Une valuation discrète est unique

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Une valuation discrète est unique

Tsung-Hsuan TSAI Sarah TIMHADJELT

Résumé

Une valuation, ou valuation de Krull, est une mesure de la multiplicité. Cette no- tion est une généralisation de l’ordre d’annulation d’un polynôme en algèbre, du degré de divisibilité en théorie des nombres, ou de l’ordre d’un pôle en analyse complexe.

Le but de cet article est de démontrer que pour uncorps complet de valuation dis- crète, unevaluation discrète est unique.

On introduira d’abord la notion de valuation. Ensuite on aura besoin dulemme d’ap- proximationet dulemme de Hensel, pour déduire le résultat final.

Table des matières

1 Généralité sur les valuations 1

1.1 Valuation . . . 1 1.2 Valuation discrète . . . 3 2 Valeur absolue associée et Lemme d’approximation 5 2.1 Lemme d’approximation pour les valeurs absolues . . . 5 2.2 Valeur absolue associé à une valuation . . . 7

3 Corps complet et Lemme de Hensel 9

4 Unicité de valuation discrète sur un corps complet 11

1 Généralité sur les valuations

1.1 Valuation

Pour un groupe abélien totalement ordonné(G,+,ă), on étend ses lois surGY t8u par :

• x+8=8et xă 8 @xPG

• 8+8=8et8 ď 8

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Généralité sur les valuations

Définition 1.1. Soit(K,+,ˆ)un corps commutatif et (G,+,ă) un groupe abélien totalement ordonné. On appellevaluationun morphisme de groupesv:K^ˆÑG, avecv(0) :=8, vérifiant v(a+b)ěmintv(a), v(b)u @a, bPK. Si un corpsK admet une valuation, on l’appellecorps de valuation.

Exemple1.1. L’applicationv:KÑGY t8uvérifiant v(a) =

"

0 si a‰0 8 si a= 0 est une valuation, ditevaluation triviale.

Exemple 1.2. Soit (A,+,ˆ) un anneau intègre commutatif et (G,+,ă) un groupe abélien totalement ordonné. Soit v : Azt0u Ñ G un morphisme de monoïde avec v(0) := 8, vérifiant v(a+b)ěmintv(a), v(b)u @a, bPA.

On noteF(A)le corps de fractions deA, alorsvse prolonge naturellement en une valuation à F(A)parv(a/b) =v(a)´v(b). Il suffit de vérifier quev(a1/b1+a2/b2) =v(a1b2+a2b1)´v(b1b2) = mintv(a1b₂), v(a₂b₁)u ´v(b₁b₂) =mintv(a1/b₁), v(a₂/b₂)u.

Soita, bPK, d’après la définition, on a directement :

• v(1) =v(´1) = 0

• v(a) =v(´a)

• v(a´b)ěmintv(a), v(b)u

• v(a^m) =m¨v(a) @mPZ

Lemme 1.2. Siv(a)‰v(b), alors v(a+b) =mintv(a), v(b)u.

Démonstration. Sans perte de généralité supposons quev(a)ăv(b). On av(a+b)ěmintv(a), v(b)u= v(a). En plusv(a) =v(a+b´b)ěmintv(a+b), v(b)u=v(a+b), siv(a+b)ěv(b)alorsv(a)ěv(b) absurde, doncv(a+b)ăv(b)et v(a)ěv(a+b). D’où l’égalité.

On s’intérésse ensuite aux éléments de valuation supérieur à l’élément neutre0deG.

Définition 1.3. Av := taP K|v(a)ě0u muni des opérations induites est un sous anneau de K. On l’appelleanneau de valuationassocié à v.

Si a, b P Av, alors v(a´b) ě mintv(a), v(b)u ě 0, et v(ab) = v(a) +v(b) ě 0. En plus 1PAv, ce qui justifie queAv est un anneau.

Pour aPAv, on note(a)l’idéal de Av engendré par a. On définit le produit des idéaux I etJ comme l’idéal engendré partij|iPI, jPJu.

Lemme 1.4. SoitaPA_v. L’idéal engendré paradansA_v s’écrit(a) =tbPK|v(b)ěv(a)u.

