors que l’invariance par translation mène aux structures cristallines. C’est une structure ramifiée à toutes les échelles.
Sur la figure est représenté un tapis de Sierpinski ; la fractale se construit de la façon suivante : à partir du premier carré, la première itération est formé de huit petits carrés entourant un blanc ; puis chacun des petits carrés noirs est transformé comme à la première itération et le dessin obtenu forme la seconde itération. On recommence ensuite de la même façon jusqu’à l’infini...
Prenons un morceau de fractale trois fois plus grand que le morceau obtenu initialement ; la surface en noir est huit fois plus grande alors que la dimension l’est trois fois plus ; on définit une dimension fractale telle que S = C× LD où D est la dimension fractale, C une constante et L la dimension linéaire. On a donc pour une longueur L, S = C× LD, et pour une longueur 3L, 8S = C × (3L)D, d’où 8 = 3D, et, en prenant les logarithmes, log8 = Dlog3 et D =log8
log3= 1,89, ce qui signifie que la surface n’est pas complètement remplie, car elle aurait alors la dimension fractale du plan, c’est-à-dire 2.
Commentaire
On trouve beaucoup de fractales dans les structures naturelles : les rivages côtiers, qui sont irréguliers à toutes les échelles, les nuages, les chaînes de montagne en sont quelques exemples. On sait faire à l’ordinateur d’admirables dessins de fractales. On les retrouve aussi dans la forme des éclairs et dans les dépôts électrolytiques sous formes
de branches qui se ramifient à l’infini. Dans ce dernier cas, il semble que la structure fractale soit due au mode d’agrégation des particules, celles-ci se dirigeant de préférence vers les pointes, amplifiant donc celles-ci dès qu’elles se forment.
Dans la percolation, au moment de l’apparition de l’amas percolant, on a des amas de toutes tailles, un amas de grande taille contenant à l’intérieur des amas plus petits qui contiennent à leur tour d’autres amas plus petits ; il semble que l’on ait affaire là aussi à une structure fractale et que ce soit au sein de la structure fractale que se fasse de façon brutale la rupture de symétrie liée au changement de phase (voir ci-dessous 5.).
La raison en serait qu’une fois les frontières du système atteintes par l’amas percolant, la «dorsale» joignant les côtés opposés donne une direction privilégiée qui brise la symétrie, et une fois passé le point critique, l’amas percolant croît très rapidement en englobant les amas voisins.
5. BRISURE DE SYMÉTRIE
La courbe ci-dessous représente une brisure de symétrie. Si nous la considérons comme le profil d’une attraction foraine type grand huit, un véhicule, lancé à partir de la gauche, fait un certain nombre de va et vient, puis, lorsque son énergie diminue, il finit par rester dans l’un des deux creux où il oscille puis s’arrête. Le système a choisi plus ou moins au hasard l’un des deux creux. Il a rompu la symétrie initiale du système par rapport à l’axe central.
En théorie des particules, une particule de masse m est représentée par un potentiel du type V = 1⁄2m2Φ2, qui a donc un aspect parabolique (figure 2). La figure 1, dont l’équation est du type V = – aΦ2+ bΦ4, représente une particule sans masse (car le terme en Φ2 a le mauvais signe) mais interagissant avec les particules semblables. Supposons que l’on parte d’une haute température, comme celle qui régnait aux débuts de l’univers après le big-bang. Avec le temps, la température baisse et également l’énergie des particules. Lorsque celle-ci atteint le niveau du point O, on est en présence d’une bifurcation ; la particule devra alors choisir, sans doute au hasard, un des deux minimums. La particule se déplacera alors dans le creux de la figure 1, qui, agrandi, ressemble
Il y a eu rupture spontanée de symétrie ; le choix d’un des deux minimums a brisé la symétrie du système. Celui-ci est moins symétri- que, mais la particule a gagné une masse et l’interaction a vu sa portée diminuée, puisque celle-ci est inversement proportionnelle à la masse de la particule. La masse est donc liée à une brisure de symétrie.
Figure 1
Figure 2
Commentaire
Le processus de brisure spontanée de symétrie est très fréquent et lié aux changements de phase. L’exemple classique est le ferromagné- tisme. Il existe pour un corps ferromagnétique une température, appelée température de Curie, au dessus de laquelle l’aimantation du corps disparaît. Partons d’une haute température: les petits aimants élémen- taires qui constituent le corps sont orientés au hasard, du fait de l’agitation thermique qui tend à contrarier la tendance naturelle des aimants à se placer parallèlement. Il y a une symétrie de rotation et une aimantation globale nulle. Au fur et à mesure que la température baisse,
les aimants élémentaires tendent à se placer parallèlement dans des domaines de plus en plus grands, la longueur de corrélation augmente, mais comme la direction de l’aimantation dans les domaines est arbitraire, l’aimantation globale reste toujours nulle. A la température de Curie, la longueur de corrélation devient infinie, l’influence se transmet au corps entier, les aimants élémentaires se mettent parallèles à une direction qui peut être due au hasard ou à une direction privilégiée du corps. Il y a maintenant une aimantation globale, mais il y a eu perte de symétrie ; celle-ci est devenue une symétrie axiale autour de la direction de l’aimantation.
Parmi tous les états fondamentaux (états de plus basse énergie ou vides du système), le système en a choisi un, correspondant à une direction particulière, ce qui a brisé la symétrie initiale. Le système est devenu plus complexe (il faut une information plus importante pour caractériser le système) et ordonné. Il semble que l’ordre et la complexité soient liés à une cascade de brisures spontanées de symétrie, et c’est l’un des moyens les plus efficaces dont dispose la nature pour se diversifier et se complexifier.
CONCLUSION
Les cinq schémas présentés participent à la physique non linéaire et plus spécialement aux transitions de phase. Ils concernent la matière condensée, comprenant un très grand nombre de particules et sont, sauf peut-être le premier, fortement liés entre eux. Par exemple, une transition par percolation fait intervenir lors de la transition une brisure de symétrie avec passage par un état fractal. De même le chaos mène à des attracteurs étranges, qui ont une structure fractale.
Au terme de cette illustration de quelques idées de la physique moderne, il faut souligner que ce sont des idées simples, accessibles à tous si elles sont clairement expliquées. Si le langage de la physique reste les mathématiques et que celles-ci sont indispensables pour une compréhension en profondeur, il n’en reste pas moins vrai que beaucoup peut être dit pour stimuler la curiosité sur les mécanismes qui gouvernent notre monde.