Démonstration. Soit b P Av tel que v(b) ě v(a). Le cas a = 0 est trivial. Si a ‰ 0 on pose c=ba^´¹. On av(c)ě0, doncb=ca aveccPAv, on abP(a). Réciproquement sibP(a)alors v(ba^´¹)ě0, doncv(b)ěv(a). Par conséquence,@aPAv v(b)ěv(a)ðñbP(a).

Lemme 1.5. v(a) = 0 si et seulement sia est inversible dansAv.

Démonstration. On remarque quev(a^´1) =´v(a). Siv(a) = 0, alorsv(a^´1) = 0, donca^´1PA_v, a est inversible dans A_v. Réciproquement si v(a) ‰0, alors soit a R A_v, soit a^´1 R A_v. Ainsi v(a) = 0ôaPA^ˆ_v.

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De ce fait,v(a) =v(b)ô(a) = (b). On peut ainsi classifier les idéaux principaux deAv : Proposition 1.6. SoitI l’ensemble des idéaux principaux deAv, alors l’application

Ψ : I Ñ v(A_v) (a) ÞÑ v(a) est une bijection.

Démonstration. Par l’équivalence v(a) =v(b)ô (a) = (b), Ψest bien définie et injective. Elle est clairement surjective.

Plus généralement, les éléments deK de valuation plus grand qu’un élément de Gforme un idéal deA_v.

Lemme 1.7. SoitxPGtel quexě0.I=taPK|v(a)ě(ą)xuest un idéal deA_v.

Démonstration. Sachant quexě0, on aIĂAv. Sia, bPI, alorsv(a´b)ěmintv(a), v(b)u ě(ą) x; siaPI, bPAv, alorsv(ab) =v(a) +v(b)ě(ą)x.I est un idéal deAv.

En plus, pour les idéauxI =taPK|v(a)ěxuet J =taPK|v(a)ěyu, leur produit est IJ =taPK|v(a)ěx+yu. Si l’un des inégalités de départ est stricte, alors l’inégalité finale est stricte. On voit bien que les idéaux de cette forme sont totalement ordonnée par l’inclusion, avec A_v le plus grand, et taPK|v(a)ą0ule second.

Proposition 1.8. A_v est un anneau local(i.e. anneau qui n’admet qu’un idéal maximal), avec l’idéal maximalmv :=taPK|v(a)ą0u.

Démonstration. Par le lemme 1.7 mv est un idéal de Av , en plus par le lemme 1.5 Avzmv = taP K|v(a) = 0u=A^ˆ_v. mv est l’ensemble des non inversibles dans Av. Un idéal propreI de Av ne contient aucun élément inversible, donc I Pmv. D’où mv est l’unique idéal maximal de Av.

On définit ainsi k_v := A_v/m_v le corps résiduel associé. Pour un élément aP A_v, on note a=a+m_vsa classe dansk_v. Pour un polynômef PA_v[X], on notef le polynôme correspondant dansk_v[X], i.e.

pour f =

n

ÿ

i=0

a_iXⁱ on note f =

n

ÿ

i=0

a_iXⁱ

Pour un polynôme F P kv, on dit que f P Av est un représentant de F si f = F. On remarque que pourF Pkv, on peut en choisir un représentant de même degré. Cette notion sera utile dans le chapitre 3.

1.2 Valuation discrète

Une valuation est dite discrète si son image de K^ˆ est un groupe cyclique. Quitte à composer par l’isomorphisme dev(K^ˆ)dansZ, une valuation discrète se ramène à une application surjective v :K ÑZY t8u. Si un corps K admet une valuation discrète, on l’appelle corps de valuation discrète. Dans ce casA_v est appelé anneau de valuation discrèteassocié.

Un élémentπ P A_v est appelé une uniformisante si v(π)engendre v(K^ˆ)(qui n’existe que dans le cas discret). Pour une valuation discrète surjective, on av(π) = 1. D’après le lemme 1.4 on a(π) =taPA_v|v(a)ě1u, qui coïncide avecm_v =taPA_v|v(a)ą0u.

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Lemme 1.9. Soit A un anneau principal et π un élément non nul non inversible. Alors qu’il n’existe pas d’élément non nulaqui puisse s’écrirea=anπⁿ avecan PApour toutnPN. Démonstration. L’ensemble Ş

nPN

(πⁿ)est un idéal comme intersection des idéaux. Désignons par cson générateur, on veut montrer quec= 0.

Pour tout n P N, on peut écrire c = cnπⁿ avec cn P A. Puisque π = 0, pour tout nN, c1=cn+1πⁿ, doncc1P(c). On peut alors écrirec1=acavecaPA si bien quec1=c1aπ, donc c1(1´aπ) = 0. Puisqueπest non inversible, cela montre que c= 0.

Proposition 1.10. Une valuation v est discrète si et seulement si son anneau de valuation associéA_v est principal.

Démonstration. Soitv une valuation discrète (surjective sur Z). SoitI un idéal deA_v, on pose aPI tel quev(a)soit minimal. On a déjà(a)ĂI. PourbPI, orv(b)ěv(a)doncbP(a). Ainsi I= (a),A_v est principal.

Réciproquement siA_v est principal, on posem_v = (π). SoitaPA_v, on pose n=suptnP N|πⁿ diviseau. Puisqueπest non inversible, par le lemme 1.9 sin=8alors a= 0. Sinon on a a=πⁿa¹ avecπ-a¹, i.e. a¹R(π) =mv,a¹ est inversible. Ainsi par lemme 1.5v(a) =n¨v(π).

Pour a P KzAv, or a^´1 P Av donc Dn P N v(a) = ´n¨v(π). Par conséquence, @a P K^ˆDn P Zv(a) =n¨v(π). Doncv(K) =v(π)ZY t8u, vest discrète.

Pour une valuation discrète, son anneau de valuationAvn’admet que des idéaux principaux et v(Av) =N, donc par lemme 1.4, les ensemblestaPK|v(a)ěnuavecnPNsontles idéaux deAv. Ils s’écrivent aussi mⁿ_v ouπⁿAv.

Exemple 1.3. Soit pun nombre premier, aP Zanneau des entiers. Or Z est factoriel, il existe nPNtel quea=pⁿboùbest premier avecp. On définit l’ordre de divisibilité parpcomme

v_p(a) =suptnPN|pⁿ diviseau

On remarque que sia= 0alorsv(a) =8. Poura, bPZ on écrita=p^v(a)a¹ et b=p^v(b)b¹ avec a¹, b¹ premier avecp. On vérifie quev(ab) =v(

p^v(a)+v(b)a¹b¹)

=v(a) +v(b), et que siv(a)ďv(b) alors v(a+b) = v(

p^v(a)(a¹p^v(b)´v(a)+b¹))

ě v(a). Par l’exemple 1.2, vp se prolonge en une valuation discrète àQ, qui vérifie

vp

(a b )

=

"

nPZ si ^a_b =p^{n a}_b¹1 avec p-a¹, p-b¹ 8 si a= 0

La valuationvp est appeléevaluation p-adique deQ. Dans ce casAv_p =t^a_b |a, bPZ, p -bu, mv_p =pAv_p, etkv_p –Z/pZ.

Cette construction s’applique pour tout anneau factoriel avec un élément premier.

Exemple 1.4. Soit K un corps commutatif. X étant un élément premier deK[X], l’ordre d’un polynômef =

N

ř

n=0

anXⁿ PK[X]défini par

o(f) =inftnPN|an ‰0u

se prolonge en une valuation au corps des fractions rationnelles K(X). Dans ce cas A_o = t^f_g |f, gPK[X], g(0)‰0u,mo=XA_o, etk_o–K.

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Valeur absolue associée et Lemme d’approximation

2 Valeur absolue associée et Lemme d’approximation

Le lemme d’approximation est un résultat pour les valeurs absolues. Pour une valuation à valeurs réelles, on peut lui associer une valeur absolue. Ce résultat admet donc une version pour les valuations.

2.1 Lemme d’approximation pour les valeurs absolues

Définition 2.1. SoitK un corps. Unevaleur absoluesurK est une application| ¨ |deKdans R⁺ telle que@x, y PK :

• |x|= 0ôx= 0

• |xy|=|x| ¨ |y|

• |x+y| ď |x|+|y|

Si on a|x+y| ďmax(|x|,|y|)qui est une condition plus forte que|x+y| ď |x|+|y|, cette valeur absolue| ¨ | est diteultramétrique.

Exemple2.1. L’application| ¨ |:KÑR⁺ définie par :

|x|=

"

1 si x‰0 0 si x= 0 est une valeur absolue surK, appelévaleur absolue triviale.

Exemple2.2. La valeur absolue surRdéfinie par :

|x|_R=

"

x si xě0

´x sinon est dite la valeur absolue usuelle.

La donnée d’une valeur absolue| ¨ | sur un corpsK nous permet de définir une distance d:KˆKÑR⁺pard(x, y) =|x´y|pourx, yPK. On définit alors un espace métrique(K, d), il admet ainsi une topologie induite.

L’inégalité triangulaire implique que||x| ´ |y||_Rď |x´y|, c’est-à-dired_R(|x|,|y|)ďd(x, y) la valeur absolue est lipschitzienne donc continue.

On munitKˆK de la topologie produit. On vérifie aisément que l’addition et le produit du corps sont des applications continues deKˆKdansK. Ainsi le corpsKmuni de la topologie induite par une valeur absolue est un corps topologique.

Définition 2.2. Deux valeurs absolues | ¨ |1,| ¨ |2 sur un corpsK sont dites équivalentes si elles définissent la même topologie.

On s’intéresse aux conditions nécessaires et suffisantes pour que deux valeurs absolues soient équivalentes.

Lemme 2.3. Soient | ¨ |1,| ¨ |2 deux valeurs absolues non triviales sur un corps K,alors les assertions suivantes sont équivalentes :

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1. | ¨ |1,| ¨ |2 sont équivalentes 2. @xPK|x|1ă1ô |x|2ă1 3. Dαě0@xPK|x|1=|x|^α₂ Démonstration.

1ñ2 : Si les deux valeurs absolues sont équivalentes et |x|1 ă 1, on a xⁿ ÝÝÑ^|¨|¹ 0 donc xⁿÝÝÑ^|¨|² 0 aussi. Ainsi|x|ⁿ₂ Ñ0et |x|2ă1, d’où|x|1ă1ñ |x|2ă1. La réciproque est symétrique.

2ñ3 : Remarquons que |x|1 ą 1 ô |x^´¹|1 ă 1 ô |x^´¹|2 ă 1 ô |x|2 ą 1, en plus

|x|1= 1ô |x|2= 1. La valeur absolue| ¨ |1 étant non triviale, il existeaPK^ˆ telle que

|a|₁ă1, donc|a|₂ă1. On poseα= log|a|1

log|a|₂ ą0.

SoitbPK^ˆ, on veut montrer que|b|1=|b|^α₂. On distingue trois cas : i. |b|1= 1, alors|b|2= 1, d’où |b|1=|b|^α₂

ii. |b|1ă1, alors|b|2ă1. On poseβi =log|a|i

log|b|_i pouri= 1,2.

Siβ₁ăβ₂, il exister= ^m_n PQX]β₁, β₂[par densité. On pose alorsx=aⁿb^´mPK^ˆ, ainsi

log|x|_i=nlog|a|_i´mlog|b|_i=nlog|b|_i(β_i´r) pour i= 1,2

Or log|b|1ă0, log|b|2ă0, β1ąret β2ăr, donc log|x|1ă0et log|x|2ą0, ainsi

|x|1ă1 et|x|2ą1, Contradiction.

Le même raisonnement s’applique en supposantβ1ăβ2. On en conclut queβ1=β2, soit log|b|1

log|b|2

=log|a|1

log|a|2

=α, d’où|b|1=|b|^α₂.

iii. Si |b|1 ą 1, alors |b|2 ą 1. On applique le raisonnement précédent à b^´1. Ainsi

|b^´1|1=|b^´1|₂^α, donc|b|1=|b|^α₂.

3ñ1 : Une boule ouverte pour la topologie induite par| ¨ |1(respectivement| ¨ |2) est une boule ouverte pour la topologie induite par | ¨ |2 (resp.| ¨ |1). On a donc bien la double inclusions des deux topologies.

Lemme 2.4. SoientKun corps et| ¨ |une valeur absolue surK. SixPKtel que |x| ‰1, alors xⁿ

1 +xⁿ ÝÝÝÑ|¨|

nÑ8

"

0 si |x| ă1 1 si |x| ą1

Démonstration. |x| ‰ 1, donc 1 +xⁿ ne s’annule pas, la fraction est bien définie. Si |x| ă 1,

|xⁿ|=|x|ⁿ ÝÝÝÑ

nÑ8 0. Par la continuité de la valeur absoluexⁿÝÝÝÑ^|¨|

nÑ8 0. Sachant que le corps est topologique, on a xⁿ

1 +xⁿ ÝÝÝÑ|¨|

nÑ8 0.

Si|x| ą1, alors|x^´1| ă1 doncx^´nÝÝÝÑ^|¨|

nÑ8 0. Ainsi xⁿ

1 +xⁿ = 1 1 +x^´n

ÝÝÝÑ|¨|

nÑ8 1.

Soit K un corps. Le lemme d’approximation nous dit que pour les valeurs absolues

| ¨ |1, ...,| ¨ |J non équivalentes et les éléments b₁, ..., b_J de K, on peut trouver un élément xde K qui approcheb_j simultanément dans la topologie de| ¨ |j, aussi proche que l’on veut. Afin de démontrer ce résultat, il nous faut un lemme intermédiaire :

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Lemme 2.5. Soit| ¨ |1, ...,| ¨ |J des valeurs absolues non triviales non équivalentes sur un corps K. Alors il existexPK tel que|x|1ą1 et@jP v2, Jw |x|j ă1.

Démonstration. Par récurrence sur J,

J = 2: D’après le point 2 du lemme 2.3, sachant que | ¨ |1,| ¨ |2 non équivalentes et non triviales, on trouveyPK^ˆ tel que|y|1ă1,|y|2ě1 et zPK tel que|z|1ě1,|z|2ă1.

On posex=zy^´1. Alorsxsatisfait les conditions.

J ą2 : Par l’hypothèse de récurrence au rangJ´1, on trouve y PK tel que|y|₁ ą1 et

|y|_j ă1pour2ďjďJ´1. On trouve égalementzPKtel que|z|₁ą1et|z|_J ă1par l’hypothèse au rang 2. On a alors 3 possibilités :

i. Si|y|_J ă1, alorsx=y convient.

ii. Si|y|_J= 1, alors la suite|yⁿz|_jÝÝÝÑ

nÑ8 0pour2ďjďJ´1, on choisitx=yⁿzavec nPNassez grand.

iii. Si|y|J ą1, alors par le lemme 2.4 ˇ

ˇ ˇ ˇ

yⁿ 1 +yⁿ

ˇ ˇ ˇ ˇj

ÝÝÝÑnÑ8

"

0 si 2ďjďJ´1 1 si j= 1, J Ainsi on posex= yⁿ

1 +yⁿzpournassez grand, on obtient bien le résultat voulu.

Théorème 2.6 (Lemme d’approximation). Soient ϵ ą 0, J P N et | ¨ |1, ...,| ¨ |J des valeurs absolues sur un corps K non triviales non équivalentes. Soit (b1, ..., bJ) P K^J, alors il existe xPK tel que@j P v1, Jwon ait|x´bj|jăϵ.

Démonstration. D’après le lemme 2.5, pour tout jP v1, Jw il existexj PK tel que|xj|j ą1 et

|xj|iă1@i‰j. On a alors lim

nÑ8

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

xⁿ_j 1 +xⁿ_j

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇj

= 1et @i‰j lim

nÑ8

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

xⁿ_j 1 +xⁿ_j

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇi

= 0.

On pose alors w_n =

J

ÿ

j=1

xⁿ_j

1 +xⁿ_jb_j, ainsi lim

nÑ8|w_n´b_j|j= 0. On choisit alors x=w_n pour nassez grand.

2.2 Valeur absolue associé à une valuation

Pour un corpsKmuni d’une valuationvà valeurs réelles, on peut définir la valeur absolue associée à cette valuation par :

| ¨ |v: K Ñ R⁺ x ÞÑ e^´v(x) avec la conventione^´8= 0.

La constante d’Eulerepeut être remplacée par un nombre réel strictement supérieur à1.

On définit ainsi des valeurs absolues équivalentes.

Exemple2.3. La valeur absolue associé à la valuationp-adique surQest appeléValeur absolue p-adique. Elle est conventionnellement définie comme :

| ¨ |p: Q Ñ R⁺ x ÞÑ p^´v^p^(x)

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On remarque alors que, pour la valuation triviale, on retrouve la valeur absolue triviale.

On a en effet l’équivalence suivant :

Proposition 2.7. SoitKun corps. Une application deKdansRest une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réelles si et seulement si elle est une valeur absolue ultramétrique.

Démonstration. Soitv une valuation deK à valeurs réelles. On vérifie que pourx, yPK :

• |x|_v= 0ôv(x) =8 ôx= 0

• |x+y|_v=e^´v(x+y)ďe^´mintv(x),v(y)u=maxte^´v(x), e^´v(y)u=maxt|x|v,|y|_vu

• |xy|_v=e^´v(xy)=e^´v(x)´v(y)=|x|_v¨ |y|_v

Réciproquement soit|¨|une valeur absolue ultramétrique surK. On définitv:KÑRYt8u telle que@aPK

v(a) =

"

´ln|a| si a‰0 8 si a= 0 On vérifie que poura, bPK

• v(a) =8 ô |a|= 0ôa= 0

• v(a+b) =´ln|a+b| ě ´ln(maxt|a|,|b|u) =mintv(x), v(y)u

• v(ab) =´ln|ab|=´ln|a| ´ln|b|=v(a) +v(b)

On définit bien une valuation à valeurs dans le groupe totalement ordonné(R,+,ă).

Grâce à cette proposition, les résultats de valeurs absolues ultramétrique s’applique sur les valuations. Pour une valuation v, notons dv la distance associée à sa valeur absolue associée.

Cette distance vérifie donc dv(a, b) =e^´^v(a^´^b).(K, dv)est un espace ultramétrique. On dit que deux valuations sont équivalentes si elles définissent la même topologie.

Les deux corollaires suivants proviennent du lemme 2.3 et du théorème 2.6.

Corollaire 2.8. Soient v, w deux valuations non triviales sur un corps K, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. v et wsont équivalentes 2. A_v=A_w

3. v et wsont positivement proportionnelles.

Démonstration. On les identifie les points avec ceux du lemme 2.3.

1. Par la définition.

2. Soit aP K. Si a ‰0 alors |a^´¹|v ă1 ô |a^´¹|w ă1, donc|a|v ą1 ô |a|w ą1. Par les contrapositions|a|v ď1ô |a|wď1, doncv(a)ě0ôw(a)ě0. D’où Av=Aw.

3. Soitαě0tel que@aPK|a|_v=|a|_w^α. Ainsi ln|a|_v=αln|a|_w, doncv(a) =α¨w(a).

Par conséquence, si on se donne deux valuations discrètes surjectives (surZY t8u) équi- valentes, alors qu’elles sont identiques.

Corollaire 2.9. SoientcPR,J PNetv1, ..., vJ des valuations non triviales sur un corpsK non équivalentes. Soit (b1, ..., bJ)PK^J, alors il existexPK tel que@jP v1, Jw on aitvj(x´bj)ąc.

Démonstration. On pose ϵ = e^´c ą 0. Les valeurs absolues associées | ¨ |1, ...,| ¨ |J sont non triviales non équivalentes, donc par le lemme d’approximation il existexPK tel que@j P v1, Jw

|x´b_j|jăϵ=e^´c, doncv_j(x´b_j)ąc.

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Corps complet et Lemme de Hensel

Comme une valuation définit un espace ultramétrique, on a :

Proposition 2.10. Une suite(an)d’un corps de valuationK par rapport àv est de Cauchy si et seulement si v(an+1´an)ÝÝÝÑ

nÑ8 8.

Démonstration. v(an+1´an) ÝÝÝÑ

nÑ8 8 si et seulement si|an+1´an|v ÝÝÝÑ

nÑ8 0. L’application directe est immédiate.

Réciproquement si|an+1´an|v ÝÝÝÑ

nÑ8 0, alors pourϵą0,DnPN@pěn|ap+1´ap|văϵ.

3 Corps complet et Lemme de Hensel

Un corps de valuationK est ditcompletsi la topologie associée à sa valuationv rendK un espace complet. Dans ce cas,K est appelé corps complet par rapport à la valuationv, ou un corps complet de valuation.

Une suite(an)d’un corps complet de valuation est convergente si et seulement siv(an+1´ an)Ñ 8, car elle est ainsi une suite de Cauchy.

Exemple 3.1. Soit Qmuni de la valuation p-adiquevp. On définit Qp la complété de Qpar la distance associée àv_p. Ses éléments sont les classes d’équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. On prolongev_ppar continuité.

AlorsQp est un corps complet par rapport à la valuationv_p prolongée. On note souventZp son anneau de valuation.

Exemple 3.2. Soit k un corps. L’anneau des séries formelles K[[X]] muni de l’ordre comme l’exemple 1.4, s’étant sur le corps des séries formelles de LaurentK((X))(qui est son corps de fraction) en un corps complet de valuation. Ce corps est en effet la complétion du corpsK(X).

Lelemme de Henselrelève la décomposition premier d’un polynôme dekv[X]à Av[X].

Il s’applique sur toutcorps complet de valuation discrète. On introduit un lemme qui nous sert à démontrer le lemme de Hensel.

Lemme 3.1. Soit k un corps, G, H P k[X] premiers entre eux. Alors pour P P k[X] tel que d⁰P ďd⁰G+d⁰H, il existeV, W Pk[X]vérifiant P=V G+W H,d⁰V ďd⁰H etd⁰W ďd⁰G.

Démonstration. k est un corps donc k[X] est un anneau euclidien par rapport au degré du polynôme. G et H sont premiers entre eux dans un anneau principal, d’après le théorème de Bézout on poseV, W Pk[X] vérifiantGV +HW =P. Par la division euclidienne deV parH, on aV =QH+V¹ avecd⁰V¹ ăd⁰H. L’égalité dessus s’écritP = (V ´QH)G+ (W+QG)H= V¹G+W¹H. En plus d⁰(W¹H) = d⁰(P ´V¹G) ď maxtd⁰P, d⁰V +d⁰Hu ď d⁰G+d⁰H, donc d⁰W¹ ďd⁰G.

Théorème 3.2(lemme de Hensel). SoitKun corps complet par rapport à une valuation discrète v. Soit f un polynôme unitaire dans Av[X] tel que le polynôme correspondant f P kv[X] se factorise comme f =GH avecG, H unitaire premiers entre eux dans kv[X]. Alors il existe des polynômes unitairesg, hqui sont des représentants de même degrés de G, H tels quef =gh.

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Corps complet et Lemme de Hensel

Démonstration. Posons r=d⁰G, s=d⁰H, ainsi d:=d⁰f =r+s. Construisons récursivement pournPNdes représentants gn, hn de même degrés deG, H, tels quef−gnhnPmⁿ_v[X].

Pour n = 1, on choisit g1, h1 P Av[X] des représentants de même degrés de G, H. On a f−g1h1Pmv[X]carf =g1h1.

Supposons quegn, hn déjà construit, de sorte que f−gnhn =

d

ÿ

i=0

cⁿ_iXⁱaveccⁿ_i P(πⁿ)

Or Get H sont premiers entre eux, d’après le lemme 3.1, pour chaque iP v0, dw il existe Vi, Wi PAv[X] tels queXⁱ =ViG+WiH avec d⁰Vi ďs et d⁰Wi ďr. Posons vi, wi leur repré- sentants de même degrés, ainsi dansAv on a Xⁱ−vign−wihnPmv[X]. On pose

gn+1=gn+

d

ÿ

i=0

cⁿ_iwi, hn+1=hn+

d

ÿ

i=0

cⁿ_ivi

Orcⁿ_i P(πⁿ)Ămv, doncgn+1=gn=G. Le coefficient de degrérdegn+1est ainsi non nul, en plus pour touti on ad⁰wi ďr, doncd⁰gn+1 =r. De mêmehn+1 =hn =H et d⁰hn+1 =s.

On vérifie que

f´g_n+1h_n+1=f´ (

g_n+

d

ÿ

i=0

cⁿ_iw_i ) (

h_n+

d

ÿ

i=0

cⁿ_iv_i )

=f´gnhn´

d

ÿ

i=0

cⁿ_i(vign+wihn)´ ( _d

ÿ

i=0

cⁿ_iwi

) ( _d ÿ

i=0

cⁿ_ivi

)

=

d

ÿ

i=0

cⁿ_i(Xⁱ´vign´wihn)´ ( _d

ÿ

i=0

cⁿ_iwi

) ( _d ÿ

i=0

cⁿ_ivi

)

ce qui justifie quef´g_n+1h_n+1P(πⁿ⁺¹)[X]carcⁿ_i P(πⁿ)etXⁱ−vig_n−wih_nP(π)[X].

Pour chaque i on a v(cⁿ_i) ě n, la série ř

ně1

cⁿ_i est convergente, soit c_i la somme. Comme g_n =g₁+

n´1

ř

k=1 d

ř

i=0

c^k_iw_i =g₁+

d

ř

i=0 n´1

ř

k=1

c^k_iw_i, on pose g =g₁+

d

ř

i=0

c_iw_i. Puisque m_v =B_f(0,|π|) est un fermé, on a ci P mv. Par conséquenceg = g1 = G, de même h =H. Par construction f ´gnhn P (πⁿ), cette suite converge vers 0, donc f = gh. Le polynôme G étant unitaire, le coefficient dominant degvaut1 +aavecaPmv. Remplaçonsgpar(1 +a)^´1g ethpar(1 +a)h, on obtientf =ghavecg, hunitaires carf est unitaire.

Si on applique le lemme de Hensel aux cas oùGest de degré1, alors qu’on en obtient une version faible. Cette version est utile pour démontrer le résultat final.

Corollaire 3.3. Soitf un polynôme unitaire dans Av[X] tel que le polynôme correspondant f admet une racine simplea. Alors f admet une racine simpleb telle queb=a.

Démonstration. Soit K un corps complet par rapport à une valuation discrète v. a étant une une racine simple,f se décompose enf = (X´a)H avecX´aet H premiers entre eux. Par la proposition 3.2 il existeg, hPA_v[X]unitaires tels quef =gh,d⁰g= 1,g=X´aeth=H. On poseg=X´b, ainsibest une racine def etb=a. En plus sib était une racine deh, alors aserait une racine deH, absurde. Doncb est une racine simple def.

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Unicité de valuation discrète sur un corps complet

4 Unicité de valuation discrète sur un corps complet

Théorème 4.1. SoitK un corps complet par rapport à une valuation discrètev, alorsv est la seule valuation discrète surjective surK.

Le théorème s’applique sur tout corps complet de valuation discrète. Pour éviter de parler d’extensions du corps, on se restreint dans le cas où le corps résiduelkv est algébriquement clos.

Démonstration. (cas kv algébriquement clos) Soit wune autre valuation discrète surjective sur Kdistinct dev, soitπune uniformisante dew. Par le lemme d’approximation, il existeaPKtel quev(a´1)ą1etw(a´π)ą1. On a alors par le lemme 1.2v(a) =v(1) = 0etw(a) =w(π) = 1.

Si le caractéristique du corps résiduel char(kv) =pą0, on choisitmą1un entier premier avecp, sinon un entier mą1 suffit. On applique le lemme de Hensel au polynômef =X^m−a, qui est dans A_v[X] car v(a) = 0. Soit r une racine de f dans k_v. Si elle est multiple, alors f(r) =r^m´a= 0et f¹(r) =mr^m´1 = 0. Sachant quem‰0dans kv, on ar= 0, donca= 0.

Ce qui est absurde carv(a) = 0implique aRmv.r étant une racine simple, par le corolaire 3.3 on obtientbPAv tel queb^m=a. Maism¨w(b) =w(b^m) =w(a) = 1, contradiction.

Exemple4.1. Soientp‰qPNpremiers. On posea=_q^p PQ, alorsvp(a) = 1etvq(a) =´1. Par le point 2 du corollaire 2.8vp etvq ne sont pas équivalentes.

Nous illustrons un exemple de corps de valuation qui admet des valuations discrètes non équivalentes. L’hypothèse de la complétude est donc nécessaire.